Dagens Teori. 5.1 Logik. Så här inleds förklaringen av ordet logik i vår Nationalencyklopedi:

Transkript

1 Dagens Teori 5.1 Logik Så här inleds förklaringen av ordet logik i vår Nationalencyklopedi: Logik vid bemärkelse grundläggande principer för en grupp företeelser eller lära om följdriktiga slutledningar inom något område, till exempel kapitalets logik, forskningens logik. Logik som vetenskaplig disciplin har som utgångspunkt studiet av allmängiltiga slutledningar och är i dag en omfattande vetenskap på gränsen mellan filosofi och matematik, vars kärna utgörs av en teori om deduktiv slutledning och andra därmed sammanhängande frågor som har att göra med satsers logiska form. För att markera sistnämnda aspekt omtalas logik i denna bemärkelse ibland som formell logik, men härmed avses alltså inte något annat än logik i vetenskaplig bemärkelse. Tänker man logiskt, tänker man rätt. Tänker man däremot ologiskt, tänker man fel. Logik är alltså läran om konsten att tänka rätt. Deduktiv slutledning kallas det, då man logiskt härleder satser ur allmänna lagar eller axiom och det är just det vi ska titta på här. Definition 1 Satser. För att starta en sådan tankeprocess behöver vi ett eller flera påståenden, som vi kallar satser. Dessa satser måste ha värdet sant eller falskt. Några exempel på satser: Den här texten skrevs 2008 (denna sats är sann) 7 > 3 (satsen är förstås också sann) Jorden är den enda planeten i universum på vilken det finns liv (måste antingen vara sant eller falskt. Även om vi inte vet vilket, är det likväl en sats) AIK är bäst! (om vi inte kan definiera något bestämt mått för hur detta ska avgöras, så är detta inte en sats.) Vår kung heter Karl XII (en falsk sats) Imorgon kommer det att snöa (en sats var värde vi får reda på imorgon) Skynda på! (är ingen sats eftersom meningen varken kan vara sann eller falsk) Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 5.1. LOGIK Definition 2 Satsparametrar. På samma sätt som vi är vana att tilldela numeriska variabler värden som till exempel x=7, kommer vi här att låta små bokstäver, p, q, r och så vidare beteckna satser. Vi kommer att skriva: r: Solen skiner s: Det regnar Därefter kan vi gå vidare med satsparametrarna (variablerna) i vårt resonemang och slipper skriva ut hela satsen varje gång. Satskonnektiv. Först presenterar vi tre välkända satskonnektiv. Ett fint ord för det som vi i programmeringskursen kallade logiska operatorer. Sedan följer tre mindre bekanta satskonnektiv. Definition 3 Konjunktion. Den första av dessa kallas konjunktion, som inte är något annat än and eller och. I C kan man ju skriva a>b && b<c. I så fall är a>b och b<c de två satserna och && vår beteckning för konjunktionen. Här ska vi dock använda beteckningen. Om uttrycket r s är sant betyder det att solen lyser samtidigt som det regnar solregn. Den här sanningstabellen känner vi redan till r s r s S S S S F F F S F F F F Det vill säga det är solregn endast då både solen lyser och det regnar. Definition 4 Disjunktion. Över till nästa satskonnektiv, nämligen till disjunktion, som vi också redan känner till. Vi är vana att kalla den operator för or eller eller och använder oss i programspråket C av beteckningen. Vi förstår nu vad som kallas satser och vad som är satskonnektiv i det logiska uttrycket från C, a>b b<c. Beteckningen vi ska använda i denna kurs är dock. Vad betyder det då om satsen r s är falsk. Med hjälp av sanningstabellen r s r s S S S S F S F S S F F F kommer vi fram till att det varken regnar eller är solsken, en vanlig gråmulen dag kanske. Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Definition 5 Negation. Den tredje av våra satskonnektiv heter i logikens språk negation. Vi förstår omedelbart att det handlar om operatorn vi kallar not eller icke och som vi betecknar! i C. Uttryck som!(a>b) förstår vi redan. Här ska vi använda beteckningen. Sanningstabellen är kort och koncis: r r S F F S Exempel 1 För att bli lite mer förtrogen med de nya beteckningarna definierar vi först några satser och skriver sedan några uttryck att tolka r: Det är vinter s: Det är sommar t: Det snöar u: Solen skiner När är följande uttryck sanna? a) s u b) r t c) s r d) s r e) r t f) u r t a) Det är sommar och sol b) Det är vinter men det snöar inte c) Det är sommar eller vinter d) Alltid falskt eftersom det inte kan vara både sommar och vinter samtidigt e) Det är inte vinter, men det snöar ändå f) Solen skiner fast det snöar och är vinter Så här långt har vi beträtt endast kända marker. Nu över till några nyheter. Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 5.1. LOGIK Definition 6 Implikation. Först implikation, om så. Vi börjar med ett exempel: r: Idag är det söndag s: Imorgon är det måndag Om det är söndag idag, är det måndag i morgon skriver vi r s. Inget annat än en villkorssats kan man tycka. Över till tillhörande sanningstabell Och nu blev det svårt! r s r s S S S S F F F S S F F S Om det är söndag idag, så är det måndag i morgon. Uttrycket r s är sant. Känns OK. Om det är söndag idag, så är det inte måndag i morgon. Uttrycket r s är falskt. Känns också OK. Om det inte är söndag idag, så är det måndag imorgon. Uttrycket r s är sant! Känns inte OK. Om det inte är söndag idag, så är det inte måndag i morgon. Uttrycket r s är sant. Känns OK. Hur ska vi då lyckas förklara den tredje raden i tabellen? Vi tar ett exempel: Exempel 2 Läraren säger till Anna, att om hon klarar tentamen i diskret matematik så kommer hon att vara klar med sin ingenjörsexamen. Vi har två satser: r: Anna klarar tentamen t: Anna godkänns i ingenjörsexemen Om hon klarar tentan så blir det som läraren sagt hon blir godkänd i ingenjörsexamen. Om r är sann och t är sann ger det att r t blir sann, allt enligt tabellen. Om r är sann och t är falsk, så ger det att r t blir falsk. Detta är alltså omöjligt om läraren ska hålla sitt löfte. Men om hon däremot inte klarar tentan, vad är det då som gäller? Läraren har egentligen inte sagt något om det, eller hur! Anna kan heller inte ha några synpunkter på det beslut som kommer att fattas. Så därför måste både r =falsk och t =falsk samt r =falsk och t =sann betyda att r t är sann för båda dessa fall. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Om det inte är söndag idag så säger det inget om vilken dag det är imorgon. Att det inte kan vara måndag imorgon beror egentligen på andra saker och vi kan konstatera att detta kan ses som ett dåligt exempel (som valts för att göra dig uppmärksam på svårigheten med implikation. Definition 7 Exklusiv konjunktion Även kallad xor. Många gånger när vi i språket använder eller så är det just exklusiv konjunktion vi menar, då inte både r och s kan vara sanna samtidigt. Inom logiken används beteckningen. r s r s S S F S F S F S S F F F Definition 8 Ekvivalens. Den sista av våra satskonnektiv heter ekvivalens och betecknas med och sanningstabellen får följande utseende: r s r s S S S S F F F S F F F S Helt enkelt r s sant om r och s har samma sanningsvärde. Nu har vi presenterat alla de byggstenar och dess funktioner vi behöver för att genomföra de logiska resonemang vi vill göra här. Här en sammanfattning: Satskonnektiv: Parenteser: () Satsparametrar: p,q,r,s... Parenteserna används för att klargöra ordningen i vilken uttrycket ska evalueras. Vi räknar inte med någon speciell prioritetsordning för satskonnektiven utom möjligen för. Utifrån dessa definitioner kan vi nu göra följande praktiska observationer Antingen p eller p är sanna Om ett antagande leder till att både p och p samtidigt är sanna eller falska, har antagandet lett fram till en motsägelse, som i sin tur betyder att antagandet är felaktigt Om p q är sant måste både p och q vara sanna Om p q är falskt, så måste p eller q eller båda vara falska Om p q är falskt, så måste både p och q vara falska. Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 5.1. LOGIK Om p q är sant, så måste p eller q vara sanna. Det är dessutom möjligt att båda är sanna Om p q är sant och dessutom p, så kan vi därför inte säga något om q Om p q och p båda är sanna, måste q vara sann. Om p q och q båda är sanna, så kan vi inte säga något om p. Om p q är sant och q är falskt måste även p vara falskt Om p q är sant är antingen p falskt eller q sant eller båda har samma värde. Om p q är falskt måste p vara sant och q falskt. Om p q är sant har p och q samma värde. Exempel 3 Uttryck följande satser med hjälp av givna satsparametrar: I Adam spelar antingen tennis eller är på jobbet. II Om Bertil vinner på tipset kommer han att köpa en ny bil III Det regnar om och endast om det är nordlig vind IV Idag är det fredag och Curt vill inte gå på föreläsningen V Om David inte pluggar hårt kommer han inte att klara tentan Svar: a) Adam arbetar b) Adam spelar tennis c) Bertil vinner på tipset d) Bertil köper ny bil e) Det regnar f) Det är nordlig vind g) Idag är det fredag h) Curt går på föreläsningen i) David pluggar hårt j) David klarar tentan I a b II c d III e f IV g ( h) V ( i) ( j) Exempel 4 Tre studenter, Adam, Bertil och Curt rapporterade sanningsenligt resultatet på sina senaste tentor för sina vänner: Adam: Om jag klarade matematiktentan, så gjorde Bertil det också. Jag klarade programmeringstentan om och endast om Curt gjorde det. Bertil: Om jag klarade matematiktentan, så gjorde Adam det också. Adam klarade inte elektroniktentan. Curt: Varken jag eller Adam klarade elektroniktentan. Om inte Bertil klarade programmeringstentan, så gjorde inte Adam det heller. Om var och en klarade åtminstone en tentamen, varje tentamen klarades av åtminstone en av de tre och Curt inte klarade lika många tentor som någon av de andra två, vilka tentor klarade då de tre? Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Lösning: Lite omständligt, men vi skriver ner de satserna i en lista: a: Om Adam klarade matematiktentan så gjorde Bertil det också b: Adam klarade programmeringstentan om och endast om Curt gjorde det c: Om Bertil klarade matematiktentan så gjorde Adam det också d: Adam klarade inte elektroniktentan. e: Varken Curt eller Adam klarade elektroniktentan f: Om inte Bertil klarade programmeringstentan, så gjorde inte Adam det heller. g: De klarade minst en tenta var h: Varje tenta klarades av minst en av studenterna i: Curt klarade inte samma antal tentor som någon av de andra två 1 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering Elektronik 2 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering Elektronik a och c har båda med matematik att göra. Då p q = S och p = S måste q = S. Samtidigt då p q = S och q = F, så måste p = F. Detta betyder att antingen klarade både Adam och Bertil mattetentan eller så körde de båda två. Vi får två fall. 3 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering G G Elektronik 5 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering G G Elektronik 4 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering U U Elektronik 6 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering U U Elektronik b och f handlar båda om programmeringstentan. Om p q = S sant måste p = q. Vi får två möjligheter. Antingen klarade både Adam och Curt tentan eller så gjorde ingen det. Två nya fall som leder till totalt fyra (se ovan). 7 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering G G G Elektronik 9 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering G G G Elektronik G 8 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering U G U Elektronik 10 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering U G U Elektronik Från f får vi, att då p q = S så måste p = F eller både p = S och q = S. Vi får då antingen: Bertil klarade programmeringstentan. Vi vet då inget om Adams programmeringstenta. eller Ingen av dem klarade den tentan. Försöker vi kombinera detta med de Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 5.1. LOGIK fyra tabellerna ovan ser vi att Bertil och Adam klarade tentan, bara kan kombineras med tabellerna 3 och 5. Genom h, alla tentor klarades av någon, får vi sedan tabellerna ovan. 11 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering G G G Elektronik U G U 13 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering G G G Elektronik U G U 12 Adam Bertil Curt Matematik G G Programmering U G U Elektronik U G U 14 Adam Bertil Curt Matematik U U Programmering U G U Elektronik U U U Nu över till elektrotekniktentan. Adam klarade inte den. Fyller vi i det, ser vi att tabell 14 utgår eftersom alla klarade någon tenta. Curt klarade inte heller elektroniktentan. Då måste Bertil ha klarat tentan. 15 Adam Bertil Curt Matematik G G U Programmering G G G Elektronik U G U 17 Adam Bertil Curt Matematik U U G Programmering G G G Elektronik U G U 16 Adam Bertil Curt Matematik G G G Programmering U G U Elektronik U G U Tillämpar vi nu g och h, kan vi fylla i ännu mer. Till sist förstår vi genom i, att Curt inte kan ha klarat matematiken. Lösningen finns nu i tabell 15. Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Exempel 5 Passar Adam som chef? Följande premisser är sanna: P 1 : Adam är handlingskraftig eller kreativ P 2 : Om han är handlingskraftig kommer han att bli en bra chef P 3 : Adam är inte både effektiv och kreativ P 4 : Om han inte är effektiv så är han antingen handlingskraftig eller kommer att bli en bra chef Vi påstår nu slutsatsen: Adam kommer att bli en bra chef. Lösning: Med hjälp av de ingående satserna: h: Adam är handlingskraftig c: Adam kommer att bli en bra chef e: Adam är effektiv k: Adam är kreativ kan vi nu skriva ner premisserna och slutsatsen på följande form: P 1 : h k P 2 : h c P 3 : (e k) P 4 : ( e) (h c) C : c Vi studerar två fall: Fall 1 Adam är handlingskraftig Fall 2 Adam är inte handlingskraftig Antag att Fall 1 är sant. Från den andra premissen P 2 får vi då direkt att Adam kommer att bli en bra chef. Om, som i Fall 2, Adam inte är handlingskraftig, så får vi från premiss P 1 att han måste vara kreativ. Eftersom han inte kan vara både effektiv och kreativ (från P 3 ) kan han då inte vara effektiv. Från P 4 får vi nu att han eftersom han inte är effektiv, så måste han vara antingen handlingskraftig eller bli en bra chef. Eftersom vi antagit att han inte är handlingskraftig så måste han bli en bra chef. Slutsatsen är sann i både Fall 1 och Fall 2 och vi vet nu att Adam kommer att bli en bra chef. Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 5.1. LOGIK Exempel 6 En skeppsbruten sjöman, som vi kallar Ture, flöt en dag iland på en söderhavsö för cirka 100 år sedan. På den ön fanns två stammar, en vars medlemmar alltid talade sanning. Vi kallar stammen S. Medlemmarna i den andra stammen talade aldrig sanning. Den stammen kallar vi L. När Ture vaknade upp på stranden fann han två personer vid sin sida. Var är jag?, frågade han Du är på Taborti, sa den förste Ön heter Hasvaji, sa den andre Jag är Gösta och han heter Gustav, fortsatte den förste Nej, jag är Gösta och han heter Gustav, sa den andre Just då kom en tredje person förbi. För att få klarhet i frågan pekade Ture på de två männen och frågade den tredje: Vem av dem ska jag tro på? Han och jag tillhör samma stam, svarade den tredje och pekade på den förste. Det är sant, sa den andre, de tillhör samma stam. Vem talade sanning, vem ljög och vad hette ön han kommit till? Lösning 1: Antag att den tredje talar sanning: Det betyder att även den förste talar sanning och att den andre ljuger. Men när han till sist säger Det är sant, betyder det alltså att han också talar sanning därmed skulle skulle alla tre tala sanning. Detta är en motsägelse som vi får från de två inledande påståendena. Antag därför att den tredje ljuger: Det betyder att den förste inte tillhör L utan talar sanning! Den andre ljuger ju också då han säger Det är sant. Ture har alltså kommit till Taborti, en liten ö nära Tahiti. Vår förste vän hette Gösta och den andre Gustav. Vad den tredje heter förtäljer inte historien. Lösning 2: Nöjda blir vi inte förrän vi använt vår nyvunna kunskap, för att uttrycka och lösa problem av detta slag. Vi kan identifiera följande satser: a: Ön heter Taborti b: Ön heter Hasvaji c: Den förste heter Gösta d: Den andre heter Gösta e: De förste hör till S f: Den andre hör till S g: Den tredje hör till S Vi kan nu skriva en mängd uttryck. Tolka dessa: I) e a II) f b III) e c IV) f d V) e ( d) VI) g e VII) ( g) e VIII) f ( e g) (e g) IX) ( f) ( e g) (e g) X) (e f) ( (e f)) XI) (c d) ( (c d)) Kanske inser man att uttrycken I till och med V inte direkt har med problemet att göra, utan då vi tagit reda på vem som hör till vilken stam, kan vi använda dessa, för att besvara Håkan Strömberg 10 KTH STH

