BERÄKNINGSPROGRAM FÖR TAKSTOLAR Jämförelse mellan förskjutningsmetoden och FEM
|
|
- Johan Lindström
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 AKADEMIN FÖR TEKNIK OCH MILJÖ BERÄKNINGSPROGRAM FÖR TAKSTOLAR Jämförelse mellan förskjutningsmetoden och FEM Joakim Mårtensson Juni 2012 Examensarbete/uppsats/15hp Konstruktion/modellering Byggnadsingenjörsprogrammet Examinator: Thomas Carlsson Handledare: Kjell Westberg
2 Förord Idag har datorn tagit en stor plats i människors liv och inte minst sagt konstruktörens. Det finns många programvaror för att underlätta och framför allt tidsförkorta beräkningar som förr var en omöjlighet, en ren fantasi. En problematik jag anser uppstått är att användare av dessa program inte längre behöver kunna de bakomliggande teorierna och därför förlorar förståelsen för dess begränsningar. Vill här tacka min handledare Kjell Westberg och examinator Thomas Carlsson för de mycket givande mötena med handledning och den tid de har lagt ner i att förverkliga detta examensarbete. Även stort tack till Byggteknik AB som har tillhandahållit dator och program för denna studie, stort tack! Utan barnvakter hade detta examensarbete troligen inte förverkligats och vill här även tack alla er som på ett eller annat sätt hjälpt till att barnvakta Olivia. Sist men inte minst vill jag tacka min fru Mia för det tålamod hon haft och det stöd hon gett mig under detta arbete. Från djupet av mitt hjärta, ett stort tack! Joakim Mårtensson 2
3 Sammanfattning Genom att modellera bärverk med förskjutningsmetoden och programmera beräkningsprogram för takstolar i MS Excel har här visats att man kan uppnå motsvarande resultat som vanligt använda program i byggbranschen, baserade på förskjutningsmetoden. Resultaten visar på skillnader mellan förskjutningsmetoden och FEM. Det har dock inte framkommit om skillnaderna beror på grundläggande teorier i modellerna eller olika materialvärden i indata. Abstract By learning how to model a structure by the direct stiffness method and programing a program for roof trusses in MS Excel have here by shown that you can achieve corresponding results as programs usually used in the building industry, based on the direct stiffness method. Results show differences between the direct stiffness method and FEM. It has not shown if the differences depends on fundamental theories in the models or disparities in material input. 3
4 Innehåll 1. INLEDNING 6 2. BERÄKNINGSMODELLEN Övergripande beräkningssteg Modelleringsprocessen med förskjutningsmetoden INDATA Geometrier Laster Materialegenskaper RESULTAT AV BERÄKNINGAR Befintlig takstol Takstolsförslag Takstolsförslag Takstolsförslag DISKUSSION 25 Skillnader i resultat? SLUTSATS REFERENSER 27 BILAGA A STYVHETSKOEFFICIENTER FÖR FRIHETSGRADER 28 BILAGA B - KOORDINATER FÖR GEOMETRIER 33 BILAGA C - FRAMRÄKNING AV LASTER 36 BILAGA D - RESULTAT FRÅN PROGRAM 40 BILAGA E RESULTAT AV TESTER PÅ VIRKE 54 4
5 Beteckningar som används är en blandning från de två böckerna [2, 7]. Dessa är grundläggande vid modelleringen. Beteckningar som används i beräkningsmodellen är följande; k i = element i;s lokala styvhetsmatris G i = element i;s transformeringsmatris G i t = element i;s transformeringsmatris transponat K i = element i;s globala styvhetsmatris H i = element i;s helhetsmatris H i t = element i;s helhetsmatris transponat S i = del av strukturens styvhetsmatris S = strukturens styvhetsmatris d = förskjutningar i strukturens koordinater v = förskjutningar i globala koordinater (oftast samma som ovan) u = förskjutningar i lokala koordinater q i = element i;s lokala kraftvektor Q i = element i;s globala kraftvektor F i = del av strukturens kraftvektor F = strukturens kraftvektor q ni = element i;s lokala nodlastvektor Q ni = element i;s globala nodlastvektor F ni = del av strukturens nodlastvektor F n = strukturens nodlastvektor q eni = element i;s lokala ekvivalenta nodlastvektor Q eni = element i;s globala ekvivalenta nodlastvektor F eni = del av strukturens ekvivalenta nodlastvektor F en = strukturens ekvivalenta nodlastvektor q ri = element i;s lokala reaktionsvektor Q ri = element i;s globala reaktionsvektor F ri = del av strukturens reaktionsvektor F r = strukturens reaktionsvektor 5
6 1. INLEDNING Är det möjligt att programmera ett eget beräkningsprogram i MS Excel för konstruktionsberäkningar av takstolar? Hur står sig denna beräkningsmodell i jämförelse med de i branschen vanligen använda beräkningsprogram? Vad blir skillnaden i resultat mellan de olika beräkningarna? Med utgångspunkt från en specifik takstolskonstruktion (som ger de begränsande geometrierna) programmeras ett eget beräkningsprogram i MS Excel. Beräkningsprogrammen baseras på förskjutningsmetoden och framräknade resultat jämförs mot två beräkningsprogram vanligt använda i branschen (baserade på såväl förskjutningsmetoden som FEM). Då syftet är att undersöka om det går att göra ett eget beräkningsprogram och inte särskilja bra och dåliga program i branschen namnges inte dessa program. Programmen namnges istället som Program 1 (baserad på förskjutningsmetoden) och Program 2 (baserad på FEM). Takstolskonstruktionen som modelleras finns i ett äldre kapell (1907) beläget i Bomhus, Gävle. Det finns planer på att bygga om takstolarna för att kunna använda utrymmet på vinden till att förvara saker, som ett förråd. En förundersökning av takstolarna görs och mått mäts upp mellan förbandens centrum, där noder/leder placerades i beräkningsmodellen. Även virkesdimensioner mäts upp och noteras. En av de befintliga takstolarna ritas sen upp samt tre förslag (se s.11-15). De nya förslagen belastas utöver de ursprungliga lasterna med en lagerlast. Beräkningsmodellen programmeras i MS Excel för den befintliga takstolen och de tre förslagen, det bästa förslaget väljs slutligen fram genom jämförelse av nodernas förskjutningar. Resultat från dessa fyra beräkningar i MS Excel jämförs sedan med de branschspecifika beräkningsprogrammen och resultaten utvärderas. Vid redovisning av resultaten (se s.21) avgränsas dessa till vissa förskjutningar. Redovisning av krafter och spänningar uteblir då fokus i arbetet ligger på förskjutningar som uppstår i takstolen. Ingen hänsyn har tagits till användarvänligheter av programmen då fokus ligger i framtagna resultat. Till ägaren av dessa takstolar bör vidare utredning utföras innan ombyggnad kan ske, då denna rapport inte innehåller en projektering. Målgruppen för detta examensarbete är konstruktörer och högskoleutbildade med förkunskaper i linjäralgebra och konstruktionsteknik. 6
7 2. BERÄKNINGSMODELLEN Med en beräkningsmodell simuleras ett verkligt fenomen med matematiska formuleringar. Hur nära denna modell behöver spegla verkligheten bestäms av beräkningsmodellens användare och de data som söks. Modeller brukar bygga på förenklingar och tydliga avgränsningar, vilket gör att resultaten blir en approximation av verkligheten. Detta vill här starkt klargöras. Avgränsningar görs också för att inte modellen skall bli mer avancerad än de angivna data som söks. All metodik och teori bakom denna beräkningsmodell baseras på [2, 7]. Lite historia Det är lätt att förvirra sig i utvecklingshistorien bakom beräkningsmodellen då den har flera namn beroende på vilken tid i utvecklingen den ligger. Dock kan denna förvirring klargöras genom bland annat [5]. Allt började i flygindustrin och hur man försökte lösa problem med dynamiska effekter på flygplansvingar, flutter. Det var på den tiden tidsödande och lätt att räkna fel på de använda aeroelastiska ekvationerna. Sökande efter ett lättare och snabbare sätt att lösa dessa ekvationer slutade i ett, för den tiden, nyutvecklat matematiskt språk, matriser och vektoralgebra. Utvecklandet av detta enkla och kompakta matematiska språk grundlades bland annat av Arthur Cayley ( ), Oliver Heaviside ( ) och Josiah Willard Gibbs ( ) i mitten av 1800-talet [8, 10, 13]. Mycket av vidareutvecklingen av beräkningsmodellen är tack vare flygindustrin och deras dynamiska problem på flygplan. Ett stort steg i utvecklingen skedde 1959 då M. J. Turner föreslog i sin publikation [14] att användning av förskjutningsmetoden med datorer effektivt kan lösa de tidsödande beräkningarna. Denna implementering förklaras helt i hans efterkommande artikel [15]. Ett citat från [5, s.4] nedan, klargör en del om de vanligt använda termerna och möjliggör en svensk koppling till modellen. The terms Stiffness Method and Flexibility Method are more diffuse names for Displacement and Force Method, respectivily. Förskjutningsmetoden är alltså ett annat namn för styvhetsmetoden i engelsk litteratur och grunden till denna beräkningsmodell. Denna styvhetsmetod utvecklades in sin tur till matrismetoden, där man formulerade strukturers styvheter i matriser. Genom denna typ av matrisformuleringar kunde man senare implementera FEM. I denna beräkningsmodell simuleras alla förband som fasta. Det innebär att förbandens eftergivlighet i verkligheten inte ingår i beräkningsmodellen. Förbandet i nocken visas i Figur 1 nedan. Utöver de spikar och dymlingen som figuren visar, är virkesdelarna bitvis skarvade i varandra. Spikarna är dessutom helt genomslagna och bockade på baksidan, som ses i Figur 2. Även övriga förband har skarvats i varandra med dymling och genomgående spikar som bockats på baksidan, se Figur 3 och Figur 4. Detta är underlaget till att simulera förbanden som fasta istället för friktionsfria leder. Figur 1 Nockförband, framsida Figur 2 Nockförband, baksida 7
