Fouriermetoder för Signaler och system I

Transkript

1 Insiuionen för maemaik, KTH Arbesmaerial för 5B09/5:/HT05/E.P. Fouriermeoder för Signaler och sysem I Syfe med de här kursavsnie är a ge en orienering av en del i den maemaiska analysen, de s.k. fouriermeoderna, som har visa sig vara mycke användbara och kraffulla redskap för a modellera siuaioner inom signalbehandling, elekricieslära, akusik m.m. Fourieranalysen är i sig ganska komplex. Den har en egen begreppsappara och i den finns många ickeriviala samband. Dea gör dels, a den maemaisk/logiska delen av eorin ine är alldeles enkel om den bedrivs med veenskaplig noggrannhe dels, a man kan närma sig ämne på många olika sä. Här följer en informell framsällning syfe är a man i försa hand skall kunna förså a de resula som ges är rimliga och kunna använda dem i naurveenskapliga och ekniska sammanhang. Mera sringena framsällningar hiar man i speciallierauren.. Inledning. Fourierserier och -inegraler inom signaleorin. Komplexa fourierserier. Lie ylig kan man säga a fourieranalysen i mycke handlar om konsen a uppfaa godyckliga funkioner x() som linjära kombinaioner av rigonomeriska funkioner cos ω och sin ω, där ω oberoende av. Eller, vilke går u på samma sak: linjära kombinaioner av de komplexa exponenialfunkionerna e jω, så kallade harmoniska funkioner (eller harmoniska svängningar). ( Fourierserierna, som agis upp idigare i kursen, handlar ju jus om dea: En godycklig funkion x() (nåja, näsan godycklig koninuerlig och med koninuerlig derivaa räcker) på inervalle < < kan skrivas: x() = a 0 + (a n cos n + b n sin n), (.) n = där koefficienerna a n och b n erhålls ur a n = x() cos n d, då n 0 och b n = x() sin n d, då n. (.) Anmärkning : En vikig sak a observera är a alla ermerna i högerlede av (.) är -periodiska funkioner definierade för alla reella. Högerlede är allså definiera och -periodisk för alla. Dea innebär a om funkionen x() som vi ugå ifrån ill ävenyrs skulle vara definierad även uanför inervalle < < men ine periodisk, så gäller relaionen (.) i allmänhe ine uanför inervalle ifråga! Tydligas syns kanske den disinkionen om man ser på graferna för funkionerna i vänser respekive höger led. Om.ex. x() är definierad som, då, och, säg, = 0 för övriga -värden. så är dess graf (allså vänserledes graf): 3 Vänserlede x() i (.). Obs a cos ω = (e jω + e jω )/, sin ω = (e jω e jω )/(j) och e jω = cos ω + j sin ω. Linjära kombinaioner av cos ω och sin ω är därför allid linjära kombinaioner av funkioner av yp e jω och vice versa.

2 Summan i högra lede kommer däremo a ha grafen: Högerlede i (.). Likhe för alla i (.) gäller ydligen om och bara om x() är definierad för alla och dessuom -periodisk. 3 För en signaleoreiker skulle funkionen x() vara en beskrivning av signalen ; är då en idsvariabel (vanligen mä i sekunder) och x anger,.ex. om de gäller ljud, ryckavvikelsen från normalrycke (ljudrycke). Relaionen (.) urycker a signalen är sammansa av harmoniska svängningar med frekvenser som är helalsmulipler av [Hz]. Koefficienerna a n och b n relaerar man då ill respekive svängnings ampliud de ugör signalens spekrum. x a n / n Signalen och dess spekrum Övningar. Figuren ovan ger (en bi av) grafen för den -periodiska signal x() som i inervalle anar värdena x() =. Verifiera a ampliuderna för sinussvängningarna, b n, alla är = 0 och de för cosinussvängningarna, 0, då n jämn och 0, 4 a n = n, om n udda,, då n = 0. Med anke på a räknelagarna för exponenialfunkionerna är enklare än de för de rigonomeriska och efersom vi har de generella sambanden, cos α = ejα + e jα och sin α = ejα e jα j är de naurlig a urycka fourierserieermerna a n cos n + b n sin n som linjära kombinaioner av e jn och e jn. Man får a n cos n + b n sin n = [a n(e jn + e jn ) jb n (e jn e jn )] = (Eulers formler) = a n jb n e jn + a n + jb n e jn = c n e jn + c n e jn, där vi sa c n = a n jb n, om n > 0 och = a n + jb n, om n < 0. Hz = en svängning (eller e varv)/sek.

