9.3. Egenvärdesproblem
|
|
- Nils Jakobsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 9.3. Egenvärdesproblem Problem som innehåller en parameter men endast kan lösas för speciella värden av denna parameter kallas egenvärdesproblem. Vi skall här nöja oss med ett exempel på ett dylikt problem. Betrakta ekvationen 2 u x + 2 u 2 y + λu = 2 innanför en kvadrat med hörnen (, ), (3, ), (3, 3) och (, 3). Funktionen u antas försvinna på kvadratens sidor; ekvationen representerar då ett svängande membran. För att lösa ekvationen med differensmetoden skall vi föreställa oss att man täcker kvadraten med ett nät med kvadratiska maskor. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 1
2 För enkelhetens skull skall vi endast använda maskstorlekarna h = 1 och h = 3/4. I det första fallet behövs då endast ett funktionsvärde innanför kvadraten, eftersom u(1, 1) = u(1, 2) = u(2, 1) = u(2, 2) = U på grund av symmetrin. I det senare fallet finns det av symmetriskäl tre olika funktionsvärden, eftersom u(3/4, 3/4) = u(3/4, 9/4) = u(9/4, 3/4) = u(9/4, 9/4) = U; u(3/4, 3/2) = u(3/2, 3/4) = u(9/4, 3/2) = u(3/2, 9/4) = V ; u(3/2, 3/2) = W. Om vi tillämpar fempunktsformeln för Laplace operatorn 2 u(x, y) = [u(x + h, y) + u(x, y + h) + u(x h, y) + u(x, y h) 4u(x, y)]/h 2, så får vi i det första fallet (h = 1) U + U + + 4U + λu =, som har lösningen λ = 2, samt i det senare fallet (h = 3/4) ekvationssystemet där µ = h 2 λ = 9λ/16. 8 < : 2V 4U +µu = 2U +W 4V +µv = 4V 4W +µw =, Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 2
3 Villkoret för en icke-trivial lösning av detta ekvationssystem är, att koefficientmatrisens determinant försvinner: 4 µ µ µ =. Om determinanten utvecklas, får man sekulärekvationen µ 3 12µ 2 + 4µ 32 =, vars minsta rot är µ = , varav följer λ = Å andra sidan vet vi, att felet då man använder fempunktsformeln är proportionellt mot h 2, varför elimination av ɛ ur ekvationssystemet λ + ɛ = 2 λ ɛ = 2.83 ger λ = ( )/ (Richardsons extrapolationsmetod). Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 3
4 Den exakta lösningen är som ger u = sin(mπx/3) sin(nπy/3), λ = (m2 + n 2 )π 2. 9 Härav följer, att det lägsta egenvärdet fås för m = n = 1: λ 1,1 = 2π2 9 = Felet är bara.15%. Man kan också beräkna högre egenvärden numeriskt, men då behövs det ett finare nät. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 4
5 9.4. Finita elementmetoden I differensmetoden diskretiseras kontinuerliga funktioner genom att man väljer en ändlig mängd punkter (nät eller gitter) och ersätter derivatorna med differenser. Ett annat sätt att behandla problemet är att välja en ändlig mängd funktioner och approximera differentialekvationens exakta lösning med en linjär kombination av dessa funktioner. Sådana funktioner kallas basfunktioner, och de kan t.ex. vara polynom av lågt gradtal. Vanligen indelas det undersökta området i ännu mindre delar eller element. I varje element approximeras lösningen med en skild basfunktion, som har värdet noll i de övriga elementen. Koefficienterna för basfunktionerna, t.ex. a i, b i, c i, d i och f i för basfunktionen φ i (x, y) = a i x 2 + b i y 2 + c i xy + d i x + e i y + f i, väljs så, att basfunktionerna kontinuerligt övergår i varandra vid elementens gränsytor. De punkter på gränsytorna, där funktionsvärdena överensstämmer, kallas nodpunkter. Ofta brukar man därtill kräva, att basfunktionernas derivator (eller t.o.m. högre derivator) överensstämmer i nodpunkterna (jfr spline funktionerna). Ju flere nodpunkter det finns i ett element, desto noggrannare polynom kan man använda som basfunktioner, och desto bättre kan man täcka det studerade området med element. Denna metod kallas därför också för finita elementmetoden (FEM = Finite Element Method). Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 5