8 Figur 3 Övriga förband, framsida Figur 4 Övriga förband, baksida Beräkningsmodellen begränsas inte av proportionalitetsgränsen då de antagna belastningarna hålls inom det elastiska området (dvs. under proportionalitetsgränsen). Den tar inte heller hänsyn till stabilitet av takkonstruktionen (dvs. endast plant tillstånd) eller vart krafter från upplagen tar vägen (hur väggarna klara av de extra lasterna). Takstolens upplag är inte undersökta på grund av svåråtkomlighet, dessa simuleras som ett fast lager till vänster och ett rullager till höger (som en fritt upplagd balk). För att lösa ett statiskt obestämt bärverk som en takstol, kan antingen kraftmetoden (force/flexibility method) eller förskjutningsmetod (displacement/stiffness method) användas. Val av metod baseras sig på om krafter eller förskjutningar är övertaligt obekanta. I denna beräkningsmodell används uträknade laster enligt [3] och förskjutningar är här de övertaligt obekanta. Vid användning av kraftmetoden delas det statiskt obestämda bärverket in i flera statiskt bestämda delar genom att man inför hjälpbärverk. Vid detta sätt att analysera en struktur krävs en del kunskap av konstruktören för att införa dessa hjälpbärverk. Det systemet är svårt att implementera i ett beräkningsprogram och ett bättre alternativ är förskjutningsmetoden. Denna metod är bättre anpassad för programmering [9, s.469]. Därför väljs förskjutningsmetoden i detta arbete. Genom att se formuleringar av kraftmetoden och förskjutningsmetoden kan man se att de är varandras inverser. Då en struktur delas in i element som har konstanta värden för L, A, I, E ger detta så kallade styvhetstal för varje element i strukturen. Värden för dessa styvhetsal anger hur stor kraft som behövs för att ge en enhets förskjutning i en bestämd frihetsgrads riktning. Ett annat sätt att se hela stukturens uppbyggnad är genom ett system av fjädrar med olika styvheter. Dessa fjädrar ger bestämda lastvägar i systemet beroende på lastens intensitet och angreppspunkt. Grunden för beräkningsmodellen är att samla ihop alla dessa fjädrar i bärverket till en stor styvhetsmatris, S. Fjädrarna representeras av styvhetsmatriser för varje element. Med hjälp av bärverkets upplagsvillkor och de laster som belastar kan förskjutningar räknas ut, dessa lagras i en förskjutningsvektor, d. Genom att multiplicera strukturens styvhetsmatris, S, med den framräknade förskjutningsvektorn (Ekv.1) fås strukturens kraftvektor fram. (Ekv.1) Kraftvektorn i sig består av tre delar, nodlaster, ekvivalenta nodlaster och upplagsreaktioner/krafter. De är krafter strukturens element utsätts för. Man kan sätta in (Ekv.2) i (Ekv.1) och få (Ekv.3) nedan. (Ekv.2) (Ekv.3) Den befintliga takstolen samt de tre föreslagna takstolarna simuleras med denna beräkningsmodell. 8
9 2.1. Övergripande beräkningssteg Elementens lokala styvheter i dess frihetsgrader formuleras till en styvhetsmatris Transformationsmatriser mellan lokala och globala koordinater formuleras för elementen (Steg.1) Elementens lokala styvhetsmatriser räknas om till globala Helhetsmatriser formuleras för att expandera de globala styvhetsmatriserna (Steg.2) De globala styvhetsmatriserna expanderas till delar av strukturmatrisen (Steg.3) Alla strukturmatrisdelar summeras i en styvhetsmatris för hela strukturen Lokala nodlastvektorer formuleras för varje element (Steg.4) (Steg.5) Lokala nodlaster transformeras till globala nodlastvektorer Globala nodlastvektorer expanderas till delar av strukturens nodlastvektor (Steg.6) Strukturens nodlastvektorsdelar summeras till strukturens nodlastvektor Låsning av frihetsgrader för simulering av upplag Reducering av strukturens styvhetsmatris med avseende på upplagsvillkor Invertering av strukturens reducerade styvhetsmatris (Steg.7) Framräkning av strukturens förskjutningar (Steg.8) Multiplicering av den ursprungliga strukturens styvhetsmatris med förskjutningsvektorn och subtrahera nodlasterna så fås strukturens reaktionsvektor (Steg.9) (Steg.10) (Steg.11) Framräknade globala förskjutningar tranformeras till lokala Framräknade lokala förskjutningar ger lokala elementkrafter Lokala elementkraftvektorer transformeras till globala (Steg.12) Alla globala elementkraftvektorer summeras till strukturens kraftvektor (Steg.13) Strukturens reaktionsvektor räknas fram Genom att jämföra den tidigare framräknade reaktionsvektorn (Steg.8) med den senare (Steg.13) kan kontroll av kraftresultaten för elementen (i lokala koordinater) göras. Slutligen bör kontrolleras att jämvikt stämmer,, och 9
10 2.2. Modelleringsprocessen med förskjutningsmetoden 1. Uppdelning av bärverket i element samt införande av noder (leder) och numrering av dessa. Noderna får frihetsgrader som representerar hur bärverket kan agera. Figur 5 Befintlig takstol med element och nod nummer Effektivisering av beräkningen kan göras genom att välja en bra numreringsordning. [11]. Då beräkningsmodellen endast räknar i två dimensioner knyts varje nod till X och Y koordinater, för beräkningsmodellernas koordinater se BILAGA B. Varje element knyts an till intilliggande noder. 2. Elementstyvhetsmatriser (k) i lokala koordinater formuleras för varje element. Styvheter som elementen har beror på den kraft som krävs för att flytta noden en enhet en frihetsgrads riktning. Det finns flera olika typer av element som används vid en modellering. Här används ett stång- och balkelement att modellera med. Dessa två grundelement kombineras till ett nytt element som utöver stångkrafter (normalkrafter) även kan ta upp tvärkrafter och moment. Det nya balkelementet har sex frihetsgrader [2, s.100], tre frihetsgrader per nod och en styvhetskoefficient för varje frihetsgrads riktning (x, y och z). Styvhetskoefficienterna samlas i en styvhetsmatris. Denna matris blir 6x6 (lika stor som antalet frihetsgrader). En redovisning hur dessa styvhetskoefficienter räknats fram finns i BILAGA A. Styvhetskoefficienterna sätts in i elementets styvhetsmatris enligt (Ekv.4) nedan. K lokal = (Ekv.4) [ ] 10
11 De framräknade styvhetskoefficienterna sätts in i styvhetsmatrisen och bildar matrisen nedan. K lokal = (Ekv.5) [ ] Varje rad representerar den kraft som uppstår i den givna frihetsgraden då elementet förskjuts i radens olika frihetsgrader. Exempelvis är rad 1 i styvhetsmatrisen den kraften som uppstår i den första frihetsgraden (horisontala rörelserna i första noden). Här påverkar endast första och fjärde kolumnen denna förskjutning då övriga kolumner är nollor i raden. I detta exempel är det en normalkraft som uppstår då den första och den fjärde frihetsgraden förskjuts. Förskjutningar i övriga frihetsgrader som är 0 bidrar inte till någon normalkraft i den första frihetsgraden. I styvhetsmatrisen är rad 1 och 4 snarlika, även kolumn 1 och 4. Dessa representerar stångdelen i elementet. Rad 2,3,5 och 6 samt kolumn 2,3,5 och 6 representerar i balkdelen i elementet. Dessa påverkar inte varandra, då det räknas med små förskjutningar [2, s.100]. Varje kolumn representerar den kraft som behövs för att flytta kolumnens frihetsgrad en enhet [7, s.86]. 3. Transformeringsmatriser för varje element skapas med hjälp av riktningskoefficienter, hur dessa räknas fram kan ses nedan (Ekv.6), (Ekv.7). (Ekv.6) (Ekv.7) X b är x-koordinat i början och X e är i slutet av elementet, Y b är y-koordinat i början och Y e är i slutet. L är längden på elementet. Vid beräkning med vektorer behövs inte cos och sin inverteras, då beräkningarna sker med skalärprodukter [2, s.57][7, s.78][12, s.127]. Riktningskoefficienterna samlas i transformationsmatrisen i given ordning (Ekv.8). För mer information om hur transformationsmatriserna fungerar se [2, s.57]. G = (Ekv.8) [ ] 4. Transformering av lokala styvhetsmatriser (k) till globala styvhetsmatriser (K) (Steg.1). 11
12 5. Helhetsmatriser (H i ) skapas för varje element, dessa anger vart i strukturen de placeras. I exemplet nedan placeras elementet mellan nod 2, frihetsgrad (rad) 4,5,6 och nod 4, frihetsgrad 10,11 och 12. (Ekv.9) [ ] 6. De globala styvhetsmatriserna expanderas till delar (S i ) (Steg.2) av den hela strukturmatrisen (S). X = [ ] [ ] (Ekv.10) [ ] 7. Alla delar (S i ) av den hela strukturmatrisen summeras till en hel strukturmatris (S) (Steg.3). 8. Formulering av lokala lastvektorer (q i ). I [2] finns 3 olika typer av vektorer för laster. Nodlastvektorn (F n ), är alla laster som appliceras precis i en nod, som punktlast eller punktmoment. De utbredda laster som ett element utsätts för räknas om till krafter som påverkar noderna, de summeras i den ekvivalenta nodlastvektorn (F en ). Reaktions/upplagsvektor (F r ) är som det låter, vektorn som lagrar reaktioner som uppstår i strukturen. 12
