Dagens Teori U = {PP,PF,FP,FF}

Transkript

1 Dagens Teori 9.1 Mer sannolikhetslära Vi har i föreläsning 8 presenterat den grundläggande sannolikhetsläran. Nu kommer vi inledningsvis att visa några sannolikhetsparadoxer (paradox = skenbart orimligt). Adam besöker en familj Exempel 1 Adam går för att besöka två gifta vänner. Han har inte haft någon kontakt med dem på flera år men vet att de har två barn, som inte är tvillingar. Han vet inte om de är flickor eller pojkar. När han ringer på dörren, öppnar en pojke. Hur stor är sannolikheten att det andra barnet också är en pojke? Detta är ett perfekt exempel, för att illustrera utfallsrum. Här nedan följer tre försök till lösningar som alla leder till olika resultat. Vilken är korrekt? Lösning 1: Innan dörren öppnas är utfallsrummet U = {PP,PF,FP,FF} Vi tar alltså hänsyn till ordningen och nämner det äldsta barnet först. När dörren öppnas av en pojke har händelse A inträffat A = {PP,PF,FP} Vi vet ju inte om det är det äldsta eller yngsta barnet som står framför Adam. I endast ett av fallen är det andra barnet en pojke. Sannolikheten blir då för att det andra barnet är en pojke! p = 1 3 När Adam går i trappan är sannolikheten att den som öppnar dörren är en flicka lika stor, som att det är en pojke. Men i samma ögonblick som dörren öppnas och han ser en pojke, förändras sannolikheterna. Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Lösning : Vårt utfallsrum är U = {PP,PF,FP,FF} Den som står först i paret är den som öppnar dörren. När en pojke öppnar har händelse A inträffat A = {PP,PF} Sannolikheten att det andra barnet är en pojke blir då P = 1 Lösning 3: Om vi med index 1 anger det äldsta barnet och med det yngsta, när de är av samma kön, och att den som står först i paret är den som öppnar dörren, blir vårt utfallsrum U = {P 1 P,P P 1,PF,FP,F 1 F,F F 1 } När en pojke öppnar dörren har händelsen A inträffat Vi har gynnsamma utfall av totalt 3 och får A = {P 1 P,P P 1,PF} p = 3 För att bringa reda i problemet ska vi simulera det hela i Mathematica f[n_ := Block[{L = {}, i}, For[i = 1, i <= n, i++, AppendTo[L, {Random[Integer, {1, }, Random[Integer, {1, }} ; L Med denna funktion genererar vi n försök. Varje försök blir en underlista i L, som innehåller två tal. 1 för pojke och för flicka och där äldsta barnet står först. simulera[i_ := Block[{L = f[i, n = 0, f = 0, p = 0, a}, For[j = 1, j <= i, j++, m = L[[j; If[m[[1 == 1 m[[ == 1, n++; If[m[[1 == m[[ ==, f++, p++; ; {N[p/n, N[f/n, n} simulera[10000 { , , 7433} Håkan Strömberg KTH STH

3 För varje försök tar vi i första if-satsen reda på om det över huvud taget finns en pojke. Om så är fallet tar vi reda på om det finns en flicka och ökar i så fall f annars måste det vara två pojkar och vi ökar p. Försöket bekräftar att det är den första lösningen som är korrekt. Adam besöker en annan familj Exempel Adam går för att besöka två gifta vänner. Han har inte haft någon kontakt med dem på flera år, men vet att de har två barn, som inte är tvillingar. Han vet inte om de är flickor eller pojkar. När han ringer på dörren, öppnar en pojke. Hej jag är familjens äldsta barn, säger han. Hur stor är sannolikheten att det andra barnet också är en pojke? Lösning : Utfallsrummet är U = {PP,PF,FP,FF} När dörren öppnas av det äldsta barnet som är en pojke har händelse A inträffat. A = {PP,PF} Sannolikheten för att det andra barnet är en pojke