Problemlösning (3/5) Lösningar

Transkript

1 Problemlösning (3/5) Lösningar Lösning Problemlösning 1. Ture bygger en båt (2) Antag 0 tillhör S: motsägelse för den fjärde, som i så fall talar sanning. Antag 1 tillhör S: I så fall måste det vara den fjärde och då måste den femte tillhöra L. En möjlighet. Antag 2 tillhör S: Då måste den tredje tala sant och dessutom den femte också tillhöra S. En möjlighet. Antag 3 tillhör S: Den förste och den andre tillhör då S tillsammans med den femte. En möjlighet. Antag 4 tillhör S: Detta är förstås omöjligt eftersom minst två av de första fyra måste ljuga. Motsägelser Antag 5 tillhör S: Omöjligt av samma skäl som i punkten ovan. Återstår nu tre möjliga fall. I två av dessa tillhör den femte S. Vilket betyder att om den femte avger ett påstående som leder till att han tillhör S, så kan inte Ture avgöra det hela. Alltså finns det endast en som talar sanning, den fjärde och den femte tillhör L. Lösning Problemlösning 2. Ture bygger en båt (2) Antag att den korte talar sanning. Då måste medel tillhöra A och starta med att tala sanning. men då måste också Torkel vara rätt namn på den store, vilket är en motsägelse. Antag att den medellånga talar sanning. Leder till samma resonemang. Den korte måste då tillhöra A och vi får en motsägelse vad gäller namnet på den långa mannen Återstår så endast att den långa mannen talar sanning. Han heter Ludvig och det påstår också den korte mannen. Alltså måste den korte tillhöra A och börja med att ljuga. Vi ser nu att den meddelånga tillhör L. Allt stämmer! Den korte mannen tillhör A och heter Valdemar. Den medellånga mannen tillhör L och heter Osvald. Den långa mannen heter Ludvig och tillhör S. Lösning Problemlösning 3. Sture möter fyra män (2) Tabellen visar alla tänkbara kombinationer av stamtillhörighet som Adam och Bertil kan ha. A s betyder att han tillhör A och att han här startar med att tala sanning. Om A l, så är första påstående falskt. Resten av raden visar vad detta leder till. Ibland finns två möjligheter av Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 tillhörighet. Talare Stam Adam Bertil Curt David Adam S S L L S Adam A s S S,A L L,A Adam A l L,A L S,A S Adam L L,A S,A S,A L,A Bertil S L S A S Bertil A s L L,A A L,A Bertil A l S,A S L,S S Bertil L S,A L,A L,S L,A Nu gäller det att kombinera Adam och Bertil, så att vi inte får några motsägelser. Om vi till exempel antar att båda talar sanning, så vimlar det av motsägelser. Låter vi Adam tillhöra L och Bertil A l, så kan dessa nästan kombineras. Påståendet om David ger dock en motsägelse. Vi har 16 kombinationer att kontrollera. Av dessa går tre igenom första kontrollen. Nämligen då Adam tillhör A l och Bertil L. Övertyga dig om detta. Men när vi tittar närmare på denna kombination ser vi att den endast fungerar om Adam tillhör S och Bertil A och det är ju tvärt emot antagandet. En annan kombination som fungerar i första steget är att båda tillhör L. Men för att det ska gå att förena dessa påståenden, måste både Adam och Bertil tillhöra A. Även denna kombination leder alltså till motsägelse. Nu finns det bara en chans kvar. Att Adam tillhör L och att Bertil tillhör A s. Detta antagande fungerar hela vägen. Vi vet nu att Adam tillhör L, Bertil A, Curt tillhör A och David A eller L (det kan vi inte avgöra och det har vi heller inte frågat efter). Lösning Problemlösning 4. Stures sista äventyr (2) Det finns 6 möjliga slutresultat och vi ska analysera dem alla. Vi får inte glömma att det finns en från A, en från L och en från S Resultat A B C ABC L L S ACB A L A BAC A L A BCA L A L CAB S A L CBA L S L Genom tabellen kan vi se att det bara finns en lösning. C, från L, vann. A, från S, kom tvåa och B från A kom sist. Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Lösning Problemlösning 5. H 2 0 (2) Figur 1: Lösning Problemlösning 6. Multiple Choice (2) Från de tre rättade skrivningarna kan vi få fram tre olika facit X, Y och Z. Det märkliga är att alla tre ger David 40 poäng Sum X o x o o x x o x x o 100 Y o x x o o x o x x o 100 Z o x x o x x o x o o 100 D x x o x o x x x o x 40 Lösning Problemlösning 7. Sten, Sax, Påse (2) Adam vann med 7 3 Lösning Problemlösning 8. Summa och produkt (3) Det finns bara ett annat sätt att göra detta urval 1,2,4,4,4,5,7,9,9 Lösning Problemlösning 9. Höger ben samtidigt (1) När Adam tagit 6 steg har Bertil tagit 9 och de är för första gången i takt igen. Adams 7:e steg tar han med med vänster ben liksom alla steg med udda ordningsnummer. Bertils 10:e steg tar han med höger ben. När Adam tagit 12 steg har Bertil tagit 18 och de är i takt för andra gången. Båda kommer nu att ta nästa steg med vänster ben och allt ser ut som då promenaden startade. De kommer alltså aldrig att samtidigt ta ett steg med höger ben. Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Lösning Problemlösning 10. De tre lamporna. (2) Slå på strömbrytaren längst till vänster och låt motsvarande lampa lysa i 1 minut. Slå därefter av den strömbrytaren. Slå nu på den mittersta strömbrytaren och gå ned i källaren. Den lampa som lyser är kopplad till den mittersta brytaren, den lampa som är släckt och varm är kopplad till den vänstra brytaren och den kalla och släckta lampan är kopplad till brytaren längst till höger. Lösning Problemlösning 11. Två multiplikationer (2) f[] := Block[{m, i, a, b, c, d, e, f, svar = {}, n}, m = Permutations[Range[9]]; For[i = 1, i <= Length[m], i++, n = m[[i]]; a = 10 n[[1]] + n[[2]]; b = n[[3]]; c = 10 n[[4]] + n[[5]]; d = n[[6]]; e = n[[7]]; f = 10 n[[8]] + n[[9]]; If[a*b == c && d*e == f, AppendTo[svar, {a, b, c, d, e, f}]; ] ]; svar ] Det finns bara en lösning 27 3 = = 54 (eller också 27 3 = = 54 om man är riktigt noggrann). Lösning Problemlösning 12. Far och son (1) Det finns två lösningar. Om det är pappan som fyller år i morgon, så är han 73 idag och sonen 37. Om det är sonen som fyller år i morgon, så är pappan 52 idag och sonen 25 Leder till en diofantisk ekvation. Genom Maple får vi svaret pappa = 10 s1 + s2; son = 10 s2 + s1; Reduce[pappa + 1 == 2 son, Integers] Reduce[pappa == 2 (son + 1), Integers] {s2 = 3 + 8n, s1 = n} {s2 = 2 + 8n, s1 = n} Eftersom s 1,s 2 {0...9} måste vi i båda ekvationerna välja n = 0. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Lösning Problemlösning 13. Pentominoes (2) Här är samtliga 7 lösningar Figur 2: Lösning Problemlösning 14. Heltalskvadrater hela vägen (2) 1 #include <stdio.h> 2 int a[16],s[16]; 3 4 void solve(int nr){ 5 int i; 6 if(nr==15){ 7 for(i=1;i<=15;i++) 8 printf("%d ",s[i]); 9 printf("\n"); 10 } 11 else 12 for(i=1;i<=15;i++) 13 if(!a[i] && (nr==0 (int)(sqrt(i+s[nr]))==sqrt(i+s[nr]))){ 14 s[nr+1]=i; 15 a[i]=1; 16 solve(nr+1); 17 a[i]=0; 18 } 19 } 20 int main(void){ 21 solve(0); 22 } (8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9) (9,7,2,14,11,5,4,12,13,3,6,10,15,1,8) Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Lösning Problemlösning 15. Dålig telefonlinje (3) Om vi börjar med att granska alla sätt på vilka vi kan spendera de 200 kr på dessa speciella typer av frimärken och köpa åtminstone en av varje. så finns det 5 möjligheter: 12kr 14kr 17kr Totalt antal (1) (2) (3) (4) (5) Eftersom det totala antalet frimärken inte var en tillräckligt för att Curt skulle kunna ge svaret kan vi eliminera (1) och (5). Det totala antalet är alltså 14. Om svaret på frågan: Köpte du endast en av någon sort? hade varit ja kunde Curt fortfarande inte ge svaret. Men eftersom han kunde svara måste det ha varit 4 12, 6 14 kr, och 4 17 Håkan Strömberg 6 KTH STH