13 Laster som belastar noder måste teckenbestämmas för att eliminera fel. Vanligtvis är böjmoment positiva då de drar i underkant och trycks i överkant, det sättet att tänka fungerar inte på elementen. Om det tankesättet appliceras blir det fel på momenten i noderna. Här används samma teckenregler som [7] där värden är positiva då de är i positiva riktningen i koordinatsystemet och negativa i andra riktningen. Dessa teckenregler gäller även för förskjutningar. När det gäller rotationer (moment) är de moturs positiva och de medurs negativa. Detta gäller även vinkeln (radianer) som ett element vrids runt en nod. Jag har i modellen räknat ut lasterna som fix end forces, fastlåsta, som är de krafter/reaktioner som vill hålla tillbaka strukturen mot de laster som belastar. Genom att sen byta tecken på denna lastvektor så får man de ekvivalenta nodlasterna som belastar noderna. Lasterna som varje element belastas med räknas om till nodlaster och ställs upp i den lokala nodlastvektorn q ni. Då de flesta element är fast inspända i sina omgivande noder räknas lasterna som en balk fast inspänd i båda ändar. (ekvivalent nodlastvektor) [ ] 9. Transformering av lokala lastvektorer (q) till globala lastvektorer (Q) (Steg.4). 10. Alla globala lastvektorerna expanderas till delar av strukturens nodlastvektor (F ni ) (Steg.5). 11. Genom (Steg.6) summeras nodlastvektorerna till en strukturlastvektor (F n ) 12. Formulering av deformationsbegränsningar (upplagsvillkor) I denna beräkningsmodell låser man frihetsgraden i x- och y-led för det vänstra upplaget (fast lager) och bara y-led för det högre upplaget (rullager). 13. Beräkningen går ut på att lösa d = S F, då de flesta krafter är kända och endast vissa förskjutningar (upplagsvillkoren) måste styvhetsmatrisen inverteras och multiplicera med kraftvektorn. I detta läge går det ej att invertera strukturens styvhetsmatris då determinanten är 0. För att kunna lösa det problemet måste strukturmatrisen (S red ) och kraftvektorn (F red ) reduceras. Detta görs med avseende på upplagsvillkoren. Reduceringen innebär att alla de kolumner som skall multipliceras med 0 (upplagsvillkoret) kan strykas då deras värden blir 0. Lika så stryks hela raden för upplagsvillkoret då hela radens summa skall bli 0. En matris är ju egentligen ett beräkningssystem med ett antal ekvationer och en ekvation med bara nollor ger ingen information. 14. Nu inverteras den reducerade strukturmatrisen (S red -1 ) 15. Framräkning av deformationer genom matrismultiplicering av den reducerade och inverterade strukturmatrisen med den reducerade strukturlastvektorn (Steg.7) 13
14 16. Deformationerna belastar den ursprungliga strukturmatrisen (Steg.8) och reaktionsvektorn (F r ) fås genom att subtrahera kraftvektorn med nodlastvektorn (F n ). 17. Globala deformationer kan beräknas om till lokala deformationer (Steg.9). 18. Genom matrismultiplicering av de lokala styvhetsmatriserna med de lokala förskjutningarna fås de lokala kraftvektorerna fram för varje element (Steg.10). Dessa värden används vid en dimensionering av elementen. 19. De lokala kraftvektorerna transformeras till globala kraftvektorer (Steg.11). Denna del behöver egentligen inte göras då värden från de globala kraftvektorerna inte brukar användas [7] vid en dimensionering. För att kontrollera att beräkningarna av de lokala krafterna stämmer utförs denna del. Detta steg kan göras på två olika sätt, de resulterar i samma svar, för alternativ 2 se punkt Summering av alla globala kraftvektorerna (Steg.12) till en strukturkraftvektor. 21. Då strukturkraftvektorn subtraheras med strukturens nodlastvektor fås strukturens reaktionsvektor (igen). 22. Kontroll av beräkningen kan göras genom att verifiera att den framräknade reaktionsvektorn under punkt 16 är lika som den under punkt 21. Alternativ 2 till punkt 19,20 och 21 är att den lokala kraftvektorn subtraheras med den lokala nodlastvektorn och får den lokala reaktionsvektorn. Sen transformeras reaktionsvektorn från lokala till globala koordinater och summeras, detta ska ge samma resultat. 14
15 3. INDATA 3.1. Geometrier Då Program 2 räknar i 3 dimensioner har noderna i elementen 6 frihetsgrader och inte 3 som i övriga beräkningar. Detta gör att tre rörelsefriheter måste låsas i upplagen för att undvika problem i beräkningen. Listor på koordinater för alla noder och elementnummer för varje förslag återfinns i BILAGA B. För att se figurer med nod- och elementnummer se s Figur 6 Geometri av Befintlig takstol 15
16 Figur 7 Geometri av Förslag 1 Figur 8 Geometri av Förslag 2 Figur 9 Geometri av Förslag 3 16
17 3.2. Laster Konstruktionsberäkningar utförs med brott- eller bruksgränslaster. Här används brottgränslaster, dessa räknas fram enligt [3] med nationella val gjorda enligt [1]. Takstolarna har fyra olika typer av laster, egentyngder, snö-, vind- samt nyttiglast (lagerlast). Dessa har alla olika reduceringsfaktorer (ψ 0 och ψ 2 ). Lasterna kan appliceras på olika nivåer, antingen i globala koordinater eller lokala. Om lasterna appliceras lokalt (L) eller globalt (G) redovisas i nedanstående tabeller. För att se hur laster räknats fram se BILAGA C. MS Excel Lastvärdena här är dimensionerande och framräknade med snö som huvudlast då detta gav de högsta lasterna i de olika lastkombinationerna. Laster räknas ut (se BILAGA C) och belastar var och en av elementen enligt Tabell 1 och Figur 10 nedan. Tabell 1 Dimensionerande laster för MS Excel N/m L1, Överram (vinkelrät, snö, vind & egentyngd inkl. takstol) (L) 3871 L2, Överram (parallellt, snö) (L) 2116 L3, G, ingående virkesdelar (L) 60 L4, Underram (sidor, egentyngder inkl takstol) (L) 1759 L5, Underram (mitten utan lagerlast, egentyngder inkl takstol) (L) 1779 L6, Lagergolv (sidor, egentyngder och lagerlast) (L) 3838 L7, Underram (mitten, egentyngder och lagerlast) (L) 5537 Figur 10 Laster med littera för MS Excel 17
18 Program 1 Här läggs de karakteristiska lasterna (Kar.) ut. Även egentyngder för de ingående virkesdelarna. Sen anges formler (Ekv.11) för valda lastkombinationer och de dimensionerande lasterna räknas ut av programmet. Egentyngder och vindlaster appliceras som lokala laster, medan snö och lagerlast appliceras som globala. Snölasten är här indelad i två komponenter en lokal och en global, då det här programmet inte gör det automatiskt. Vid beräkningar av förskjutningar då lastfallen delas upp, ändelse (2) i resultaten, används de dimensionerande lastvärdena (Dim.) i Tabell 2. Använd lastkombination; STR-B, 6.10b [γ d ((1,2 G kj,sup ) + (1,5 Q snö ) + (1,5 0,3 Q vind ) + (1,5 1,0 Q lagerlast ))] (Ekv.11) Tabell 2 Karakteristiska och dimensionerande laster för Program 1 Kar. (N/m) Dim. (N/m) L1, Överram (egentyngder inkl. takstol) (L) L2, G, ingående virkesdelar (L) L3, Underram (sidor, egentyngder inkl. takstol) (L) L4, Underram (mitten, egentyngder inkl. takstol) (L) L5, Lagergolv (sidor, egentyngder inkl. takstol) (L) ,4 L6, Underram (mitten, egentyngder inkl. takstol) (L) L7, Snölast (G) L8, Vindlast (L) L9, Lagerlast (G) Figur 11 Laster med littera för Program 1 18
19 Program 2 Även här appliceras de karakteristiska lasterna men egentyngderna för de ingående virkesdelarna sköter programmet automatiskt genom dead loads. En annan skillnad är att snölasten inte delas in i två komponenter som för program 1. I program 2 anges formler (Ekv.12) för lastkombinationer som programmet själv räknar ut. Egentyngder och vindlasten appliceras som lokala laster, snö och lagerlast som globala. Använd lastkombination; STR-B, 6.10b [γ d ((1,2 G kj,sup ) + (1,5 Q snö ) + (1,5 0,3 Q vind ) + (1,5 1,0 Q lagerlast ))] (Ekv.12) Tabell 3 Karakteristiska laster för Program 2 N/m L1, Överram (egentyngder exkl. takstol) (L) 415 L2, Underram (sidor & mitten, egentyngder exkl. takstol) (L) 1416 L3, Lagergolv (sidor, egentyngder) (L) 132 L4, Underram (mitten, egentyngder) (L) 1548 L5, Snölast (G) 2400 L6, Vindlast (L) 852 L7, Lagerlast (G) 2400 Figur 12 Laster med littera för Program 2 19
20 3.3. Materialegenskaper Tester på virke från byggnaden med de befintliga takstolarna visar höga värden (se BILAGA E). För att kunna jämföra beräkningsmodellen i MS Excel med branschspecifika beräkningsprogram väljs dock C40 som ett representativt värde i beräkningarna. Detta för att undvika att göra ändringar i programmens materialdatabaser. I beräkningsmodellen tas materialvärden nedan från tabell i [6] och räknas fram enligt ekvationer från [4] (Ekv.13) och (Ekv.14). Vid beräkningar av deformationer kan styvhetsvärden för brottgränstillstånd (bärförmågeberäkningar) eller bruksgränstillstånd (deformationsberäkningar) användas. Här används styvhetsvärden för brottgränstillstånd. Karakteristisk styvhet för bärförmågeberäkningar; Karakteristisk styvhet för deformationsberäkningar; γ M = 1,3 (konstruktionsvirke) k def = 0,8 (klimatklass 2) Mpa Mpa Vid framräkning av elasticitetsmodulen E mean,fin framkommer det inte i [9, , (2.10)] om det är tänkt att deformationerna beräknas på hela lastkombinationen eller om kombinationen måste delas in och räknas per lastfall. Därför beräknas båda. Resultat från deformationer räknade per lastfall anges med ändelse -(2). MS Excel och Program 1, I dessa program anges värdet på elasticitetsmodulen till 7777 Mpa, genom att dividera den karakteristiska styvheten för deformationsberäkningar med 1,8 (Ekv.13) [9, (2.7)] Program 2, Den dimensionerande styvheten (E-modulen), beräknas enligt ekvation (Ekv.14). (Ekv.14) [9, (2.10)] enligt [11, Tabell A1.1] Materialvärden vid uträkning av deformationer per lastfall, ändelse -(2). Permanenta laster Snö laster Vind laster Lager laster = Mpa = Mpa = Mpa = Mpa 20
21 4. RESULTAT AV BERÄKNINGAR Resultaten av beräkningarna redovisas i figurer och tabeller nedan. Då tolkning av [9] inte klargör vilka materialvärden som bör användas redovisas resultat för båda fallen. Fall med ändelse -(2) är då deformationerna för varje enskilt lastfall summeras, övriga är för lastkombinationen. Deformationerna beräknas i brottgräns enligt [4]. Tester i program 2 (FEM) visar på att då strukturens element delas in i 4 delar fås samma resultat som vid 1 element. Dessa resultat redovisas dock inte här. Negativt värde innebär att förskjutningen sker i negativ riktning av det globala koordinatsystemet (dvs neråt i y-riktning eller vänster x-riktning). Positiva värden är då uppåt (y) eller höger (x) Befintlig takstol Figur 13 Befintlig takstol med element och nodnummer Tabell 4 Reaktioner för befintlig takstol Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 35,916 35,903 Program 1 35,919 35,907 MS Excel (2) 35,916 35,903 Program 1 (2) 35,922 35,910 Program 2 36,086 36,098 Tabell 5 Förskjutningar för befintlig takstol Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -52,0-52,0-60,0-60,0-56,1 Nod 7 (mm, y-led) -30,3-30,3-34,5-34,5-35,6 Nod 14 (mm, y-led) -36,0-36,0-41,1-41,1-42,9 Nod 17 (mm, x-led) 35,9 35,9 41,0 41,0 36,2 21