6 För att bättre förstå metoden, skall vi för enkelhetens skull tillämpa den på en endimensionell Poisson ekvation. Om laddningsfördelningen är ρ(x), så kan ekvationen för den elektrostatiska potentialen uttryckas φ (x) = 4πρ(x). Randvillkoren antas vara φ() = φ(1) =. Lösningarna till en sådan ekvation kan alltid uttryckas som en linjär kombination av sinsemellan ortogonala basfunktioner u i (x), där i = 1, 2,..., : X φ(x) = a i u i (x) i Basfunktionerna antas här uppfylla ortogonalitetsvillkoret Z 1 u i (x)u j (x)dx = δ ij, där δ ij betecknar Kroneckers delta, och u i () = u i (1) =. Ett exempel på lämpliga basfunktioner är u j (x) = 2 sin jπx. För att beräkna värdet av funktionen φ(x) bestämmer vi alla koefficienterna a i genom substitution i differentialekvationen och användning av basfunktionernas ortogonalitetsvillkor. Om systemets gränsyta inte har en regelbunden form kan detta vara ganska besvärligt. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 6
7 Finita elementmetoden har konstruerats så att den skall ge en god approximation till lösningen också då randvillkoren är komplicerade, eller då lösningsfunktionen P varierar mycket. Också i detta fall uttrycks n approximationen som en linjär kombination φ n (x) = i=1 a iu i (x), men basfunktionernas antal är nu ändligt, och var och en av dem är definierad i ett litet område kring noden x i. Om vi använder denna approximation, så får vi en restterm ɛ n (x) = φ n (x) + 4πρ(x), som skulle försvinna, om φ n(x) vore den exakta lösningen. Vi försöker nu konstruera en sådan metod, att ɛ n (x) är litet över hela området, medan beräkningen av koefficienterna a i pågår. Valet av u i (x) och metoden att optimera ɛ n (x) bestämmer lösningsnoggrannheten för ett visst värde av n. En metod att utföra denna optimering är att använda en vägd integral g i = R 1 ɛ n(x)w i (x)dx som sätts till vid beräkningen av a i. Viktsfunktionerna w i (x) väljs här på ett lämpligt sätt. För den endimensionella Poisson ekvationen kan den vägda integralen uttryckas g i = Z n X j=1 a j u j (x) + 4πρ(x) 3 5 wi (x) =, vilket är ekvivalent med det linjära ekvationssystemet Aa = b, där A ij = Z 1 u i (x)w j(x)dx, och b i = 4π Z 1 ρ(x)w i (x)dx. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 7
8 I praktiken behöver man alltså endast lösa ett tridiagonalt eller bandformat ekvationssystem, vilket går snabbt. Det gäller att förenkla problemet utan göra avkall på noggrannheten. Valet av viktsfunkterna w i (x) är därför kritiskt. Ofta brukar man sätta w i (x) = u i (x) (Galerkins metod). Vi skall nu studera lösningen i lite mer detalj. Vi delar in intervallet [, 1] i n + 1 lika stora delintervall (x =, x n+1 = 1) och sätter u i (x) = 8 >< >: (x x i 1 )/h, om x [x i 1, x i ] (x i+1 x)/h, om x [x i, x i+1 ] i annat fall Intervallängden är alltså h = x i x i 1 = 1/(n + 1). Observera, att randvillkoren uppfylls om u i (x) väljs på detta sätt. För enkelhetens skull väljer vi laddningsfördelningen ρ(x) = π 4 sin πx. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 8
