4. Beräkna volymen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x = 0, y = 0 och z = 0 och planet. x F (x, y) = ( x 2 + y 2, y

Transkript

1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 7- För studenter i Flervariabelanals Flervariabelanals mkb 6 krivtid: 9:-:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams alculus, dessa formler bifogas tentan. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift på n sida. Använd ej baksidor. kriv namn på varje inlämnat blad.. Vi har skickat iväg en rmdsond till att studera pseudoplaneten Pluto. onden analserar omgivningen kring sin position och kommer fram till att den väldigt nära approximerar graftan till funktionen f(x, ) =.x +..5x. onden förflttar sig och när den är i punkten (x, ) = (, ) så registrerar den en ljusblixt i riktningen u = (, ). onden undersöker sina möjligheter att röra sig i den riktningen. Den kan bara köra i en viss riktning om lutningen inte är större än %. Utför beräkningar och avgör om det är möjligt för sonden att röra sig i den intressanta riktningen.. Beräkna minsta avstånd till origo från tan x + z =. Låt f(u, v) = u + uv, u = x + x, v = x + z, x = z + och =. Beräkna partialderivatan för f med avseende på z. Beräkna volmen av den tetraeder som stängs inne mellan koordinatplanen x =, = och z = och planet 5. Låt x/a + /b + z/c = x F (x, ) = ( x +, x + ) vara ett vektorfält definierat inom cirkelskivan D = {(x ) + ( ) }. Visa att fältet är konservativt och använd en potentialfunktion för att beräkna linjeintegralen F dr där är det kortare kurvsegmentet av begränsningscirkeln till D från punkten (, ) till punkten (, ). 6. Beräkna längden av kurvan r(t) = (t, t ), t. 7. Visa att dx + zd + xdz = πa där är den lämpligt orienterade snittkurvan till torna x + +z = a och x+ +z = 8. Beräkna flödet för fältet F = (x, z, z + x ) genom sfären x + + z = a.

2 var till tentamen i Flervariabelanals, 6.. Det är precis möjligt för sonden att röra sig mot ljusblixten eftersom lutningen i den riktningen är precis % (eller. som man också kan skriva). Minsta avståndet är. Mathematica svarar gärna så här: f z = 8 z z z z z z z z + 5 z z z + 6 z + 97 z + 8 z + 5 z z z + z + z + 86 z 8 + z 7 + z z z + 6z 9 + 8z 7 + 5z 5 + 6z + z + z 7 Men se lösningen för ett mer mänskligt svar.... Volmen blir abc 6 5. Linjeintegralen blir noll. Potentialen blir Φ(x, ) = log(x + ) = log x (/ + / 6) 7. varet är lösningen πa5

3 Lösningar till tentamen i Flervariabelanals, 6.. Eftersom det är sonden som noterar ljusblixten så kan vi anta att riktningen är relativt sonden (dvs i sondens koordinatsstem vars origo är hos rmdsonden). Men man kan även tolka ljusblixtriktningen relativt omgivningens koordinatsstem så att ljusblixtriktningen relativt rmdsonden är (, ) (, ). Jag accepterar båda tolkningarna, men mina lösningar utgår från att ljublixtriktningen mäts relativt rmdsondens origo. Räkningarna blir likartade. Vi behöver beräkna riktningsderivatan för funktionen med avseende på ljusblixtriktningen u. Detta kräver att vi först beräknar gradienten för funktionen. Riktningsderivatan får vi sedan genom att beräkna skalärprodukten av gradienten med en enhetsvektor i ljusblixtriktningen. Gradienten: f = (.x.5,.6.5x) f (,) = (.,.) En enhetsvektor i ljusblixtriktningen blir Riktningsderivatan blir alltså e u = D u f = e u f (,) = (, ) (, ) = (, ) 5 (.,.) = =. Lutningen är alltså precis % och sonden kan därför just precis klara av att ge sig av för att undersöka msteriet med den gäckande ljusblixten.. Minimum sökes för funktionen x + + z givet bivillkoret x + z = Vi ställer upp Lagrangefunktionen L(x,, z, λ) = x + + z λ(x + z ) = x λx = λ = x = + λ = λ = = = z λ = λ = z = / z λ = x + z = Från första ekvationen får vi att λ =. ätter vi in detta i den andra ekvationen så får vi att = och sätter vi in detta i den tredje ekvationen så fås att z = /. Notera:: En annan möjlighet är att lösa ut λ från den andra ekvationen vilket ger λ =. ätter vi in detta i ekvation och så får vi att x = och z = /. När vi sedan använder ekvation för att beräkna så får vi = / som är omöjligt i det reella rum som vi befinner oss i. Vi måste därför gå vidare med λ =! Bivillkoret ger oss nu att x = ±. Det ser alltså ut som om vi har två minimipunkter p = (,, ), p = (,, ) e Figur: Minsta avståndet från origo till tan blir därför p = p =

