Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Transkript

1 Föreläsning 11 Slumpvandring och Brownsk Rörelse Patrik Zetterberg 11 januari / 1

2 Stokastiska Processer Vi har tidigare sett exempel på olika stokastiska processer: ARIMA - Kontinuerlig process i diskret tid Markovkedja - Diskret process i diskret tid Slumpvandring - Diskret process i diskret tid Vi ska se hur man utifrån slumpvandringsprocessen slutligen definierar en Brownsk Rörelse - en kontinuerlig process i kontinuerlig tid. 2 / 28

3 Slumpvandringsmodellen Vi har hittills modellerat en slumpvandring som: Y t = Y t 1 + a t (1) Värdet idag är lika med gårdagens värde plus en felterm. Som vi såg under föreläsning 7, kan man utveckla (1) så att: Y t = Y 0 + n t=1 där a t N(0, σ 2 a), dvs stokastiska feltermer som är vitt brus. Obs! I fortsättningen kommer vi att beteckna alla tidsserier med X t och inte Y t, precis som i kompendiet. a t 3 / 28

4 Slumpvandring - definition Generellt definieras en slumpvandring som en stokastisk process X 1, X 2,..., X n : n X t = där vi antar att startvärdet för processen X 0 = 0 och där W 1, W 2,..., W t är oberoende stokastiska variabler med samma föredelning. Denna definition överensstämmer med (1) då vi sätter W t = a t och X 0 = 0. t=1 W t 4 / 28

5 Slumpvandring - definition Enligt definitionen för slumpvandringen gäller att: Värdet för processen W t = w t vid tidpunkt t är lika med den kumulativa summan av alla w t Utfallet på W t vid tidpunkten t = n följer markovvillkoret. Dvs, tidigare utfall w 1, w 2,..., w n 2 påverkar inte w n. W t kan därför modelleras som en markovkedja. 5 / 28

6 Slumpvandring - simulering av 50 observationer Diagrammet visar en simulering av en slumpvandring X t = n t=1 W t där W t N(0, 1) och t = 1, 2,..., / 28

7 Slumpvandring - simulering av 50 observationer Diagram över 50 simuleringar av en slumpvandring X t, där t = 50 observationer. Varje simulering ger upphov till en unik realisering. Gemensamt är att de utgår ifrån X 0 = 0. 7 / 28

8 Slumpvandring Som man kan se i diagrammet så är värdet av ungefär hälften av alla realiseringar > X 0 och hälften < X 0 vid varje t. Detta kan generaliseras: Sannolikheten att röra sig upp och ned i processen vid varje t är 50% oavsett X 0. X 0 är endast en referenspunkt (eller förskjutningen) för processen. T.ex. är P(X t = 2 X 0 = 0) detsamma som P(X t = 4 X 0 = 2) 8 / 28

9 Enkel slumpvandring Ett specialfall av en slumpvandring är då W t antingen går upp ett steg eller ned ett steg vid en specifik (diskret) tidpunkt t = n. Detta kallas en enkel slumpvandring och W t antar i detta fall endast värdena ±1 med sannolikheterna: P(W t = 1) = p P(W t = 1) = 1 p = q Vad som är viktigt att komma ihåg är att slumpvandringen X t i sig inte varierar mellan dessa två värden. 9 / 28

10 Exempel på enkel slumpvandring Pär och Pål spelar ett hasardspel mot varandra 10 gånger. Om Pär vinner betalar Pål honom en krona och om Pål vinner betalar Pär honom en krona. Hasardspelet är rättvist då sannolikheterna för vinst vid varje spelomgång är: P(Pär vinner) = P(Pål vinner) = 1 2 Eftersom W t = { 1, 1} vid varje t så kan Pärs totala kapital X t modelleras med en enkel slumpvandring. 10 / 28

11 Exempel på enkel slumpvandring Tabellen visar utfallen W t samt totalt kapital X t för spelets 10 omgångar. Spelomgång Utfall Totalt kapital för Pär / 28