9 De vägda integralerna är då lätta att beräkna, och vi får A ij = Z 1 8 > < u i (x)u j (x)dx = >: 2/h, om i = j 1/h, om i = j ± 1 i annat fall (obs : partiell integration!) b i = 4π Z 1 ρ(x)u i (x)dx = π h (x i 1 + x i+1 2x i ) cos πx i + 1 h (2 sin πx i sin πx i 1 sin πx i+1 ) Denna metod är ganska lätt att programmera. I stället för Galerkins metod, kan man också använda Ritz variationsprincip 1, som går ut på minimering av en funktional (en funktion, ofta systemets totala energi, som beror av en annan funktion). Funktionalen av t.ex. Poissons endimensionella ekvation φ (x) = 4πρ(x) med randvillkoren φ() = φ(1) =, har formen Z 1 n o 1 E[φ(x)] = 2 φ 2 (x) 4πρ(x)φ(x) dx. 1 efter Walter Ritz ( ), schweizisk teoretisk fysiker Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 9
10 Om vi tillämpar variationsprincipen δe[φ(x)] =, och antar att variationerna vid intervallgränserna δφ(x) försvinner, så får vi Lagranges ekvationer och därur den ursprungliga differentialekvationen. Detta är Ritz variationsprincip. Den exakta lösningen φ(x) till differentialekvationen ger minimivärdet av funktionalen E[φ(x)]. Ju mindre värdet av E[φ(x)] är, desto bättre är den approximativa lösningen. Ritz metod tillämpas alltså så, att man först konstruerar en funktional för en given differentialekvation, och därpå approximerar lösningen bit för bit i varje element och använder variationsprincipen för att bilda det linjära ekvationssystemet varur koefficienterna beräknas. Vi kan tillämpa Ritz metod på Poissons ekvation, och börjar P då med att uttrycka lösningen som en linjär n kombination av linjärt oberoende basfunktioner φ n (x) = i=1 a iu i (x). Därpå minimeras funktionalen i avseende på koefficienterna a i : E[φ n (x)] a i =, i = 1, 2,..., n, vilket leder till ett linjärt ekvationssystem Aa = b, varur koefficienterna löses. Som man lätt kan visa, leder i detta fall Ritz metod till samma ekvationssystem som Galerkins metod. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 1
11 Kapitel 1. Fourier analys Joseph Fourier ( ) har blivit speciellt känd för sitt verk Théorie analytique de la chaleur som utkom år Det innehåller en teori för värmeledningen, där han löser den partiella differentialekvationen med hjälp av trigonometriska serier. Han visade, att en godtycklig funktion kan utvecklas i en trigonometrisk serie, eller Fouriers serie som den senare blev kallad efter honom. Fourier metoder används nuförtiden för att lösa många slags problem inom elektricitetsläran, optiken, akustiken och termodynamiken. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 11
12 1.1. Fourier serier Enligt Fouriers teorem kan en periodisk funktion f(x) (t.ex. med perioden 2π) approximeras av f(x) = a 2 + X k=1 (a k cos kx + b k sin kx). På grund av de trigonometriska funktionernas ortogonalitet: Z 2π cos kx cos mxdx = 8 >< >: k m π k = m 2π k = m = Z 2π sin kx cos mxdx = Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 12
13 Z 2π så kan koefficienterna i serien uttryckas sin kx sin mxdx = 8 >< >: k m π k = m k = m = a k = 1 π Z 2π f(x) cos kxdx, b k = 1 π Z 2π f(x) sin kxdx. På grund av ortogonaliteten, kommer Fourier approximationen att vara ekvivalent med minsta kvadratmetoden. Detta gäller för varje serieutveckling av en funktion i ortogonala funktioner, vilket inses på följande sätt. Antag, att f(x) nx i= c i g i (x), där funktionerna g i (x), i = 1, 2,..., n uppfyller ortogonalitetsvillkoret Z w(x)g i (x)g j (x) = δ ij. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 13