4 Figure : Bilder till minimiproblemet f u x v z x z z Figure : Graf som visar hur funktionen f beror av de olika variablerna och hur funktionen beror av z i snnerhet. Vi anva nder oss av beroende grafen i figur, som ger oss f s beroende av z: f f u x f v x f v = + + z u x z v x z v z = (u + v )(x + )z + 6uv z + 6uv = = ux z + uz + 8x v z + 6v z + uv z + 6uv Utfo r vi bera kningarna (vilket mathematica hja lpt mig med) och uttrcker allt i variablerna la ngst ned i tra det sa fa r vi f = 8 z z + 77 z z z z z 5 + z z + 5 z z z + 6 z + 97 z + 8 z + 5 z z z + z + z + 86 z 8 + z 7 + z z z + 6z 9 + 8z 7 + 5z 5 + 6z + z + z 7 Men detta ra knade jag inte med att na gon skulle svar med.. Tetraedern T begra nsas uppa t och neda t av de tva funktionstorna z = c ac x cb och z =. T a r alltsa z-enkelt o ver det triangula ra omra det i x-planet som som ligger i fo rsta

5 kvadraten men begränsas av linjen = b b ax. Integralen för volmen kan därför skrivas som V = T dxddz = = a b b a x a b b a c c a x c b dzddx = c c a x c cb ddx = b a = cb a [a a + a ] = abc 6 a a ax + x dx = 5. För att visa att ett tvådimensionellt fält F = (F, F ) är konservativt så behöver vi bara (eftersom cirkelskivan är enkelt sammanhängande) visa att I vårt fall har vi att F x F = F x = x (x + ) = F Vilket direkt ger oss konservativiteten. Eftersom vi har ett konservatit fält så kan vi hitta en potentialfunktion Φ(x, ) så att Φ = F. Integrerar vi F med avseende på x så får vi Deriverar vi denna med avseende på så får vi Φ(x, ) = log(x + ) + H() φ = x + + H () Eftersom vi har att detta ska vara lika med så kan vi dra slutsatsen att H () = vilket x + innebär att H är en godtcklig konstant. Vi kan således välja en av dessa konstanter och då väljer vi H = vilket ger oss potentialfunktionen Φ[(x, ) = log(x + ) = log x +. Nu kan vi ägna oss åt att integrera fältet längs det angivna kurvsegmentet. Denna integral beror, tack vara konservativiteten, bara på begnnelse och slutpunkt för kurvan och vi har F dr = Φ( slutpunkt ) Φ( begnnelsepunkt ) = Φ((, )) Φ((, )) = = log( + 9) log( 9 + ) = log( ) log( ) = 6. Längden av en kurva parametriserad av r(t) = (x(t), (t)) ges av integralen x (t) + (t) dt I vårt fall har vi x (t) = t och (t) = t vilket ger att längden blir 9t + t dt = t 9t + dt = t 9t + dt + t 9t + dt kom ihåg att t = { t, t < t t 5

6 Här gör vi substitutionen u = 9t +, du = 8tdt vilket gör att integralen blir 8 ( udu + udu = 8 u du + u du = = 7 (/ + / 6) }{{} } {{ } = u/ u/ 7. Vi har att snitt kurvan är en cirkel centrerad i origo med radien a belägen i planet x++z =. Med fältet F = (, z, x) så har vi, tack vare tokes sats att vår linjeintegral blir dx + zd + xdz = F Nd Här är cirkelskivan i planet x + + z = och vi väljer orientering så att Vi har att F = det Vår integral blir således F Nd = N = (,, ) i j k / x / / z z x = (,, ) d = cirkelns area = πa, som var vad vi skulle visa! Notera hur valet av orientering gjorde att vi fick rätt resultat. Hade vi valt den andra orienteringen skulle integralen blivit negativ. Det är detta val som är det lämpliga valet som vi skulle göra i uppgiften Flödet genom den sfäriska tan ges av F d = divergenssatsen = = sfäriska koordinater = = 5 πa5 V F dv = π π a V x + + z dv = r sin φdrdφdθ = = 6