Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, 2012/13

Transkript

1 Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, /3 Här betyder θ Heavisidefunktionen, även betecknad H eller χ (,. Om E är en mängd, är χ E (x den karakteristiska funktionen för E, alltså den funktion som är då x E och annars.. Funktionen f(x är -periodisk, och f(x = (x + för < x <. Utveckla f(x i komplex trigonometrisk Fourierserie. Sök en -periodisk lösning till ekvationen y y y = f(x.. Funktionen f(t är 3-periodisk, och f(t = t för t, för < t <, 3 t för t 3. Bestäm, i form av en trigonometrisk Fourierserie, en periodisk lösning till differentialekvationen y + 3y = f(t. 3. Utveckla funktionen cos x i sinusserie på intervallet (, π. Använd resultatet för att beräkna n= n (4n. 4. Låt f(t = t för t och låt f vara -periodisk. Bestäm en begränsad lösning till u t = u, x x >, < t <, u(, t = f(t, < t <. 5. Lös Laplaces ekvation u = u rr + r u r + r u θθ = i cirkelringen < r < (polära koordinater med randvillkoren u(, θ =, u(, θ = f(θ, där f(θ är π-periodisk, och f(θ = θ π för θ π. 6. Fouriertransformera t a (t + a, b (t + a, c t (t + (t + t + 5, d e a t sin bt (a >, b >. 7. Funktionen f(t har Fouriertransformen ˆf(ω = ω +ω. Beräkna 4 a tf(tdt, b f (. 8. Funktionen f(t har Fouriertransformen iω + iω 9. Beräkna sin x x(x dx med hjälp av Fouriertransform. +. Funktionen f(t har Fouriertransformen sin ω ω. Beräkna f(t dt. ω 3 +. Beräkna f f dt, där betyder faltning.

2 . Ange Fouriertransformen till funktionen f(t = Beräkna a f(t cos tdt, b f(t dt.. Låt f(t = 3. Bestäm en lösning till ekvationen 4. Lös integralekvationen ωe ω cos ωtdω. Beräkna f (t dt. 5. Bestäm en lösning till ekvationen u (t + u(t + e t t ω + ω eiωt dω. e τ u(τdτ = δ(t. e τ u(t τdτ e τ u(t τdτ = 3u(t e t. t u(t + e τ t u(τdτ = e t. 6. För ett linjärt, tidsinvariant system gäller att insignalen + t ger upphov till utsignalen t (4 + t. Beräkna impulssvaret och svaret på cos ωt. Är systemet kausalt? Är det stabilt? 7. Ett linjärt, tidsinvariant system har impulssvaret h(t = e 4t. Låt y(t vara svaret på insignalen e t. Beräkna e it h(ty(tdt. 8. För ett linjärt, tidsinvariant system gäller att insignalen 4 + t ger upphov till utsignalen. Beräkna e t utsignalen (i form av en komplex Fourierserie, då insignalen är impulståget [δ(t n δ(t n ]. n= 9. Låt x(n vara N-periodisk, och, då n k, x(n =, då k n N. Beräkna den diskreta Fouriertransformen av x och använd Parsevals formel för att beräkna N µ= cos πµk N cos πµ N. Bestäm den diskreta Fouriertransformen till signalen (sekvensen x(n = sin nπ N, x(n N-periodisk.. Visa att funktionerna ϕ n (x = sin x πx einx är parvis ortogonala i L (R. Bestäm talen c n så att N + x n= N minimeras. Är ortogonalsystemet (ϕ n n Z fullständigt?. c n ϕ n (x dx n =,..., N, och

3 . Bestäm den lösning y(x till y y = som minimerar [ + x y(x] dx. 3. Bestäm samtliga egenvärden och egenfunktioner till Sturm-Liouville-problemet f + λf =, < x < a, f( f ( =, f(a + f (a =. 4. Bestäm samtliga egenvärden och egenfunktioner till Sturm-Liouville-problemet e 4x d ( 4x du e = λu, < x <, dx dx u( =, u ( =. Utveckla funktionen e x i Fourierserie m.a.p. egenfunktionerna. 5. Lös problemet u x + u = y, y < x <, < y <, u(x, =, u(x, =, u(, y = y y 3, u(, y =. 6. Lös problemet u + t x = u, t < x <, t >, u(, t =, u(, t =, u(x, = x. 7. Lös problemet u xx + u yy + u =, < x <, < y <, u(, y = u(, y =, u(x, =, u(x, = x x. 8. Lös problemet u t u = t sin x, < x <, t >, x u(, t = u(, t =, u(x, = sin πx. 9. Lös problemet u t = u, < x <, t >, x u(, t = t +, u(, t =, u(x, = x. 3. Lös Laplaces ekvation u = i området < θ < π, < r <, (polära koordinater i planet med 4 randvillkoren u = för r =, u r = för r =, u = för θ =, u = r för θ = π Utveckla funktionen sin( sin x i trigonometrisk Fourierserie (reell form. 3