14 Då gäller S = = Z b Z a w(x)[f(x) nx i= w(x)f 2 (x)dx 2 c i g i (x)] 2 dx nx Z c i w(x)f(x)g i (x)dx + nx nx c i c j Z w(x)g i g j dx = Z w(x)f 2 (x)dx 2 i= nx c i a i + nx c 2 i i= j= = Z w(x)f 2 (x)dx i= nx a 2 i + nx i= (a i c i ) 2 i= i= som är ett minimum, endast om c i = a i (Fourier-koefficienterna) gäller för alla i, vsb. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 14
15 Man kan också visa, att Bessels olikhet Z b a w(x)f 2 (x)dx nx i= a 2 i, w(x) gäller för Fourier koefficienterna a i = Z b a w(x)f(x)g i (x)dx, om g i (x) är ortonormerade funktioner. Istället för den trigonometriska serien, är det ofta fördelaktigt att använda den komplexa framställningen av Fourier serien, som man finner på följande sätt. Av Eulers ekvation e ix = cos x + i sin x följer Av dessa identiteter följer (för heltaliga k) att sin x = eix e ix, cos x = eix + e ix. 2i 2 f(x) = X k= c k e (2πi/L)kx, Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 15
16 där om perioden är L. c k = 1 L Z L f(x)e (2πi/L)kx dx, I detta fall kan man lätt bevisa ortogonalitetsvillkoret genom direkt integration: Z L e (2πi/L)kx e (2πi/L)mx dx = ( m + k L m + k = Genom att jämföra de två olika representationerna för Fourier serien, finner vi c k = 8 >< >: a k ib k 2 a k + ib k a 2 2 k > k < k = Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 16
17 En märklig egenskap som delas av sinus och cosinus funktionen är att bägge är ortogonala både över ett kontinuerligt intervall och en mängd av diskreta punkter på lika stort avstånd från varandra, som täcker perioden. Detta är mycket viktigt på grund av att man vanligen endast känner funktionens värden i ekvidistanta punkter. Man kan därför exakt beräkna koefficienterna i diskreta sampelpunkter, istället för att beräkna dem approximativt över ett kontinuerligt intervall genom numerisk integration. Om vi t.ex. känner funktionsvärdena i de 2N sampelpunkterna: så gäller att de 2N funktionerna x k = Lk, k =, 1,..., 2N 1, 2N 1, cos 2π L x, cos 2π L 2x,..., cos 2π L (N 1)x, cos 2π L Nx sin 2π L x, sin 2π L 2x,..., sin 2π L (N 1)x utgör en ortogonal funktionsmängd. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 17
18 Detta innebär, att för k och m N gäller 2N 1 X l= 2N 1 X l= 2N 1 X l= cos cos sin 2π L k Ll 2π cos 2N L m Ll 2N 2π L k Ll 2π sin 2N L m Ll 2N 2π L k Ll 2π sin 2N L m Ll 2N = 8 >< >: = = 8 >< >: k m N 2N k = m, N k = m =, N k m (bevis i R.W. Hamming: Numerical methods for Scientists and Engineers). N k = m, N k = m =, N Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 18
19 Hur skiljer sig den diskreta från den kontinuerliga Fourier utvecklingen? Antag, att den kontinuerliga serien är f(x) = a 2 + X k=1 (a k cos 2π L kx + b k sin 2π L kx), och att x l = Ll/(2N). Om den diskreta seriens koefficienter betecknas A k, B k och f(x l ) multipliceras med cos(2π/l)kx l och summeras, så får vi 2N 1 X l= f(x l ) cos 2π L kx l = NA k = N(a k + a 2N k + a 2N+k +...), varav följer att den koefficient som vi vill beräkna är A k = a k + X m=1 (a 2Nm k + a 2Nm+k ), som anger den ändliga Fourier seriens koefficienter uttryckta med den kontinuerliga Fourier seriens koefficienter. Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 19
20 På motsvarande sätt kan man visa, att B k = b k + X m=1 ( b 2Nm k + b 2Nm+k ), och att nolltegradstermen är A = a + 2 X m=1 a 2Nm. De olika frekvenser som ingår i den ursprungliga kontinuerliga signalen kommer därför att adderas vid samplingen (aliaseffekt, aliasing på engelska). Sambandet mellan den ändliga och den kontinuerliga Fourier seriens koefficienter visar tydligt aliaseffekten. Om frekvenserna representeras av punkter på en linje från till, så kan aliaseringen beskrivas genom att spegla linjen fram och tillbaka på sig själv. Den första frekvensen där en sådan invikning sker kallas vikningsfrekvensen, eller Nyquist frekvensen 2 och har värdet k = N. 2 efter Harry Nyquist ( ), en svenskfödd amerikansk ingenjör Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 2