11 problemets frågor. Om vi först koncentrerar oss på g e och ( g) e, så förstår vi att e måste vara sann. Om den tredje talar sanning så tillhör också den förste S. Om den tredje ljuger, så tillhör inte den förste och den tredje samma stam! Nu kan vi besvara alla frågorna. Detta utan att ta hänsyn till vad den andre säger. En förutsättning är ju att den förste och andre inte kommer från samma stam. Vi kommer att möta Ture igen längre fram. Exempel 7 Förhör av fyra misstänkta Fyra män, Adam, Bertil, Curt och David sitter i förhör, alla misstänkta för en cykelstöld. Följande spontana kommentarer kommer från de misstänkta: Adam : Bertil snodde cykeln Bertil : David snodde cykeln Curt : Det var inte jag David: Bertil ljuger Nu råkar förhörsledaren veta att endast en av de tilltalade talar sanning. Vem lade otillåtet beslag på cykeln? Lösning 1:Ett sätt är att gå igenom alla tänkbara fall. Hur många finns det? Fyra förstås. Vi antar i tur och ordning att Adam, Bertil, Curt och David talar sanning och ser om detta leder till motsägelse. Adam talar sanning. I så fall måste det vara Bertil som begått stölden. Bertil ljuger vilket är rimligt. Men hur är det med Curt? Han ska ju enligt reglerna ljuga, alltså är även han skyldig. Detta är en motsägelse, som gör att vårt antagande faller. Bertil talar sanning. Det skulle betyda att David har stulit cykeln. Adam ljuger, vilket stämmer. Men av samma skäl som ovan skulle det betyda att även Curt är den skyldige. En motsägelse igen och vi överger detta antagande. Curt talar sanning. Vi vet inte mer efter detta uttalande än att Curt är oskyldig. Det David säger innebär att Bertil talar sanning. Men vi vet ju att Bertil ljuger, så även detta fall är en motsägelse. David talar sanning. Eftersom Bertil ljuger är inte David den skyldige. Eftersom Adam ljuger går även Bertil fri. Curt ljuger när han säger att det inte var han. Äntligen har vi nått målet. Curt har stulit cykeln. Lösning 2: Våra satser blir a: Adam talar sanning (F) b: Bertil talar sanning (F) c: Curt talar sanning (F) d: David talar sanning (S) e: Adam utförde dådet (F) f: Bertil utförde dådet (F) g: Curt utförde dådet (S) h: David utförde dådet (F) Håkan Strömberg 11 KTH STH