12 Exempel på enkel slumpvandring Totalt kapital för Pär: Enkel slumpvandring Y Time 12 / 28

13 Exempel på enkel slumpvandring Utfallsrummet för X efter 10 omgångar är: X 10 = { 10, 8,..., 8, 10} Men varje utfall inträffar inte med samma sannolikhet: Utfallet för W t vid varje t antar antingen 1 eller -1. Utfallen inträffar med en fast sannolikhet p = 1/2. Det slumpmässiga försöket upprepas n = 10 gånger. Sannolikhetsfördelningen för en enkel slumpvandring under dessa förutsättningar är binomial(n, p). 13 / 28

14 Exempel på enkel slumpvandring Täthetsfunktionen för binomialfördelningen skrivs generellt: ( ) n P(X = x) = p x q n x x Om vi definierar W som antalet gånger Pär vinner en omgång av spelet, kan vi beräkna sannolikheten att Pär vinner precis 2 kronor som: ( ) 10 P(X 10 = 2) =P(W = 6) = = / 28

15 Brownsk Rörelse Om vi för en slumpvandring: Tar kortare och kortare steg av längden 1/ n Minskar tidsintervallen för mätningarna med 1/n tidsenheter kommer slumpvandringen att konvergera mot en stokastisk process som kallas Brownsk Rörelse. I fortsättningen kommer en Brownsk Rörelse att betecknas X (t). 15 / 28

16 Brownsk Rörelse En Brownsk Rörelse är en stokastisk process som har fått sitt namn efter Robert Brown baserat på hans studier av pollen. Brown observerade i mikroskop att pollenpartiklar i vatten rörde sig slumpmässigt trots att dessa uppenbarligen inte var vid liv. Han kunde dock inte förklara orsaken till den slumpmässiga rörelsen. Senare visade Einstein att ett stort antal molekyler (ej synliga i Browns mikroskop) i vätskor och i luft ständigt kolliderar med större partiklar, t.ex. ett pollenkorn. Dessa kollisioner gjorde så att pollenkornen i Browns experiment såg ut att röra sig slumpmässigt. 16 / 28

17 Brownsk Rörelse Eftersom pollenkornen hela tiden förflyttar sig slumpmässigt, t.ex. antingen höger eller vänster, kan rörelserna modelleras som en kontinuerlig enkel slumpvandring, dvs en Brownsk Rörelse. Trots att fenomenet först observerades i naturen, har man på senare tid upptäckt att en mängd ekonomiska och finansiella tidsserier kan modelleras som en Brownsk rörelse. Anledningen är att det på en marknad hela tiden görs kontinuerliga transaktioner vilket förändrar marknadens värde. 17 / 28

18 Brownsk Rörelse - definition En Brownsk rörelse (utan drift) definieras som en process X (t) där: 1 X (0) = 0 2 E(X (t)) = 0 för alla t 3 V (X (t)) = tσ 2 för alla t 4 X (t) är normalfördelade stokastiska variabler X (t) N(0, tσ 2 ) 5 X (t) har oberoende ökningar, dvs. för tidpunkter t 1 t 2 t 3 t 4 gäller oberoende mellan: X (t 2 ) X (t 1 ) och X (t 4 ) X (t 3 ) Processens ökningar kan inte förutspås. Utfallen för en process upp till en viss tidpunkt säger inget om processens fortsatta rörelser. 18 / 28

19 Brownsk Rörelse med drift - definition På liknande sätt har en Brownsk rörelse X (t) med driftterm δ egenskaperna E(X (t)) = tδ för alla t V (X (t)) = tσ 2 för alla t Som för en vanlig Brownsk rörelse så är X (t) normalfördelade stokastiska variabler, nu med fördelningen X (t) N(tδ, tσ 2 ). Dessutom har X (t) oberoende ökningar. 19 / 28

20 Egenskaper för en Brownsk Rörelse Förutom att kunna bestämma väntevärde och varians för ett utfall på den Brownsk Rörelse, kan man även bevisa: Cov(X (t), X (s)) = sσ 2 om s < t Att kovariansen kan definieras på detta sätt gör så att vi lätt kan beräkna egenskaper för linjära kombinationer av X (t) och X (t), t.ex: E(X (t) X (s)) = 0 V (X (t) X (s)) = (t s)σ 2 X (t) X (s) N(0, (t s)σ 2 ) Detta givet att s < t. 20 / 28