är då att det andra barnet är en pojke. p = 1 Det behövs bara en smärre förändring av villkoren i if-satserna hos funktionen simulering i Mathematica, för att det hela ska fungera. simulera[i_ := Block[{L = f[i, n = 0, f = 0, p = 0, a}, For[j = 1, j <= i, j++, m = L[[j; If[m[[1 == 1, n++; If[m[[ ==, f++, p++; ; {N[p/n, N[f/n, n} simulera[10000 { , , 5067} Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Exempel 3 En urna innehåller r 0 röda och b 0 blå kulor. Adam tar, utan att titta, upp en kula från urnan. Det visar sig att den är röd. Om han nu drar en kula till. Hur stor är sannolikheten att den också är röd? Lösning: Problemet är förstås speciellt då man inte vet något om antalet kulor och deras färger. Så här långt vet vi att det från början fanns åtminstone en röd kula. Resten av kulorna kan alla vara röda, vilket är lika troligt, som att det inte finns någon fler röd kula. Vi antar att urnan från början innehöll totalt n kulor och tänker oss lika många urnor U 1...U n. I U 1 lägger vi 1 röd kula och n 1 blåa. I U lägger vi röda kulor och n blåa och så vidare. I den sista urnan U n lägger vi n röda kulor och ingen enda blå. Tillsammans har vi nu i alla urnorna (n 1)+n = n(n+1) Vi har ännu inte hunnit diskutera summor i kursen, så vi tar Mathematica till hjälp för att kontrollera detta. Sum[i, {i, 1, n} Varje röd kula har sannolikheten 1 n(n+1) n(n+1) = n(n+1) att bli vald. Betraktar vi en urna i taget kan vi konstatera att ur U 1 är sannolikheten för att första kulan som dras är röd p 1 = 1 n(n+1) Från urna U p = n(n+1) Från den k:te urnan får vi p k = k n(n+1) När vi så har dragit den första kulan ur U k och den var röd, så är sannolikheten för att nästa kula som dras ur denna urna också är röd. p k = k n(n+1) k 1 n 1 Eftersom alla urnor har samma sannolikhet att bli valda (alla fördelningar mellan röda och blåa kulor är lika trolig) summerar vi dessa sannolikheter Vi tar åter Mathematica till hjälp n k=1 k n(n+1) k 1 n 1 Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Sum[ k (k - 1)/(n (n + 1) (n - 1)), {k, 1, n} /3 Sannolikheten att nästa kula är röd är alltså p = 3. Svårt att tro eller hur, så varför inte göra en simulering med Mathematica och kolla resultatet. Figur 9.1: f[n_ := Block[{red, blue, U, i, t, B, lyckat = 0, redstart = 0, r, b}, red = Random[Integer, {0, 100}; blue = red; U = Flatten[Join[Table[b, {i, 1, blue}, Table[r, {i, 1, red}; For[i = 1, i <= n, i++, B := RandomSample[U; If[B[[1 == r, redstart++; If[B[[ == r, lyckat++; ; {lyckat, redstart} simulera[ := Block[{i, sum = 0, n = 0, L}, For[i = 1, i <= 500, i++, L = f[00; sum = sum + L[[1; n = n + L[[; ; N[sum/n Här är resultaten från fyra körningar 0.68, 0.67, 0.68, 0.67 Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Väntevärde Exempel 4 Adam ska kasta två tärningar. Bertil har bestämt att han ska betala kronor för varje kast. Han ger dessutom följande vinstlista för summan av ögon på tärningarna. Summa Vinst (kr) Vid vinst får Adam först tillbaka sina satsade kronor, plus den vinst som listan ovan anger. Är detta, i långa loppet, ett vinstgivande spel för Adam? Vi skriver först ned uttrycket som Figur 9.: bestämmer Adams förväntade vinst v v = ( ) = Javisst, Bertil kan inte bli någon casinokung med detta spel där Adam vinner i snitt cirka 14 öre i varje kast Binomialfördelningen Om vi singlar slant två gånger är utfallsrummet U = {(K,K),(K,G),(G,K)(G,G)} Sannolikheten för två kronor K är då 1 4, samma som för två gubbar G. Sannolikheten för G och K, en av varje är 1. Två av de fyra möjliga utfallen är gynnsamma. Om vi istället singlar slanten 10 gånger och vill bestämma sannolikheten för att K kommer upp 3 gånger? Utfallsrummet består av 10 = 104 utfall. Av dessa innehåller ( ) 10 = 10! 