12 5.1. LOGIK Nu kan vi ställa upp följande uttryck utifrån vad de misstänkta sa: I) a f II) b h III) c ( g) IV) d ( b) Vi vet nu att endast en talar sanning och att endast en har utfört dådet. Det betyder att endast en av variablerna a,b,c,d ska vara S och endast en av variablerna e,f,g,h ska vara sann. Samtidigt ska alla uttrycken I), II), III) och IV) vara sanna. Vi får följande sanningstabell: a b c d e f g h a f b h c g d b S F F F S F F F F S F F F S F F S F F F S F F S F F S F S F F F S S S F F F F S S F F F S S F S S F F F F S F F S S F F F S F F F S F F F F F S F F S F F S F F F S S F F F F S F S F F F S F S S F F F F F S F F S S F F S F F F F S F S F S S F F S F F F S F S S F F F F F S F F S F S S S S S F F F F F F S F F F F F S F F F F F S S S F S F F S F F F F S S F S F F F F S F F F S S F F S där vi ser att den 12:e raden uppfyller våra villkor. Ur den kan vi läsa att David talar sanning och att Curt utförde dådet. Håkan Strömberg 12 KTH STH

13 Problemet kan till exempel lösas med detta C-program 1 #include <stdio.h> 2 #define AND(a,b) a&&b 3 #define OR(a,b) a!!b 4 #define NOT(a)!a 5 #define IMP(a,b)!a b 6 #define IFF(a,b) (a&&b) (!a&&!b) 7 #define XOR(a,b) a+b==1 8 9 void add(int v[]){ 10 int i=0; 11 v[i]++; 12 while (v[i]==2){ 13 v[i+1]++; 14 v[i++]=0; 15 } 16 } int main(void){ 19 int v[30]={0},u[30],n=8,i; 20 while (v[n]==0){ 21 u[0]=iff(v[0],v[5]); 22 u[1]=iff(v[1],v[7]); 23 u[2]=iff(v[2],not(v[6])); 24 u[3]=iff(v[3],not(v[1])); 25 u[4]=u[0]+u[1]+u[2]+u[3]; 26 u[5]=v[0]+v[1]+v[2]+v[3]; 27 u[6]=v[4]+v[5]+v[6]+v[7]; 28 if (u[4]==4 && u[5]==1 && u[6]==1){ 29 printf("["); 30 for (i=0;i<n;i++) printf("%d ",v[i]); 31 printf("]\n"); 32 } 33 add(v); 34 } 35 } 2-7 Med hjälp av define definierar vi de sex konnektiven 9-16 Programmet ska generera alla tänkbara uppsättningar av variabelvärden. Innehållet i v är antingen 1 (sant) eller 0 (falskt). Varje gång denna funktion anropas adderas 1 till v[0]. Om resultatet då blir 2 sätts v[0] = 0 och vi ökar på v[1]. Om denna ökning innebär att resultatet blir 2 sätts v[1]=0 och v[2] ökas och så vidare.... På detta sätt genomlöps alla kombinationer av 1:or och 0:or while-loopen tar hand om en kombination i v och beräknar de fyra uttrycken. Dessutom kollar vi upp övriga villkor som gäller för just detta problem. Håkan Strömberg 13 KTH STH

14 5.1. LOGIK Mathematica Logik I Mathematica får man tillgång till de logiska operatorerna Mathematica Alternativt Matematiken And[] && Or[] Not[]! Equivalent[] Implies[] Xor[] Logiska variabler kan anta värdena True och False. a=true; b=false; a && b False; Test av logiskt uttryck i Mathematica. Vi ska testa för vilka värden på p,q och r som uttrycket p ( q r) är sant. f1 = p && (Implies[!q,r]); BooleanTable[{p, q, r} -> f1, {p, q, r}] Vi får resultatet {True, True, True} -> True, {True, True, False} -> True, {True, False, True} -> True, {True, False, False} -> False, {False, True, True} -> False, {False, True, False} -> False, {False, False, True} -> False, {False, False, False} -> False} Uttrycket är alltså sant då (p = T,q = T,r = T), (p = T,q = T,r = F), (p = T,q = F,r = T). Håkan Strömberg 14 KTH STH

15 SatisfiableQ Genom SatisfiableQ[] kan man ta reda på om ett logiskt uttryck kan blir sant över huvud taget SatisfiableQ[f1] SatisfiabilityCount[f1] 3 SatisfiabilityInstances[f1, {p, q, r}] {{True, True, False}} I den andra satsen ser vi hur man kan ta reda på, för hur många uppsättningar av variablerna, uttrycket blir sant. Ibland kan det räcka med att få en uppsättning variabelvärden, som leder till att uttrycket blir sant. Tautologi. Man kan testa om ett uttryck alltid är sant, om det är en så kallad tautologi, genom funktionen. TautologyQ[a && b! a! b] True TautologyQ[f1] False Det första uttrycket är alltid sant och därmed en tautologi, vilket det andra som bekan inte är. BooleanMinimize En intressant funktion i Mathematica är BooleanMinimize som kan användas för att förenkla logiska uttryck BooleanMinimize[!(!((p q) && r)!q)] q && r Exempel 8 Problem: Vi utgår från mängden C = {1,2,3,4,5,6,7,8} som vi vill dela upp i två mindre mängder A och B, sådana att A = B = 4 och A B = C. Dessutom, om till exempel A = {a,b,c,d}, ska a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d ge 6 olika summor, som ska vara samma som de summor man, på samma sätt, kan bilda från B. Lösning: Vi startar med att konstruera en funktion f(a) som tar emot en mängd och returnerar en annan med samtliga summor hos paren, som kan bildas. f[a_] := Block[{b = {}, i, j}, For[i = 1, i < Length[a], i++, For[j = i + 1, j <= Length[a], j++, AppendTo[b, a[[i]] + a[[j]]]; ] ]; Union[b] ] Håkan Strömberg 15 KTH STH

16 5.1. LOGIK f[{1, 2, 3, 4}] {3, 4, 5, 6, 7} a är mängden av tal vi ska bilda summorna av I b ska vi till slut ha mängden av olika bildade summor i går igenom alla index utom för sista elementet j går igenom alla index med början från i+1 b utökas med en summa för varje varv i inre loopen Summorna man får i exemplet är [3,4,5,5,6,7]. Med hjälp av Union får vi så motsvarande mängd {3,4,5,6,7}. Med hjälp av funktionen Subsets kan man plocka ut alla dellistor eller delmängder med en viss storlek. Subsets[{1, 2, 3, 4},{2}] {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}} I exemplet ovan utgår vi från listan 1,2,3,4 och bestämmer att vi vill ha alla, två element långa dellistor. Man inkluderar biblioteket, endast en gång under en session. Observera accenten! Här kommer nu huvudprogrammet som med hjälp av funktionen f löser vårt problem. g[] := Block[{a, b, c, b1, c1, i, svar = {}}, a = Subsets[Range[8], {4}]; For[i = 1, i <= Length[a], i++, b = a[[i]]; c = Complement[Range[8], b]; b1 = f[b]; c1 = f[c]; If[Length[b1] == 6 && b1 == c1, AppendTo[svar, {b, c}] ] ]; svar ] g[] {{{1,4,6,7}, {2,3,5,8}}, {{2,3,5,8}, {1,4,6,7}}} Från vår grundmängd U = {1,2,3,4,5,6,7,8} plockar vi ut alla delmängder med kardinaltalet 4. a blir då en mängd av alla dessa delmängder. Vi låter så b i tur och ordning anta alla dessa delmängder. Vi kan nu bilda komplementet till c = U b. I b1 får vi nu alla summor som kan bildas ur b och i c1 alla summor ur c. Håkan Strömberg 16 KTH STH

