Finansiell statistik FÖRELÄSNING 11

Transkript

1 Finansiell statistik FÖRELÄSNING 11 Slumpvandring Brownsk rörelse 4 maj :52

2 Pär och Pål Pär och Pål spelar ett hasardspel mot varandra upprepade gånger. Pär vinner = Pål betalar en krona. Pål vinner = Pär betalar en krona. P (Pär vinner) = P (Pål vinner) = 1/2. Spelet rättvist. Låt X i = Pärs sammanlagda vinst efter i spel

3 Enkel slumpvandring En stokastisk process där i varje steg processen antingen går upp ett steg eller ned ett steg kallas enkel slumpvandring. Sannolikheterna för de båda alternativen är en halv. Givet värdet på processen i tidpunkten i, X i, beror inte framtida värden på processens tidigare värden X i 1, X i 2,.... Den enkla slumpvandringen är en Markovkedja.

4 Tio spelomgångar Låt Markovkedjans tillstånd vara antal kronor Pär har i sin plånbok. Spelomgång Utfall Totalt kapital (för Pär)

5 Tio spelomgångar

6 Gambler's ruin Antag att spelaren har ett kapital på x kronor. Motståndaren har ett kapital på b x kronor. Det nns alltså b kronor att spela om. Villkoren för spelet är som Pär och Pål ovan, förutom att vinstsannolikheterna är allmänna: P (spelaren vinner) = p och P (motspelaren vinner) = q, p+q = 1. Spelet fortsätter tills spelarens kapital är 0 (ruin) eller b (triumf). Vad är sannolikheten h(x) att spelaren blir ruinerad då han har x kronor att spela med?

7 Gambler's ruin: lösning Man kan visa att h(x) = ( q p ) x ( ( 1 q p ) b q p ) b, om p q. Dessutom att h(x) = 1 x b, om p = q = 1/2.

8 Gambler's ruin: lösning

9 Exempel Vilket är mest riskabelt? Att spela mot någon som sätter in lika mycket som du själv om (a) x = 10 med vinstchans p = 0.49 (b) x = med vinstchans p = 0.50 Lösning I (a) är b = 20 och formeln ger ruinsannolikheten h(10) = ( ) 10 ( ) ( ) = , 0.49 medan den andra formeln h( ) = = 0.50.

10 Spelarens vinstchans Vi kan även beräkna spelarens vinstchans då han startar med ett kapital på x kronor. Sätt g(x) = P (Pärs kapital är lika med b då han startar med x kronor). Från ovan har vi att g(x) = 1 h(x). Exempel Om x = 10 med vinstchans p = 0.49, vad är vinstchansen? g(10) = 1 h(10) = =

11 En slumpvandring Låt istället P (X = 3) = 0.10 och P (X=-1/3) = När Pär vinner får han 3 kronor. När Pär förlorar betalar han (endast) öre. Men sannolikheten för vinst är (endast) 10%. Sannolikheten för förlust är (väldiga) 90%.

12 Tio spelomgångar med andra vinstchanser Spelomgång Utfall Totalt kapital (för Pär)

13 Tio spelomgångar

14 Fördelningen för varje steg i den enkla slumpvandringen Låt X = processens steg i en viss tidpunkt. I den enkla slumpvandringen hade vi Då blir [se NCT sid 165] P (X = 1) = P (X=-1) = 1/2. E(X ) = ( 1) 1 2 = 0, samt [Alltså blir V (X ) = E(X 2 ). Se NCT sid 166 (4.6)] V (X ) = ( 1)2 1 2 = 1.

15 Fördelningen för varje steg i den (andra) slumpvandringen Låt istället P (X = 3) = 0.10 och P (X=-1/3) = Då har vi samt E(X ) = 3 V (X ) = ( 1 3 ) 9 10 = 0, ( )2 10 = 1.

16 Fördelningen spelar ingen roll - endast momenten Bägge fördelningarna för stegen har samma väntevärde och varians (sammma moment). Om vi i bägge fördelningarna tar kortare och kortare steg av längden 1/ n; med mindre och mindre tidsintervall; i varje 1/n tidsenheter, så då antalet steg n blir stort kommer bägge slumpvandringarna att konvergera mot en stokastisk process som kallas Brownsk rörelse. På sidorna 2-3 i avsnitt 2.2 i del II av kompendiet ger Rolf Larsson en alternativ trolig förklaring till varför slumpvandringar och Brownsk rörelse hänger intimt samman.

17 Brownsk rörelse / Wienerprocessen. Denition Om X (t) är en stokastisk process med nedanstående egenskaper 1 X (0) = 0 2 E(X (t)) = 0 för alla t 3 V (X (t)) = σ 2 t för alla t 4 X (t) är normalfördelad för alla t 5 X (t) har oberoende ökningar, d.v.s för tidpunkter t 1 < t 2 t 3 < t 4 gäller att X (t 2 ) X (t 1 ) och X (t 4 ) X (t 3 ) är oberoende stokastiska variabler. Alternativt, processens ökningar kan inte förutsägas. Om man vet hur förloppet har varit fram till en viss tidpunkt så säger det ingenting om det fortsatta förloppet. För alla t är X (t) N(0, tσ 2 )

18 Brownsk rörelse med drift Om vi ersätter 2 med E(X (t)) = ct har vi Brownsk rörelse med drift. 1 X (0) = 0 2 E(X (t)) = ct för alla t 3 V (X (t)) = σ 2 t för alla t 4 X (t) är normalfördelad för alla t 5 X (t) har oberoende ökningar, d.v.s för tidpunkter t 1 < t 2 t 3 < t 4 gäller att X (t 2 ) X (t 1 ) och X (t 4 ) X (t 3 ) är oberoende stokastiska variabler. För alla t är X (t) N(ct, tσ 2 )

19 Geometrisk brownsk rörelse Om Y (t) är brownsk rörelse med driftkoecient c och varianskoecient σ 2, så kallas processen geometrisk brownsk rörelse. X (t) = e Y (t)

20 Ekvationer, dierentialekvationer och stokastiska dierentialekvationer I EKVATIONER Välbekant. Ekvationen 2x = 4 löses av x = 2 (ett tal). DIFFERENTIALEKVATIONER (Se Sydsæter/Hammond sid. 326.) Låt f (t) beteckna en funktion av tiden. Kvoten f (t) f (t) kallas den relativa förändringshastigheten av funktionen vid tidpunkten t. Ibland tänker man sig att den relativa förändringshastigheten är konstant, d.v.s. f (t) f (t) = r f (t) = rf (t) för alla t. Här söker vi en funktion som uppfyller ekvationen.

21 Ekvationer, dierentialekvationer och stokastiska dierentialekvationer II Funktioner av typen f (t) = Ae rt löser ekvationen, eftersom f (t) = r Ae rt = rf (t). STOKASTISKA DIFFERENTIALEKVATIONER Den stokastiska process S(t) som beskriver priset på ett värdepapper utgör lösningen på en ekvationen av typen ) dx (t) = (µ + σ2 X (t)dt + σx (t)dw (t), 2 där W (t) betecknar en standard brownsk rörelse. Lösningen i detta fall är alltså en stokastisk process. (Annat namn är slumpfunktion).