3 Säer man sedan c 0 = a 0, så kommer hela fourierserien a skrivas om ill en mera lähanerlig komplex oändlig serie:. x() = a 0 + (a n cos n + b n sin n) = c n e jn n = n = De komplexa c:koefficienerna kan beräknas direk ur seriesumman x(): För n > 0: c n = a n jb n = x() (cos n j sin n ) d = x() e jn d, för n < 0: c n = a n + jb n = x() (cos ( n) + j sin ( n )) d = x() e jn d, och för n = 0: c 0 = a 0 = x() d = x() e j 0 d, dvs. sambande c n = x() e jn d gäller för alla helal n = 0, ±, ±, Sammanfaningsvis: Komplex fourierserieuveckling: x() = c n e jn, (.3) c n = n = x() e jn d (.4) Om x() reell och x() = a 0 + (a n cos n + b n sin n) = c n e jn, n = n = så gäller a n = Re c n, b n = Im c n, n 0 (.5) och c n = a n jb n, n > 0, c n = a n + jb n, n < 0, c 0 = a 0. (.6) 3

4 Övningar:. a. Verifiera a om x() är en reellvärd funkion så är c n = c n och omvän: Om c n = c n i serien (.3) så är x() en reellvärd funkion. (Ledning: Unyja a c n e in + c n e jn = Re (c n e jn ).) b. Besäm den komplexa fourierserien (.3) ill funkionen i uppgif...3 a. Verifiera a för reella a och b, a cos ω + b sin ω = A cos (ω + ϕ), där A = (a + b ) / och an ϕ = b/a, (ϕ = / om a = 0). Funkionens maximalvärde, A, är svängningens ampliud, ϕ är fasvinkeln eller fasläge och ω/(), är svängningens frekvens. I ord kan relaionen i.3a uryckas: Varje linjärkobinaion av sinus- och cosinussvängningar med samma frekvens kan uppfaas som en fasförskjuen cosinussvängning med den frekvensen. b. Vilka är ampliuderna A n och fasvinklarna ϕ n för de olika frekvenserna hos funkionen i uppgif.? c. Verifiera a de komlexa koefficienerna c n av serien (.3) då x() reell också ges av c n = A n e jϕ n då n, c n = A n e jϕ n då n och c 0 = A 0..4 Funkionen x() är -periodisk och x() =, då < <. a Beräkna dess komplexa fourierseriekoefficiener med hjälp av (.4). b Besäm sedan ex med hjälp av sambanden (.5) dess reella fourierseriekoefficiener. Anmärkning : Vale av inervall < < och periodlängd ovan känns kanske lie konsla. De är dock mera en formeleknikalie. Om periodlängden isälle är L (L > 0) så kan man med skalning av -axeln överföra de falle ill -falle man subsiuerar = /L τ och får de mera generella sambanden: x() = a 0 + (a n cos n/l + b n sin n/l), n= (.') a n = L/ L x(τ) cos nτ/l dτ, då n 0 och b n = L/ L x(τ) sin nτ/l dτ, då n, L/ L/ (.') med de komplexa varianerna: 3 x() = c n e jn/l, n= (.3') c n = L/ L x(τ) e jnτ/l dτ. (.4') L/ För L-periodiska x() kan inegraionsinervallen ovan ersäas med vilke som hels inervall som har längden L. 3 Se också ZC., exercise, sid