17 Om a = b = 6 och b1 = c1 har vi funnit en lösning som vi skriver ut. Det finns bara en lösning som visas ovan. Exempel 9 Problem: Talet 373 kallas för ett absolut primtal därför att alla permutationer av siffrorna i detta tal 337, 733 också är primtal. Ta reda på alla tresiffriga absoluta primtal. Med hjälp av funktionen Permutations kan Mathematica generera alla permutationer av elementen i en lista eller mängd. Permutations[{3, 3, 7}] {{3, 3, 7}, {3, 7, 3}, {7, 3, 3}} Permutations[{1, 2, 3}] {{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2}, {3, 2, 1}} För första listan finns de tre olika sätt att ordna siffrorna. För den andra finns 6 möjligheter. Vi ska tala mer om permutationer i nästa föreläsning. Vi har tidigare skapat funktionen IntegerDigits[n] som tar emot ett tal n och returnerar en lista med siffrorna som element. Vi har också tidigare skapat funktionen FromDigits[m] som tar emot en lista av siffror och returnerar motsvarande heltal. Dessa två funktioner behöver vi här. f[tal_] := Block[{b, n, i}, b = Permutations[IntegerDigits[tal]]; n = 0; For[i = 1, i <= Length[b], i++, tal2 = b[[i]]; If[PrimeQ[FromDigits[tal2]], n = n + 1; ] ]; n == Length[b] ] Select[Range[100,999],f] {113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991} Denna funktion tar emot ett tal och returnerar True om talet är ett absolut primtal. Först skapar vi en sifferlista av talet, som vi låter Permutations bilda alla permutationer av. För varje sådan permutation bildar vi ett tal med FromDigits som vi direkt testar om det är ett primtal. Om så är fallet ökar vi en räknare n. Om till slut n s värde lika med antalet underlistor i b har vi funnit ett absolut primtal. Av resultatet ser vi att det egentligen bara finns de tre grupper av siffror 113,199,337. Håkan Strömberg 17 KTH STH

18 5.1. LOGIK Exempel 10 Problem: Vi vill med hjälp av de 9 siffrorna bilda tre stycken tresiffriga heltal sådana att produkten av dessa blir så stor som möjligt. Varje siffra får endast användas en gång. h[] := Block[{A, p, m = 0, svar = {}, a}, A = Permutations[Range[9]]; For[i = 1, i <= Length[A], i++, a = A[[i]]; p = FromDigits[Take[a, {1, 3}]]* FromDigits[Take[a, {4, 6}]]* FromDigits[Take[a, {7, 9}]]; If[p > m, m = p; svar = {p, a}; ] ]; svar ] h[] { , {7, 6, 3, 8, 5, 2, 9, 4, 1}} Produkten = är maximal. Teoriuppgifter Problem 1 För att ta reda när ett villkor är sant respektive falskt kan det vara en bra idé att konstruera en sanningstabell. Vi utgår från uttrycket q ( r p) och ska ta reda på för vilka värden på p,q och r uttrycket är sant p q r r r p q ( r p) Tabellen får 2 3 = 8 rader därför att det finns 3 variabler som var och en kan anta 2 värden. Vi bygger sedan successivt upp villkoret fram till målet. I kolumnen längst till höger kan vi avläsa för vilken uppsättning av värden hos variablerna hela uttrycket är sant. Konstruera en liknande sanningstabell för p (q r) och (p q) r Håkan Strömberg 18 KTH STH

19 för att bestämma om de har samma sanningsvärden. Problem 2 Konnektivet nand förekommer och är sant endast då ingen av p och q är sann, (p q). Man skriver p q. Upprätta en sanningstabell över nand. Vi har nu studerat sex tvåställiga konnektiv,,,,,,. Hur många konnektiv finns det och hur många av dem är meningslösa? Problem 3 Använd BooleanTable i Mathematica för att skapa en sanningstabell för uttrycket ((p q) (q r)) (p r) Kan man med hjälp av resultatet skriva ned ett enklare uttryck? Problem 4 Är tautologi? (p (p r)) ((p q) (p r) Problem 5 Vad skriver programmet ut? 1 int n=7; 2 if(n>5) n=n+2; 3 if(n+2==8 n 3==6) n=2 n+1; 4 if(n 3==16 && n/6==1) n=n+3; 5 if(n!=21 && n 5==15) n=n 4; 6 if(n/5==2 n+1==20) n++; 7 printf("%d\n",n); Problem 6 Visa med sannigstabeller att följande lagar gäller p (q r) (p q) (p r) Distributiva lagen p (q r) (p q) (p r) p (p q) p Absorptionslagen p (p q) p (p q) p q DeMorgans lag (p q) p q Håkan Strömberg 19 KTH STH

20 5.1. LOGIK Problem 7 Övertyga dig på något sätt om att (p q) ( p q) Detta betyder att man kan ersätta alla a b med ( a b) Problem 8 Med hjälp av de lagar vi nämnt i uppgifter ovan kan ofta logiska uttryck förenklas, men med hjälp av BooleanMinimize blir det ännu enklare att förenkla! Förenkla uttrycket ( ((p q) r) q) Problem 9 När den förste astronauten som besökt Mars återvände till jorden bad man honom att beskriva marsianerna. Fortfarande utmattad efter resan svarade han något förvirrande men dock korrekt: Det är inte sant att om marsianerna är gröna, så har de tre huvuden eller så kan de inte flyga, såvida det inte är sant att de är gröna om och endast om de kan flyga och att de inte har tre huvuden Antag att alla marsianer ser likadana ut och att de har minst en av de tre egenskaperna. Har marsianerna tre huvuden? Är de gröna? Kan de flyga? Problem 10 Adam ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Bertil å andra sidan ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. Följande dialog utspann sig: Igår ljög jag, sa Adam Igår ljög jag också, sa Bertil Vilken dag är det idag? Problem 11 Adam ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Jag ljög igår, sa Adam Jag kommer att ljuga igen två dagar efter imorgon, fortsatte Adam. Vilken dag är det idag? Håkan Strömberg 20 KTH STH

