Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Transkript

1 Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor v till l är givna. En punkt P ligger på linjen l endast om vektorn P0 P är parallell med v, då det finns ett tal t sådant att Eftersom P0 P = OP OP 0, där ligger P på l om och endast om det finns ett t, sådant att P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så OP = OP 0 t v. Detta är linjens ekvation på vektorform. Om OP 0 = r 0 och OP = r så skriver vi r = r 0 +t v En linjes ekvation skrivs oftast i denna framställning på parameterform x = x 0 +αt y = y 0 +βt z = z 0 +γt Här är förstås P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) en punkt på linjen och v = (α,β,γ) en riktningsvektor till linjen. Två andra möjligheter att skriva linjens ekvation på parameterform och (x,y,z) = (x 0,y 0,z 0 )+t(α,β,γ) P = P 0 +t v Dessutom finns en parameterfri form, att skriva linjens ekvation på. Om vi startar med parameterformen från ovan och löser ut t i de tre ekvationerna får vi x = x 0 +αt t = x x 0 α y = y 0 +βt t = y y 0 β z = z 0 +γt t = z z 0 γ Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Vi kan nu få bort parametern t helt och hållet genom att skriva x x 0 α = y y 0 β = z z 0 γ Vi antar att ingen av komponenterna i v är 0. Exempel Exempel 1. En linje går genom punkten P = (,4,1) och är parallell med (har riktningsvektorn) v = (1,, 1). Bestäm linjens ekvation på vektorform och parameterform. Vi kan nu skriva linjens ekvation på vektorform, r = r 0 +t v, r = (,4,1) +(1,, 1)t = (+t,4+t,1 t) För varje värde på t får vi en ortsvektor r. För till exempel t = 1 blir r = (3, 6, 0). Ur detta förstår vi att punkten P = (3,6,0) ligger på linjen Samma linje återgiven, nu på parameterform x = +t y = 4+t z = 1 t För varje värde på t får vi en ny uppsättning värden på x, y, z, en ny punkt på linjen. Exempel. Ange ekvationen för den linje L i rummet som går genom punkterna P 1 = (3,8,1) och P = (4,1,7). Svara på a) parameterform b) parameterfri form Först a) L = (3,8,1) +((4,1,7) (3,8,1))t = (3,8,1) +(1, 7,6)t = (3+t,8 7t,1+6t) eller med detta utseende x = 3+t y = 8 7t z = 1+6t Sedan b) Med utgångspunkt från resultatet i a) eliminerar vi t för att få L på parameterfri form ger x = 3+t t = x 3 y = 8 7t t = y 8 7 z = 1+6t t = z 1 6 x 3 = y 8 7 = z 1 6 Håkan Strömberg KTH Syd

3 Exempel 3. Bestäm skärningspunkten mellan linjen x +5 = y 5 = z och sfären x + y +z = 75 Sfärens ekvation nämns inte förrän på sidan 103 i boken. Men nu spelar det egentligen ingen roll vilken yta ekvationen ovan beskriver. Vi ska försöka finna en eller flera punkter P = (x,y,z), som samtidigt satisfierar de båda ekvationerna. Det är lättare att lösa problemet om vi har linjens ekvation på parameterform. Vi går alltså i andra riktningen denna gång och får x+5 = t; x = 5+t y 5 = t; y = 5+t z = t; z = t I alla skärningspunkter uppfyller linjen, sfärens ekvation och vi får därför: x +y +z = 7 ( 5+t) +(5+t) +( t ) = 75 5+t 10t+5+t +10t+ t 4 = t = 5 t = t = ± 10 3 För t = ± 10 3 i linjens ekvation på parameterform erhåller vi de två punkter P 1 och P som samtidigt ligger på sfärens yta P 1 = P = ( ( , , 3 ) , , 3 = ) ( 5 3, 5 3, 5 ) 3 ( = 5 3, 5 ) 3, 5 3 Exempel 4. Ange på komponentform vektorn med begynnelsepunkt i ( 1, 1) och slutpunkt i (7,5). P 1 = ( 1,1) och P = (7,5) ger v = (7 ( 1),5 1) = (8,4) Exempel 5. Ange på komponentform vektorn med begynnelsepunkt i ( 1, 1) och slutpunkt i (a,b). P 1 = ( 1,1) och P = (a,b) ger v = (a ( 1),b 1) = (a+1,b 1) Exempel 6. Bestäm vektorn 3 u v då u = (,3) och v = (5,4). 