3 3! 7! = = 10 precis 3 stycken K. Sannolikheten för 3 K blir då = Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Detta kan vi direkt bestämma genom att använda Binomialfördelningen ( ) n p k q n k k I vårt exempel är n = 10 (antalet kast), k = 3 (antalet lyckade kast ), p = 1 (sannolikheten för K) och q = 1 (sannolikheten för G). Vi kontrollerar ( 10 3 ) ( 1 ) 3 ( ) = Exempel 5 Hur stor är sannolikheten för stycken sexor när jag kastar en tärning fem gånger? Vi ska nu ersätta k i formeln ovan, i tur och ordning med ( 5 k ) ( 1 6 ) k ( ) 5 5 k 6 Sannolikheten för ett lyckat kast är alltså p = 1 6 och för ett misslyckat q = 5 6. Det gäller alltid att p+q = 1, så därför skulle vi kunna ersätta q i formeln med 1 p och få ( ) n p k (1 p) n k k Genom följande rad i Mathematica får vi svaret Table[Binomial[5, k (1/6)^k (5/6)^(5 - k), {k, 1, 5} // N { , , , , } 0 eller 1 sexa är överlägset, mest troligt. Sedan avtar förstås sannolikheten vart efter antalet sexor ökar. Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Exempel 6 Är den vanligaste för delningen av 4 barn i samma familj (,), det vill säga två flickor och två pojkar, eller är det (3,1), för det kan väl inte vara (4,0). Vi använder vår nya formel och ska låta k = ( 4 k Med Mathematica får vi ) ( 1 ) k ( ) 1 4 k Table[Binomial[4, k (1/)^k (1/)^(4 - k), {k, 1, 4} // N {0.5, 0.375, 0.5, 0.065} För fördelningen (4,0) = 0.15, för (3,1) 0.5 = 0.50 att jämföras med (,) Fördelningen (3,1) är alltså vanligast. Därmed inget sagt om, vilka det finns flest av. Mathematica Vi påminner om urnmodellen. Antal sätt att välja k element bland n. Med hänsyn till ordning Utan hänsyn till ordning Utan återläggning Med återläggning n! n k (n k)! ( n ( n+k 1 ) k) k Vi ska nu med Mathematica generera utfallsrummen för dessa fyra situtioner. Vi väljer n = 4 och k =. with(combinat); Utan återläggning Med hänsyn till ordning u = {a, b, c, d}; m = Permutations[u, {} Length[m {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, a}, {b, c}, {b, d}, {c, a}, {c, b}, {c, d}, {d, a}, {d, b}, {d, c}} 1 M = 4 3 = 1. Med återläggning Med hänsyn till ordning u = {a, a, b, b, c, c, d, d}; m = Permutations[u, {} Length[m {{a,a}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,a}, {b,b}, {b,c}, {b,d}, {c,a}, {c,b}, {c,c}, {c,d}, {d,a}, {d,b}, {d,c}, {d,d}} 16 M = 4 = 16. I U ingår k element av varje slag. Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Utan återläggning Utan hänsyn till ordning << Combinatorica u = {a, b, c, d}; m = KSubsets[u, Length[m {{a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}} M = ( 4 ) = 6 Med återläggning Utan hänsyn till ordning u = {a, a, b, b, c, c, d, d}; m = Union[Map[Sort, KSubsets[u, Length[m {{a, a}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, b}, {b, c}, {b, d}, {c, c}, {c, d}, {d, d}} 10 M = ( 5 ) = 10. Vi startar med att ta fram alla ordnade par med KSubsets[u,, där vi sedan sorterar varje liten lista. När vi sedan konverterar den stora listan till en mängd, försvinner alla dubbletter. Hockeyfinalen: Experter ansåg att HV71 s chanser att vinna en match mot Linköping i årets hockeyfinal var p = 5 8. Vilket är i så falla det förväntade totala antalet matcher, innan något lag vunnit 4 matcher och därmed blivit svenska mästare 008? f[ := Block[{lin, hv, i, sum = 0, m}, For[i = 1, i <= 10000, i++, lin = 0; hv = 0; m = 0; While[lin < 4 && hv < 4, m++; If[Random[Real, {0, 1} < 5/8, hv++, lin++ If[lin == 4 hv == 4, sum = sum + m ; sum/10000 // N f[ Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Teoriuppgifter Problem 1 Du ska stoppa ner 37 personliga brev i lika många kuvert på vilka du redan skrivit adressen. Om du gör det helt slumpmässigt. Hur stor är då sannolikheten att a) Alla breven hamnar i rätt kuvert b) Alla utom ett hamnar i rätt kuvert c) Alla utom två hamnar i rätt kuvert Problem Adam drog fyra linjer på ett pappersark, som till vänster i figuren. Han vek sedan papperet Figur 9.3: på mitten och bad sedan Bertil parvis förena linjerna. Därefter räckte Bertil över papperet till Adam igen och han förband linjerna på den andra sidan papperet utan att titta på vad Bertil hade gjort. Om linjerna nu är sammanbundna till en enda loop får du 100 kr av mig. Annars får jag 100 kr av dig. OK?, sa Adam. Stopp ett tag så jag får räkna lite, svarade Bertil. Vad kom Bertil fram till, ville han ställa upp på vadslagningen? Problem 3 Bertil blandar en vanlig kortlek medan han förklarar för Adam vad han tänker göra. Jag kommer att dela korten i tre högar och lägga dem på bordet med baksidan upp. Om ett eller flera av de tre korten, som ligger överst i varje hög, är en knekt, dam eller kung, får jag 100 kr av dig. I annat fall är jag skyldig dig 100 kr. Ställer du upp? Ja, svarade Adam utan att räkna på problemet. Gjorde han en korrekt bedömning? Håkan Strömberg 10 KTH STH

11 Problem 4 Hur många barn ska det minst finnas i en familj, för att sannolikheten ska vara p > 1, för att där finns minst en flicka och minst två pojkar? Problem 5 Vilken poängsumma förväntas man få efter 100 kast med en vanlig tärning? Problem 6 Experter ansåg att HV71 s chanser att vinna en match mot Linköping i årets hockeyfinal var p = 5 8. Vilket är i så falla det förväntade totala antalet matcher, innan något lag vunnit 4 stycken och därmed blivit svenska mästare 008? Problem 7 På casinot finns ett spel som kostar 10 kronor att spela. Det går ut på att singla slant tills gubben dyker upp. Får man gubbe i första kastat får man 1 krona från banken. Kommer gubben upp i andra kastet får man 4 kronor. Här är hela vinstlistan 1,4,9,16,...,n Hur mycket tjänar casinot i långa loppet per omgång på detta spel? Problem 8 Adam och Bertil spelar tärning. Adam kastar först två tärningar. Om sedan Bertil, när han kastar två tärningar, får en tärning som visar samma antal ögon som någon av Adams, så vinner han. I annat fall vinner Adam. Bestäm sannolikheten för att Adam kommer att vinna. Problem 9 Adam och fem andra äventyrare bestämde sig för att spela rysk roulette. Adam drog lotten, att skjuta sist. Sedan började man diskutera om man skulle snurra magasinet en gång, innan man började eller före varje nytt skott. Vilket är bäst för Adam? Problem 10 På hur många sätt kan lagledningen ta ut 3 11-mannalag med ur en grupp på 33 fotbollsspelare? Håkan Strömberg 11 KTH STH