5 Övningar:.5 Uför subsiuionen = /L τ i (.) (.4) och verifiera därigenom relaionerna (.') (.4'). Verifiera också a relaionerna (.5) och (.6) mellan a-, b- och c-koefficienerna gäller oförändrade. Vilke useende får de komplexa formlerna om periodlängden =?.6 Funkionen x() är -periodisk och x() = 4 3, då < <. a Besäm dess komplexa fourierseriekoefficiener. b Besäm sedan ex med hjälp av sambanden (.5) dess reella fourierseriekoefficiener. Fourierserierna handlar allså om konsen a skriva periodiska funkioner som linjära kombinaioner av komplexa exponenialfunkioner e jω. De så kallade Fourierinegralerna befaar sig med samma problem, fas för funkioner x() som är definierade för alla reella och ine nödvändigvis är periodiska. Man kan nämligen visa a för en sor klass av sådana funkioner gäller där x() = X(ω) ejω dω, (.7) X(ω) = x() e jω d. (.8) Den försa av dessa relaioner kan uppfaas som a x() är en linjär kombinaion av (de oändlig många) funkionerna e jω. Så när som på den konsana fakorn svarar fakorn X(ω) mo den linjära kombinaio- nens koefficiener (funkionens spekrum), den benämns fourierransformen av x(). Sambande (.7) kallas ibland synesekvaionen (för fourierransformer) den anger hur funkionen x() byggs upp av sina besåndsdelar X(ω) ejω. Analog sägs (.8) vara analysekvaion den alar om vilka besåndsdelar funkionen x() har. Anmärkning 3: Observera de formella likheerna mellan formelparen (.3) resp. (.4) å ena sidan och (.7) resp. (.8) å den andra. Skillnaden mellan (.4) och (.8) är föruom skalfakorn a inegraionsgränserna är olika. Samma gäller för (.3) och (.7) om man uppfaar serien i (.3) som en inegral där inegraionsvariabeln n bara anar de diskrea värdena 0, ±, ±,. Dea är ingen illfällighe. I viss mening kan man nämligen se fourierserieransformen som e specialfall av fourierransformen. En inressan sak är a vi här har vå hel olika sä beskriva funkionen x() på: Den ena anger funkionens värden för godyckliga (vänser led i (.3) resp. (.7)), den andra i sälle spekre c n resp. X(ω) (höger led). De som gör dea fakum så användbar är a vissa egenskaper (som.ex. x():s maximum eller minimum) avläses läas på funkionen i vänser led medan andra ses läas på dess ampliudspekrum. Som e exempel 4 : Figuren nedan visar vibraionerna från en maskin som används vid massaillverkning en så kallad raffinör. Den är i princip en sor kvarn. I de försa sege huggs räråvaran upp ill flis som sedan bearbeas mekanisk (mals) i raffinören. De kemikalier som sedan illsäs räfibrerna kan efer malningen läare lösa u de massafibrer som används vid pappersillverkningen. Raffinören besår i princip av en fas kvarnskiva och en roerande fassa på en axel vilken bärs upp av re rullningslager. 4 Källa MWL (Marcus Wallenberglaboraorie, KTH). 5

6 Mäinsrumene, en acceleromeer, sier nära e av rullningslagren som i dea speciella fall har en skada på en av de 6 rullarna. Skadan är en värgående spricka som varje gång den passerar konakzonen mellan rullen och lagres inner- eller yerring orsakar e slag. Diagramme är grafen för den funkion x() som anger ljudrycke x, med idsvariabeln x ryck sek Grafen själv är svårolkad de är svår a urskilja vad som härrör från de brusarade ljud som maskinen allid alsrar och de exraljud som härrör från skadan. Om man däremo besämmer spekre för signalen x(), vilke kan göras med en numerisk varian av analysekvaionen (.8), så får man diagramme Hz 6

7 där man ser ydliga sora onoppar vid c:a 800 Hz vid sidan av en del mindre. Tonopparnas frekvenslägen besäms av skadans periodicie och kallas skadans signaur. Signauren används vid maskinell övervakning för a uppäcka evenuella skador i e idig skede. Tidig uppäck gör de möjlig a planera in underhållssopp och undvika de ofa mycke höga kosnader som e oplanera drifsopp eller e haveri skulle innebära. Övningar:.7 Beräkna fourierransformerna ill a. x() =, om /, 0, om > /. b. x() = e, om 0, 0, om < 0. c. x() = 0, om 0, e, om < 0. d. x() = e. Fourierransformen för en signal kan allså ge vikig informaion om signalen, informaion som kan vara svår a få fram på anna sä. Inressan är ofa a vea hur förändringar i signalen påverkar fourierransformen och vice versa. Om.ex. en signal klipps av (man kanske ine har id a lyssna på hela signalen), på vilke sä ändras då fourierransformen? Om en signal samplas (dvs. den avläses bara vid vissa diskrea idpunker), vad händer då med fourierransformen? Och omvän, om fourierransformen (spekre) ändras genom a man klipper bor vissa frekvenser (s.k. filrering), på vilke sä påverkas då signalen? Problemsällningar av de slage diskueras närmare längre fram (arbesmaerial nr 5). I de vå följande avsnien skall vi ia lie på hur man mäer avvikelser mellan signaler; vad skall man.ex mena med a vå signaler är näsan lika?. Lie om fel Alla uppmäa sorheer avviker naurligvis mer eller mindre från den (änka) ideala sorheen som man egenligen är ue efer i sälle för den exaka signalen x(), a < < b uppmäer man en annan, x ε (). För a kunna göra en felanalys behöver man komma överens om e avsåndsmå som anger hur mycke funkionen x ε () avviker från x(). De som man kanske förs kommer a änka på är a man ar den maximala avvikelsen, dvs. d m = max x() x ε() (.9) a<<b som e sådan må. Vid närmare eferanke försår man dock a dea ine är särskil lycka ur signaleorins synpunk: Om x() och x ε () skulle vara vå ljuduppagningar av en konser, ideniska så när som på a någon under e kor idsinervall hosar i den ena av uppagningsmikrofonerna. Sorheen d m skulle då väsenligen besämmas av hosningens inensie, som ju kan vara rä sor. Tros dea skulle man nog ine vilja uppfaa de båda uppagningarna som så värs olika. E bäre må, som ine lägger så sor vik vid korvariga avvikelser får man i sälle ur de s.k. effekivvärde av avvikelsen: b / d = b a x() x ε () d där a b är idsinervalle under vilken uppagningen görs. 5 a, (.0) 5 Observera a d m och d och x har samma fysikaliska dimension ryckdimension (Pascal) i falle med ljuduppagningen. 7