22 4.2. Takstolsförslag 1 Figur 14 Takstolsförslag 1 med element och nodnummer Tabell 6 Reaktioner för takstolsförslag 1 Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 48,188 48,188 Program 1 48,192 48,192 MS Excel (2) 48,188 48,188 Program 1 (2) 48,192 48,192 Program 2 48,275 48,274 Tabell 7 Förskjutningar för takstolsförslag 1 Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -702,6-702,8-755,9-755,8-742,0 Nod 5 (mm, y-led) -325,7-325,9-350,1-350,1-402,5 Nod 7 (mm, y-led) -702,6-702,8-755,9-755,8-742,4 Nod 10 (mm, x-led) 470,0 470,1 505,4 505,3 470,9 22
23 4.3. Takstolsförslag 2 Figur 15 Takstolsförslag 2 med element och nodnummer Tabell 8 Reaktioner för takstolsförslag 2 Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 48,289 48,289 Program 1 48,319 48,318 MS Excel (2) 48,289 48,289 Program 1 (2) 48,318 48,318 Program 2 48,387 48,349 Tabell 9 Förskjutningar för takstolsförslag 2 Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -76,9-76,9-82,2-82,3-92,4 Nod 7 (mm, y-led) -46,4-46,5-49,5-49,6-61,2 Nod 10 (mm, y-led) -76,9-76,9-82,2-82,3-92,4 Nod 13 (mm, x-led) -62,3 62,3 66,5 66,6 68,5 23
24 4.4. Takstolsförslag 3 Figur 16 Takstolsförslag 3 element och nodnummer Tabell 10 Reaktioner för takstolsförslag 3 Program Reaktioner V (kn) Reaktioner H (kn) MS Excel 48,374 48,374 Program 1 48,379 48,379 MS Excel (2) 48,374 48,374 Program 1 (2) 48,379 48,379 Program 2 48,574 48,587 Tabell 11 Förskjutningar för takstolsförslag 3 Program MS Excel Program 1 MS Excel (2) Program 1 (2) Program 2 Nod 6 (mm, y-led) -35,4-35,4-37,7-37,7-39,2 Nod 9 (mm, y-led) -33,1-33,1-35,2-35,2-37,4 Nod 12 (mm, y-led) -35,4-35,4-37,7-37,7-39,8 Nod 16 (mm, x-led) 34,0 34,0 36,2 36,2 34,2 24
25 5. DISKUSSION Skillnader i resultat? Hur stora skillnaderna blev mellan de olika beräkningarna beror mycket på mellan vilka beräkningar och vilka takstolar man jämför. Resultaten visar klart och tydligt försumbara skillnaderna mellan beräkningsprogrammet i MS Excel och program 1. De större skillnaderna är således mellan dessa två och program 2. Detta kanske kan förklaras med att program 2 baseras på FEM och de övriga baseras på samma beräkningsmodell, förskjutningsmetoden. Här vill dock tilläggas att FEM utvecklades från förskjutningsmetoden. Skillnaderna mellan förskjutningsmetoden och FEM är så kallade veka och starka formuleringar av styvheten [11, s.64] där FEM använder sig av en vek formulering där man approximerat en andra ordningens differentialekvation till en första ordningen. Denna approximation kan möjligen ge förklaring till skillnaderna mellan beräkningsmodellerna. Skillnaderna i resultaten kan möjligtvis förklaras i hur man tolkar [4] och vilket ψ 2 värde man använder sig av vid framräkning av E mean,fin. Då man anger det slutliga värdet på elasticitetsmodulen i MS Excel och program 1 kan det förklara den försumbara skillnaden mellan resultaten. Program 2 är anpassad efter eurokoderna [3,4], här väljs material och klimatklass. Den slutliga elasticitetsmodulen beräknas enligt (Ekv.14), denna ekvation är samma som anges i programtillverkarens Theory book. Men vilket ψ 2 -värde programmet använder sig av i slutändan specificeras inte utan hänvisas vidare till gällande eurokoder. Vart man kan ange denna reduceringsfaktor har vet jag inte. Vad den slutliga elasticitetsmodulen blir vet jag således inte, vilket även kan vara en bidragande förklaring till skillnaderna i resultaten. Styvhetsvärden som förskjutningsmetoden byggs upp av kommer från elementegenskaper som L, A, I och E. I alla beräkningar är L, A, och I konstanta, det som varierar mellan beräkningsprogrammen är E (elasticitetsmodulen). Därför blir reduceringsfaktorn ψ 2 en avgörande parameter då storleken av elasticitetsmodulen bestäms av denna reduceringsfaktor. Då beräkningarna sker med olika elasticitetsmodul blir det snabbt stora skillnader, detta speciellt när man jämför millimetervärden som här. Framräknade värden från beräkningsprogrammet i MS Excel får man ut direkt i en tabell med specifika värdena för varje nod, se BILAGA D, figur Detta även för program 1, se BILAGA D, figur 26-29, här listas förskjutningar anknutna till specifika noderna. I program 2 får man klicka ut värdena från godtyckliga punkter, värden från givna punkter har tagits ut med stor noggrannhet. Detta genom att förstora figuren blir felmarginalen så pass liten att detta inte gör någon betydande skillnad för resultatet. Det kan hända att det finns listor för specifikt valda punkter att ta ut data ifrån, jag har ännu inte hittat denna funktion. Bortsett från förslag 2 kan man se att nockens nod sjunker ner mer och högra stödets nod flyttar sig mindre då man jämför resultat från program 2 med de övriga. Förslag 1 är drömlösningen, den har tagits med för att visa att det kan vara svårt att få till de bästa lösningarna, dess förskjutningar uppstår troligen inte i verkligheten då takstolen går till brott innan så stora förskjutningar uppstår. Materialet har då gått över sin proportionalitetsgräns. Av de förslag som tagits fram så är det mindre förskjutningar i förslag 3. Den har även mindre förskjutningar än den ursprungliga takstolen vilket indikerar att den är styvast. Om något av förslagen skall väljas anser jag att förslag 3 är det bästa alternativet. Slutliga frågan man ställer sig är om de redovisade skillnaderna kan anses vara inom felmarginalen? Täcks de av använda säkerhetsfaktorer? Vidare studier kanske kan visa? 25
26 6. SLUTSATS Från inledningen; Är det möjligt att programmera ett eget beräkningsprogram i MS Excel för konstruktionsberäkningar av takstolar? Hur står sig denna beräkningsmodell i jämförelse med de i branschen vanligen använda beräkningsprogram? Vad blir skillnaden i resultat mellan de olika beräkningarna? Ja, det har visat sig möjligt att programmera ett eget beräkningsprogram avseende takstolar i MS Excel om man har tillräckliga teoretiska kunskaper (speciellt matematiska). Den står sig väldigt bra i jämförelse med beräkningsprogram baserade på förskjutningsmetoden men skiljer sig mot program baserade på FEM. Skillnaden mellan MS Excel och program 1, som är baserad på förskjutningsmetoden, blev nästan försumbar. Skillnaden mot program 2, som är baserad på FEM är inte försumbar och bör undersökas vidare. Slutord Vill här knyta an till förordet i början av examensarbetet och poängtera vikten av grundläggande kunskaper i teorierna som beräkningsprogrammen baseras på. Detta för att underlätta modelleringen då man stöter på problem. Visst kan man köra en bil utan att vara mekaniker men är man ute i fält långt från närmaste mack och bilen stannat kan det vara bra att ha grunder i mekanik för att kunna felsöka. Det jag vill komma till är att man inte ska tro att man kan hoppa flera kunskapsled och mena på att man tagit fullt ansvar för beräkningarna utförda av programmet. 26
27 7. REFERENSER [1] BFS 2011:10 EKS 8 [2] Dahlblom, O., Olsson, K.G., Strukturmekanik, Upplaga 1:1, Studentlitteratur AB, Lund, ISBN , (2010) [3] Eurokod 1, Laster på bärverk, SS-EN , SIS (Swedish standard), (1990) [4] Eurokod 5, Dimensionering av träkonstruktioner, SS-EN :2004, SIS (Swedish standard), (2004) [5] Felippa, C. A., A historical outline of matrix structural analysis: a play in three acts, Computer & Structures, Volume 79 issue 14, pp , (Jun 2001) [6] Isaksson, T., Mårtensson A., Thelandersson, S., Byggnadskonstruktion Regel och formelsamling, Upplaga 2:1, Stundetlitteratur AB, Lund, ISBN , (2010) [7] Kassimali, A., Matrix Analysis of Structures, Second edition, Cengage Learning, ISBN , (2012) [8] MacDuffee, C.C., The theory of Matrices, Springer, Berlin (1933); Chelsea Pub. Co., New York (1946) [9] Megson, T. H. G., Structural and Stress Analysis, Second edition, Elsevier Ltd, ISBN (2005) [10] Muir, T., and Metzler, W. J., A Treatise on the Theory of Determinants, Longmans, Green & Co., London and New York (1933). [11] Ottosen, N., Petersson, H., Introduction to the Finite Element Method, First edition, Person Education Limited, ISBN , (1992) [12] Rodhe, S., Sollervall, H., Matematik för ingenjörer, femte upplagan, KUB, Uppsala, ISBN , (2003) [13] Turnbull, H. W., The theory of Determinants, Matrices and invariants, Blackie & Sons Ltd., London (1929) [14] Turner, M. J., Martin, H. C., and Weikel, R. C., Further development and applications of the stiffness method, AGARD Structures and Materials panel, Paris, France, July 1962, in AGARDDograph 72; Matrix Methods of Structural Analysis, ed. By Fraeijs de Veubeke, B. M., Pergamon Press, Oxford, pp , (1964). [15] Turner, M. J., The direct stiffness method of structural analysis, Structural and Materials Panel Paper, AGARD Meeting, Asschen, Germany (1959) ALLMÄNA REFERENSER [16] Handboken Bygg Allmänna grunder, Liber Förlag, Stockholm, (1983) [17] Wale, H., Jakobsson, A., Bärverk av trä, Liber Tryck, Stockholm, (1974) [18] Isaksson, T., Mårtensson A., Thelandersson, S., Byggnadskonstruktion, Upplaga 2:1, Stundetlitteratur AB, ISBN , Lund,(2010) [19] Langesten, B., Byggkonstruktion 1, Tredje upplagan, Liber AB, ISBN , (1995) [20] Langesten, B., Byggkonstruktion 2, Andra upplagan, Liber AB, ISBN , (1995) INTERNET REFERENSER [publikation] ( ) 27