12 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Problemlösning Problemlösning 1. Julpromenaden () Medan tomtenissarna väntade på att tomtefar skulle komma hem, tog de tillsammans med tomtemor en julpromenad. De gick hemifrån klockan 15 : 00 och promenerade först på slät mark, sedan uppför en sluttning, därefter nedför sluttningen och slutligen hem Ű hela tiden utan att stanna. De kom hem igen klockan 1 : 00, precis när släden med tomtefar stannade på gårdsplanen. Deras hastighet var 4 km/tim på slät mark, 3 km/tim i uppförsbacke och 6 km/tim i nedförsbacke. Hur lång var deras promenad? Problemlösning. MaskSudoku () Förutom de vanliga reglerna i Sudoku gäller att pusslet innehåller 18 maskar. De fyra Figur 9.4: talen som får plats i varje mask ska vara sorterade i stigande ordning från svansen fram till huvudet. I de 8 maskarna i yttre ringen anger ögonen i vilken ruta huvudet är beläget. För de övriga 10 maskarna måste du själv avgöra vad som är bak och fram. Problemlösning 3. Att stjäla en skatt () Adam, Bertil och Curt tillsammans med hunden Dog planerar att stjäla en skatt, som finns i ett slottstorn i trakten. När männen ska fly uppe ifrån tornet, med skatten, kommer de att använda ett rep, som de placerar i en talja. I var ända av repet finns en korg, i vilka de kan hissas upp eller ner. De måste dock vara försiktiga för om skillnaden i vikt mellan korgarna är mer än 10 kg, så kommer den tyngre av korgarna att nå marken med för hög fart, för de tre männen eller hunden och det finns risk för att passagerarna skadas. Skattkistan däremot klarar en hårdare stöt mot marken. Håkan Strömberg 1 KTH STH

13 Figur 9.5: Curt väger 105 kg, Adam väger 50, Bertil 60, hunden Dog 10 och skattkistan 30 kg. Hur kan männen och hunden fly tillsammans med skattkistan utan att någon blir skadad? Problemlösning 4. Försenad påskuppgift () Här ska du måla de 16 äggen i fyra färger, blåa, gula, gröna och röda, så att när man går Figur 9.6: ett varv i upplägget ska man stöta på alla ordnade par av färger. Bland andra (blå, gul), (röd, grön) (gul, blå) och (röd, röd). Problemlösning 5. Äggröra () Adam tog några av de målade äggen från en tidigare uppgift ovan. Han lade 5 gula ägg i påse 1. Av någon anledning plockade han emellertid över ett av dem till påse, som innehöll ett okänt antal gröna ägg. Sedan han därefter skakat om påse ordentligt, men försiktigt, tog han upp ett ägg på måfå och stoppade ner detta i påse 1, dock utan att titta på det. Därefter blandade han om äggen i påse 1 ordentligt, tog på måfå ett ägg ur denna, och placerade det återigen utan att se på det i påse. Därefter meddelade han sina vänner som fascinerat följt hans märkliga förehavanden att om han nu tog upp ett ägg på måfå ur påse var sannolikheten för att detta skulle visa sig vara ett grön ägg 3/5. Hur många gröna ägg fanns det ursprungligen i påse? Håkan Strömberg 13 KTH STH

14 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Problemlösning 6. Hur många finns det kvar? () Adam höll en föreläsning om sannolikheter för Bertil och Curt och beslöt sig för att ge en liten praktisk demonstration i ämnet. De här båda påsarna, förklarade han, har samma innehåll. Båda två innehåller 4 blå kulor, 4 röda och 4 gula. Jag kommer nu att, utan att se på kulorna, ta bort exakt så många kulor men inte fler ur påse 1 att jag kan vara säker på att mitt urval inrymmer åtminstone kulor med samma färg, plus åtminstone 1 kula vardera av de båda andra färgerna, och flytta över