8 I eoreiska sammanhang har man också signaler som är definierade på hela reella alaxeln, man väljer då isälle den s.k. funkionsnormen: / x x ε = x() x ε () d (.0') som felmå (förusa försås a den generaliserade inegralen är konvergen). Osörd signal x() Sörd signal x ε () Differenssignal x() x ε (), Kvadrerad avvikelse x() x ε (), d 0,4. maxavvikelse d m,4. (.0)-inegralens värde = arean under grafen. Övningar:.8 Graferna ovan hör ill signalerna x() = cos( ) 3 cos(3,7,7) och x x() + 50 ( ε() = 4 ), då, x(), då 8. Beräkna d m och d definierade som i (.9) och (.0)..9 Lå x () =, x () =, x 3 () = /3, då <, medan funkionerna = 0 för övriga -värden. Besäm funkionernas effekivvärden i inervalle och även funkionsnormerna i < <. 8

9 Inegralen a kan ses som e må på signalens oala energi: b x() d, (.) T.ex. för de fall a x() anger srömsyrkan i ampere genom e mosånd R [Ω], så ges den spänningen av y() = R x() [V] och den momenana effeken W [W] av W() = x() y() = R x(). Inegralen (.) ger allså den oala energin under idsinervalle a b, så när som på proporionaliesfakorn R. Medelvärde b b a x() d, (.) a blir då på samma sä proporionell mo signalens medeleffek. En mosvarande olkning kan göras också för de akusiska falle då x() (= p()) ljudrycke. Generell ges nämligen den momenana effeken W hos e mekanisk sysem produken [kraf] [hasighe] = [ryck] [area] [hasighe]. I akusiska sammanhang kan man visa a ljudrycke p under allmänna omsändigheer är proporionell mo parikelhasigheen u i medie, p = ρ 0 c u, där konsanerna ρ 0 [kg/m 3 ] och c [m/s] är de osörda medies densie respekive ljudhasigheen i medie. Då är allså den momenana effeken per m, W/A = p u = (/ρ 0 c) p p(). (6 b b Sorheerna och p() d, respekive b a p() d, represenerar, så när som på en proporionalieskonsan, ljudsignalens oala energi respekive medeleffek. Om avsåndsmåe d mellan vå sig- a a naler är lie, så innebär dea allså a de energimässig ligger nära varandra. Men de finns flera anledningar ill de speciella vale av felmå. En har a göra med e nära släkskap med minsakvadrameoden. Om dea handlar näsa avsni..3 Om orogonalie. Parsevals relaion. Parialsummor ill en funkions fourierserie ger ofa kuslig bra approximaioner ill funkionen. Dea kan i på sä och vis förklaras av a fourieruvecklingen i viss mening är opimal. Informell kan man förså hur dea hänger ihop via den geomeriska analogi som ligger ill grund för de generella approximaionsförfarande som går under namne minsakvadrameoden. u u c v u v o u c v v o V Ana a u, u och v är re vekorer i rumme sådana a u och u spänner upp e plan V. Om v ligger i dea plan, så kan v skrivas som en linjär kombinaion av u och u v = c u + c u Vekorerna u och u kan ses som en bas för e koordinasysem i plane V och koefficienerna c och c som koordinaerna för vekorn v i den basen. Dessa är särskil läa a beräkna om vekorerna u och u är vinkelräa mo varandra, dvs då den skalära produken u u = 0. Man har nämligen då a u v = c u u + c u u = c u, 6 Teckne beyder är proporionell mo. 9