21 Problem 12 Adam ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Vilka dagar i veckan är det möjligt för Adam att göra följande uttanden: Jag ljög igår Jag kommer att ljuga igen imorgon Problem 13 Adam ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Vilken dag i veckan kan Adam säga: Jag ljög igår och jag kommer att ljuga imorgon. Problem 14 Curt och David är tvillingar, lika som bär. En av dem ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Den andre ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. Jag är Curt, säger den ene Jag är David, säger den andre Vem var Curt, den ene eller den andre och vem var David, den ene eller den andre? Problem 15 Curt och David är tvillingar, lika som bär. En av dem ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Den andre ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. Vi hör följande dialog, som inte utspanns på en söndag: Jag är Curt, säger den förste Om det är sant, så är jag David, säger den andre Vem är vem? Problem 16 Curt och David är tvillingar, lika som bär. En av dem ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Den andre ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. Adam möter de två bröderna och frågar en av dem: Ljuger du på söndag? Ja,svarade han Sedan ställde Adam samma fråga till den andre brodern. Vilket svar fick han? Håkan Strömberg 21 KTH STH

22 5.1. LOGIK Problem 17 Curt och David är tvillingar, lika som bär. En av dem ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Den andre ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. De två bröderna gör vid ett tillfälle följande uttalanden: Den förste: (1) Jag ljuger på lördag (2) Jag ljuger på söndag Den andre: Jag kommer att ljuga imorgon Vilken dag är det idag? Problem 18 Curt och David är tvillingar, lika som bär. En av dem ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Den andre ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. En dag träffar Adam en av bröderna som gör följande uttalande: Jag ljuger idag och jag heter Curt Vem sa det? Problem 19 Curt och David är tvillingar, lika som bär. En av dem ljuger på måndag, tisdag och onsdag och talar sanning de andra dagarna i veckan. Den andre ljuger på torsdag, fredag och lördag och talar sanning de andra dagarna. En dag träffar Adam en av bröderna som gör följande uttalande: Jag ljuger idag eller jag heter Curt Går det att avgöra vem som säger det? Håkan Strömberg 22 KTH STH

23 Problemlösning Problemlösning 1. Ture bygger en båt (2) Tures båt ska så småningom ta honom från ön. Det är ett hårt arbete och 5 män kommer därför till honom med mat och dryck. Som vanligt försöker han få reda på vilka stammar de tillhör. Tre av oss kommer från S, säger den förste Det är sant, säger den andre Nej endast två av oss kommer från S, säger den tredje. De första tre ljuger alla, säger den fjärde Ture kunde av detta inte fastställa vilka stammar de kom ifrån. men efter att ha hört den femtes påstående visste han svaret. Till vilka stammar hörde de fem männen?. Problemlösning 2. Sture kommer till Taborti (2) 100 år efter att Ture lämnat ön kom en av hans barnbarn, Sture till ön. Under tiden som gått sedan Tures tid, hade en tredje stam skapats. Denna stam ljög var annan gång och talade sanning var annan gång. Vi kallas stammen A. Vid Stures första möte med invånarna kom en lång, en kort och en man av medellängd fram till honom. Välkommen, sa den kortaste, Jag heter Gösta. Här, fortsatte han, står Ludvig (han pekade på den store) och här har vi Gustav Det är riktigt, som han säger att han heter Gösta, men jag heter Kurt, sa den medellånga, och den store mannen här heter Torkel. Den långa mannen tog till orda: Jag heter Ludvig, men den korte där heter Valdemar och han av medellängd heter Osvald Om åtminstone en av dem tillhörde S, vad hette då de tre männen? Problemlösning 3. Sture möter fyra män (2) De fyra männen heter Adam, Bertil, Curt och David. En endast två av dem yttrade sig. Adam: Jag tillhör S, Bertil tillhör L, Curt tillhör L och David tillhör S Bertil: Adam tillhör L, jag tillhör S, Curt tillhör A och David tillhör S. Till vilka stammar hör Adam, Bertil och Curt? Problemlösning 4. Stures sista äventyr (2) Varje år hålls en tävling mellan stammarnas hövdingar. Efter årets tävling berättade hövdingarna följande: Arne: Jag kom på andra plats och Bengt kom sist Bengt: Arne kom sist och Cesar vann Cesar: Jag kom sist och Arne vann Hur slutade tävlingen? Håkan Strömberg 23 KTH STH

24 5.1. LOGIK Problemlösning 5. H 2 O (2) Ett H skapat av 8 slantar ska transformeras till ett O, som figur 5.1 visar. Det hela ska utföras Figur 5.1: med så få drag som möjligt. Dessutom måste den plats till vilken slanten ska flyttas, vara helt bestämd genom två intilliggande slantar, som figuren visar. Problemlösning 6. Multiple choice (3) Sum A o x x o x x o o x o 80 B x o x x x o x o x x 20 C o x o o o x o o o o 70 D x x o x o x x x o x? Här är resultatet från en kontrollskrivning i Diskret Matematik. Till varje uppgift fanns två alternativ, x eller o, där ett av dem var korrekt och gav 10 poäng. Adam, Bertil och Curt fick respektive 80,20 och 70 poäng. Det visade sig att läraren missat att rätta Davids skrivning. Hur många poäng fick han? Problemlösning 7. Sten, Sax, Påse Adam och Bertil spelade Sten, Sax, Påse. Regler: De två spelaren väljer ett av alternativen sax, sten och påse och visar sina val samtidigt. sax vinner över påse och får 1 poäng påse vinner över sten och får 1 poäng sten vinner över sax och får 1 poäng Om båda spelarna väljer samma alternativ är den omgången oavgjord och ingen får någon poäng. När Adam och Bertil spelade använde de följande alternativ Adam Bertil Sten 3 2 Sax 6 4 Påse 1 4 Ingen av de 10 omgångarna slutade oavgjord. Vem vann och med hur mycket? Håkan Strömberg 24 KTH STH

25 Problemlösning 8. Summa och produkt (3) Summan av talen är Produkten av samma tal = = Antag nu att vi vill gå bakvägen. Vi väljer ut 9 tal ur mängden {1...9}, adderar och multiplicerar dem. Kan vi då få summan 45 och produkten med ett annat urval än exemplet ovan? Problemlösning 9. Höger ben samtidigt (1) Bertil som är kortare än Adam tar 3 steg när Adam tar 2. Båda startar promenaden med att ta ett steg med vänster ben. Hur många steg dröjer det innan de samtidigt tar ett steg med höger ben? Figur 5.2: Problemlösning 10. De tre lamporna. (2) Tre strömbrytare (figur 5.2) är kopplade till lika många lampor i källaren, men du vet inte vilken som går till vilken. Din uppgift är att ta reda på det. Du får vippa på strömbrytarna, men bara gå ned i källaren en enda gång. Problemlösning 11. Två multiplikationer (2) Här ska du använda siffrorna exakt en gång genom att skriva in dem i rutorna i Figur 5.3: figur 5.3 och samtidigt bilda två korrekta multiplikationer. Håkan Strömberg 25 KTH STH