3 u v ger 3(,3) (5,4) = (6,9) (10,8) = ( 4,1) Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Exempel 7. Vilket geometrisk samband gäller mellan u och v om u + v = u+v Vi utför beräkningarna i planet. v = (v 1,v ) och u = (u 1,u ). Eftersom v = v 1 +v så är v = v 1 + v. Motsvarande gäller för u. Eftersom v + u = (v 1 + u 1,v + u ) är v+ u = (v 1 +u 1 ) +(v +u ). När är nu v 1 +v +u 1 +u = (v 1 +u 1 ) +(v +u ) Om vi utvecklar parenteserna och reducerar uttrycket får vi (u 1 v 1 +u v ) = 0 Detta är kravet för att villkoret ska vara sant. För att klara detta behöver man känna till skalärprodukten som vi återkommer till i nästa föreläsning. Exempel 8. KS Avgör om punkterna ( 1,, 1), (8, 1, 7) och (5,0, 5) ligger på samma linje. Med hjälp av två punkter kan vi bestämma ekvationen för den linje som går genom dessa punkter. Vi kan sedan kontrollera om den tredje punkten ligger på denna linje. Vi väljer de två första punkterna och får en riktningsvektor genom (8, 1, 7) ( 1,, 1) = (9, 3, 6). Nu kan vi skriva ned linjens ekvation x = 8+9t y = 1 3t z = 7 6t Nu över till den tredje punkten. Om den ligger på linjen ovan, så finns det ett t så att 5 = 8+9t ger t = 1 3. Sätter vi så in t = 1 3 för y- och z-koordinaten ska vi få de andra två koordinaterna för den tredje punkten. y = 1 3 ( 1 3 ) = 0. Ser bra ut! En test kvar. z = 7 6 ( 1 3 ) = 5. Stämmer också och nu vet vi att att den tredje punkten ligger på samma linje som de två andra. Exempel 9. Bestäm a så att linjerna x = 1+t y = t z = 3+t skär varandra i punkten (,1,4). x = s y = 1 z = a+s Vi väljer ut uttrycken för x och y och bildar ekvationssystemet { 1+t = s t = 1 Vi ser enkelt att t = 1 och s =. Eftersom linjerna ska skära varandra i (,1,4) måste z = a+s vara 4 = a+( ) vilket ger svaret a = 6. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 1 Beräkna (3, 4) Ange på parameterform ekvationen för x-axeln i rummet. 3 Hur ska man ta reda på om dessa två ekvationer beskriver samma linje? l 1 = (1 t, 4t,3 6t) 1 = (3+t,6+4t,9+6t) 4 Ange en riktningsvektor till linjen som här ges på parameterfri form 3x = y+1 = z 5 Skriv linjen (x,y,z) = (1,0, 1)+t(,0,1) på parameterfri form. Läxa a) En positionsvektor pekar ut en punkt i rummet. Här har vi två punkter. Genom dessa punkter går exakt en linje. Det finns oändligt många vektorer parallella en linje. En av dessa är (4,5,6) (1,,3) = (3,3,3) Läxa. 4.5 b) För en punkt och en riktningsvektor kan vi skriva linjens ekvation som till exempel (1+3t,+3t,3+3t) eller (4+s,5+s,6+s) I det första fallet har vi valt punkten (1,,3) och riktningsvektorn (3,3,3). I det andra fallet har vi valt punkten (4,5,6) och riktningsvektorn (1,1,1). Eftersom 3(1,1,1) = (3,3,3) så förstår vi att båda riktningsvektorerna har samma riktning. Vi inser att det finns oändligt många sätt att beskriva en linje i rummet. Ofta skriver vi ekvationen x = 4+s y = 5+s z = 6+s Läxa c) Om man löser ut s ur det sista uttrycket ovan får man I bokens svar står x 4 = y 5 = z 6 x 1 = y = z 3 Detta är ett sätt att presentera linjens ekvation, som jag tycker att vi ska undvika. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Läxa Vi skriver ned de två linjernas ekvationer x = 1+t y = +t z = 1+t x = 1+4s y = +6s z = 3 3s Vi kan nu till exempel välja ut uttrycken för x och y i de båda ekvationerna och sätta dem lika. Vi får { 1+t = 1+4s Vi skriver det lite enklare +t = +6s { t 4s = t 6s = 4 Ekvationssystemet löses enklast genom att lösa uttiden första ekvationen t = 4s = s 1 och substituera detta uttryck i andra ekvationen (s 1) 6s = 4 som ger s = 1, som sätts in i första ekvationen och ger t = 1. Dessa två värden kan vi nu sätta in i en av linjernas ekvationer och få (3,4,0), vilken vi än väljer. Detta betyder att de två linjerna skär varandra i punkten (3,4,0) Vi löser läxa 4 with(geom3d); point(p1,1,,-1); v1:= [,,1]; line(l1,[p1,v1]); point(p,-1,-,3); v:=[4,6,-3]; line(l,[p,v]); intersection(p3,l1,l); coordinates(p3); Kommentarer: Här öppnar vi ett bibliotek som kan hantera geometriska begrepp i rummet. Vi definierar punkten p1 Vi definierar en riktningsvektor v1 Med hjälp av en punkt och en vektor kan vi bestämma den linje l1 som går genom punkten p1 och har riktningen v1. På samma sätt definierar vi så linjen l Återstår att bestämma linjernas skärningspunkt med hjälp av funktionen intersection. Resultatet hamnar i punkten p3. Till sist vill vi veta koordinaterna hos p3, (3,4,0) Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Svar till: Finn skeppen Dagens problem: Ett slag under första världskriget Under första världskriget utkämpades ett slag i närheten av ett gammalt slott. En granat förstörde en staty av en riddare med en lans i handen. Detta hände den sista dagen i månaden. Produkten av den dagens datum, månadens nummer, lansens längd uttryckt i hela fot, hälften av åldern på officeren som ledde anfallet och hälften av den tid (uttryckt i år) som statyn befunnit sig utanför slottet är lika med När uppfördes riddarstatyn utanför slottet? = 5 = 5 Detta är ett av oändligt många sätt x = 4711+t y = 0 z = 0 Talet 4711 kan ersättas med vilket tal som helst, lämpligast 0. För varje värde på t får vi en punkt på x-axeln. 3 Om man för den första linjen tar fram två punkter genom att till exempel välja t = 0 respektive t = 1, som ger P 1 = (1,,3) och P = ( 1,, 3) och det visar sig att dessa punkter också finns på den andra linjen är linjerna identiska. Om vi för den andra linjen väljer t = 1 så får vi P 3 = (1,,3) och P 1 = P 3. Väljer vi sedan t = får vi P 4 = ( 1,, 3) och P = P 3. Alltså beskriver de två ekvationerna samma linje. Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 4 Direkt ur formeln får vi x x 0 r 1 = y y 0 r = z z 0 r 3 x = y 1 1 = z 0 1 Skriver vi så linjens ekvation på parameterform får vi l = (0, 1,0) + t( 1 3,1,1). En riktningsvektor är r = ( 1 3,1,1), som vi kan frisera till svaret r = (1,3,3) Kommer man inte ihåg den här vackra formeln från sidan 1 i boken, kan man gå den långa vägen och inför parametern t. 3x = t, y+1 = t, z = t som vi skriver om till x = 0+t 1 3 y = 1+t 1 z = 0+t 1 Vi har åter fått fram riktningsvektorn ( 1 3,1,1) och då är även 3(1 3,1,1) = (1,3,3) en riktningsvektor. 5 Från (x,y,z) = (1,0, 1)+t(,0,1) får vi x = 1+t, y = 0 och z = 1+t och löser ut t, som ger t = x 1 och t = z+1 som till sist ger x 1 = z+1 y finns inte med i den slutliga ekvationen därför att för vilket värde vi än väljer på t så är y = 0. Linjen ligger alltså i xz-planet. Håkan Strömberg 8 KTH Syd