10 varav c = (u v )/ u och på samma sä c = (u v )/ u (.3) Om v ine ligger i plane V så finns ingen möjlighe a urycka v med hjälp av u och u som i (.). Däremo finns de i plane V en vekor v 0 som ligger närmas v, nämligen den för vilken v v 0 är vinkelrä mo plane, och allså också mo u och u. Dea innebär a om v 0 = c u + c u, så måse (v v 0 ) u k = (v c u c u ) u k = 0, k =,. Dea ger igen sambanden (.3) och man kan sammanfaa: Den vekor i plane som ligger närmas v ges av v 0 = c u + c u, där c i = u i v u i, i =, (.4) och fele man gör då man approximerar v v 0 ges av v v 0. Enlig Pyhagoras' sas (se fig) blir dea: Man ser också a v v 0 = v v 0 = v c u c u. v c u + c u. (.5) Om speciell v ligger i plane V, så kommer v 0 = v och fele vara = 0, d.v.s likhe gäller v = c u + c u (.6) Förfarande kan uan vidare generaliseras ill vekorer i R n och ill flera basvekorer u k än vå och även ill vekorer i C n med komplexa koordinaer, dea om man definierar skalärproduk av vå sådana vekorer med koordinaer x = (x, x,,x n ) och y = (y, y,,y n ) n enlig x y = xk y k. (Obs konjugeringen!) k = Normen (längden), x, av en vekor definieras då av x n n = x x = xk x k. = xk. k = k = Anmärkningsvär nog kan all dea generaliseras yerligare ill a handla om funkioner i sälle för vekorer! Dea om man definierar skalärproduk mellan vå funkioner x() och y() som (x(), y()) = b c x() y() d, där b < < c är e passande inervall 7 (.7) och i analogi därmed normen av x(), x(), enlig x() = (x(), x()) = b c x() d. (.8) som då allså mosvarar de geomeriska längdbegreppe och som vi ser är dea jus energiinegralen i (.). Man får en koppling mellan dea och fourierserieuveckling av L-periodiska funkioner om man definierar skalärproduken och norm som i (.7) och (.8) med e inegraionsinervall av längd L: 7 Beeckningen (x(), y()) för skalärproduken av vå funkioner är rä vederagen. Observera a beeckningen x() y() ine är lämplig efersom den ju allmän används när man muliplicerar vå funkioner som vanlig. 0

11 (x(), y()) = L x() y() d och x() = x() d. (.9) L Synesekvaionen x() = n = cn e jωn, ω = /L urycker a alla L-periodiska funkioner exak kan skrivas som en linjär kombinaion av basfunkionerna u n ()= e jωn, n = 0, ±, ±, med c n, n = 0, ±, ±,, som mosvarande koordinaer. Eller annorlunda uryck: Vekorn x() ligger i de rum som vekorerna e jωn, n = 0, ±,, spänner upp. För dessa basfunkioner gäller nu a deras parvisa skalära produker är = 0: (u m (), u n ()) = L L/ e jωn e jωn d = L/ L/ e jω(m n ) d = Om m n = = e jω(m n ) L/ jω (m n) = e jlω(m n )/ e jlω(m n )/ sin (m n) L/ iω(m n) = Lω = = ω (m n) = 0, efersom sin k = 0 för varje helal k. Basfunkionerna är allså parvis vinkelräa. För normerna gäller u n () = L L/ e jωn e jωn d = L L/ d = L, d.v.s. basfunkionernas normer (basvekorernas längder) är alla = L. Dea beyder a koefficienerna c n i synesekvaionen bör kunna beräknas enlig principen (.3) ovan L c n = (x(), u n()) u n () = L vilke ine är någo anna än jus analysekvaionen. Vidare: Parialsummorna ill fourierserien, L/ x() e jωn d M dvs. x M () = cn e jωn, n = M kan uppfaas som den bäsa approximaion ill x() som man kan få genom a linjärkombinera de M + funkionerna e iωn, n = 0, ±,, ±M, på samma sä som v 0 approximerar v ovan. Fele vid approximaionen mäs då med normen x() x M (). Tänker man på x() som en signal, så är normkvadraen som vi se ovan e må på energin/period i signalen. För signalen x M kommer allså borfalle, i förhållande ill signalen x(), energimässig a vara så lie som möjlig jämför med andra approximaioner som är linjära kombinaioner av de M + funkionerna e jn /L, n = 0, ±,, ±M. Sambande (.4) ovan ( Pyhagoras' sas ) kommer i fourierseriesammanhang a få useende