21 Att standardisera en Brownsk Rörelse Då en Brownsk rörelse med och utan drift följer en normalfördelning, kan vi beräkna sannolikheter för olika utfall i processen vid specifika tidpunkter. Säg att vi vill hitta sannolikheten att en Brownsk rörelse utan drift i tidpunkt t = n är mindre än ett tal c. Som tidigare är X (0) = 0. Vi söker alltså P(X (n) < c X (0) = 0). Eftersom X (t) N(0, tσ 2 ) är X (t) 0 tσ N(0, 1) Vi kallar X (t) 0 tσ = B(1) så att B(1) N(0, 1). Att standardisera en normalfördelad stokastisk variabel på detta sätt är ett generellt resultat (se s.209 i NCT). 21 / 28

22 Att standardisera en Brownsk Rörelse Givet X (0) = 0 beräknar vi P(X (n) < c) som: ( X (n) 0 P < c 0 ) = P nσ 2 nσ 2 ( B(1) < c ) nσ 2 Om vi skulle veta värdena på c, t och σ skulle vi kunna beräkna sannolikheten. Sätt c = 6, t = 4 och σ = 2: ( X (4) 0 P < c 0 ) ( =P B(1) < 6 ) tσ 2 tσ ( =P B(1) < 6 ) 16 =P(B(1) < 1.5) I tabellen för standard-normalfördelningen tittar vi efter sannolikheten: P(Z < 1.5) = 6.68% 22 / 28

23 Att standardisera en Brownsk Rörelse Om man har en Brownsk rörelse utan drift men med ett annat startvärde än X (0) = 0 kommer processens fördelning att vara: X (t) N((X (0) + 0), tσ 2 ) Skulle vi sätta t.ex X (0) = 2 skulle X (t) N(2, tσ 2 ) Vi söker P(X (n) < c X (2) = 2). 23 / 28

24 Att standardisera en Brownsk Rörelse Givet c = 6, t = 4 och σ = 2 beräknas sannolikheten som: ( X (4) 2 P < c 2 ) ( =P B(1) < 8 ) tσ 2 tσ ( =P B(1) < 8 ) 16 =P(B(1) < 2) =P(Z < 2) = 2.28% 24 / 28

25 Egenskaper för en Brownsk Rörelse Eftersom variansen ökar med tiden, kommer sannolikheten att observera t.ex. P(X (n) < c) bli större då t ökar. Detta är naturligt då antalet realiseringar för processen hela tiden ökar. På så sätt kan X (n) hela tiden anta mer extrema värden. Sätter vi c = 50 kan vi se detta tydligt i diagram 1 på nästa slide. 25 / 28

26 Egenskaper för en Brownsk Rörelse Vi kan se ett exempel på samma tidsserie X (t) men med två olika startvärden, X (0) = 0 och X (0) = 50: Y0=0 Y0=50 y y Time Time Vi kan se att sannolikheter för utfall på processen beror på startvärdet. 26 / 28

27 Att standardisera en Brownsk Rörelse med drift Vi kan också beräkna sannolikheter för en Brownsk Rörelse med driftterm δ. Vi söker P(X (t) < 2). Processens fördelning är X (t) N(tδ, tσ 2 ). Givet δ = 1, t = 4 och σ = 2 samt startvärdet X (0) = 0 får vi att: ( ) ( X (4) tδ 2 tδ P < =P B(1) < 6 ) tσ 2 tσ ( =P B(1) < 6 ) 16 =P(B(1) < 1.5) =P(Z < 1.5) = 6.68% 27 / 28

28 Beräkna moment för en Brownsk Rörelse Vi kan också beräkna momenten för en Brownsk Rörelse om vi vet parametrarnas värden. Beräkna följande för den Brownska Rörelsen med drift på förra sliden: E(X (7)) V (X (7)) Cov(X (7), X (9)) 28 / 28