Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

Transkript

1 2D121, Numeriska Metoder, Grundkurs för I2+CL2. Laboration 3: Interpolation och integration Sista redovisningsdag för bonuspoäng: måndag Obs! Muntliga delen redovisas vid ett miniseminarium. Notera! Maxbonuspoängen till tentan är 4. Förberedelse: Denna laboration behandlar framför allt polynom-interpolation, Hermite-interpolation, splines-interpolation, numerisk integration samt differentialekvationssystem (begynnelsevärdesproblem). Hur lång tid har du förberett dig inför Lab3? SVAR:...tim. Uppgift 1 R-S a) Vi skall bestämma det tredjegradspolynom som går genom de fyra punkterna (8, 7), (14, 8), (15, 12) och (19, 1). Uppgiften handlar således om interpolation. Använd Newtons ansats för interpolationspolynomet i samtliga deluppgifter. Koefficientmatrisen kan i MATLAB genereras på följande sätt k = ones(size(x)); A = k; for i = 1 : 3; k = k. (x x(i)); A =[A k]; end; där x är en kolumnvektor med x-koordinaterna för de fyra punkterna. Koefficientmatrisen har en speciell egenskap/struktur - vilken? Förklara hur/varför den uppkommer. b) Bestäm tredjegradspolynomet, redovisa koefficienterna i Newtons ansats och rita grafen för polynomet för x (8, 19) (dvs för x mellan 8 och 19). Rita också in de fyra interpolationspunkterna, markera dem t.ex. med o. c) Rita i en annan bild polynomet för x i intervallet till 3. Markera också interpolationspunkterna. Inom vilket intervall tycker du att polynomet är lämpligt att använda? d) Utgåfrån ett lämpligt urval av de givna punkterna (ange vilka som väljs ut). och skatta p(1) med linjär interpolation. Vad blir tredjegradspolynomets värde i x = 1? Jämför värdena. Lika? Större? Lägre? Är det rimligt? e) Extrauppgift: Utgå från ett lämpligt urval av de givna punkterna. och skatta p(1) med kvadratisk interpolation. Jämför med förstagradspolynomets och tredjegradspolynomets värden. f) Extrauppgift: Vid kvadratisk interpolation beräknar man ett andragradspolynom. Visa grafiskt hur andragradspolynomet du använde för att skatta p(1) i deluppgiften ovan ser ut för x (8, 19). Rita även in de fyra givna punkterna, markera dem t.ex. med o. Vad ger det kvadratiska polynomet för värde i x = 19? Uppgift 2 R-M Givet tabellen bredvid. Du skall göra Hermite-interpolation i den. a) Bestäm för hand (och miniräknare) Hermite-interpolationens värden i x =3.1 ochx =7.5. b) Rita för hand en grov skiss av interpolationskurvan för 2 x 8. x y y