12 L/ x() d = x() = cn u n () = L cn. (.0) n = n = L/ Likheen kallas Parsevals relaion. En energimässig olkning av den är a: Toala energin/period hos en signal = summan av delsvängningarnas oala energi/period. För fourierransformen och mera godyckliga komplexvärda funkioner x(), definierade på hela reella axeln, kan man visa a mosvarande sakförhållanden gäller. Om den skalärproduk och norm definieras av så kommer (x(), y()) = x() y() d och x() = x() d (konvergens förusa), x() d = x() = X(ω) = X(ω) dω. (.) Vänsra lede är då signalens oala energi medan högra lede är summan av energierna hos delsvängningarna. Man olkar då X(ω) dω som energin hos svängningarna med vinkelfrekvenser i de infiniesimala inervalle mellan ω och ω + dω. Moiveringen ill fakorn vänar vi med. är mera djupsinnig, så den Den maemaiska subsansen i Parsevals relaion är beydande, vilke någo lie framgår av näsa exempel. Exempel. Enlig övning.b har vi för den -periodiska funkionen x() som i inervalle < är = : x() = e 7j + 5 e 5j + 3 e 3j + e j + e j + 3 e 3j + 5 e 5j + Parsevals relaion (.0) ger då a där varav x() = = n = (n+) 4 x() = ( ) d = 0 n =0 E resula som knappas framsår som självklar! = n = (n+) 4, ( ) d = 3 3, (n+) 4, d.v.s = 96.

13 Exempel.: Fourierransformen för den så kallade rekangelfunkionen rec() =, då / < /, 0, för övriga, rec() / / sin ω / ω / är X(ω) = / rec() e jω d = e jω d = ejω/ e jω/ jω / dea då ω 0. Och för ω = 0 får man direk a X(0) =. = sin ω/ ω/, Parsevals relaion (.) usäger då a sin ω/ ω dω = /4 X(ω) dω = / rec() d = d =, / vilke ine heller är någo på anna sä läfunne resula. (Inegranden i den vänsra inegeralen saknar nämligen elemenär primiiv funkion, så dess värde kan ine besämmas med den vanliga ruinmeoden.) Övningar:.0 a. Besäm med hjälp av Parsevals relaion och resulae av uppgif.4a värde av summan n= n. b. Använd på samma sä resulae från uppgif.6.a för a summera n= n 4.. a. Använd synesekvaionen för fourierinegralerna och de fakum a sin ω/ ω/ är fourierransformen av rec() för a beräkna värde av sinω/ ω/ dω. sin α b. Funkionen som är = α, för α 0 och = då α = 0, brukar kallas sinus cardinalis eller korare sinc α. Vilke värde har sinc α dα? Vilka är nollsällena ill sinc α? Skissera kurvan. 3

14 . Lå a > 0 och x() = e a, då 0, y() = 0 då > 0, 0, då < 0, e a sam z() = e a., då 0 Besäm funkionernas fourierransformer. Använd sedan Parsevals relaion för a besämma värde av inegralen (a + ω ) dω. 4

