Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017

Transkript

1 Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Examinator: Krister Svanberg, tel: , Labassistent: David Ek, Lämnas i Matematiks svarta postlåda (SF) för inlämningsuppgifter, framför expeditionen på Teknikringen 8, senast Tisdag 18 april, eller lämnas till examinator vid slutet av föreläsningen, dvs kl 12:00, Onsdag 19 april. I denna uppgift är samarbete tillåtet, men varje student ska själv genomföra de beräkningar som krävs samt, med egna ord, redovisa sina resultat och hur uppgiften lösts där så anges nedan. Varje student lämnar in sin egen rapport, som i denna hemuppgift endast ska bestå av detta häfte, ifyllt för hand. Vissa studenter kommer att väljas ut för enskild muntlig redovisning av uppgifterna. Kallelse sker via e-post, så kontrollera regelbundet denna. Korrekt löst och redovisad uppgift ger fyra hemtalspoäng. Namn:... Personnummer:... E-postadress:... Jag har använt matris nr:...(se uppgift 1 nedan) Personer jag samarbetat med: (om du inte löst uppgiften helt på egen hand) Denna hemuppgift kommer främst att vara en övning i linjär algebra och syftar till att ge en ökad förståelse för begrepp som linjära underrum, bildrum, nollrum, ortogonala komplement och baser till underrum. Dessutom ges en viss introduktion till nätverksflöden. 1. Välj en 7 5 matris A på följandesätt. Låt d {1,2,...,31} varaden dag i månaden som just du är född och låt k {0,1,...,14} vara den rest som erhålls när man dividerar d med 15. Som matris A ska du välja den av matriserna A k på sidan 5 som svarar mot denna rest k och ringa in den. (Exempel: Om du är född den 19:e ska du välja matrisen A 4 och om du är född den 8:e ska du välja matrisen A 8.) Matrisen kan hämtas på kursens hemsida 1

2 Sid 2 av 6 Hemuppgift 1, optimeringslära SF1861 På denna och nästa sida ska samtliga svar redovisas med två decimaler, om det inte är heltal. Använd inte format rat i matlab. (a) Transformera matrisen A till reducerad trappstegsform med hjälp av funktionen rref i Matlab (dvs Gauss-Jordans metod) och fyll i nedan. T =. Givet denna matris T, bestäm för hand, utan matlab, två matriser V 1, och V 2 sådanaattkolonnernaiv 1 utgörenbastillunderrummetr(a),ochkolonnerna i V 2 utgör en bas till underrummet N(A). Fyll i nedan: (stryk de rutor du inte behöver) V 1 =, V 2 = (b) Transformera matrisen A T till reducerad trappstegsform med hjälp av funktionen rref i Matlab, och fyll i nedan. T =. Givet denna matris T, bestäm för hand, utan matlab, två matriser W 1 och W 2 sådana att kolonnerna i W 1 utgör en bas till underrummet R(A T ), och kolonnerna i W 2 utgör en bas till underrummet N(A T ). Fyll i nedan: (stryk de rutor du inte behöver) W 1 =, W 2 =

3 SF1861 Hemuppgift 1, optimeringslära Sid 3 av 6 (c) Vi vet att R(A T ) och N(A) är varandras ortogonala komplement i IR 5, så en godtycklig vektor i IR 5 kan skrivas som en summa av en vektor i bildrummet till A T och en vektor i nollrummet till A. Låt x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) T där x i = den i:te siffran i ditt 10-siffriga personnummer. Givet denna vektor x, bestäm två vektorer y och z sådana att y R(A T ), z N(A) och x = y+z. Ledning: Använd dig av matriserna W 1 och V 2 ovan (fast ej avrundade till två decimaler): Varje vektor y R(A T ) kan skrivas på formen y = W 1 t för någon vektor t, och varje vektor z N(A) kan skrivas på formen z = V 2 s för någon vektor s. Bestäm t och s (mha Matlab) ur ekvationssystemet W 1 t+v 2 s = x. x =, y =, z =, y T z =... (d) Låt nux = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) T därx i = deni:te siffraniditt 10-siffriga personnummer. Givet denna vektor x, bestäm två vektorer y och z sådana att y R(A), z N(A T ) och x = y+z. x =, y =, z =, y T z =...

4 Sid 4 av 6 Hemuppgift 1, optimeringslära SF A 0 = A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = A 6 = A 7 = A 8 = A 9 = A 10 = A 11 = A 12 = A 13 = A 14 =

5 SF1861 Hemuppgift 1, optimeringslära Sid 5 av 6 2. I denna uppgift studeras ett nätverk som definieras av figuren nedan. Vi låter x ij beteckna flödet i bågen (i,j) och det externa flödet till noderna betecknas b i, för i = 1,...,5. I figuren har vi bara ritat ut två sådana externa flöden. Vi kräver inte att ovanstående flöden x ij ska vara positiva, om exempelvis x 12 är negativ så betyder det att flödet i bågen (1,2) går från nod 2 till nod 1. På motsvarande sätt skall flödet b 1 tolkas som ett externt inflöde till nod 1 om b 1 > 0 och utflöde om b 1 < b_1 1 5 b_5 Flödesbalansen i de fem noderna beskrivs av ekvationen Ax = b, där A = , x = x 12 x 14 x 15 x 23 x 24 x 34 x 45 b 1 b 2 b = b 3 b 4 b 5 (a) Transformera A till reducerad trappstegsform med hjälp av rref, samt bestäm för hand, utan matlab, en bas v 1,v 2,v 3 för nollrummet N(A). v 1 =, v 2 =, v 3 =. (b) Dessa basvektorer motsvarar så kallade slingflöden, eller cykelflöden, dvs flöden som varken har källa eller sänka utan enbart går runt inne i nätverket. Vilka slingflöden svarar din bas mot? Rita in dessa i nätverksgrafen ovan, med tre olika färger!

6 Sid 6 av 6 Hemuppgift 1, optimeringslära SF1861 (c) TransformeraA T till reduceradtrappstegsformmedhjälpavrref,samt bestäm för hand, utan matlab, en bas för nollrummet N(A T ). Vad blev det för bas?. (d) Låt B vara den matris som erhålls om man stryker sista raden i matrisen A. Upprepa (a)-uppgiften och (c)-uppgiften med B i stället för A. Svar på (a)-uppgiften:.... Svar på (c)-uppgiften:.... (e) Låt b = (1,0,0,0, 1) T och x 0 = (0,0,1,0,0,0,0) T. Är Ax 0 = b? Svar:... Låt t 1,...,t 6 vara de sex första siffrorna i ditt 10-siffriga personnummer, och beräkna (gärna med matlab) x = x 0 +(t 1 +t 2 )v 1 +(t 3 +t 4 )v 2 +(t 5 +t 6 )v 3. Skriv in det flöde som svarar mot denna vektor x i nätverksgrafen nedan, dvs ange på varje båge i grafen hur mycket flöde som går i bågen (med tecken) b_1 1 5 b_5 Gäller för din vektor x att Ax = b? Svar:... Bevisa att med A, b, x 0, v 1, v 2 och v 3 enligt ovan så gäller att vektorn x = x 0 +(t 1 +t 2 )v 1 +(t 3 +t 4 )v 2 +(t 5 +t 6 )v 3 uppfyller Ax = b för alla värden på talen t 1,...,t 6, även icke heltaliga och negativa. Testa först numeriskt att det verkar stämma. Bevis: (använd enbart dessa rader!)... Lycka till!