4 3. Ett cirkulärt membran med radie a påverkas av en periodisk yttre kraft q sin ωt likformigt fördelad över membranet. För de transversella svängningarna har vi alltså ekvationen u c u t = q S sin ωt, u r=a=. Bestäm den stationära svängningsrörelsen (dvs. en lösning av formen u(r, t = v(r sin ωt. Vilka är resonans(vinkelfrekvenserna? 33. Lös värmeledningsekvationen u t = u u i en cylinder med radien b. Ändytorna är isolerade, medan mantelytan r = b (cylinderkoordinater lyder avsvalningslagen u + u r =. Begynnelsetemperaturen är u t= = r = x + y. 34. a Bestäm en begränsad lösning av formen u(r, t = v(re iωt till ekvationen u t = ( r r u(a, t = e iωt, r u r n u, < r < a, r där n är ett heltal. För vilka värden på ω > finns en sådan lösning? b Låt ω vara sådant att lösningen i a existerar. Visa hur den kan användas för att lösa u t = ( r u n u, < r < a, t >, r r r r u(a, t = sin ωt, u begränsad, u(r, =, u t (r, =. Evenutellt förekommande integraler behöver inte beräknas. 35. Lös Laplaces ekvation u = i cylindern r = x + y < R, < z < L, då u = för z = och z = L, och u = sin πz πz L ( cos L för r = R. 36. Bestäm det polynom P (x av högst andra graden som gör integralen [ x P (x] e x dx så liten som möjligt. 37. Bestäm det polynom P (x av högst andra graden som gör integralen [x 4 P (x] e x / dx så liten som möjligt. 38. Bestäm det polynom P (x av högst andra graden som gör integralen [e x/4 P (x] xe x dx så liten som möjligt. 39. Bestäm det polynom av formen P (x = x 3 + ax + bx + c för vilket 4. Visa att [P (x] dx är så litet som möjligt. xp m (xdx = 3 ( 3/. Vad blir m + xp m+ (xdx? 4. Beräkna, t.ex. med hjälp av den genererande funktionen, H n(, där H n är Hermites polynom. 4. Visa följande formel för Laguerrepolynomen L α n(x, där α > : Ledning: Använd den genererande funktionen. d dx Lα n+(x = L α+ n (x. 43. Lös Laplaces ekvation u = i området x + y + z < R med randvillkoret u = z(x + y då x + y + z = R. 4

5 44. Lös Laplaces ekvation u = i området < a < r < b (sfäriska koordinater med randvillkoren u = + cos θ, då r = a, u = cos θ, då r = b. 45. Sök en begränsad lösning till u t = ku xx, < x <, t >, u(x, = ( x e x, < x <. 46. Lös problemet u xx + u yy = x, < x <, < y <, u x(, y =, u(, y = ye y. 47. Låt f tillhöra L (R och sök en lösning till u x + u =, < x <, < y < a, y u(x, =, u(x, a = f(x. Visa att u(x, y dx f(x dx. 48. Bestäm en periodisk lösning till ekvationen y y + y = f (t, där för < t, f(t = t för < t <, och f är periodisk med period. (Med f (t avses distributionsderivatan. 49. Om funktionen f gäller att för < t <, f(t = för < t < 3, och att f(t är 3-periodisk. Bestäm f (t (distributionsderivatan och utveckla f (t i komplex triogonometrisk Fourierserie. Använd resultatet för att beräkna Fourierserieutvecklingen av f(t. 5. Beräkna följande funktion (dvs beräkna summan och uttryck den m.h.a. kända funktioner f(θ = sin(n θ (n 3 5. Beräkna den komplexa Fourierserien till den π-periodiska funktion f(x som är lika med x(x π i [ π, π]. Vad är seriens summa i punkterna π och 3π/? 5. Lös problemet u xx + = 4 u tt, < x <, t > u(, t =, u(x, = x x, u(, t =, u t (x, = x = r cos φ sin θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos θ 5