28 BILAGA A STYVHETSKOEFFICIENTER FÖR FRIHETSGRADER Förskjutning/frihetsgrad 1, u 1 Här börjar vi med Hook s lag och andra väl kända begrepp; (A1) (A2) Lägger vi ihop dessa blir de; (A3) (A4) Då vi förskjuter frihetsgrad 1 med en kraft, skapad av en enhets förskjutning (A5) (A6) För att jämvikten ska vara intakt bör k41 vara; Koefficienterna k 21, k 31, k 51 och k 61 påverkar/påverkas inte av förskjutningen i denna frihetsgrad, därför är dessa 0. (A7) Förskjutning/frihetsgrad 2, u 2 Här börjar vi med Elastiska linjens differential ekvation; (A8) (A9) 28
29 (A10) ( ) (A11) Randvillkor 1 x = 0 θ = 0 Randvillkor 2 x = 0 y = 1 ( ) (A12) Genom det första villkoret blir C 1 = 0 och genom det andra blir C 2 = 1, det gör att ekvationerna blir; ( ) (A13) Randvillkor 3 x = L θ = 0 Randvillkor 4 x = L y = 0 Genom användning av villkor 3 insatt i (A13) blir; ( ) (A14) ( ) (A15) Tillslut använder vi oss av det sista villkoret och får; (A16) ( ) (A17) Genom att sätta in (A16) i (A18) blir styvhetskoefficienterna; (A18) (A19) (A20) Nu för att få de andra koefficienterna använder man sig av vilkoret av statisk jämvikt, detta ger; (A21) k 12 och k 42 är 0 då dessa inte påverkar/påverkas av denna förskjutning. (A22) 29
30 Förskjutning/frihetsgrad 3, u 3 Här gör vi precis som när vi tog fram styvhetskoefficienterna för förskjutning/frihetsgrad 2, fast här får C 1 och C 2 andra värden; (A23) (A24) (A25) ( ) (A26) Randvillkor 1 x = 0 θ = 1 Randvillkor 2 x = 0 y = 0 ( ) (A27) Genom det första villkoret blir C 1 = 1 och genom det andra blir C 2 = 0, det gör att ekvationerna blir; ( ) (A28) Randvillkor 3 x = L θ = 0 Randvillkor 4 x = L y = 0 Genom användning av villkor 3 insatt i (A28) blir; ( ) (A29) ( ) (A30) Tillslut använder vi oss av det sista villkoret och får; (A31) ( ) (A32) Genom att sätta in (A31) i (A33) blir styvhetskoefficienterna; (A33) 30
31 (A34) (A35) Nu för att få de andra koefficienterna använder man sig av vilkoret av statisk jämvikt, detta ger; (A36) k 13 och k 43 är 0 då dessa inte påverkar/påverkas av denna förskjutning. (A37) Förskjutning/frihetsgrad 4, u 4 Här blir det precis som vid förskjutning/frihetsgrad 1 fast med omvänd poläritet. (A38) (A39) (A40) (A41) (A42) (A43) 31
32 Förskjutning/frihetsgrad 5, u 5 Här blir det precis som vid förskjutning/frihetsgrad 2 fast med omvänd poläritet. (A44) (A45) (A46) (A47) (A48) (A49) Förskjutning/frihetsgrad 6, u 6 Här blir det precis som vid förskjutning/frihetsgrad 3 fast med omvänd poläritet. (A50) (A51) (A52) (A53) (A54) (A55) 32
33 BILAGA B - KOORDINATER FÖR GEOMETRIER Figur 17 Koordinater för noder och element, befintlig takstol 33
34 Figur 18 Koordinater för noder och element, takstolsförslag 1 Figur 19 Koordinater för noder och element, takstolsförslag 2 34
35 Figur 20 Koordinater för noder och element, takstolsförslag 3 35
36 BILAGA C - FRAMRÄKNING AV LASTER KARAKTERISTISKA LASTER Egentyngder Då det befintliga taket är av korrugerad plåt kommer egentyngden av taket att räknas som lätt (0,4 kn/m 2 ), dock vill här påpekas att det tidigare var av tegel, dvs ett tungt tak (0,6 kn/m 2 ). Lastbredd för takstolen är 1,2 m. De karateristiska egentyngderna för 50x175 och 75x175 sätts till 50 och 65. Deras dimensionerande egentyngder sätts i sin tur till 60 respektive 80. Tabell 12 Laster för yttertaket Material γ (kn/m 3 ) Tvärsnittsarea (mm 2 ) N/m Korrugerad plåt 17,0 2 x 1200 = Bärläkt 5,0 23 x 36 = Ströläkt 5,0 23 x 36 = Papp Råspont 5,0 22 x 1200 = Yttertak exkl. takstol 181 Alternativ 0,4 kn/m N/m (inkl. takstol) 400 N/m (exkl. takstol) Tabell 13 Laster för innertaket Material γ (kn/m 3 ) Tvärsnittsarea (mm 2 ) N/m Gips 8,0 13 x 1200 = Glespanel (95x28), c300 5,0 (95 x 28) / 0,3 = x45, c600 5,0 (145 x 45) / 0,6 = Masonit 5,0 2 x 1200 = Råspont 5,0 22 x 1200 = Papp Sågspån 5,0 175x1200 = Innertak exkl. takstol 1416 Vid beräkningar med lagerlaster bör även egenvikten för lagergolvet inkluderas, detta görs genom att lägga på 132 N/m. Snölast Byggnaden är belägen i Gävle, Fastighetsbeteckning Högsta 36:1. ψ 0 = 0,7 ψ 1 = 0,4 ψ 2 = 0,2 Taklutning 36 (α) μ i, formfaktor av tak μ 1, 0,8(60-α)/30 = 0,64 (C1) 36
37 (anmärkt är att vid snörasskydd bör detta värde ej understiga 0,8, snörasskydd finnes) C e, exponeringsfaktor, exponeringsfaktorn delas in i tre kategorier, vindutsatt, normal och skyddad. Jag bedömer att byggnaden hör till kategori normal, vilket gör att värdet för exponeringsfaktorn blir 1,0. C t, termisk koefficient, denna sätts till 1,0 då energiförluster genom taket anses vara normala. s k, Karakteristisk snölast 2,5 kn/m 2 S = 0,8 x 1,0 x 1,0 x 2,5 = 2,0 x 1,2 = 2,4 kn/m Vindlast Referensvindhastigheten för Gävle är 23 m/s. ψ 0 = 0,3 ψ 1 = 0,2 ψ 2 = 0,0 q p (z e ), karakteristisk värde för hastighetstryck, 0,47 kn/m 2 z e, referenshöjd för formfaktor, 8 m. Terrängtyp, byggnadens placering och dess omgivning gör att den kan bedömmas ligga i Terrängtyp 3. c pe, formfaktor, Vind mot gavel; -1,4 (sug) Vind mot långsida; -1,5 (sug) +0,7 (tryck) +0,7 (tryck) och -0,5 (sug) = (0,7 + 0,5) = ±1,2 (tryck och sug) (C2) Vind mot gavel; Vind mot långsida; W = 0,71 x 1,2 = 0,852 kn/m 0,47 x 1,4 = 0,66 kn/ m 2 (sug) 0,47 x 1,5 = 0,71 kn/ m 2 (sug) 0,47 x 0,7 = 0,33 kn/ m 2 (tryck) 0,47 x 1,5 = 0,71 kn/m 2 (tryck och sug) Nyttiglast Nyttiglaster kommer av de belastade hanbjälkarna av förråds/lagervikt. Denna uppskattad i nuläget till att bli 2,0 kn/m 2. ψ 0 = 1,0 ψ 1 = 0,9 ψ 2 = 0,8 37
38 DIMENSIONERANDE LASTER Lastkombinationer STR-B, 6.10b [γ d ((1,2 G kj,sup ) + (1,5 Q k,1 ) + (1,5 ψ 0 Q k,i ))] (C3) Säkerhetsklass 1 Tabell 14 Reduceringsfaktorer för olika lastfall Huvudlaster ψ 0 Snö 0,7 Vind 0,3 Lagerlast 1,0 Vid uträkning (se Excelblad) blev snölasten som huvudlast avgörande för alla takstolar i alla kombinationer enligt STR-B, 6.10b. Detta innebär att vid en helhetsanalys (med Excel) så reduceras lagerlasten och vindlasten med respektive lastreduceringsfaktorer. För att kontrollera att de olika programmen och beräkningsmodellen i MS Excel lastas med lika mycket laster kontrolleras upplagsreaktionerna för alla beräkningar. Dimensionerande värden till Excel programmeringen Tabell 15 Dimensionerande lastvärden för MS Excel Egentyngder N/m Yttertak (inkl. takstol) 480 x 1,2 = x175 (drag och tryck stänger) 50 x 1,2 = 60 75x x 1,2 = 80 Lagergolv (22mm spångolv) 132 x 1,2 = 158 Innertak (exkl. takstol) 1416 x 1,2 = 1699 Övrigt Snö (verikalt) 2400 x 1,5 = 3600 Snölast (vinkelrät takstol)(l) 2400 x 1,5 x cos 36 = 2912 Snölast (paralell takstol)(l) 2400 x 1,5 x sin 36 = 2116 Vind (vinkelrät mot takstol) 852 x 1,5 x 0,3 = 383 Vind (parallell mot takstol) - - Nyttiglast av lagervikt (vertikal) 2,4 x 1,5 x 1,0 =
39 Tabell 16 Dimensionerande lastkombinationer för MS Excel Del Egentyngder Snö Vind Lagerlast Totalt (N/m) Överram (vinkelrät) Överram (parallellt) Underram (sidor) Underram (mitten, med lagerlast) Underram (mitten, utan lagerlast) Lagergolv (sidor) Egentyngder stänger
40 BILAGA D - RESULTAT FRÅN PROGRAM Excel program Figur 21 Resultat MS Excel, befintlig takstol 40
41 Figur 22 Resultat MS Excel, takstolsförslag 1 41
42 Figur 23 Resultat MS Excel, takstolsförslag 2 42
43 Figur 24 Resultat MS Excel, takstolsförslag 3 43
44 Figur 25 Resultat från uppdelning av lasttyper, MS Excel, alla takstolar 44
45 Program 1 Figur 26 Resultat Program 1, befintlig takstol 45
46 Figur 27 Resultat Program 1, takstolsförslag 1 46
47 Figur 28 Resultat Program 1, takstolsförslag 2 47
48 Figur 29 Resultat Program 1, takstolsförslag 3 48
49 Figur 30 Resultat från uppdelning av lasttyper, Program 1, alla takstolar 49
50 Program 2 Figur 31 Resultat program 2, reaktioner, befintlig takstol Figur 32 Resultat program 2, förskjutningar, befintlig takstol 50
51 Figur 33 Resultat program 2, reaktioner, takstolsförslag 1 Figur 34 Resultat program 2, förskjutningar, takstolsförslag 1 51
52 Figur 35 Resultat program 2, reaktioner, takstolsförslag 2 Figur 36 Resultat program 2, förskjutningar, takstolsförslag 2 52
53 Figur 37 Resultat program 2, reaktioner, takstolsförslag 3 Figur 38 Resultat program 2, förskjutningar, takstolsförslag 3 53
54 BILAGA E RESULTAT AV TESTER PÅ VIRKE Figur 39 Resultat summering av 3 tester 54
55 Figur 40 Resultat av 3 tester (kn/mm) 55
56 Figur 41 Resultat av 3 tester (MPa/mm) 56
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Rambärverk. Projektuppgift 2 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström 01-0-3 Rambärverk Projektuppgift Hållfasthetslärans grunder Våren 01 Rambärverk 1 Knut Balk Knut 3 Balk 1 Balk 3 Knut 1 Knut 4 1 Figure 1:
Olle Bywall & Paul Saad Examensarbete Karlstads Universitet
Innehåll, Bilaga 1 Lastberäkningar... 2 Egentyngd... 2 Nyttiglast... 2 Snölast... 3 Vindlast... 5 Väggdimensionering... 8 steg 1: Dimensionering från tak... 8 steg 2: Dimensionering från våning 5... 11
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Fackverk. Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 2012
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström 212-3-6 Fackverk Projektuppgift 1 Hållfasthetslärans grunder Våren 212 Fackverk 1 Knut 3 Knut 2 Stång 2 Stång 3 y Knut 4 Stång 1 Knut 1 x
Laster och lastnedräkning. Konstruktionsteknik - Byggsystem
Laster och lastnedräkning Konstruktionsteknik - Byggsystem Brygghuset Del 2 Gör klart det alternativ ni valt att jobba med! Upprätta konstruktionshandlingar Reducerad omfattning Lastnedräkning i stommen
TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION Datum: 016-05-06 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel:
Matrismetod för analys av stångbärverk
KTH Hållfasthetslära, J aleskog, September 010 1 Inledning Matrismetod för analys av stångbärverk Vid analys av stångbärverk är målet att bestämma belastningen i varje stång samt att beräkna deformationen