dem till påse. Och nu, förklarade han och slöt återigen ögonen, plockar jag tillbaka exakt så många kulor men återigen inte fler från påse till påse 1 att jag kan vara säker på att det måste finnas åtminstone 3 kulor av varje färg i den första påsen. Hur många kulor lämnade Adam kvar i påse? Problemlösning 7. Hinkar () Figur 9.7: I figur 9.7, ser vi två hinkar. Den ena rymmer 9 liter och den andra 4 liter. Vi befinner oss nere vid sjön och vårt problem är att mäta upp exakt 6 liter vatten. Det är tillåtet att fylla hinkarna med vatten från sjön, hälla vatten mellan hinkarna och att hälla tillbaka vatten i sjön. Men när vi häller från en hink måste vi fortsätta att hälla tills antingen hinken blir tom eller den andra blir full. Problemlösning 8. Ture tar en promenad () Vi återvänder till Ture och Taborti. Den här gången är han ute på en vandring. När han Figur 9.8: kommer till B (se kartan) hittar han en vägvisare där det står R 4 km och W 7 km. När han så småningom kommer fram till R står det där B km och W 3 km på vägvisaren. Till sist kommer han fram till W och totalt förvirrad läser han R 4 km och B 7 km på vägvisaren i W. I vilken stad bor det enbart sanningssägare (S), i vilken bara lögnare (L) och till sist i vilken stad bor de som alternerar mellan att tala sanning och ljuga, (A)? Håkan Strömberg 14 KTH STH

15 Problemlösning 9. Äggpyramiden () Figur 9.9: Till vänster ser vi hur fyra lager läggs tillsammans för att bilda en kvadratisk pyramid. Till höger ser vi den färdiga pyramiden från sidan Figuren visar en kvadratisk pyramid med ägg. Lagren från toppen och nedåt innehåller 1,4,9,16,... ägg. Man vet att ett ägg väger 57 gram och att det håller för ett tryck av 3648 gram. Hur många ägg kan man som mest ha i det understa lagret innan äggen knäcks, om vi antar att alla ägg i ett och samma lager utsätts för samma tryck? Problemlösning 10. Tjocka släkten () Ett sällskap på 10 personer består av 1 morfar och 1 mormor, 1 farfar och 1 farmor, 3 fäder och 3 mödrar, 3 söner, 3 döttrar, svärmödrar, svärfäder, 1 måg, 1 svärdotter, bröder och systrar. Hur är detta möjligt? Problemlösning 11. Fotbollsturneringen () Fyra stockholmsklubbar deltog i en turnering där alla lagen mötte varandra en gång. Här är slutställningen AIK Brommapojkarna Hammarby Djurgården Den andra kolumnen, efter namnen, står för hur många matcher de spelat. Därefter i tur och ordning: antalet vinster, antalet oavgjorda, antalet förlorade, antal gjorda mål, antal insläppta mål, antal poäng (3 för vinst, 1 för oavgjord och 0 för förlust). Ta reda på hur de 6 matcherna slutade. Problemlösning 1. Tappen ur tunnan () En läckande tunna är fylld med öl. I botten finns nämligen ett litet hål där ölen sakta runner ut. 8 studenter kan dricka ur tunnan på en timme, mot att 5 studenter behöver en och en halv timme. Hur lång tid behöver 11 studenter för att dricka upp all öl i tunnan? (Alla studenter dricker lika många liter öl i timmen) Håkan Strömberg 15 KTH STH

