Projektion av träningsdata på aktuell underrum av dim 1. Föreläsning 7: Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts.
|
|
- Gösta Berglund
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Projektion av träningsdata på aktuell underrum av dim Föreläsning : Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts. Berkant Savas Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA Institutionen för teknik och naturvetenskap Linköpings universitet mars z (vikt) x (hojd) y (bredd) Respektive underrum spänns upp av den första vänster-singulära-vektorn u / / er vid projektion på underrum för morötter er vid projektion på underrum för potatis Projektion pa underrum for morotter for potatisar for morotter 9 Projektion pa underrum for potatis for potatisar for morotter Beskriver underrummet potatisarna bra? / Beskriver underrummet potatisarna bra? /
2 Projektion av träningsdata på aktuell underrum av dim er vid proj på underrum dim- för morötter z (vikt) Projektion pa underrum av dim for morotter for potatisar, dim for morotter, dim for potatisar, dim for morotter, dim y (bredd) x (hojd) Respektive underrum spänns upp av u och u, de två första vänster-singulära-vektorerna. Notera att underrummen (båda) är plan genom origo! / Beskriver underrummet potatisarna bra? / er vid proj på underrum dim- för potatis Test: morötter från testmängden, dim- 9 Projektion pa underrum for potatis for potatisar, dim for morotter, dim for potatisar, dim for morotter, dim Morotter (testdata) Underrum for potatis, dim Underrum for morot, dim Beskriver underrummet potatisarna bra? / Morot Hur många blir korrekt klassificerade? /
3 Test: potatis från testmängden, dim- Test: morötter från testmängden, dim- Potatis (testdata) Underrum for potatis, dim Underrum for morot, dim. Morotter (testdata) Underrum for potatis, dim Underrum for morot, dim... Potatis Morot Hur många blir korrekt klassificerade? 9 / Hur många blir korrekt klassificerade nu? / Test: potatis från testmängden, dim- Algoritm : Klassificering genom projektion på underrum. Potatis (testdata) Underrum for potatis, dim Underrum for morot, dim TRÄNINGSFAS Använd träningsdata för att bestämma ett underrum för varje klass. Underrummen fås genom SVD från träningsdata för en klass: Ū V t = A potatis R. Ũ Ṽ t = A morot R Bestäm dimensionen d av underrumen, t.ex. d =, d = De första d vektorerna ur Ū och Ũ bildar baser för underrum:. B p =(ū,...,ū d ) B m =(ũ,...,ũ d ) Potatis Hur många blir korrekt klassificerade nu? / Endast basvektorerna i B p och B m används i testfasen. Modellen för en klass blir underrummet som representeras av dess basvektorer i B p och B m. /
4 Algoritm : Klassificering genom projektion på underrum TESTFAS För varje objekt b itestmängden: Projicera objektet på underrum för varje klass. Lös problemen Siffrorna Siffrorna är från US Postal Service databas Lösningarna ges av min kb p x x bk med lösning x p min kb m x x bk med lösning x m x p = B t pb resp. x m = B t mb b s projektion på underrummen blir B p x p samt B m x m Bestäm normen av residualerna som hör ihop med varje projektion. np = kb B p x p k n m = kb B m x m k Underrummet som ger minst residual bestämmer klassen för b. Jämför med facit om resultatet blev rätt! / siffror i träningsmängden siffror i testmängden / Siffrorna Siffrorna Varje siffra är en bild med pixlar i gråskala Varje siffra lagras som en matris Numeriska värden för pixlarna ligger mellan och = vit bakgrund = svart bakgrund däremellan stegvis övergång från vit till svart Undersök i MATLAB Morötter och potatisar representeras som vektorer i R Men siffror är matriser! Problem? Lösning? / /