1. En synlig limträbalk i tak med höjd 900 mm, i kvalitet GL32c med rektangulär sektion, belastad med snölast.
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik Uppgifter 2016-08-26 Träkonstruktioner 1. En synlig limträbalk i tak med höjd 900 mm, i kvalitet GL32c med rektangulär sektion, belastad med snölast.
Laster Lastnedräkning OSKAR LARSSON
Laster Lastnedräkning OSKAR LARSSON 1 Partialkoefficientmetoden Den metod som används oftast för att ta hänsyn till osäkerheter när vi dimensionerar Varje variabel får sin egen (partiell) säkerhetsfaktor
VSMF10 Byggnadskonstruktion 9 hp VT15
VSMF10 Byggnadskonstruktion 9 hp VT15 F1-F3: Bärande konstruktioners säkerhet och funktion 1 Krav på konstruktioner Säkerhet mot brott Lokalt (balk, pelare etc får ej brista) Globalt (stabilitet, hus får
TENTAMEN I KURSEN TRÄBYGGNAD
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I KURSEN TRÄBYGGNAD Datum: 013-05-11 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel: Limträhandboken
TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION Datum: 014-08-8 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel:
TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION Datum: 016-0-3 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel:
TENTAMEN I KURSEN TRÄBYGGNAD
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I KURSEN TRÄBYGGNAD Datum: 013-03-7 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel: Limträhandboken
Karlstads universitet 1(7) Byggteknik
Karlstads universitet 1(7) Träkonstruktion BYGB21 5 hp Tentamen Tid Lördag 28 november 2015 kl 9.00-14.00 Plats Universitetets skrivsal Ansvarig Kenny Pettersson, tel 0738 16 16 91 Hjälpmedel Miniräknare
I figuren nedan visas en ritning över stommen till ett bostadshus. Stommen ska bestå av
Uppgift 2 I figuren nedan visas en ritning över stommen till ett bostadshus. Stommen ska bestå av fackverkstakstol i trä, centrumavstånd mellan takstolarna 1200 mm, lutning 4. träreglar i väggarna, centrumavstånd
(kommer inte till tentasalen men kan nås på tel )
Karlstads universitet 1(7) Träkonstruktion BYGB21 5 hp Tentamen Tid Tisdag 13 januari 2015 kl 14.00-19.00 Plats Ansvarig Hjälpmedel Universitetets skrivsal Carina Rehnström (kommer inte till tentasalen
Karlstads universitet 1(7) Byggteknik. Carina Rehnström
Karlstads universitet 1(7) Träkonstruktion BYGB21 5 hp Tentamen Tid Tisdag 14 juni 2016 kl 8.15-13.15 Plats Ansvarig Hjälpmedel Universitetets skrivsal Kenny Pettersson Carina Rehnström Miniräknare Johannesson
Exempel 5: Treledstakstol
5.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera treledstakstolen enligt nedan. Beakta två olika fall: 1. Dragband av limträ. 2. Dragband av stål. 1. Dragband av limträ 2. Dragband av stål
TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I FÖRDJUPNINGSKURS I BYGGKONSTRUKTION Datum: 014-0-5 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel:
Tentamen i. Konstruktionsteknik. 26 maj 2009 kl
Bygg och Miljöteknolo gi Avdelningen för Konstruktionsteknik Tentamen i Konstruktionsteknik 26 maj 2009 kl. 8.00 13.00 Tillåtna hjälpmedel: Tabell & Formelsamlingar Räknedosa OBS! I vissa uppgifter kan
Exempel 13: Treledsbåge
Exempel 13: Treledsbåge 13.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera treledsbågen enligt nedan. Treledsbåge 84,42 R72,67 12,00 3,00 56,7º 40,00 80,00 40,00 Statisk modell Bestäm tvärsnittets
Konstruktionsuppgifter för kursen Strukturmekanik grunder för V3. Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers
Konstruktionsuppgifter för kursen Strukturmekanik grunder för V3 Jim Brouzoulis Tillämpad Mekanik Chalmers 1 Förord Denna skrift innehåller de konstruktionsuppgifter som avses lösas i kursen Strukturmekanik
Betongkonstruktion BYGC11 (7,5hp)
Karlstads universitet 1(11) Betongkonstruktion BYGC11 (7,5hp) Tentamen Tid Fredag 17/01 2014 kl. 14.00 19.00 Plats Universitetets skrivsal Ansvarig Asaad Almssad tel 0736 19 2019 Carina Rehnström tel 070
4.3. 498 Gyproc Handbok 7 Gyproc Teknik. Statik. Bärförmåga hos Gyproc GFR DUROnomic Regel. Dimensioneringsvärden för transversallast och axiallast
.3 Dimensionering av Gyproc DUROnomic Bärförmåga hos Gyproc GFR DUROnomic Regel Dimensioneringsvärden för transversallast och axiallast Gyproc GFR Duronomic förstärkningsreglar kan uppta såväl transversallaster
Exempel 12: Balk med krökt under- och överram
6,00 Exempel 12: Exempel 12: 12.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera fackverket med krökt under- och överram enligt nedan. Överram Underram R 235,9 det.2 R 235,9 1,5 det.1 10,00
KONSTRUKTIONSTEKNIK 1
KONSTRUKTIONSTEKNIK 1 TENTAMEN Ladokkod: 41B16B-20151-C76V5- NAMN: Personnummer: - Tentamensdatum: 17 mars 2015 Tid: 09:00 13.00 HJÄLPMEDEL: Formelsamling: Konstruktionsteknik I (inklusive här i eget skrivna
1.6 Castiglianos 2:a Sats och Minsta Arbetets Princip
--8 FE för Ingenjörstillämpningar, SE rshen@kth.se.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip ilder ritade av Veronica Wåtz. Givet: k () L Sökt: Lösning: et står att ska beräknas med hjälp av energimetod
Tentamen i Konstruktionsteknik
Bygg och Miljöteknologi Avdelningen för Konstruktionsteknik Tentamen i Konstruktionsteknik 5 Juni 2015 kl. 14.00-19.00 Gasquesalen Tillåtna hjälpmedel: Tabell & Formelsamling Räknedosa OBS! I vissa uppgifter
Konstruktionsuppgift i byggnadsmekanik II. Flervåningsbyggnad i stål. Anders Andersson Malin Bengtsson
Konstruktionsuppgift i byggnadsmekanik II Flervåningsbyggnad i stål Anders Andersson Malin Bengtsson SAMMANFATTNING Syftet med projektet har varit att dimensionera en flervåningsbyggnad i stål utifrån
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Exempel 7: Stagningssystem
20,00 7.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera stagningssstemet enligt nedan. Sstemet stagar konstruktionen som beräknas i exempel 2. Väggens stagningssstem 5,00 Takets stagningssstem
Tentamen i Konstruktionsteknik
Bygg och Miljöteknologi Avdelningen för Konstruktionsteknik Tentamen i Konstruktionsteknik 2 Juni 2014 kl. 14.00-19.00 Gasquesalen Tillåtna hjälpmedel: Tabell & Formelsamlingar Räknedosa OBS! I vissa uppgifter
CAEBSK10 Balkpelare stål
CAEBSK10 Balkpelare stål Användarmanual 1 Eurocode Software AB Innehåll 1 INLEDNING...3 1.1 TEKNISK BESKRIVNING...3 2 INSTRUKTIONER...3 2.1 KOMMA IGÅNG MED CAEBSK10...4 2.2 INDATA...4 2.2.1 GRUNDDATA...5
TENTAMEN I KURSEN DIMENSIONERING AV BYGGNADSKONSTRUKTIONER
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I KURSEN DIMENSIONERING AV BYGGNADSKONSTRUKTIONER Datum: 011-1-08 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström Hjälpmedel:
Övning 1 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen
Övning FE för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen 9--9 rshen@kth.se 7-7 7 59.6 Castiglianos :a Sats och insta Arbetets rincip Bilder ritade av Veronica Wåtz, asse emeritus. 6EI Givet: k = () L Sökt: θ
Statik. Nåväl låt oss nu se vad som är grunderna för att takstolsberäkningen ska bli som vi tänkt.