26 5.1. LOGIK Problemlösning 12. Far och son (1) Pappan: Jag har just kommit på att, om jag byter plats på siffrorna i min ålder, så får jag din ålder. Sonen: I morgon kommer du att vara exakt dubbelt så gammal som jag. Hur gammal är pappan och sonen idag. Var inte för snabb när Du svarar! Problemlösning 13. Pentominoes (2) Överst i figur 5.4 ser du, i grönt, alla sätt att kombinera fem kvadrater till en pusselbit. Figur 5.4: Dessa tolv bitar, som kallas pentominoes och uppfanns av Solomon Golomb på 1950-talet, förekommer i ett otal matematiska och förströelseproblem. Uppgiften här består i att kombinera två av dem så att de täcker de tio rutorna i den gula figuren. Observera att bitarna får både vridas och vändas. Plats har gjorts för tre olika lösningar finns det fler? Problemlösning 14. Heltalskvadrater hela vägen (2) Placera talen i en rad så att summan av två intilliggande tal alltid är en heltalskvadrat....2,7,9,...6,10,14,... Om detta vore en föreslagen lösning, skulle första gruppen vara korrekt eftersom 9 och 16 är heltalskvadrater. I den andra dock, är = 24 ingen heltalskvadrat. Håkan Strömberg 26 KTH STH

27 Problemlösning 15. Dålig telefonlinje (3) Vid ett tillfälle råkade Adam avlyssna följande telefonsamtal mellan Bertil och Curt. Men eftersom kvaliteten var ganska dålig kunde han inte höra allt vad som sas. Bertil: Jag har just köpt frimärken för exakt 200 kr av valörerna 12 kr, 14 kr och 17 kr Curt: Hur många köpte du av varje sort? Bertil: Det vill jag inte säga, men jag köpte total (prassel) frimärken Curt: I så fall kanske jag kan räkna ut det... vänta lite. Nej, jag kan fortfarande inte säga hur många du köpte av varje sort. "Köpte du endast ett av någon sort? Bertil: (prassel) Curt: I så fall köpte du... Hur många frimärken av varje sort hade Bertil köpt? Observera att Curt hade bättre mottagningsförhållande och kunde höra allt vad Bertil sa. Problemlösning 16. David och Goliat (3) eller (5) Till den här uppgiften har jag skrivit ett litet program som du hittar på hemsidan. David och Goliat är en form av labyrint, som David (röd fyrkant) ska ta sig ur. Problemet är att i labyrinten finns också Goliat (blå kvadrat), som försöker fånga David. Du är David! David kan flytta ett steg i taget i en av de fyra riktningarna: uppåt, nedåt, vänster och höger, om det inte finns någon vägg i vägen. Draget görs med de fyra piltangenterna. David kan låta bli att flytta genom att trycka mellanslag Goliat flyttar efter David och kan då ta upp till två steg. Han är dum och väljer alltid sitt drag efter en viss princip. Först undersöker han om han kan komma närmare David genom ett horisontellt drag. Om så är fallet utför han detta steg. Om inte undersöker han om han kan komma närmare med ett vertikalt drag. Sedan utför han i tur och ordning proceduren ovan en gång till. Ibland kommer Goliat att flytta två steg men han kan också komma att stå helt stilla. Om Goliat fångar David är spelt förlorat för David Om David når utgången har David vunnit Spelet innehåller 15 olika labyrinter med olika svårighetsgrad och storlek. I menyn, under Välja bestämmer man vilken man vill försöka lösa. Med DELETE-tangenten återställer man labyrinten till utgångsställningen Med RETURN-tangenten återgår man till spelet efter JA eller NEJ-skyltarna Klarar du labyrint 5 får du 3 poäng. Klarar du labyrint 15 får du 5 poäng (men då inget för labyrint 5). Håkan Strömberg 27 KTH STH

28 5.1. LOGIK Laboration Laborationsuppgift 1. När är uttrycket sant? (2) A,B och C är boolska variabler. För vilka uppsättningar av dessa är följande uttryck sant: ((A B) ( A C)) (B C) Laborationsuppgift 2. Summan av alla tal (2) Bestäm summan av, i tur och ordning, alla tre-, fyra-, fem- och sexsiffriga tal. Kan du se något mönster hos dessa summor? Ställ då upp en formel och försök att direkt säga summa av alla sjusiffriga tal? Laborationsuppgift 3. Samma rest (2) Vi är här på jakt efter det minsta heltalet n > 1, sådant att det ger resten 1 vid division med var och en av talen Laborationsuppgift 4. Vilka baser (2) I vilka baser b är talet 121 b en heltalskvadrat? Laborationsuppgift 5. Pilkastning (2) I en pilkastningstävling användes en mycket speciell piltavla, där de olika ringarna hade följande värden 1,9,10,11,13,18,25,35. Det visade sig efter tävlingen, att flera deltagare alla hade fått resultatet 55 (fyra pilar användes), utan att för den skull någon av dem träffat i exakt samma ringar och utan att någon missat tavlan. Vilket är då det största möjliga antalet spelare med summan 55? Laborationsuppgift 6. Summan av heltalskvadrater (2) Jag valde mer på måfå ut talen När jag kvadrerade dem fick jag 7,8,9,10,11,12,13,14 49,64,81,100,121,144,169,196 Efter en stunds pysslande kom jag fram till att = = 462 Det vill säga jag har lyckats dela upp heltalskvadraterna i två grupper där summan i varje grupp är 462. Kan du finna åtta på varandra följande heltal, vars kvadrater på detta sätt kan delas upp i två grupper så att summan blir den samma i båda grupperna? Kan du hitta ytterligare åtta tal med denna egenskap? Kan du gissa vad som krävs av de åtta talen för att detta ska fungera? Håkan Strömberg 28 KTH STH

