Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan

Transkript

1 Bästa skottläge på en fotbollsplan längs långsidan Frågeställningen lyder: Vad är det bästa skottläget? för en spelare som befinner sig på en rak linje på en fotbollsplan. Det är alltså en vinkel som söks, vinkel α. På figuren så finns det olika mått, sträckan x är den som spelaren befinner sig på. Sen finns olika mått tagna ur Geogebra vilket kommer redovisas lite mer längre ner. Det bästa skottläget fås med det högsta gradtalet på vinkeln α, detta är då d 20. Det kommer sedan vara olika värden på d som kommer beskrivas mer sedan men att få ett

2 lätt och bra sätt att redovisa tankar och metoder på så håller jag mig till ett d värde och sedan tar andra. Lösningar som användes För att få fram vinkeln α så användes olika metoder, dessa var: algebraisk lösning, genom programmet Geogebra samt geometriskt. Dessa olika metoder kommer redovisas nedan. Geogebra Genom att använda sig av ett mycket bra program så kan man rita upp en figur som är väldigt exakt. En figur och olika glidare för att få spelaren att röra på sig, samt en glidare till så att avståndet d varieras, har använts.

3 Som ses på figuren så finns det vinkeln α som varieras. I detta fall står den på maxvärdet Genom att spåra spelaren så fås ett maximum på en kurva som ritas upp i Graphics 2. Detta gör det mycket enkelt att se de aktuella maxvärdet. Detta är då kurvan som ritas upp när man spårar spelaren, S. Som man kan se så blir det mycket enkelt att se maxvärdet där kurvan är som böjd uppåt, där det en maximipunkt. Sedan för att få värdena ännu lite mer självklara så kan man koppla en tabell till grafen och figuren som jag tidigare nämnt. Detta gör så att jag exakt kan se värdena på α och x.

4 Som man kan se så är vinkeln α max när vi har ett maxvärde på x som är i detta fall när (d 20) Genom att ta olika värden på avståndet mellan spelaren och långsidan så fås olika värden på vinkeln. Genom att tillexempel ta 15m som ett avstånd så blir värdet på vinkeln Avståndet 25m får en vinkel på Med detta facit ses då att ju närmare stolpen man kommer så blir värdet på vinkeln högre.

5 Detta har varit en bra metod men väldigt liten felmarginal eftersom tabellen hjälper till otroligt mycket när det gäller avläsning. De som kunde gått fel är att inte göra figuren rätt från början, då skulle det bli kaos eftersom hela uppgiften bygger på figuren. Geometrisk lösning Denna metod är mer intressant än praktiska metoder, så den utvecklades med eget arbete vilket gav ett ganska bra resultat. Med hjälp av en bild ritad i Geogebra så blev denna uppgift rätt lätt att tolka samt lättare att lösa. Uppgiften löstes på följande sätt: i För att lösa denna uppgift enligt figuren så finns det två vinklar, vinkeln CFD och CSD, då kan vi använda oss av randvinkelsatsen. Enligt randvinkelsatsen är vinkeln CFD dubbelt så stor som vinkeln CSD. CGF är en rätvinklig triangel med hypotenusan r samt kateterna x och a/2. Om vi tar en till på radien så ser vi att r d + a/2. Detta ger att x (d 2 + ad). Enligt Pytagorassats så blir x 2 r 2 a 2 /4. Skottvinkeln v CFD/2. På grund av att tan v (a/2)/x a/(2 (d 2 + ad)), varav v arctan a/(2 (d 2 + ad)).

6 Algebraisk metod Denna metod var nödvändig för att få bekräftelse från Geogebra-metoden. Värden från Geogebra-lösningen kunde tas och sättas in istället för variabler. Detta funkade på ett väldigt bra sätt. Det är väldigt känsligt just detta problem när det gäller decimaler. Om man avrundar lite kan man få väldigt mycket fel så det är viktigt att vara exakt.. För att få maximalt värde på α så måste vi derivera och sätta f (x) 0. Deriveringen sker med avseende på x. ii Dessa olika metoder är väldigt olika varandra men även väldigt lika, alla har begränsningar. T.ex. Geogebra metoden har sina begränsningar då man kan göra personliga fel, t.ex. göra figuren fel från början, det räcker med ett litet fel. Men den är även den mest gedigna metoden samt den mest pålitliga eftersom den räknar väldigt exakt med hjälp av tabellen. Samma begränsningar finns på den geometriska metoden då ett enda litet fel på själva figuren kan bli väldigt fel. Den algebraiska metoden är den mest riskabla eftersom man bara har sig själv att lita på, och det ska man självfallet göra men det kan bli problematiskt om man inte klarar alla steg. Om man tillexempel förenklar fel eller glömmer någon liten regel så kan det bli helt fel.

7 Källor i ii Wolfram Alpha - Inmatat: Derivate Datum: ( )