Statik Huvuddelen av alla takstolsberäkningar utförs idag med hjälp av ett beräkningsprogram, just anpassade för takstolsdimensionering. Att ha ett av dessa program i sin dator, innebär inte att användaren
1. Dimensionering och utformning av hallbyggnad i limträ
Tillämpad fysik och elektronik/ Byggteknik Fördjupningskurs i byggkonstruktion Annika Moström 2014 Sid 1 (5) Konstruktionsuppgift : Limträhall 1. Dimensionering och utformning av hallbyggnad i limträ Uppgiften
Dimensionering av byggnadskonstruktioner. Dimensionering av byggnadskonstruktioner. Förväntade studieresultat. Förväntade studieresultat
Dimensionering av Dimensionering av Kursens mål: Kursen behandlar statiskt obestämda konstruktioner såsom ramar och balkar. Vidare behandlas dimensionering av balkar med knäckning, liksom transformationer
Konstruktionsteknik 25 maj 2012 kl Gasquesalen
Bygg och Miljöteknologi Avdelningen för Konstruktionsteknik Tentamen i Konstruktionsteknik 25 maj 2012 kl. 14.00 19.00 Gasquesalen Tillåtna hjälpmedel: Tabell & Formelsamlingar Räknedosa OBS! I vissa uppgifter
PPU408 HT15. Beräkningar stål. Lars Bark MdH/IDT
Beräkningar stål 1 Balk skall optimeras map vikt (dvs göras så lätt som möjligt) En i aluminium, en i höghållfast stål Mått: - Längd 180 mm - Tvärsnittets yttermått Höjd: 18 mm Bredd: 12 mm Lastfall: -
Exempel 3: Bumerangbalk
Exempel 3: Bumerangbalk 3.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera bumerangbalken enligt nedan. Bumerangbalk X 1 600 9 R18 000 12 360 6 000 800 10 000 10 000 20 000 Statisk modell
Tentamen i Hållfasthetslära AK2 för M Torsdag , kl
Avdelningen för Hållfasthetslära Lunds Tekniska Högskola, LTH Tentamen i Hållfasthetslära AK2 för M Torsdag 2015-06-04, kl. 8.00-13.00 Tentand är skyldig att visa upp fotolegitimation. Om sådan inte medförts
Program A2.05/A206 Stabiliserande väggar
Program A2.05/A206 Stabiliserande väggar Användningsområde Programmet behandlar system av statiskt bestämda eller statiskt obestämda stabiliserande väggar. Med programmet kan man behandla 2 typer av väggsystem:
Exempel 14: Fackverksbåge
Exempel 14: Fackverksbåge 14.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera fackverksbågen enligt nedan. Fackverksbåge 67,85 Överram Diagonalstänger Trcksträvor Dragband Underram 6,05 6,63
Exempel 2: Sadelbalk. 2.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag. Exempel 2: Sadelbalk. Dimensionera sadelbalken enligt nedan.
2.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera sadelbalken enligt nedan. Sadelbalk X 1 429 3,6 360 6 000 800 10 000 10 000 20 000 Statisk modell Bestäm tvärsnittets mått enligt den preliminära
Dimensionering i bruksgränstillstånd
Dimensionering i bruksgränstillstånd Kapitel 10 Byggkonstruktion 13 april 2016 Dimensionering av byggnadskonstruktioner 1 Bruksgränstillstånd Formändringar Deformationer Svängningar Sprickbildning 13 april
Biomekanik Belastningsanalys
Biomekanik Belastningsanalys Skillnad? Biomekanik Belastningsanalys Yttre krafter och moment Hastigheter och accelerationer Inre spänningar, töjningar och deformationer (Dynamiska påkänningar) I de delar
Program A2.06 Stabiliserande väggar
SOFTWARE ENGINEERING AB Beräkningsprogram - Statik Program A2.06 Stabiliserande väggar Software Engineering AB Hisingsgatan 0 417 0 Göteborg Tel : 01 5080 Fa : 01 508 E-post : info@bggdata.se 2001-08-29,
Betongkonstruktion BYGC11 (7,5hp)
Karlstads universitet 1(12) Betongkonstruktion BYGC11 (7,5hp) Tentamen Tid Torsdag 17/1 2013 kl 14.00 19.00 Plats Universitetets skrivsal Ansvarig Asaad Almssad tel 0736 19 2019 Carina Rehnström tel 070
Manual för ett litet FEM-program i Matlab
KTH HÅLLFASTHETSLÄRA Manual för ett litet FEM-program i Matlab Programmet består av en m-fil med namn SMALL_FE_PROG.m och en hjälp-fil för att plotta resultat som heter PLOT_DEF.m. Input För att köra programmet
Projekteringsanvisning
Projekteringsanvisning 1 Projekteringsanvisning Den bärande stommen i ett hus med IsoTimber dimensioneras av byggnadskonstruktören enligt Eurokod. Denna projekteringsanvisning är avsedd att användas som
Betongbalkar. Böjning. UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström. Räkneuppgifter
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Annika Moström Räkneuppgifter 2012-11-15 Betongbalkar Böjning 1. Beräkna momentkapacitet för ett betongtvärsnitt med bredd 150 mm och höjd 400 mm armerad
Exempel 11: Sammansatt ram
Exempel 11: Sammansatt ram 11.1 Konstruktion, mått och dimensioneringsunderlag Dimensionera den sammansatta ramen enligt nedan. Sammansatt ram Tvärsnitt 8 7 6 5 4 3 2 1 Takåsar Primärbalkar 18 1,80 1,80
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
Tekniska Högskolan i inköping, IK DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) NAMN... 1. Vilken typ av ekvation är detta: ε = d u(x) d x Ange vad de ingående storheterna betyder, inklusive deras dimension i SI-enheter.
VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO
VSMA01 - Mekanik ERIK SERRANO Repetition Krafter Representation, komposanter Friläggning och jämvikt Friktion Element och upplag stång, lina, balk Spänning och töjning Böjning Knäckning Newtons lagar Lag
PPU408 HT15. Beräkningar stål. Lars Bark MdH/IDT
Beräkningar stål 1 Balk skall optimeras map vikt (dvs göras så lätt som möjligt) En i aluminium, en i höghållfast stål Mått: - Längd 180 mm - Tvärsnittets yttermått Höjd: 18 mm Bredd: 12 mm Lastfall: -
Byggnader som rasar växande problem i Sverige. Dimensionering av byggnadskonstruktioner
Byggnader som rasar växande problem i Sverige Dimensionering av byggnadskonstruktioner Välkommen! DN-debatt, 6 november 2012 Professor Lennart Elfgren, Luleå Tekniska Universitet Professor Kent Gylltoft,
Eurokod nyttiglast. Eurocode Software AB
Eurokod nyttiglast Eurocode Software AB Eurokoder SS-EN 1991 Laster SS-EN 1991-1-1 Egentyngd, nyttig last SS-EN 1991-1-2 Termisk och mekanisk påverkan vid brand SS-EN 1991-1-3 Snölast SS-EN 1991-1-4 Vindlast
K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik
K-uppgifter Strukturmekanik/Materialmekanik K 1 Bestäm resultanten till de båda krafterna. Ange storlek och vinkel i förhållande till x-axeln. y 4N 7N x K 2 Bestäm kraftens komposanter längs x- och y-axeln.
Eurokod lastkombinering exempel. Eurocode Software AB
Eurokod lastkombinering exempel Eurocode Software AB Nybyggnad Lager & Kontor Stålöverbyggnad med total bredd 24 m, total längd 64 m. Invändig fri höjd uk takbalk 5,6m. Sadeltak med taklutning 1:10. Fasader
Lösning: B/a = 2,5 och r/a = 0,1 ger (enl diagram) K t = 2,8 (ca), vilket ger σ max = 2,8 (100/92) 100 = 304 MPa. a B. K t 3,2 3,0 2,8 2,6 2,5 2,25
Tekniska Högskolan i Linköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Enkla bärverk TMHL0, 009-03-13 kl LÖSNINGAR DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Du har en plattstav som utsätts för en
Vår kontaktperson Direkttelefon E-post
Vår kontaktperson Direkttelefon E-post Gabriel Kridih, Handläggande konstruktör 2016-04-11 1 (7) 08-560 120 53 gabriel.kridih@btb.se 1 Orientering om projektet 1.1 Allmän information och sammanfattning
4.6 Stelkroppsrörelse i balk
Övning Balkar, Balk-Stång, Symmetri Rickard Shen 0-0- FEM för Ingenjörstillämpningar, SE05 rshen@kth.se.6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz Givet: w L w L () Sökt: Visa att förskjutningsansatsen
3 Fackverk. Stabil Instabil Stabil. Figur 3.2 Jämviktskrav för ett fackverk
3 Fackverk 3.1 Inledning En struktur som består av ett antal stänger eller balkar och som kopplats ihop med mer eller mindre ledade knutpunkter kallas för fackverk. Exempel på fackverkskonstruktioner är
BÄRANDE KONSTRUKTIONER MED EPS BERÄKNINGSPRINCIPER. Anpassad till Eurokod
BÄRANDE KONSTRUKTIONER MED EPS BERÄKNINGSPRINCIPER Anpassad till Eurokod 2 (12) BÄRANDE KONSTRUKTIONER MED EPS Dimensioneringsprocessen Dimensioneringsprocessen för bärande konstruktioner kan delas upp
BYGGNADSKONSTRUKTION IV
2006-01-28 BYGGNADSKONSTRUKTION IV Konstruktionsuppgift 2: Dimensionering och utformning av hallbyggnad i limträ Datablad Snözon... Åsavstånd a =... m Takbalksavstånd b =... m Egentyngd av yttertak g =...