21 Som synes av bilden ovan kommer alla punkter på kurvan ovanför samma ställe på frekvensaxeln att uppträda som samma frekvens på grund av samplingen, så att frekvenserna inte på nytt kan separeras. Funktioner som svänger snabbare än Nyquist frekvensen avbildas alltså som funktioner med frekvensen speglad i Nyquist frekvensen. Man kan undersöka detta genom att experimentera med Matlab. Konstruera en vektor t med 11 punkter mellan och 2 π och rita cos(t): >> t = :2*pi/1:2*pi; >> plot(t,cos(t)) Rita sedan cos(nt), där n = 2, 3,.... För n = 1 får man en rät linje, pga av att den snabba cosinussvängningen hinner svänga en hel period och återvända till 1! Vetenskapliga beräkningar III, Tom Sundius 28 21
Omtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2005-06-07 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs mer3.3. Symboliska matematikprogram
3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.
Läs mer6.3. Direkta sökmetoder
6.3. Direkta sökmetoder Förutom de nyss nämnda metoderna för att uppsöka ett minimum av en funktion av en variabel finns det en enkel metod som baserar sig på polynomapproximation av funktionen. Om vi
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs merVersion 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg
Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merFöreläsning 5. Approximationsteori
Föreläsning 5 Approximationsteori Låt f vara en kontinuerlig funktion som vi vill approximera med en enklare funktion f(x) Vi kommer använda två olika approximationsmetoder: interpolation och minstrakvadratanpassning
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2005-08-26. DAG: Fredag 26 augusti 2005 TID: 8.30-12.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 5-8-6 DAG: Fredag 6 augusti 5 TID: 8.3-.3 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merDataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008
Dataprojekt. Nanovetenskapliga tankeverktyg. January 18, 2008 Dataprojekt 1: Fourierserier Två av fysikens mest centrala ekvationer är vågekvationen och värmeledningsekvationen. Båda dessa ekvationer är
Läs merFOURIERANALYS En kort introduktion
FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................
Läs merProjekt Finit Element-lösare
Projekt Finit Element-lösare Emil Johansson, Simon Pedersen, Janni Sundén 29 september 2 Chalmers Tekniska Högskola Institutionen för Matematik TMA682 Tillämpad Matematik Inledning Många naturliga fenomen
Läs merDel I: Lösningsförslag till Numerisk analys,
Lösningsförslag till Numerisk analys, 2016-08-22. Del I: (1) Nedan följer ett antal påståenden. Använd nyckelbegreppen därunder och ange det begrepp som är mest lämpligt. Skriv rätt bokstav (a)-(l) i luckan
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs mer9. Beräkna volymen av det område som begränsas av planet z = 1 och paraboloiden z = 5 x 2 y 2.
Tentamenskrivning för TMS63, Matematisk Statistik. Onsdag fm den 3 juni, 15, V-huset. Examinator: Marina Axelson-Fisk. Tel: 7-88113 Tillåtna hjälpmedel: typgodkänd miniräknare, tabell- och formelhäfte
Läs merLösningar av uppgifter hörande till övning nr 5.