5 Siffrorna Morötter och potatisar representeras som vektorer i R Men siffror är matriser! Problem? Lösning? En given matris kan associeras med en vektor T.ex. A =! a = B A MATLAB-tips: använd funktionen reshape Vi associerar varje matris (som representerar en siffra) med en vektor i R Siffrorna utgör då punkter(vektorer) i R Vi kan nu tillämpa samma metoder på siffrorna som vi gjorde med morötter och potatisar Algoritm : Klassificering genom projektion på underrum TRÄNINGSFAS Använd träningsdata för att bestämma ett underrum för varje klass. Underrummen fås genom SVD från träningsdata för en klass: U (i) (i) V (i),t = A i R n i i =,,,...9 Bestäm dimensionen d av underrumen, t.ex. d = De första d vektorerna ur U (i) bildar baser för underrum: B i =(u (i),...,u(i) ) i =,,,...9 d Endast basvektorerna i B,...,B 9 används i testfasen. Modellen för en klass blir underrummet som representeras av dess basvektorer i B i / / Algoritm : Klassificering genom projektion på underrum TESTFAS För varje objekt b itestmängden: Projicera objektet på underrum för varje klass. Lös problemen min x kb i x bk med lösning x i i =,,,...9 Lösningarna ges av x i = B t i b, i =,,,...9 b s projektion på underrummen blir B i x i, i =,,,...9 Bestäm normen av residualerna som hör ihop med varje projektion. n i = kb B i x i k i =,,,...9 Underrummet som ger minst residual bestämmer klassen för b. Jämför med facit om resultatet blev rätt! 9 / Rapportskrivning/redovisning En rapport och max två sidor lämnas in Ni får en annan rapport att opponera på Skriftlig opposition om ca en sida lämnas in Muntlig presentation ( min) och muntlig opposition ( min) Inlämning av ev. korrigerad rapport, alltid! Bedömningsmoment (per grupp): Rapport och presentation Opposition, skriftlig och muntlig Godkänd på MP när alla moment är godkända /
6 Reproducerbarhet Förslag på disposition Resultatet skall gå att reproducera Förutsättningar och procedurer måste anges tillräckligt noggrant för att kunna upprepas Utnyttja referenser En grundbult i begreppet "vetenskaplighet" Inledning/bakgrund Redogörelse för hur problemet löstes, metoder, algoritmer Resultat Diskussion (rimlighet) Slutsatser Referenser / / Viktiga datum I Viktiga datum II Gruppindelning meddelas respektive lärare per e-post senast tisdag mars kl. ED-specifika datum: Uppladdning av rapport miniprojekt senast tisdag april kl. :. Oppositionslista för ED anslås på Lisam senast tisdag april kl. :. Uppladdning av opposition miniprojekt senast onsdag 9 april kl. :. KTS- och MT-specifika datum: Uppladdning av rapport miniprojekt senast onsdag 9 april kl. 9:. Oppositionslista för KTS och MT anslås på Lisam senast torsdag april kl. 9:. Uppladdning av opposition miniprojekt senast fredag april kl. :. Uppladdning av eventuellt omarbetad rapport miniprojekt senast fredag maj kl. :. Resultat med återkoppling anslås inom tio arbetsdagar från maj. Uppladdning av rapport miniprojekt senast måndag 9 maj kl. : Resultat anslås inom tio arbetsdagar från maj. Inlämning får inte ske via e-post. Det blir ett extrainsatt lektionstillfälle i datorsal, mitten på nästa vecka. Jag kommer att vara tillgänglig (framförallt) för frågor kring implementering. / /
Föreläsning 7: Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts.
Föreläsning 7: Klassificering, minsta kvadratproblem, SVD, forts. Berkant Savas Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA5 Institutionen för teknik och naturvetenskap Linköpings universitet
Läs merMiniprojekt 1 (forts): 2D datorgrafik, avbildningar och begrepp
Miniprojekt 1 (forts): 2D datorgrafik, avbildningar och begrepp TNA005: Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap för ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2018 Berkant Savas Kommunikations- och transportsystem
Läs merKURSUPPLÄGG OM PRESENTATIONER OCH OPPOSITIONER SYFTE MED RAPPORTER OCH OPPOSITIONER DAGENS PROGRAM. UPG1 (klart)!