Stångbärverk. Laboration. Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg. 14 mars 2014
Umeå universitet Tillämpad fysik och elektronik Staffan Grundberg Laboration 4 mars 4 Stångbärverk Hållfasthetslärans grunder Civilingenjörsprogrammet i teknisk fysik Knut Knut....4 y/ L.5.6.7.8.9 Knut
www.eurocodesoftware.se caeec502 Pelare trä Beräkning av laster enligt SS-EN 1991-1-4:2005 och analys av pelare i trä enligt SS-EN 1995-1-1:2004. Användarmanual Rev: A Eurocode Software AB caeec502 Pelare
= 1 E {σ ν(σ +σ z x y. )} + α T. ε y. ε z. = τ yz G och γ = τ zx. = τ xy G. γ xy. γ yz
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP /Tore Dahlberg LÖSNINGAR TENTAMEN i Hållfasthetslära - Dimensioneringmetoder, TMHL09, 060601 kl -12 DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Spänningarna i en punkt i ett
Betongkonstruktion Facit Övningstal del 2 Asaad Almssad i samarbete med Göran Lindberg
Pelare ÖVNING 27 Pelaren i figuren nedan i brottgränstillståndet belastas med en centriskt placerad normalkraft 850. Kontrollera om pelarens bärförmåga är tillräcklig. Betong C30/37, b 350, 350, c 50,
BOVERKETS FÖRFATTNINGSSAMLING Utgivare: Anders Larsson
BOVERKETS FÖRFATTNINGSSAMLING Utgivare: Anders Larsson BFS 2004:10 Boverkets regler om tillämpningen av europeiska beräkningsstandarder (föreskrifter och allmänna råd); Utkom från trycket den 30 juni 2004
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, , kl
Tentamen i kursen Balkteori, VSM-091, 008-10-1, kl 08.00-13.00 Maimal poäng på tentamen är 0. För godkänt tentamensresultat krävs 18 poäng. Tillåtna hjälpmedel: räknare, kursens formelsamling och Calfemmanual.
Beräkningsstrategier för murverkskonstruktioner
Beräkningsstrategier för murverkskonstruktioner Tomas Gustavsson TG konstruktioner AB 2017-06-08 Dimensionerande lastfall ofta endera av: 1. Vindlast mot fasad + min vertikallast 2. Max vertikallast +
TENTAMEN I KURSEN DIMENSIONERING AV BYGGNADSKONSTRUKTIONER
UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Byggteknik TENTAMEN I KURSEN DIMENSIONERING AV BYGGNADSKONSTRUKTIONER Datum: 01-1-07 Tid: 9.00-15.00 Antal uppgifter: 4 Max poäng: 40 Lärare: Annika Moström
caeec301 Snittkontroll stål Användarmanual Eurocode Software AB
caeec301 Snittkontroll stål Analys av pelarelement enligt SS-EN 1993-1-1:2005. Programmet utför snittkontroll för givna snittkrafter och upplagsvillkor. Rev: C Eurocode Software AB caeec301 Snittkontroll
Teknisk modellering: Bärverksanalys VSMF05
Teknisk modellering: Bärverksanalys VSMF05 Kursprogram 2017 Inledning Kursens syfte är att ge kunskaper om att välja fysikaliskt riktiga modeller samt att använda dessa för att lösa ingenjörsproblem.
Sida 1 av 10. Projekt : 20 ENKELSTUGAN, 2011
Projekt : 20 ENKELSTUGAN, 2011 Konstruktionsvirke ---------------------- Syll 201 45x 120 7247 90 90 10 2 201 45x 120 5086 90 90 10 2 Hammarband 211 45x 120 7247 90 90 20 2 211 45x 120 5086 90 90 20 2
TENTAMEN i Hållfasthetslära; grundkurs, TMMI kl 08-12
Linköpings Universitet Hållfasthetslära, IK TENTAMEN i Hållfasthetslära; grundkurs, TMMI17 2001-08-17 kl 08-12 Kursen given lp 4, lå 2000/01 Examinator, ankn (013-28) 1116 Tentamen Tentamen består av två
EXAMENSARBETE. Snedfördelning av laster på sadeltak av trä. Förslag på detaljlösning. Alexander Kaponen 2014
EXAMENSARBETE Snedfördelning av laster på sadeltak av trä Förslag på detaljlösning Alexander Kaponen 2014 Civilingenjörsexamen Väg- och vattenbyggnadsteknik Luleå tekniska universitet Institutionen för
LINJÄRA AVBILDNINGAR
LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,
Övning 3 FEM för Ingenjörstillämpningar Rickard Shen Balkproblem och Ramverk
.6 Stelkroppsrörelse i balk Bild av Veronica Wåtz w δ θl Givet: w δ + θl () θ θ θ Sökt: Visa att förskjutningsansatsen kan beskriva en godtycklig stelkroppsrörelse, dvs w x δ + θx. w θ : Allmänt: wξ N
Bilaga A - Dimensioneringsförutsättningar
Dimensioneringsförutsättningar Allmänt Dimensionerande värden framräknas enligt nedanstående. Dimensionerande värden, X d = 1 γ m X k γ m, partialkoefficient, enligt tabell nedan. Jordparameter Partialkoefficienter
Lösningsförslag, Inlämningsuppgift 2, PPU203 VT16.
Lösningsförslag, Inlämningsuppgift 2, PPU203 VT16. Deluppgift 1: En segelbåt med vinden rakt i ryggen har hissat spinnakern. Anta att segelbåtens mast är ledad i botten, spinnakern drar masttoppen snett
Exempel. Inspecta Academy 2014-03-04
Inspecta Academy 1 på stålkonstruktioner I princip alla stålkonstruktioner som består av balkar eller liknande ska dimensioneras enligt Eurocode 3 Vanligaste exempel Byggnader Broar Andra vanliga exempel
Eurokod lastkombinationer. Eurocode Software AB
Eurokod lastkombinationer Eurocode Software AB Lastkombination uppsättning av dimensioneringsvärden som används för att verifiera ett bärverks tillförlitlighet för ett gränstillstånd under samtidig påverkan
EXAMENSARBETE. Stomstabilisering hos prefabricerade betongkonstruktioner i 3D-beräkningsprogram. Carolin Rydberg och Kasper Reiderstedt
Byggingenjör 180 hp EXAMENSARBETE Stomstabilisering hos prefabricerade betongkonstruktioner i 3D-beräkningsprogram Carolin Rydberg och Kasper Reiderstedt Byggteknik 15 hp Halmstad 2015-08-05 ABSTRACT Authors:
Tekniska Högskolan i Linköping, IKP Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära; grk, TMMI17, kl DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel)
Tekniska Högskolan i Linköping, IK DEL 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) U G I F T E R med L Ö S N I N G A R 1. Ange Hookes lag i en dimension (inklusive temperaturterm), förklara de ingående storheterna,
Allmänna profildata. *Gäller Z och C. Dessutom finns ofta udda planplåtsbredder för tillverkning av specialprofiler.
Lättbalkar 1 Allmänna profildata Dessutom finns ofta udda planplåtsbredder för tillverkning av specialprofiler. *Gäller Z och C. Offereras vid förfrågan. (160 180 645 finns alltid från 1,5 mm tjocklek)
EXAMENSARBETE. Förändring av svensk takstol. En jämförelse mellan BABS 1946 och Eurokod. Karin Ericsson. Civilingenjörsexamen Arkitektur
EXAMENSARBETE Förändring av svensk takstol En jämförelse mellan BABS 1946 och Eurokod Karin Ericsson Civilingenjörsexamen Arkitektur Luleå tekniska universitet Institutionen för Samhällsbyggnad och naturresurser
CHALMERS Finit Elementmetod M3 Institutionen för tillämpad mekanik. Teorifrågor
Teorifrågor : Visa att gradienten till en funktion pekar i den riktning derivatan är störst och att riktingen ortogonalt mot gradienten är tangent till funktionens nivåkurva. Visa hur derivatan i godtycklig
www.eurocodesoftware.se
www.eurocodesoftware.se caeec211 Balk betong Dimensionering av balkar i betong enligt SS EN 1992-1-1. Användarmanual Rev B Eurocode Software AB caeec211 Balk betong Sidan 2(27) Innehållsförteckning 1 Inledning...
Stomstabilisering KAPITEL 4 DEL 1
Stomstabilisering KAPITEL 4 DEL 1 Stomstabilisering Innebär att man ser till att byggnaden klarar de horisontella krafter som den utsätts för Horisontella laster De viktigaste horisontella lasterna i Sverige
Oarmerade väggar utsatta för tvärkraft (skjuvväggar) Stomanalys
Oarmerade väggar utsatta för tvärkraft (skjuvväggar) Stomanalys Generellt Beskrivs i SS-EN 1996-1-1, avsnitt 6.2 och avsnitt 5.5.3 I handboken Utformning av murverkskonstruktioner enligt Eurokod 6, beskrivs
TRÄKONSTRUKTIONSTEKNIK
UMEÅ UNIVERSITET 2012-01-26 Tekniska högskolan Byggteknik EXEMPELSAMLING I TRÄKONSTRUKTIONSTEKNIK Utdrag: Träförband och sammansatta konstruktioner (Ex. 4.1-2,5-8,10,13 innehåller gamla svar) Sammanställd
TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA FÖR F (MHA081)
TENTAMEN I HÅFASTHETSÄRA FÖR F (MHA81) Tid: Fredagen den 19:e januari 27, klockan 14 18, i V-huset ärare: Peter Hansbo, ankn 1494 Salsbesök av lärare: c:a kl 15 och 17 ösningar: anslås på kurshemsidan
Spänning och töjning (kap 4) Stång
Föreläsning 3 Spänning och töjning Spänning och töjning (kap 4) Stång Fackverk Strukturmekanik FM60 Materialmekanik SMA10 Avdelningen för Bggnadskonstruktion TH Campus Helsingborg Balk Ram Spänning (kraftmått)
2 november 2016 Byggnadsmekanik 2 2
Byggnadsmekanik 2 Välkommen! 2 november 2016 Byggnadsmekanik 2 2 Byggnadsmekanik 2 Kursen är en fortsättning i byggnadsmekanik och hållfasthetslära med inriktning mot byggnadskonstruktion. I kursen behandlas
Lösning: ε= δ eller ε=du
Tekniska Högskolan i inköping, IEI /Tore Dahlberg TENTAMEN i Hållfasthetslära - Enkla bärverk TMH02, 2008-06-04 kl ÖSNINGAR DE 1 - (Teoridel utan hjälpmedel) 1. Definiera begreppet töjning (ε) och ange
HUNTON FANERTRÄBALK LVL
TEKNISK ANDBOK FÖR GOLV OC TAK UNTON FANERTRÄBALK LVL Fanerträbalk för höga krav SE - 04/18 FANERTRÄBALK LVL MLT Ltd. Werk Torzhok Z-9.1-811 MLT Ltd. Werk Torzhok Z-9.1-811 Kvalitet och effektivitet UNTON
EN 1990 Övergripande om Eurokoder och grundläggande dimensioneringsregler. Inspecta Academy 2014-03-04
EN 1990 Övergripande om Eurokoder och grundläggande dimensioneringsregler Inspecta Academy 1 Eurokoder Termer och definitioner Några av definitionerna som används för eurokoderna Byggnadsverk Allting som