Lösningar av uppgifter hörande till övning nr 5. H.7 a) Antag att p är ett polynom med grad p < n. Då kan p skrivas som en linjärkombination av ortogonalpolynomen p k, där k < n. Alltså är p c k p k, m
Läs merTMA226 datorlaboration
TMA226 Matematisk fördjupning, Kf 2019 Tobias Gebäck Matematiska vetenskaper, Calmers & GU Syfte TMA226 datorlaboration Syftet med denna laboration är att du skall öva formuleringen av en Finita element-metod,
Läs merINFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!
INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! Ska du t ex förenkla 2(a + b) 2 3(b a) 2 utför först kvadreringarna
Läs merFöreläsningsanteckningar i linjär algebra
1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merKurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer
Kurs DN1215, Laboration 3 (Del 1): Randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer Michael Hanke, Johan Karlander 2 april 2008 1 Beskrivning och mål Matematiska modeller inom vetenskap och teknik
Läs merTANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.
TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor.
Läs merBasbyte (variabelbyte)
Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer
Läs merSjälvkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen
Läs merMatematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler
Matematik 5 Kap 3 Derivator och Integraler Inledning I kap 4 Differentialekvationer behövs derivator (och integraler) och i kap 5 Omfångsrika problemsituationer finns intressanta problem med användning
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merSTYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund FINANSMATEMATIK I. KOMPLEMENT DAG 13. STYRNING AV PORTFÖLJER MED FLERA TILLGÅNGAR Hittills har vi betraktat
Läs merFYSIKENS MATEMATISKA METODER
FYSIKENS MATEMATISKA METODER TREDJE UPPLAGAN TORBJÖRN ERIKSON HENRIK CHRISTIANSSON ERIK LINDAHL JOHAN LINDE LARS SANDBERG MATS WALLIN mfl Boken är typsatt i L A TEX med 11pt Times Printed in Sweden by
Läs merSammanfattning av ordinära differentialekvationer
Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer
Läs merDN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013
TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E
Läs merApproximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.
TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning
Läs merTentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL
Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014
SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merTentamen, del 2 DN1240 Numeriska metoder gk II för F
Tentamen, del DN140 Numeriska metoder gk II för F Fredag 14 december 01 kl 14 17 Lösningar DEL : Inga hjälpmedel. Rättas endast om del 1 är godkänd. Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p
Läs merSammanfattning (Nummedelen)
DN11 Numeriska metoder och grundläggande programmering Sammanfattning (Nummedelen Icke-linjära ekvationer Ex: y=x 0.5 Lösningsmetoder: Skriv på polynomform och använd roots(coeffs Fixpunkt x i+1 =G(x i,
Läs merInterpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter
Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013
SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre
Läs merFysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik!
Fysikaliska krumsprång i spexet eller Kemister och matematik! Mats Linder 10 maj 2009 Ingen sammanfattning. Sammanfattning För den hugade har vi knåpat ihop en liten snabbguide till den fysik och kvantmekanik
Läs merTentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs
KTH Matematik Tentamen del 1 SF154, 1-3-3, 8.-11., Numeriska metoder, grundkurs Namn:... Bonuspoäng. Ange dina bonuspoäng från kursomgången läsåret HT15/VT1 här: Max antal poäng är. Gränsen för godkänt/betyg
Läs merR AKNE OVNING VECKA 1 David Heintz, 31 oktober 2002
RÄKNEÖVNING VECKA David Heintz, 3 oktober 22 Innehåll Uppgift 27. 2 Uppgift 27.8 4 3 Uppgift 27.9 6 4 Uppgift 27. 9 5 Uppgift 28. 5 6 Uppgift 28.2 8 7 Uppgift 28.4 2 Uppgift 27. Determine primitive functions
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs mer3.3. Interpolationsmetoder
3.3. Interpolationsmetoder Antag, att vi önskar beräkna ett funktionsvärde f(x), och att det beräknade funktionsvärdet är f (x). Avvikelsen mellan f (x) och f(x), som vi betecknar e(x) = f (x) f(x), är
Läs merFEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel.