6 53. Lös följande Dirichletproblem på enhetsskivan 54. Låt u xx + u yy =, r = x + y < med u = f på randen r =, där f är funktionen f(θ = sin θ + cos θ (i polära koordinater Q n (x = dn dx n (xn ( x n, n =,,,.... Q n är ett polynom av grad n. (a Bestäm den ledande termen och den konstanta termen i Q n (x. (b Bestäm normen Q n av Q n (x i L (,. (c Bevisa att Q n (x och Q m (x är ortogonala i L (, om n m. 55. Funktionen f(x är kontinuerlig och har Fouriertransformen f(ξ = ln(+ξ ξ. Bestäm f( och f(xdx 56. Bestäm lösningen f(t, t >, till ekvationen med begynnelsevillkor f( =, f ( =. f (t 4f (t + f(t + 6 t f(τdτ = e t 57. Låt u(x, t vara lösningen til begynnelsevärdesproblemet u tt = c u xx, t >, < x < π u(, t = u(π, t =, u(x, =, u t (x, = g(x Bevisa att för t >, π u t (x, t dx (Ledning: Lös uppgiften med variabelseparation. 58. För vilka k kan Du garantera f C (k, där π g(x dx. (a f(θ = (b f(θ = cos(nθ 3 n cos( n θ 3 n 59. Bestäm den elektrostatiska potentialen ϕ(x, y i området D = {(x, y : < x <, < y < π}, om potentialen på randen är, om y =, och x <, ϕ(x, y =, om y =, och x >,, om y = π. 6. Undersök hur avbildningen w = i( z +z avbildar enhetscirkeln z = respektive cikelskivan z <. Använd resultatet för att bestämma den elektrostatiska potentialn ϕ(x, y, (z = x + iy i enhetscirkelskivan z < med randvärdena P, om z =, x >, y >, ϕ(x, y =, om z =, x <, eller y <. 6

7 6. Låt T vara triangelområdet med hörn i, och + i. Bestäm bilden av T under avbildningen w = z z. 6. Bestäm den elektrostatiska potentialen ϕ(x, y i området D = {(x, y : < y < x} om potentialen på randen är α, (x, y D, x + y > r, ϕ(x, y = β, (x, y D, x + y r. 63. Sök en harmonisk funktion ϕ(x, y i området mellan hyperblerna x y = och x y = 4 med randvärden ϕ(x, y = xy på x y = och ϕ(x, y = 4xy på x y = Låt Ω vara området mellan cirkeln x + (y = och x-axeln. Betrakta potentialproblemet ϕ x + ϕ y =, i Ω, ϕ =, på x-axeln, ϕ =, på cirkeln x + (y =. Låt z = x + iy. a Visa att avbildningen w = z i 3 z+i avbildar Ω på området mellan två cirklar (vilka?. 3 b Lös därefter potentialproblemet. 65. För ett linjärt tidsinvariant system ger insignalen θ(te t upphov till utsignalen t θ(te 3t. Vad blir utsignalen y(t om insignalen x(t är π-periodisk och x(t = t för < t < π? Ange y(t i form av en komplex Fourierserie. 66. a Använd definitionen av faltning för att beräkna F = f f, där f = χ ( a,a för något a >. Man kan här ha hjälp av en enkel, endimensionell figur. Rita också grafen för F. b Vad är Fouriertransformen av denna faltning? 67. Bestäm Fouriertransformen av karakteristiska funktionen för intervallet (a, b, både genom direkt beräkning och via det kända fallet ( a, a. Varning: Att se denna funktion som skillnaden mellan två translat av Heavisidefunktionen, vars Fouriertransform går att hitta i tabell, leder till ett betydligt trassligare uttryck. 7

8 Svar. f(x = π. y(t = 9 3. cos x = 8 π n= n= 4. u(x, t = ln ln r + π n= n ( n ( + inπ n e inπx, y = π 3( cos nπ 3 nπt π n (3 4 cos 9 n π 3 n 4n sin nx ( n= < x < π π. Summan blir 64. 4( n n π e ( nπ nπ x cos nπt x n= n 6. a iπ a ωe a ω b ( n+ n ( n n (rn r n e inθ π ( + a ω e a ω a3 c π e ω ( isgnω π e ω e iω( 3 isgnω 4iabω d (ω + bω + a + b (ω bω + a + b i 7. a i b π( e n= n. 9π π ω. ˆf(ω = + ω för < ω <, för övrigt. a π (, b π ln 3 3 π. 8 (e + 3. θ(te t cos t 4. u(t = e t/ 3 θ(t + e 3t ( θ(t e t te t θ(t ( n ( + inπ n (n π + inπ + einπx 6. h(t = t π ( + t ; x(t = cos ωt ger y(t = ω 4 e ω sin ωt; ej kausalt men stabilt π 6 e 5/96 [ π ( n] e n π /8+ n π e inπt n= 9. summan blir k(n k.. X(µ = N n= x(ne πiµn/n = cos µπ N sin π N cos π N 8