KURSUPPLÄGG OM PRESENTATIONER OCH OPPOSITIONER Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA005! För ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2014 UPG1 (klart)! Miniprojekt 1 i grupp, UPG5, UPG8 (engelska),
Läs merOM PRESENTATIONER OCH OPPOSITIONER. Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA005 För ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2015
OM PRESENTATIONER OCH OPPOSITIONER Tillämpad matematik i natur och teknikvetenskap, TNA005 För ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2015 1 KURSUPPLÄGG UPG1 (nästan klart) Miniprojekt 1 i grupp, UPG5, UPG8 (engelska),
Läs merIntroduktion till kursen och MATLAB
Introduktion till kursen och MATLAB TNA005: Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap för ED1, KTS1, och MT1 vårterminen 2018 Berkant Savas Kommunikations- och transportsystem Institutionen för teknik
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
170 16 LINJÄRA AVBILDNINGAR 16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 16.33. Låt F : V W vara en linjär avbildning. 1. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V, vilkas bild
Läs mer16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen
86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,
Läs merKravspecifikation Fredrik Berntsson Version 1.3
Kravspecifikation Fredrik Berntsson Version 1.3 Status Granskad FB 2017-01-27 Godkänd FB 2017-01-27 Dokumenthistorik Version Datum Utförda ändringar Utförda av Granskad 1.0 2014-01-15 Första versionen
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas i Matematiks svarta postlåda (SF) för inlämningsuppgifter,
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T Examinator: Per Enqvist, tel: 790 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Amol Sasane, sasane@math.kth.se, Mikael Fallgren, werty@kth.se. Lämnas in till någon
Läs merHemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016
Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2016 Examinator: Krister Svanberg, tel: 790 7137, krille@math.kth.se. Labassistent: David Ek, daviek@kth.se, Lämnas in till någon av oss senast tisdag 19 april
Läs mer29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess
29 november, 2016, Föreläsning 21 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess Minsta-kvadratmetoden - exempel 1. Uppgift. Tentamen 19/1-15, uppgift
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 8 Institutionen för matematik KTH 16 november 2016 Matriser och linjära avbildningar Dagens ämnen (kap 3.3 och 3.4): Exempel på linjära avbildningar Nollrum och Bildrum Dimensionssatsen / Rangsatsen
Läs merSpelschema för årets fotbollsmästerskap! island tyskland Söndag 14/7 Växjö Arena, Växjö. Söndag 14/7 Kalmar Arena, Kalmar
! Onsdagen 10/7 Onsdagen 10/7 Torsdag 11/7 Torsdag 11/7, Fredag 12/7 Fredag 12/7 Lördag 13/7 Lördag 13/7 Söndag 14/7 Söndag 14/7 Måndag 15/7 Måndag 15/7 Tisdag 16/7 Tisdag 16/7 Onsdag 17/7 Onsdag 17/7
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 16 Institutionen för matematik KTH 5 december 2017 Modul 6 Veckans arbete 1. Idag: Ortonormalt, kap 7.1-7.2 a. Ortogonala och ortonormala baser b. Gram-Schmidts metod c. Ortogonala matriser
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merStöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.
LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja
Läs merTNA005: Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap. Kursinformation VT 2015
TNA005: Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap Kursinformation VT 2015 1 Mål och innehåll I den här kursen är avsikten att du skall få tillämpa dina kunskaper i linjär algebra och begynnande kunskaper
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 10 Institutionen för matematik KTH 21 november 2016 Dagens och veckans ämnen Idag: Allmänna vektorrum, baser, koordinater, kap 4.1-4.4: Vektorrum och delrum, igen Bas, igen Koordinater med
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merOrtogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden.
Ortogonal dekomposition. Minstakvadratmetoden. Nästa sats är en utvidgning av begreppet ortogonal projektion av en vektor på en annan vektor. Ortogonal projektion på ett underrum. Satsen om ortogonal dekomposition
Läs merMinsta kvadratmetoden
Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva
Läs mer1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.
Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),
Läs merUPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik
UPG5 och UPG8 Miniprojekt 1: 2D datorgrafik I den här uppgiften studerar vi hur man kan använda sig av linjära avbildningar för att modifiera bilder i två dimensioner Mycket är repetition av vissa grundbegrepp
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs mer6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet. TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6. Lärmål 6.1. Skalärprodukt. Viktiga begrepp
6.1 Skalärprodukt, norm och ortogonalitet TMV141 Linjär algebra E VT 2011 Vecka 6 Skalärprodukt Norm/längd Normerad vektor/enhetsvektor Avståndet mellan två vektorer Ortogonala vektorer Ortogonala komplementet
Läs merInför tentamen i Linjär algebra TNA002.
Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 --4 DAG: Måndag 4 januari TID: 8.45 -.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 (ankn. 94) Förfrågningar:
Läs merGRAM-SCHMIDTS METOD ... Med hjälp av Gram-Schmidts metod kan vi omvandla n st. linjäroberoende vektorer. samma rum dvs som satisfierar
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR GRAM-SCHMIDTS METOD Med hjälp av kan vi omvandla n st linjäroberoende vektorer vv vv nn i ett vektorrum till n st ortonormerade vektorer ff ff nn som spänner upp samma rum
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merInstitutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.
Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson
Läs merLinjär algebra I, vt 12 Vecko PM läsvecka 4
Linjär algebra I, vt 12 Vecko PM läsvecka 4 Lay: 2.8-2.9, 4.1-4.6 Underrum i R n, dimension och rang. Vektorrum. Innehållet i avsnitten 2.8 och 2.9 täcks av kapitel 4, men presenterar begreppen på ett
Läs merTANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
TANA9 Föreläsning Matrisnormer Linjära ekvationssystem Matrisnormer. Konditionstalet. Felanalys. Linjära minstakvadratproblem Överbestämda ekvationssystem. Normalekvationerna. Ortogonala matriser. QR faktorisering.
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merLinjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a
TM-Matematik Mikael Forsberg 074 41 1 Linjär algebra/matematik för ingenjörer ma014a, ma01a 011 0 8 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara
Läs merBeräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merTentamen i ETE305 Linjär algebra , 8 13.
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) Tentamen i ETE Linjär algebra, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs mer1 De fyra fundamentala underrummen till en matris
Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,
Läs merx 2 x 1 W 24 november, 2016, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden
24 november, 206, Föreläsning 20 Tillämpad linjär algebra Innehåll: Projektionssatsen Minsta-kvadratmetoden. Projektionssatsen - ortogonal projektion på generella underrum Om W är ett underrum till R n,
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merExempelsamling :: Gram-Schmidt
Exempelsamling :: Gram-Schmidt Mikael Forsberg :: 16 oktober 2008 1. Vektorerna a 1, a 2 och a nedan är en bas för ett delrum W av R 4. Använd Gram-Schmidt för att göra om dessa till en ortonormal bas
Läs mer10.4. Linjära höljet LINJÄRA RUM
98 LINJÄRA RUM.4. Linjära höljet Definition.37. Mängden av alla linjärkombinationer av M = {v, v,...,v n } iett linjärt rum V kallas för linjära höljet av M betecknas [M], dvs [M] ={u V : u = λ v + λ v
Läs merMATRISTEORI, 6 hp, vt 2010, Kurskod FMA120. MATRISTEORI Projektkurs, 3 hp, Kurskod FMA125. och
MATRISTEORI, 6 hp, vt 2010, Kurskod FMA120 och MATRISTEORI Projektkurs, 3 hp, Kurskod FMA125 Kursansvarig Sergei Silvestrov, Matematik LTH, rum MH562B, tel. 046-222885 Kurshemsidan http://www.maths.lth.se/matematiklth/vitahyllan/kursprogram/matristeori/
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 8 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merVeckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT Vi inleder den tredje veckan med att gå igenom begreppen determinant och invers matris som vi inte hann med i vecka, se veckoblad för övningar etc på dessa avsnitt. Därefter
Läs merLinjär algebra och geometri 1
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2009 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear
Läs merSKOLVIS LISTA ÖVER TURER. Sida 1 av 5
MÅNDAG Korsängsgatan - Enköping Östra Ringgatan - M6111 8.05 8.38 Sida 1 av 5 TISDAG Korsängsgatan - Enköping Östra Ringgatan - TI6111 Sida 2 av 5 ONSDAG Korsängsgatan - Enköping Östra Ringgatan - O6111
Läs merTAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 15 januari 2016 Sida 1 / 26
TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 15 januari 2016 Sida 1 / 26 TAIU07 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet i att
Läs merAtt beräkna:: Avstånd
Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre
Läs mer(1, 3, 2, 5), (0, 2, 0, 8), (2, 0, 1, 0) och (2, 2, 1, 8)
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamen på kursen SF1604 (och B1109, för D1, Mars 9, 008, kl: 9:00-14:00 Inga hjälpmedel ät tillåtna 1 poäng totalt eller mer ger minst omdömet Fx 1 poäng totalt eller
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord,
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 27 oktober 2015 Sida 1 / 31