29 Laborationsuppgift 7. Summan av två primtal (2) På en lapp stod skrivet 6 olika siffror. Adam fick nu i uppgift att kombinera dem till två primtal, sådan att summan av dem blir Han skulle få lika många kronor, som det största av de två talen. Efteråt visade det sig att han kunde ha tjänat ännu mer om han valt rätt kombination. Vilka var de två tal som ingick Adams svar? Laborationsuppgift 8. Summor ger primtal (2) Vilka primtal kan erhållas som summan ett eller flera elementen ur mängden M = {2,5,9,12,17,21,34} Laborationsuppgift 9. Antal element (2) Med universum U = {1,2,3,...,100} och mängden A = {1,4,7,10,13,...,100}, mängden B = {1,3,5,7,9,...,99} och mängden C, som består av alla primtal< 100 ska du bestämma (A B) ( A C ) Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Detta betyder att p q r q r p (q r) p q (p q) r p (q r) och (p q) r inte är likvärdiga och att man, eftersom det inte finns någon definierat prioritetsordning mellan satskonnektiven, inte bör utelämna parenteserna även om går före och går före både och i Mathematica Detta hade vi kunnat få reda på med hjälp av Mathematica genom Equivalent[p (q && r), (p q) && r] // TautologyQ False Equivalent[p q && r, p ( q && r)] // TautologyQ True Equivalent[p q && r, (p q) && r] // TautologyQ False Håkan Strömberg 29 KTH STH

30 5.1. LOGIK Lösning Teoriuppgift 2 r s r s S S F S F S F S S F F F Man kan konstruera 16 olika konnektiv. De två konnektiven där samtliga leder till true respektive false verkar meningslösa. Lösning Teoriuppgift 3 f = Implies[(Implies[p,q] && Implies[q,r]),Implies[p,r]] BooleanTable[{p, q, r} -> f, {p, q, r}] {{True,True,True} ->True, {True,True,False} ->True, {True,False,True} ->True, {True,False,False} ->True, {False,True,True} ->True, {False,True,False} ->True, {False,False,True}->True, {False,False,False} ->True} Uttrycket är sant för alla värden på p, q och r vilket betyder att det kan skrivas på enklaste sätt som True. Uttrycket är en tautologi. Lösning Teoriuppgift 4 Ja det här är också en tautologi vilket detta visar f = Implies[Implies[p,Implies[p,r]],Implies[Implies[p,q],Implies[p,r]]]; BooleanTable[{p, q, r} -> f1, {p, q, r}] {{True,True,True} ->True, {True,True,False} ->True, {True,False,True} ->True, {True,False,False} ->True, {False,True,True} ->True, {False,True,False} ->True, {False,False,True}->True, {False,False,False} ->True} Hade också kunnat skrivas TautologyQ[f] True Lösning Teoriuppgift 5 20 Håkan Strömberg 30 KTH STH

31 Lösning Teoriuppgift 6 Vi nöjer oss med att visa ena delen av DeMorgans lag p q p q (p q) p q p q Fjärde och sjunde kolumnen är lika. Därmed har vi bevisat lagen. Lösning Teoriuppgift 7 En sanningstabell övertygar oss p q p q p p q Kolumn 3 och 5 är lika, vilket bevisar sambandet. Lösning Teoriuppgift 8 BooleanMinimize[!(!((p q) && r)!q)] q && r Lösning Teoriuppgift 9 g: Marsianer är gröna h: Marsianer har tre huvuden f: Marsianer kan flyga g (h f) (g f) h f1 = Implies[Implies[g, (h! f)], Equivalent[g, f] &&! h] BooleanTable[{g, h, f} -> f1, {g, h, f}] {{True,True,True} ->False, {True,True,False} ->False, {True, False, True} ->True, {True, False, False} ->False, {False, True, True} ->False, {False, True, False} ->False, {False, False, True}->False, {False, False, False}-> True} Håkan Strömberg 31 KTH STH

32 5.1. LOGIK Ger svaret [True,False,True] och [False,False,False]. Då marsianerna hade minst en av egenskaperna är det första svaret som gäller: Marsianer är gröna och kan flyga. Däremot har de inte tre huvuden Lösning Teoriuppgift 10 Den enda dagen Adam kan säga Igår ljög jag är måndag eller torsdag. Den enda dagen Bertil kan säga Igår ljög jag är torsdag eller söndag. Alltså är det torsdag idag. Lösning Teoriuppgift 11 Adams första mening medför att det är måndag eller torsdag. Den andra meningen medför att det inte är torsdag. Alltså är det måndag idag. Lösning Teoriuppgift 12 Från denna tabell ser vi att det aldrig kan ske Må Ti On To Fr Lö Sö L L L S S S S Lösning Teoriuppgift 13 Här illustrerar vi skillnaden mellan att göra två uttalanden skilda från varandra och att göra ett uttalande som är en konjunktion av två satser. Skillnaden mellan p och q för sig och p q. För att p q ska vara falskt räcker det att ett av p och q är falskt. Den enda dagen i veckan som det kan vara sant att Adam ljög igår och kommer att ljuga imorgon är tisdag. Men det kan inte vara tisdag för då skulle Adam ha talet sanning på en dag då han alltid ljuger. Därför måste Adams uttalande vara falskt och då måste det handla om antingen måndag eller onsdag. Lösning Teoriuppgift 14 Följande tabell avslöjar svaret Må Ti On To Fr Lö Sö L L L S S S S S S S L L L S Om uttalandena var gjorda på någon dag utom söndag, skulle båda nämna samma namn, eftersom en ljuger och en talar sanning. Alltså måste det vara söndag och båda talar sanning. Lösning Teoriuppgift 15 Det andra uttalandet måste vara sant. Enda gången p q kan vara falskt är då p är sant och q är falskt, men det är ju omöjligt här. Eftersom båda inte kan tala sanning, endast på söndag, så måste första uttalandet vara falskt och den förste är alltså David och den andre Curt. Håkan Strömberg 32 KTH STH

33 Lösning Teoriuppgift 16 Svaret måste vara falskt eftersom båda talar sanning på söndag. Då aldrig båda kan ljuga samtidigt måste den andre tala sanning och svara Nej. Lösning Teoriuppgift 17 Vi tar tabellen till hjälp: Må Ti On To Fr Lö Sö L L L S S S S S S S L L L S Det är uppenbart att den förste ljuger, men vi vet inte vilken av raderna i tabellen han tillhör eller? Eftersom han ljuger så måste han tala sanning på lördag och den första raden i tabellen tillhör honom! Då måste den andre tala sanning. Vi vet nu att det är onsdag idag Lösning Teoriuppgift 18 Påståendet är falskt för om det vore sant får vi en motsägelse för Jag ljuger idag. Alltså ljuger han. Vi har två påståenden: a Jag ljuger idag b Jag heter Curt För att a b ska vara sant måste både a och b vara sanna. Eftersom a är sant får inte b vara sant och han heter David. Lösning Teoriuppgift 19 Om han ljuger idag, så skulle första delen av påståendet vara sant och därmed hela uttalandet. Detta är en motsägelse. Alltså talar han sanning och uttalandet är sant. Eftersom han inte ljuger så måste han heta Curt. Håkan Strömberg 33 KTH STH