9 π(e e e n för n. c n = π( e för n =. Systemet är ej fullständigt.. sinh sinh + cosh x + e sinh x sinh 3. Egenvärden: λ k = ν k, där ν k är de positiva rötterna till ekvationen tan νa = 3ν ν. Egenfunktioner: ν k cos ν k x + sin ν k x. 4. λ = 4 β, där β är den positiva roten till ekv. tanh β = β ; u (x = e x sinh β x λ n = 4 + βn, där β n, n =, 3,..., är de positiva rötterna till ekv. tan β = β ; u n(x = e x sin β n x e x λ N [ λ n + ( n ] = u n (x β n (λ n n= 5. u(x, y = 6 (y3 y + π 3 6. u(x, t = x + 8 π 3 k= n= ( n n 3 (sinh nπx + 7 sinh nπ( x sin nπy sinh nπ (k + 3 e 3 (k+ π [(+t 3/ ] sin(k + πx 7. u(x, y = 8 π 3 sin πxsin( π y sin π 8 (k + π π 3 sin(k + πxsinh( y (k + 3 sinh (k + π k= 8. u(x, t = e 4πt sin πx + π sin u(r, θ = n= 3. sin( sin x = 3. qc Sω ( ( ωr J c J ( ωa c ( n n [ t n π n π n 4 ( e n π4 n= u(x, t = (t + ( x + n= n 3 π 3 (e n π t sin nπx = π t ] = (t + ( x + x 4 x 6 x3 + n 3 π 3 e n π t sin nπx [(n + π ln ( n ] (n + π[(n + ( π ln + ] J k+ ( sin(k + x k= sin ωt. n= sinh(n + πθ ln sinh(n + sin(n + ln r π π ln 4 ln Resonansfrekvenserna är c a α,n, där α,n, n =,,..., är J :s positiva nollställen. 33. u(r, t = k= 8b [( + b α k b] α k (4α k + b J (α k e ( 34. a v(r = J n(ωr J n (ωa om J n(ωa. α k b sin nπx t ( αk r J, där α k är de pos.rötterna till J (α+ b b αj (α =. 9

10 b u(r, t = J n(ωr J n (ωa sin ωt + k= a k sin α kt a J N ω a k = aα k [J n+ (α k ] J n (ωa a 35. u(r, z = I ( πr L πz I ( πr sin L L I ( πr L πz I ( πr sin L L π (3 + 6x x 37. 3(x (x x 3 3 x x ( αk r, där α k är de positiva nollställena till J n (x, och a ( ( αk r ωa J n (ωrj n rdr = a (ω a αk J n+(α k 4. Med udda index m + blir integralen /3 för m = och för övriga m. 4. H k ( =, H k+ ( = ( k (k+! k!, k =,, u = 5 R z (x + y + z z z 3 ( 4ab ( 44. u(r, θ = 3(b a r 3a b + a b 3 b 3 a 3 r r cos θ + b 3 + (r 3(b 5 a 5 a5 r 3 (3 cos θ 45. u(x, t = 4kt + x (4kt u(x, y = 6 (x3 + 4 π x e 4kt+ 5/ η cosh ηx ( + η sin ηydη cosh η 47. Tips: Genom att Fouriertransformera i x-variabeln får man att lösningens Fouriertransform ges av sinh ξy û(ξ, y = sinh ξa ˆf(ξ. Använd nu Plancherels sats för att få den sökta olikheten. Lösningen kan skrivas som u(x, y = sin πy a f(tdt. a 48. y(t = 49. f (t = n= n f(t = 3 + n= cosh π(x t a + cos πy a nπ i( ( n nπ(n π + inπ einπt n= n [δ(t 3n δ(t 3n] = e in π 3 e in π 3 t inπ n= n π (e in 3 e in π 3 t 3 5. f(θ = π 4 ( θ π θ, om θ > och f(θ = f( θ om θ >. 5. ( n sin(nx n= n. resp π3. 5. u(x, t = x + 6 π k= (k+ cos((k + πt sin( (k+π 3 x

11 53. u(x, y = (y x + x + eller u(r, θ = r cos θ + r cos θ + (i polärkoordinater. 54. (a ledande termen är ( n (n(n... (n +, konstanta termen är n! (b n!/ n f( =, f(xdx =. 56. f(t = et + e t (a alla k (b k 59. ϕ(x, y = π arccot ex cos y sin y. 6. ϕ(x, y = P π arccot ( x +( y x y. 6. Bildområdet är: {w = (u, v : u, v, (u + + (v }. ] 6. ϕ(x, y = α + α β π [arccot (x y 4x y +r 4 4xy(x y arccot (x y 4x y r 4 4xy(x y. 63. ϕ(x, y = 3 xy(x y a Det sammanhängande området Ω avbildas på området mellan de koncentriska cirklarna w = och w = 3. b ϕ(x, y = ln( ln x +(y 3 3 x +(y y(t = 4π 7 + i( + in n(3 + in 3. n 66. a F (x = a x om x < a, annars b ˆF (ξ = 4 sin aξ ξ. 67. e iaξ e ibξ iξ eller i(a+bξ/ sin(b aξ/ e, som är samma sak. ξ