Kapitel Gränsvärden: inledande exempel. Example 2.1. Tänkpåattdubehöverskissautseendetfört.ex.funktionenf(x,y) = xy. kx 2 x 2 +k 2 x 2 = k

Transkript

1 Kapitel Gränsvärden.. Gränsvärden: inledande eempel Eample.. Tänkpåattduehöverskissautseendetfört.e.funktionenf(,) = +.Definitionsmängden av f är D f = R \. Eftersom funktionen f saknar värde i origo, ehöver vi studera vad som händer med funktionsvärdet då punkten = (,) går mot. För att skissa grafen till f i omgivning av origo studerar vi olika linjer som går genom origo: = k f(,) = f(,k) = k +k = k +k, k R. k = k = k = k =.5.5 Detta vissar land annat att linjerna = k,, är nivåkurvor till f! Om man närmar sig origo längs linjerna = k närmar sig funktionens värden k, vilket vissar att (funktionens) gränsvärde är olika för olika +k värde på k. Med andra ord saknar funktionen f gränsvärde äi origo. Eample.. Undersök funktionen f(,) = sin( ). Då D f = R \linjen = }. Grafen till f är Eample.3. Undersök funktionen f(,) = ( +). 7

2 8. Gränsvärden.. Gränsvärde: definition och egenskaper Definition.. Låt f vara en funktion från R n till R p med definitionsmängden D R n och antag att a är en inre punkt eller en randpunkt till D. Vi säger då att f har gränsvärdet R p i punkten a om det till varje tal ǫ > finns det ett tal δ > sådant att < a < δ och D medför att f() < ǫ Vi skriver detta som alternmativt lim f() = a f då a Eample.4. Betrakta R och f(,) =. Visa att lim (,) (,3) f(,) = 3. Tips: testa med δ = ǫ/. Definition.. Låt D R n och f : D R p. Antag att D B(R) c för alla R > (med andra ord att D avlängsar sig långt ort från origo). Vi säger att om det till varje tal ǫ > finns det R > sådant att lim f() = > R och D medför att f() < ǫ Os! att lim a f() inte är definierat om a är en isolerad punkt i D f Reellvärda funktioner av två varialer: särslilda eteckningar lim f(,) (,) (a,) och gränsvärde i oändligheten: lim + f(,) Vektorvärda reellvärda funktioner. Det räcker med att studera komponenter: om f = (f,...,f p ) och = (,..., p ) så gäller det att lim f() = lim f j() = j, j =,...,p. a a Sammansättningsregel.AntagattD R n,e R p,ochf : D E,g : E R q.dågesdensammansatta funktionen g f av (g f)() = g(f()), D. Om f då a och g c då så gäller sammansättningsregel: g f c då a. Eample.5. Undersök lim (,),) e tan. Summa. Antag att f och g ähar samma definitionsmängd D R n och f R p, g R p. Då gäller att lim(f()+g()) = lim f()+ lim g() a a a