MVE255/TMV191 Matematisk analys i flera variabler M/TD FEM1: Randvärdesproblem och finita elementmetoden i en variabel. 1 Inledning Vi ska lösa partiella differentialekvationer PDE, dvs ekvationer som
Läs merCHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs merLaboration i Fourieroptik
Laboration i Fourieroptik David Winge Uppdaterad 4 januari 2016 1 Introduktion I detta experiment ska vi titta på en verklig avbildning av Fouriertransformen. Detta ska ske med hjälp av en bild som projiceras
Läs merLAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning
TANA18/20 mars 2015 LAB 3. INTERPOLATION 1 Inledning Vi ska studera problemet att interpolera givna data med ett polynom och att interpolera med kubiska splinefunktioner, s(x), som är styckvisa polynom.
Läs merNUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden
NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett
Läs merTeorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.
Teorifrågor Störningsanalys 1. Värdet på x är uppmätt till 0.956 med ett absolutfel på högst 0.0005. Ge en övre gräns för absolutfelet i y = exp(x) + x 2. Motivera svaret. 2. Ekvationen log(x) x/50 = 0
Läs merEkvationssystem - Övningar
Ekvationssystem - Övningar Uppgift nr 1 y = 5x x + y = 54 Uppgift nr 2 y = 2x x + y = 12 Uppgift nr 3 y = 3x + 7 4x + y = 35 Uppgift nr 4 y = 4x - 18 3x + y = 38 Uppgift nr 5 2x - 2y = -4 x - 3y = 4 Uppgift
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs mer4.4. Mera om grafiken i MATLAB
4.4. Mera om grafiken i MATLAB Larry Smarr, ledare för NCSA (National Center for Supercomputing Applications i University of Illinois, brukar i sina föredrag betona betydelsen av visualisering inom den
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs mer= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merIckelinjära ekvationer
Löpsedel: Icke-linjära ekvationer Ickelinjära ekvationer Beräkningsvetenskap I Varför är det svårt att lösa icke-linjära ekvationer? Iterativa metoder Bisektion/intervallhalvering Newton-Raphsons metod
Läs merMer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012
Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 22. Exponentiella Fourierserier Vi ska i detta avsnitt se hur periodiska funktioner kan framställas i serieform med användning av den komplexa exponentialfunktionen.
Läs merPartiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden
Partiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden Johan Jansson November 29, 2010 Johan Jansson () M6 November 29, 2010 1 / 26 Table of contents 1 Plan och Syfte
Läs merSF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen 015-01-1 DEL A 1. Låt f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs merLÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664
LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder för CFATE1 den 1 mars 214 kl 8.-1. 1. Bestäm värdemängden till funktionen f(x) = 2 arctan x + ln (1 + x 2 ), där
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs mer3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper.
Vetenskapliga beräkningar III 34 3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper. I nedanstående tabell anges egenskaperna för några av de vanligaste ortogonala polynomen. Polynomen är normerade så,
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merEgenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer
CTH/GU STUDIO 7 TMV36b - 14/15 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer Vi skall se lite på egenvärdesproblem för matriser och differentialekvationer.
