Problemlösning Lösningar

Transkript

1 Problemlösning Lösningar Lösning Problemlösning. Julpromenaden (2) Vi antar först att sträckan på slät mark är km och att backen är y km lång. Från det kända sambandet får vi t = s/v och kan nu teckna tiden: v = s t 4 + y 3 + y = 6 Vi har en ekvation men två obekanta. Det känns som om problemet är olösligt, men vi ger inte upp så lätt. Efter förenkling kommer vi först fram till 6 + 6y = 72 och sedan till + y = 2 vilket ger oss svaret. 2( + y) = 24. Vi vet nu att hela promenaden var 24 km lång, men hur lång backen var får vi däremot aldrig reda på! Lösning Problemlösning 2. Masksudoku (2) Figur : Lösning Problemlösning 3. Att stjäla en skatt (2) Dog åker ner och kliver ur korgen. 2 Kistan skickas ned och Dog kliver i 3 Adam åker ner och Dog och kistan upp 4 Dog och kistan tas ur och Bertil kliver i 5 Bertil åker ner och Adam upp Håkan Strömberg KTH STH

2 6 Bertil kliver ur och stegen [] till [3] repeteras 7 Adam kliver ur och är nu nere tillsammans med Bertil 8 Dog åker ner och kliver ut 9 Curt åker ner samtidigt som Dog, Bertil och kistan åker upp. 0 Dog och kistan tas ur Bertil åker ner medan Adam åker upp Stegen [] till [3] repeteras igen. 2 Dog kliver av där uppe och Adam där nere 3 Kistan åker ner 4 Dog åker ner Lösning Problemlösning 4. Försenad påskuppgift (2) Figur 2: Lösning Problemlösning 5. Äggröra (2) Från början fanns det 5 gula ägg i påse och gröna ägg i påse 2. Efter den första överflyttningen måste det alltså finnas 4 gula ägg i påse och gröna ägg och gult ägg i påse 2. Efter den andra överflyttningen finns det antingen a) 5 gula ägg i påse och gröna ägg i påse 2, eller b) 4 gula ägg och grönt ägg i påse och gröna ägg och gult ägg i påse 2. Sannolikheten för fall a) är och för fall b) + + Efter den tredje överflyttningen finns det antingen Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 a ) 4 gula ägg i påse och gröna och gult ägg i påse 2, med en sannolikhet av + Observera att äggen måste fördela sig på detta sätt om andra överflyttningen skett enligt a) b ) 4 gula ägg i påse och gröna och gult ägg i påse 2, med en sannolikhet av 5( + ) b 2 ) 3 gula ägg och grönt i påse och gröna och 2 gula ägg i påse 2, med en sannolikhet av 4 5( + ) Om det bara finns gult ägg i påse 2 blir sannolikheten för att man skall få upp ett gröt ägg + Om det finns 2 gula ägg i påse 2 blir sannolikheten för att man skall få upp en gröt ägg + Eftersom dessa båda möjligheter sinsemellan utesluter varandra blir sannolikheten för att man skall få upp en gröt ägg ur påse 2 summan av sannolikheten för att det bara finns gult ägg i påse 2, gånger sannolikheten för att man skall få upp en grönt ägg om så är fallet, plus sannolikheten för att det finns 2 gula ägg i påse 2, gånger sannolikheten för att man skall få upp en gröt ägg om så är fallet, eller ( + + 5( + ) ) + + Detta är en andragradsekvation som ger rötterna 4 5( + ) + = 3 5 = 3 2 = 2 Ursprungligen fanns det 3 gröna ägg i påse 2. Lösning Problemlösning 6. Hur många finns det kvar? (2) Man kan dra på sig åtskilligt med alldeles onödigt arbete i det här problemet om man inte uppmärksammar att både den första och den andra överflyttningen är fullständigt meningslösa annat än för att blanda bort korten. Problemet kan förenklas såsom följer: Om man har 24 kulor, av vilka 8 är blå, 8 röda och 8 gula, hur många måste man då samla på ett ställe om man vill vara säker på att man får minst tre av varje sort? Svaret måste ju självklart bli = 9. Adam lämnade alltså kvar 5 kulor i påse 2. Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Lösning Problemlösning 7. Hinkar (2) Det här problemet handlar om metoden börja från målet. Vad är målet? Att få 6 liter vatten i den stora hinken, den lilla är ju för liten för detta. Vilken situation måste ha föregåtts av den sista? En möjlighet är att den lilla innehåller liter och den stora är full. När vi nu häller över från den stora hinken, ryms det 3 liter till i den lilla och det blir 6 liter kvar i den stora. Vi har nått målet, men hur får vi den lilla hinken att rymma liter? Jo, vi startar med 9 liter i den stora och den lilla tom. Sedan häller vi över från den stora till den lilla och tömmer sedan innehållet i den lilla tillbaka i sjön. Vi har nu 5 liter i den stora medan den lilla är tom. När vi nu åter fyller den lilla från den stora och tömmer ut innehållet i den lilla återstår liter i den stora. Vi häller nu över denna liter till den lilla, fyller den stora igen och häller över så mycket vi kan från den stora till den lilla, återstår 6 liter i den stora! Figur 3: Hällning för hällning Lösning Problemlösning 8. Ture tar en promenad (2) I W talar man alltid sanning, i B talar man bara sanning hälften av gångerna och i R ljuger man alltid. Detta kommer man fram till genom att i tur och ordning anta att folk i var och en av de tre städerna alltid talar sanning. Detta leder till motsägelser i två fall och fram till lösningen i det tredje. Lösning Problemlösning 9. Äggpyramiden (2) Om sidan i den understa kvadraten innehåller n ägg kommer pyramiden att hålla så länge i 2 < 3648n 2 n 57 Med hjälp av Maple kan vi bestämma summan till vänster till ( n n2 2 + n ) 6 Ett uttryck som vi sedan kan använda i en enkel while-loop. i= Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 simplify(sum(i^2, i =.. n-)); n^3/3-n^2/2+n/6 f := proc () local n; n := ; while 57*(n^3/3-n^2/2+n/6)<3648*n^2 do n := n+ end do; return n- end proc Svar: Det högsta tillåtna värdet på n = 93, vilket ger 93 2 = ägg i understa lagret Lösning Problemlösning 0. Lösning Problemlösning. Fotbollsturneringen (2) AIK - Brommapojkarna 0-0 AIK - Djurgården -0 AIK - Hammarby 2-0 Hammarby - Brommapojkarna 0-2 Hammarby - Djurgården 5-0 Djurgården - Brommapojkarna 2-2 Lösning Problemlösning 2. Tappen ur tunnan (2) Vi startar med några antaganden: Tunnan innehåller a liter öl. En student dricker y liter öl/timme. Tunnan läcker z liter öl/timme. Vi använder oss av formeln s = v t och får följande ekvationssystem { a = (8y + z) Systemet har lösningen a = 3 2 (5y + z) y = a 9 z = a 9 Det läcker alltså lika mycket per tidsenhet som en student förmår dricka på samma tid. Genom att lösa ekvationen ( a = t a 9 + a ) 9 får vi t = 3 4 timmar. Håkan Strömberg 5 KTH STH