15 .4 Orienering om linjära idsinvariana sysem och fourierransformer De man vill sudera i ekniska och fysikaliska sammanhang är ofa e slags processer som förvandlar idsberoende fysikaliska sorheer, insignalerna, ill andra idsberoende fysikaliska sorheer, usignalerna. En radioappara ar in elekromagneiska vågor och skickra u ljudvågor, en pendel påverkas av en kanske idsberoende kraf (insignalen) och svarar med a svänga på e viss sä (usignalen), Temperauren i en ugn varieras på e viss sä (insignalen) och seken svarar med a få en viss idsberoende emperaurfördelning inom sig (usignalen). Exemplen kan med lähe mångfaldigas. Schemaisk kan man eckna dea x() L x L () där x() får så för insignalen, L för själva processorn eller syseme som man hellre säger och x L () för usignalen. En modell för en enkel pendel som påverkas av en yre kraf f som markerad i figuren. Sambande mellan pendelrörelsen x() (insignalen) och krafen f() ges enlig Newons kraflagar av differenialekvaionen: mlx () + mg sin x() = f (). Observera a syseme maemaisk se förvandlar funkioner ill funkioner. Inom maemaiken kallar man gärna sådana processer för operaorer. Operaorn de handlar om i pendelexemple är den som förvandlar x() ill räkneurycke i ekvaionens vänserled. x l f mg sin x mg Acceleraionen = lx x() L mlx + mg sin x En mycke vikig klass av av sådana processer är de så kallade linjära, idsinvariana sysemen (LTI-sysemen). Sådana karakeriseras av (Linjarie) Om en insignal z() är en linjär kombinaion av vå insignaler x() och y(), z() = ax() + by(), a och b konsaner, så är usignalen z L () samma linjära kombinaion av x L () och y L (): z L () = ax L () + by L ) (Tidsinvarians) Om insignalen förskjus i iden, dvs. om x() ersäs med x( α), där α är en reell konsan, 8 så kommer också usignalen a förskjuas lika mycke i iden: y() = x( α) y L () = x L ( α) och e redje villkor, e slags koninuiesvillkor, vars maemaiska formulering vi ine går in på här, men som inuiiv innebär a små förändringar i insignalen bara föranleder små förändringar i usignalen. Syseme i pendelexemple ovan är ine av LTI-yp efersom sinusfunkionen ine är linjär. Men för små uslagsvinklar har man a sin x x. Med den approximaionen får man syseme x() L mlx + mgx som är av LTI-yp. (Konrollera a villkoren och är uppfyllda.) 8 x( α) är samma signal som x() fas avsänd α idsenheer senare (om α > 0). 5

16 Krave på a processen skall vara idsinvarian är i många fall mycke naurlig en radiomoagare exempelvis förvänas ju bee sig likadan igår som idag och imorgon. Likaså vill man kunna hanera seken i ugnen på samma sä oavse när man vill laga ill den. Krave på linjarie orde vara svårare a illgodose i prakiken, men de är ros all i många fall uppfyll med god approximaion om man håller sig ill signaler med målig energiinnehåll. En bra försärkare bör ill exempel fungera linjär, åminsone inom si arbesområde. Anmärkningsvär är nu a de finns e generell sä a i formler urycka hur LTI-sysem fungerar och a de dessuom finns en nära koppling mellan LTI-sysem och fourierransformen: Man kan visa a de ill varje LTI-sysem finns en (evenuell generaliserad) 9 funkion h() av reell variabel, så a Omvän är syseme x L () = h( τ) x(τ) dτ (.) x() h h( τ) x(τ) dτ (. ) (med måliga regularieskrav på h och x) e LTI-sysem. (Konrollera villkoren och!) Anmärkning: Inegralen i (.) kan olkas inuiiv som a man vid varje idpunk linjärkombinerar de oändlig många funkionsvärdena x(τ). Linjärkombinaionens koefficiener beror av iden och ges av h( τ). Funkionen h karakeriserar allså LTI-syseme fullsändig och den kallas, av skäl som vi kommer ill senare, sysemes pulssvar. Räkneoperaionen i högerlede i (.) spelar självfalle en vikig roll i dessa sammanhang och man har ge också den e särskil namn. Man säger a h( τ) x(τ) dτ är falningen 0 av funkionerna h() coh x() och skriver h( τ) x(τ) dτ = h() * x(). (.3) Allså x() h h() * x() (.3 ) Falningen visar sig ha många inressana egenskaper. En nämner vi redan nu: h( τ) x(τ) dτ = h(τ) x( τ) dτ, dvs. h() * x() = x() * h(). (.4) (Konrollera a dea är rikig beraka som en konsan och subsiuera τ mo τ i en av inergralerna.) Om man som insignal ill e LTI-sysem ar en harmonisk svängning x() = e jω, så får man som usignal 9 Vad dea är kommer vi ill i kapiel 4 i arbesmaerial. 0 Engelska och franska: convoluion, yska: Falung. 6