Läs merLösningar till linjära problem med MATLAB
5B1146 - Geometri och algebra Mikrolelektronik, TH ista ösningar till linjära problem med MATAB Av: oel Nilsson, alikzus@home.se atrik osonen, pkosonen@kth.se 26-12-4 roblem 1 Man ska bestämma ett tredjegradspolynom:
Läs merPreliminärt lösningsförslag till del I, v1.0
Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel
Läs merf(x + h) f(x) h f(x) f(x h) h
NUMPROG, D för M, vt 008 Föreläsning N: Numerisk derivering och integrering Inledning: numerisk lösning av analytiska problem Skillnader mellan matematisk analys och numeriska metoder. Grundläggande begrepp
Läs merTentamen MVE300 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE3 Sannolihet, statisti och ris 215-6-4 l. 8.3-13.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematisa vetensaper, Chalmers Telefonvat: Johan Jonasson, telefon: 76-985223 31-7723546 Hjälpmedel: Typgodänd
Läs merProv kapitel 3-5 - FACIT Version 1
Prov kapitel 3-5 - FACIT Version 1 1. Lös ekvationerna algebraiskt a. 13 x + 17 = 7x + 134 Svar: x = 117 / 6 = 19.5 b. x 10 = 84 Svar: x = 84 0.1 = 1.5575 2. Beräkna a. 17 % av 3500 = 595 b. 3 promille
Läs merAnvändarmanual till Maple
Användarmanual till Maple Oktober, 006. Ulf Nyman, Hållfasthetslära, LTH. Introduktion Maple är ett mycket användbart program för symboliska och i viss mån numeriska beräkningar. I Maple finns ett stort
Läs merTentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klintberg Lösningar Tentamen i Sannolikhetslära och statistik (lärarprogrammet) 12 februari 2011 Uppgift 1 a) För att få hög validitet borde mätningarna
Läs merVetenskapliga beräkningar III 139
Vetenskapliga beräkningar III 139 Kapitel 9. Partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska
Läs merOmtentamen i DV & TDV
Umeå Universitet Institutionen för Datavetenskap Gunilla Wikström (e-post wikstrom) Omtentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar för DV & TDV Tentamensdatum: 2006-06-05 Skrivtid: 9-15 Hjälpmedel: inga
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merDagens tema. Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg)
Dagens tema Fasplan(-rum), fasporträtt, stabilitet (forts.) (ZC sid 340-1, ZC10.2) Om högre ordnings system (Tillägg) Fasplan(-rum), trajektorier, fasporträtt ZC sid 340-1, ZC10.2 Definitioner: Lösningarna
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merTATA42: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form
TATA4: Föreläsning 3 Restterm på Lagranges form Johan Thim 9 mars 9 Lagranges form för resttermen Vi har tidigare använt resttermen på ordo-form med goda resultat. Oftast i samband med gränsvärden, extrempunktsundersökningar
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merKapitel 9. Partiella differentialekvationer
Kapitel 9. Partiella differentialekvationer Partiella differentialekvationer är mycket vanliga i den tillämpade fysiken. De bäst kända tillämpningarna är måhända numeriska väderförutsägelser, varvid förändringarna
Läs merTrigonometriska formler Integraler och skalärprodukter Fourierserier Andra ortogonala system. Fourierserier. Fourierserier
Matte D : Additionsformler cos(α β) cos(α + β) = cos α cos β + sin α sin β (cos α cos β sin α sin β) = sin α sin β α = mx, β = nx sin mx sin nx = cos(m n)x cos(m + n)x Derivata f (x) = sin kx f (x) = k
Läs merRapportexempel, Datorer och datoranvändning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Datorer och datoranvändning Institutionen för datavetenskap 2014/1 Rapportexempel, Datorer och datoranvändning På de följande sidorna finns en (fingerad) laborationsrapport som
Läs merFöreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem.
11 april 2005 2D1212 NumProg för T1 VT2005 A Föreläsning 14: Exempel på randvärdesproblem. LU-faktorisering för att lösa linjära ekvationssystem. Kapitel 8 och 5 i Q&S Stationär värmeledning i 1-D Betrakta
Läs merk x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2009 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 74 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSummor av slumpvariabler
1/22 Summor av slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 8/2 2013 2/22 Dagens föreläsning Väntevärde och varians Vanliga kontinuerliga fördelningar Parkeringsplatsproblemet
Läs merUppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund tel. 073 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs mer2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder
Läs mer