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 27 oktober 2015 Sida 1 / 31 TANA17 Kursmål och Innehåll Målet med kursen är att Ge grundläggande färdighet
Läs merLinjär algebra och geometri 1
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs merKursinformation och lektionsplanering BML402
Kursinformation och lektionsplanering Matematik specialisering för basår, 7 hp. Syfte och organisation Kursen är valbar och bygger vidare på tidigare matematikkurser på basåret. Syftet är att ge en god
Läs merTANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 9 november 2015 Sida 1 / 28
TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet 9 november 2015 Sida 1 / 28 Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem. Invers. Rotationsmatriser. Tillämpning:
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merLinjär Algebra, Föreläsning 2
Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merFör studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs merKursinformation och lektionsplanering BML402
Kursinformation och lektionsplanering Matematik specialisering för basår, 7 hp. Syfte och organisation Kursen är valbar och bygger vidare på tidigare matematikkurser på basåret. Syftet är att ge en god
Läs merLinjär algebra och geometri I
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010
SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , 8 13.
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN (p) (p) (p) Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 8 4, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng
Läs merLinjär algebra kurs TNA002
Linjär algebra kurs TNA002 Lektionsanteckningar klass ED1 I detta dokument finns ett utdrag av de tavelanteckningar som uppkommit under lektionstid under kursen TNA002. Alltså kan detta dokument långt
Läs merSjuksköterskeprogrammet, HT 2014, Termin 6, campus Umeå Kurs: Ledarskap i vården II, 3,0 hp Kurskod: 3OM280 * på schemat =obligatoriskt moment
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för omvårdnad Kursansvarig: Tel: 090-786 9866 E-mail: birgitta.jonsson@umu.se Senast ändrat: 2014-06-02 Sjuksköterskeprogrammet, HT 2014, Termin 6, campus Umeå Kurs: Ledarskap
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Läs merKontsys F7 Skalärprodukt och normer
Repetition Skalärprodukt Norm Kontsys F7 Skalärprodukt och normer Pelle 11 februari 2019 Linjära rum Repetition Skalärprodukt Norm Linjära rum Linjärt underrum Ett linjärt rum över R är en mängd H där
Läs merInstitutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA671 2014-05-26
Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F/TM, TMA67 4-5-6 DAG: Måndag 6 maj 4 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 75-33545 Förfrågningar:
Läs merLösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.
Lösningar till tentan i 5B7 Linjär och kvadratisk optimering, 7 december 3 Uppgift (a) 3 Vi använder Gauss-Jordans metod för att överföra A 3 5 till trappstegsform 3 7 Addition av ( ) gånger första raden
Läs merSF1624 Algebra och geometri
Föreläsning 1 Institutionen för matematik KTH 31 oktober 2016 Kurstart för Algebra och geometri Välkomen till kursen, CELTE och CMETE och COPEN!, kursansvarig LFN@KTH.SE Idag ska vi se hur kursen funkar
Läs merDN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013
TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E
Läs merTNA005 Kursinformation VT 2013
Institutionen för teknik och naturvetenskap Michael Hörnquist, 7 januari 2013 TNA005 Kursinformation VT 2013 Tillämpad matematik i teknik och naturvetenskap TNA005 Mål och innehåll I den här kursen är
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs mer17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3
192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merDefinition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller
April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +
Läs merTentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,
Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst
Läs merÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll. Inofficiella mål
ÖVN 11 & 12 DEL A - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Komplexa vektorrum U och underrum V U. Linjära höljet: V = span(v 1, v 2,..., v N
Läs merBestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merTMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.
Läs merExempel :: Spegling i godtycklig linje.
c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.
Läs mer