2 Uppgift 3 R-M Ludde har varit ute och funnit en ny joggingrunda. Han önskar nu göra en banprofil, dvs visa höjden över havet som funktion av hur långt han sprungit. Avstånd och höjd är mätt i meter. ( Ingen felskattning krävs) avstånd höjd lutning 6.4 Gamla joggingrundans banprofil a) Rita den banprofil man får med linjär interpolation. Beräkna och markera y(31) i banprofilen. b) Rita den banprofil man får med Hermite-interpolation. Beräkna och markera y(31) i banprofilen. c) Vilket graal har interpolationspolynomet vid Hermite-interpolation? Vilket graal har interpolationspolynomet vid naturliga kubiska splines? Vad skiljer metoderna åt? d) Anpassa ett interpolationspolynom till tabellen. Blir det bättre? e) Extrauppgift: Antag att lutningen inte var uppmätt (dvs ignorera dessa värden i tabellen). Rita den banprofil man får med naturliga kubiska splines. Beräkna och markera y(31) i banprofilen. TIPS: Rita gärna flera kurvor i en och samma bild med olika markeringar, tex med heldragen kurva, streckad kurva, markerad med ringar, markerad med kryss osv. Då syns likheter och olikheter mycket tydligare. Uppgift 4 R-S Vi skall i denna uppgift beräkna följande integral numeriskt med trapetsregeln (ev följd av Richardsonextrapolation):.9 e 2x dx 1+5x 2.3 a) Skatta integralen för hand (och miniräknare) med trapetsregeln och intervallet uppdelat i 1, 2 respektive 4delar. Välj bland dessa trapetsregelvärden för att ange ett värde med felgräns på integralen(utan att Richardsonextrapolera). (Redovisa alltså de tre trapetsregelvärdena, T 1,T 2 och T 4 samt en utifrån dessa tre trapetsregelvärden beräknad skattning av integralen, I = Ĩ ± E.) b) Richardsonextrapolera de tre trapetsregelvärdena i deluppgift a ovan. Redovisa de extrapolerade värdena. Välj bland dessa värden (trapetsregel och richardson) för att ange ett värde på integralen med felgräns. Bör man extrapolera trapetsregelvärdena? Vad avgör det? Blev svaret bättre? c) Skatta integralen med datorn och trapetsregeln med intervallet uppdelat i 1,2,4,8,16,32 respektive 64 delar. Redovisa alla sju trapetsregelvärdena. Ge sedan ett värde med felgräns beräknad utifrån dessa trapetsregelvärden (utan Richardson-extrapolation). d) Richardson-extrapolera de sju trapetsregel-värdena i deluppgift c ovan. Redovisa de extrapolerade värdena. Välj bland dessa värden (trapetsregel och richardson) för att ange ett värde på integralen med felgräns. e) Beräkna integralen med minst åtta säkra siffror med trapetsregeln och richardsonextrapolation (med valfritt antal steghalveringar och extrapolationer). Endast uppgifterna a-b ovan skall göras för hand/miniräknare. Vid handräkningen räcker 4 decimaler i mellanresultaten. Glöm inte redovisa vilka olika värden du kommit fram till i de olika deluppgifterna, tex de olika trapetsregelvärdena och extrapolerade värden. Varje deluppgift skall sedan resultera i ett värde (med eventuell felgräns) som är approximationen av integralen. (Tips: De svar som erhålls i deluppgift a-e måste förstås vara konsistenta!) 2

3 Uppgift 5 R-M Jag vill beräkna integralen e 84(11x+59)2 dx a) Jag har använt MATLABs quad, quad8 och quadl och integrerat direkt i ett anrop från -5 till 5. Oavsett vald tolerans blir svaret 3.5, prova själv! Hur inser man att detta är ett felaktigt svar? b) Föreslåminstettbättre sätt att använda MATLABs quad och/eller quad8 och/eller quadl. Förklara varför ditt sätt är bättre än naivt rakt på som i deluppgift a. Förklara alltså varför du nu kan tro på dina sex beräknade decimaler. (Att bara variera toleransen var ju inget bevis, det fann vi i a.) c) Räkna ut värdet av integralen med minst sex korrekta decimaler på detta sätt med hjälp av quad och/eller quad8 och/eller quadl. d) Extrauppgift: Integralen kan beräknas/approximeras analytiskt. Gör det. Stämmer värdet med det du fått i föregående upppgift? Uppgift 6 R-S a) Beräkna följande integral numeriskt med minst nio säkra siffror. Redovisa alla steg du gör för att få fram svaret och vilken noggrannhet ditt svar har. b) För att kunna skatta integralen I a = I b = 25 9 x(x 3/2 /7+ 5+3x 2 ) dx 9 (x 2 /7+ 5x +3x 3 ) dx numeriskt kan man ersätta övre integrationsgränsen med ett ändligt tal. Beräkna/skatta en lämplig övre gräns, B, så att man kan skatta integralen I b med integralen B med minst nio säkra siffror. Skatta därefter integralen I b med minst nio säkra siffror. Redovisa alla steg du gör för att få fram svaret och vilken noggrannhet ditt svar har. c) Antag att man vill beräkna integralen med elva säkra decimaler (integrand som i deluppgift b). 1 Hur bör man gå tillväga om man vill använda tex quad8 eller quadl? 3