16 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 ( 37 1 a) 0 b) ) 37! 37! Lösning Teoriuppgift Bertil ville inte ställa upp. Det finns 9 olika kombinationer av bågarna. Av dem vinner Adam i 6 och Bertil i endast 3 fall. Lösning Teoriuppgift 3 Sannolikheten att Bertil förlorar, är samma sak som att alla de tre korten kommer från de 40 omålade korten: ( 40 3 ( 5 3 ) ) = Sannolikhet att Bertil vinner är då Adam borde inte ställa upp. 40! 37!3! 5! 49!3! = = Lösning Teoriuppgift 4 Vi startar med binomialfördelningen p(n,k) = ( n k )( 1 ) k ( ) 1 n k eftersom p = q = 1 kan den skrivas Första varianten uttryckt i Mathematica p(n,k) = ( )( n 1 k f[n_, k_ := Binomial[n, k*(1/)^k*(1/)^(n - k) Nu vill vi bestämma sannolikheten för varje fördelning av pojkar och flickor Vi tar då till följande Mathematica-kod ) n (p,f) = (n,0),((n 1),1),((n ),)...(0,n) g[n_ := Table[{k, n - k, f[n, k}, {k, 0, n} Funktionen producerar en lista med mindre listor som innehåller: antalet pojkar, antalet flickor, sannolikheten för detta. Det minsta antalet barn som kan komma ifråga är 3. g[3 ger listan Håkan Strömberg 16 KTH STH

17 {{0,3,1/8}, {1,,3/8}, {,1,3/8}, {3,0,1/8}} Sannolikheten för att det ska finnas minst en flicka och minst två pojkar är 3 8, som inte är tillräckligt. För g[4 får vi. {{0,4,1/16},{1,3,1/4},{,,3/8},{3,1,1/4},{4,0,1/16}} När vi summerar = 5 8. Sannolikheten för att det finns minst en flicka och minst två pojkar bland 4 barn är 0.65 > 0.5 Lösning Teoriuppgift 5 ( ) 6 + = = 350 Lösning Teoriuppgift 6 Om vi markerar med en 1:a för HV71-vinst och 0:a för Linköping-vinst är till exempel serien möjlig. HV71 tar SM efter 5 matcher. sannolikheten för att just denna serie ska inträffa är = Nu finns det 4 sätt för HV71 att vinna efter 5 matcher: 01111, 10111, 11011, Serien måste ju avslutas med en HV71 vinst. Sannolikheten att serien ska vara avslutat efter 5 matcher med HV71 som segrare är alltså ( ) ( ) ( ) På liknande sätt bestämmer vi så sannolikheten att serien är avslutad efter 4,6 respektive 7 matcher. Samt sannolikheten för att Linköping vinner i matcher. Leder till denna formel 6 n=3 5(n+1) 8 ( )( n ) 3 ( ) 3 n n=3 3(n+1) 8 ( )( n ) n 3 ( ) Lösning Teoriuppgift 7 Vi kan direkt ställa upp följande uttryck ( ) ( ) 1 +9 ( ) för att beräkna spelarens förväntade vinst. Vi har att summera en geometrisk serie ( ) 1 i i=1 Med Mathematicas hjälp skriver vi och får svaret Håkan Strömberg 17 KTH STH

18 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA sum[i^ (1/)^i, {i, 1, Infinity} 6 Det vill säga casinot tjänar 6 kronor per omgång. Lösning Teoriuppgift 8 Vi måste skilja på två fall: (1) Adam kastar en dubbel () Adam kastar inte en dubbel. Figur 9.10: Sannolikheten att Adam ska kasta en dubbel är Bertil har nu q = 36 att en av tärningarna visar samma antal ögon som Adams båda (räkna rutor i figuren). Sannolikheten att Bertil vinner om Adam kastar en dubbel är därför: = Bertil har nu sannolikheten q = 0 36 Sannolikheten att Adam inte kastar en dubbel är = 5 6 att en av tärningarna överensstämmer med en (eller båda) av Adams (räkna rutor igen). Det ger sannolikheten = Totalt ger det = Bertil har alltså störst chans att vinna. Håkan Strömberg 18 KTH STH

19 Lösning Teoriuppgift 9 Om man snurrar magasinet en gång har alla deltagarna inklusive Adam sannolikheten p = 1 6 förlora. Om man snurrar magasinet inför varje skott är sannolikheten att alla framför Adam har klarat sig ( ) Sannolikheten att Adam ska förlora ( ) = att jämföra med Han har 10% större chans att överleva om magasinet surras inför varje skott. Med denna metod finns ju sannolikheten att ingen förlorar. Lösning Teoriuppgift 10 ( 33 )( ! ) = Till första laget har vi 33 spelare att välja ifrån. Återstår sedan spelare för att formera nästa lag. Man dividerar med 3!, eftersom man inte