3 .3. Kontinuerliga fuinktioner 9 Produkt och kvot. Antag att f och g är reellvärda funktioner med samma definitionsmängd D R n. Då gäller att lim f()g() = lim f() lim g(). a a a Om lim a g() dågäller att f() lim a g() = lim af() lim a g(). Instängningsregeln. Antag att reellvärda funktioner f och h har samma gränsvärde i punkten a och att det också gäller att f() g() h() i D. Då eisterar gränsvärdet lim a g() och är lika med det gemensamma gränsvärdet av f och h. Instängningsregeln för asoluteloppet. Om f() g() i D och lim a g() = då eisterar gränsvärdet lim a f() och lim a f() =. Bevis. Tänk så här: om vi lir tilldelade ett litet ǫ > då eisterar δ > så att vilket medför att f() < g() = g() < ǫ, V.S.B. g() < ǫ om < a < δ Negativt test. För att visa att ett gränsvärde i en punkt a inte eisterar så räcker det med att det finns två vägar som gör att gränsvärdet får olika värden. Eample.6. Betrakta funktionen f(,) = + och a = (,). Gränsvärde i origo: (eteckning) lim f(,) = lim f(,), där ρ = + är den polära radien. (,) (,) ρ Eample.7. Undersök lim (,) (,) +. Lösning. I polära kordinater: f(,) = + = ρ cos ϕ ρ sin ϕ ρ ρ = ρ då ρ. Det kallar vi en ϕ-oeroende uppskattning. Med hjälp av instängningsregeln för asoluteloppet (med g(, ) = ρ = + ) följer att lim (,) (,) + =..3. Kontinuerliga fuinktioner Det ästa fallet är när värde sammanfaller med gränsvärde. Definition.3. Låt f vara en funktion från R n till R p med definitionsmängden D R n. Vi säger att f är kontinuerlig i punkten a D om gränsvärde lim a f() eiterar och lim f() = f(a). a Om f är definierad i en punkt a D f med ej kontinuerlig i a då sägs den ha en diskontinuitet i a. Om en funktion är kontinuerlig i varje punkt i dess definitionsmängd så sägs den vara kontinuerlig. Alla polnom i flera varialer, t. e. z z 3 är kontinuerliga funktioner (varför?)

4 . Gränsvärden.4. Satser om kontinuerliga funktioner Sats (Satsen om största och minsta värde). Om f är en reellvärd kontinuerlig funktion med kompakt definitionsmängd D så har f såväll ett största som ett minsta värde på D. En mängd D R n sägs vara ågvis sammanhängande om det till varje par a, av punkter i D finns en kontinuerlig kurva t (t), α t β sådan att (t) D för alla t och (α) = a och (β) =. a Sats (Satsen om mellanliggande värden). Låt f vara en reellvärd kontinuerlig funktion med ågvis sammanhängande definitionsmängd D. Om f i D antar två värden f(a) och f() så antar f också alla värden mellan f(a) och f(). Eample.8. a) Funktionen f(,) = + är inte kontinuerlig i origo eftersom den saknar värde i (,). ) Funktionen f(,) = + om (,) (,) om (,) = (,) är inte kontinuerlig i origo eftersom den saknar gränsvärde i (, ). c) Funktionen f(,) = är kontinuerlig i origo enligt Eempel.7. + om (,) (,) om (,) = (,) Eample.9. Undersök f(,) = då (,) (,). Lösning. Med hjälp av ϕ-oeroende uppskattning: f(,) = ρ +ρ 4 cos ϕsin ϕ ρ = ρ cos ϕsin ϕ ρ då r. så att lim (,) (,) f(,) =. Gör så här: om du har nämnare som a + resp. a + +cz då hjälper ofta generaliserade (eller modifierade) polära (resp. rmmdpolära) koordinater: = a = a rcosϕsinθ = resp = rcosϕsinθ z = c rcosθ

5 .4. Satser om kontinuerliga funktioner Eample.. Bestäm om möjligt f(,) så att f(,) = 3 +4 lir kontinuerlig i (,) Lösning. Vanliga polära koordinater ger ingen effekt eftrsom +4 = ρ cos ϕ+4ρ sin ϕ ρ. Istället anpassar vi variaelte (de så kallade generaliserade polära koordinater) = så följer det att alltså = 4 +4 = ρ cos ϕ+4 4 ρ sin ϕ = ρ, 3 +4 = ρ 3 (cos 3 ϕ sinϕcos ϕ) ρ = ρ(cos 3 ϕ sinϕcos ϕ) ρ då ρ. Eample.. Kan man definiera f(,) = Lösning. Undantagspunkt nämnare = ger = +( +) =, i undantagspunkten så att f lir kontinuerlig där? alltså (,) = (, ). Med hjälp av polära koordinater (med punkten (, ) som polen), = + = + så får vi 3 +( +) = ρ 3 ( +ρsinϕ) ρ ρ(+ρ) då ρ. d.v.s. lim (,) (, ) f(,) =. Alltså lir den utvidgade funktionen 3 om (,) (, ) f(,) = + ++ om (,) = (, ) kontinuerlig.