4 Uppgift 7 R-M Vi skall titta på integralekvationen 17 x 5e.2 t2 = c a) Rita upp integranden och visa i denna bild hur en grov approximation till x kan ses, då c =.9. b) Bestäm x med minst fem säkra decimaler, då c =.9 (exakt!). Redovisa de steg du tar för att få fram svaret. c) Beräkna x med lämplig felgräns om i stället c =.9 ±.6 Uppgift 8 R-M I en stor lada smiter det in två möss. Då ladan är full med ost så ökar antalet möss snabbt. När mössen hunnit bli 17 stycken kommer det plötsligt in två katter... Antalet möss, m, kommer därefter att bero av både antalet möss och antalet katter, k. Ju fler möss det finns, desto fler blir det men ju fler katter det finns desto färre möss blir kvar. Enligt en forskningsrapport kan ladans befolkning beskrivas med följande differentialekvationssystem om tiden antas angiven i enheten månader. (Ladan med katter och möss finns påplanetenxα, enda skillnaden mot jorden är att katternas och mössens dräktighetstid är mycket kortare och att varje månad är exakt 3 dagar. Tideräkningen börjar i och med katternas ankomst.) dm =.12m.23k dk =.48m.92k a) Genomför tre steg med handräkning och Eulers metod och steglängden h =.3 (dvs skatta antalet möss och katter vid tidpunkterna.3,.6 resp.9). Redovisa resultatet även grafiskt (dvs antalet katter och möss som funktion av tiden). b) Beräkna med datorn och valfri numerisk metod hur många möss respektive katter finns det efter 1 månader? Efter 19 dagar? Visa även grafiskt hur antalet katter och möss utvecklas för tiden upp till 1 månader respektive 19 dagar. Ladan antas så stor att ingen ostbrist uppstår. (Detta ekvationssystem kan lösasanalytisktmen du skalllösa det numeriskt!) Fundera på vilken noggrannhetdu tyckerlösningen bör ha och se till att din lösning har denna noggrannhet. c) Modernare forskning har visat att tillväxtekvationen för katterna skulle ha varit dk =.48m.12k 48 Ekvationen för mössen är oförändrad. Påverkar detta befolkningsutvecklingen i ladan? Beräkna nu antalet katter och möss efter 1 månader och 19 dagar. Visa grafiskt befolkningsutvecklingen (dvs antalet katter och möss) som funktion av tiden för de första 1 månaderna respektive 19 dagarna. d) Extrauppgift: Rita grafer över antalet katter som funktion av antalet möss (en kurva för systemet i b-uppgiften och en kurva för systemet i c-uppgiften i varsin bild) 4

5 Uppgift 9 R-S Frivillig, värd.2 bonuspoäng. (Om den ej görs kan Lab3 ge max 1. bonuspoäng) Hundar tycker om harar. Vid tiden t = befinner sig en hare vid punkten (1 13, ) och skuttar med konstant hastighet v a =9m/slängs x-axeln. Hunden befinner sig vid tidpunkten i punkten (, 4). Hunden jagar haren med konstant hastighet v g = 11m/s och hastighetsvektorn är hela tiden riktad mot haren. Koordinaterna är givna i enheten meter och tiden mäts i sekunder. Låt (x(t),y(t)) beteckna hundens position vid tiden t. Mankanvisaattx(t) ochy(t) är lösningar till begynnelsevärdesproblemet y Hare ϕ x ẋ dx = v g cos ϕ ẏ dy = v g sin ϕ x() = y() = 4 Hund a) Härled ett uttryck för ϕ som funktion av t, x och y (v g och v a får också ingå). b) Bestäm med centimeter-noggrannhet hundens och harens positioner samt avståndet mellan dem 2 sekunder efter starten. Dito positioner och avstånd efter 7 sekunder? c) Rita med hundens position vid några olika tidpunkter (välj själv, tex t =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Rita med harens position vid samma tidpunkter. Välj gärna också olika färger. d) Bestäm med två säkra decimaler tidpunkten då hunden fångar haren. Detta antas ske då avståndet mellan dem understiger 1 cm. Markera med en * platsendär hunden hann ifatt haren. (TIPS: datorprogrammet får ofta stora problem om man anger en för lång tid. Varför? Vad gör metoden då? I denna deluppgift är det viktigt att ni i metoden för differentialekvationen verkligen jobbar med centimeter-noggrannhet, varför? Fler tips finns på kursens WWW-sidor!) e) Räven, som är lika snabb som hunden men har betydligt högre intelligenskvot, lyckades fånga haren påkortastmöjliga tid. Hur bar han sig åt och hur kort blev tiden? Uppgift 1 R-S Hur lång tid har du lagt ner på förberedelser? SVAR:...tim. Hur lång tid har du lagt ner på Lab3(exklförberedelsen)? SVAR:...tim. Muntliga delen av Lab3 godkänd Namn:... Datum:... Pers.nr.:... Ass:... Antal + :... 5