gör någon skillnad på det tre lagen (utan hänsyn tagen till ordningen). Hade det istället varit frågan om att formera ett A-, B- och C-lag skulle vi inte ha dividerat med 6. Laboration Laborationsuppgift 1. De tre sista siffrorna () De tre sista siffrorna i ett tal t är...x5. Vilka värden kan x anta om man vet att t är en heltalskvadrat? Laborationsuppgift. Hur många lösningar () Vi har följande tre mängder Hur många lösningar har ekvationen om x A,y B och z C? A = {1,,3,4,5,6,7} B = {8,9,10,11,1,13,14} C = {15,16,17,18,19,0,1} x+y+z = 31 Laborationsuppgift 3. Formel för primtal? () Vi utgår från polynomet p(n) = n +n+41 och bestämmer p(n) för n = 0... m. Bestäm m så att p(n) alla är primtal. Håkan Strömberg 19 KTH STH

20 9.1. MER SANNOLIKHETSLÄRA Laborationsuppgift 4. Rangordna () Vi har fyra heltal a,b,c,d. Allt vi vet är att a b < c d < 1 Kan du med utgångspunkt från detta rangordna följande fem uttryck efter stigande värde? b a, d c, bd ac, b+d a+c, 1 Laborationsuppgift 5. Produkt av primtal () n är produkten av 5 olika udda primtal. Talet n innehåller tre olika siffror a,b och c och dess utseende kan beskrivas med abcab. Hur många tal n finns det? Laborationsuppgift 6. Stigande ordning () n lappar, med talen 1...n skrivna på dem, läggs i en hatt. Man drar 4 lappar ur hatten (utan återläggning). Hur stor är sannolikheten att talen på lapparna dras i stigande ordning. Beräkna exakta värdet för n = ( extra poäng om du kan ange en formel för n) Laborationsuppgift 7. Kulor ur hatten () När man på en gång drar kulor ur hatten är sannolikheten 1 3 att de båda är svarta. När man däremot drar 3 kulor är sannolikheten 1 6 att alla är svarta. Hur många svarta respektive vita kulor finns det i hatten? Laborationsuppgift 8. Tills en svart () I en urna finns 1 vita bollar och 3 svarta. Du får dra bollar ur urnan tills du drar en svart boll. Du får 5 kronor för varje vit boll du drar. Hur mycket kan du förvänta dig att vinna? Laborationsuppgift 9. Växla en hundralapp () Hur många kombinationer av mynt och sedlar finns det där summan är 100 kronor, om de tillåtna valörerna 1, 5, 10, 0, 50 kronor? Laborationsuppgift 10. Att dra fyra ess () Att från en vanlig kortlek, med 5 kort, dra 4 kort (utan återläggning) där alla är ess har 1 chans på 7075 att lyckas. Genom att plocka bort kort som inte är ess från leken ökar man chansen att få 4 ess. Hur många kort (tillsammans med de fyra essen) ska man ha i kortleken för att sannolikheten att dra de fyra essen ska bli så nära 1 chans på 1000 som möjligt? Håkan Strömberg 0 KTH STH

21 Laborationsuppgift 11. Identifiera x och y () Uttryck x och y i r och k så att detta samband gäller ( ) r = x ( ) r 1 k y k 1 Håll utkik i Pascals triangel Laborationsuppgift 1. Funktion som generar permutationer (4) Skriv en funktion i C som implementerar följande algoritm för att generera permutationer. Algoritmen är hämtad från Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Algorithm Generate the permutations of 1... n in lexicographic order. a 1 a...a n := 1...n while a 1 a...a n n n m :=the rightmost location such that a m is followed by a larger number a 1 a...a m 1 = a 1a...a m 1 {retain everything to the left of a m } a m :=the smallest number larger than a m to the right of a m a m+1 a m+...a n := everything else, in ascending order a 1 a...a n := a 1 a...a n output a 1 a...a n Håkan Strömberg 1 KTH STH