17 h() * e jω = e jω * h() = h(τ) e jω( τ) dτ = h(τ) e jω e jωτ dτ = h(τ) e jωτ dτ e jω = H(ω) e jω, där H(ω) ydligen är fourierransformen av pulssvare h(): e jω h H(ω) e jω (.5) Usignalen av en harmonisk funkion av viss frekvens är allså en harmonisk funkion med samma frekvens. De harmoniska funkionerna e jω är egenfunkioner ill alla(!) LTI-sysem. Mosvarande egenvärde ges av fourierransformen för sysemes pulssvar. Funkionen H(ω) brukar kallas sysemes överföringsfunkion. Lå nu x() vara en godycklig insignal och y() dess usignal. Enlig synesekvaionen (.7) har vi, x() = X(ω) ejω dω. Kombinerar man dea med linjarieen hos LTI-sysemen, så får man och efer inegraion X(ω) e jω x() = X(ω) ejω dω Men enlig synesekvaionen, som ju också gäller för funkionen y(), är h h y() = Y(ω) ejω dω, X(ω) H(ω) ejω H(ω) X(ω) ejω dω = y(). vilke innebär a Y(ω) = H(ω) X(ω). (.6) 7

18 Sammanfaningsvis: Om x() h y(), så gäller för fourierransformerna ill de re ingående funkionerna x, h och y a Y(ω) = H(ω) X(ω). Dea mycke generella samband är ugångspunken ill en idé om hur man kan a reda på hur e förelag LTI-sysem fungerar. Dvs. man vill vea hur man ill given insignal beräknar dess usignal. Enlig (.) räcker de då a besämma sysemes pulssvar. Vi änker oss a syseme levereras som en svar låda vars innandöme är oåkomlig för oss. De enda vi kan göra med den är a skicka in signaler och mäa upp mosvarande usignaler. Följande checklisa kan då användas. Skicka in en känd insignal x() och mä upp usignalen y(). Beräkna fourierransformerna X(ω) och Y(ω) analysekvaionen (.8) alar om hur dea görs. 3 Bilda kvoen H(ω) = Y(ω)/X(ω) dea ger fourierransformen för de söka pulssvare. 4 Beräkna pulssvare h() synesekvaionen (.7) alar om hur dea görs. 5 Med hjälp av pulssvare kan man sedan förusäga vilken usignal u() som man får om en signal z() vilken som hels! skickas in i syseme, u() = h() * z() = h( τ) z(τ) dτ. Obs dock a dea bara en skissarad beskrivning av e änkbar förfarande. En hel del beräkningsekniska komplikaioner kan illsöa. Exempelvis kan X(ω) = 0 beydande delar av ω-axeln och då kan divisionen under punk 3 ine uföras där. Om innehålle i arbesmaeriale för övrig I de följande avsnien iar vi närmare på de maemaiska hanverke som hör ill de meoder som beskrivis i den här inledningen. Kap ar upp geomeriska aspeker på signalers grafer och inför e par speciella funkioner med vars hjälp man.ex. enkel kan klippa av signaler. Kap 3 handlar om periodiska funkioners enklase egenskaper och om begreppe periodisk forsäning. I kap 4 (arbesmaerial ) införs de så kallade generaliserade funkionerna. De har nämligen visa sig a de vanliga funkionerna ine hel duger för a på e bra sä beskriva alla änkbara signaler dessa generaliserade funkioner passar bäre. Kap 5 (arbesmaerial 3) ar upp några vikiga summaionsformler. Dessa ugör grunden i fouriermeoderna. Kap 6 handlar om komplexa fourierserier och fourierserieransformen. Och sluligen handlar kap 7 (arbesmaerial 4) om fourierransformen och dess egenskaper. 8

19 . Geomerisk om grafer En av den här kursens syfen är a ge de vikigase maemaiska meoderna som man använder för a bearbea signaler av olika slag. Ofa är de så a den signal som man iakar ine är den egenliga, uan de man ser är någon slags deformaion, förvrängning eller sympning av den rikiga. De är därför vikig a på olika sä kunna manipulera grafiska bilder av signaler. Varje sådan manipulaion har en analyisk (d.v.s. formelmässig ) mosvarighe. Vi går igenom några enkla men vikiga sådana fall. Signalen själv änker vi oss beskriven av en funkion x(), där ofa har (men ine måse ha) dimensionen id. Grafisk låer vi x-axeln vara verikal och -axeln horisonell.. Translaion i horisonell led, x( a) x() x( a) Om x() förskjus a enheer i -axelrikningen, så får man grafen för x( a).. Translaion i verikal led, x() + a a x() + a Om grafen för x() förskjus a enheer i x-axelrikningen, så får man grafen för x() + a. a x().3 Spegling i verikala axeln, x( ) Om grafen för x() speglas i x-axeln, så får man grafen för x( ). Funkioner vars grafer övergår i sig själva vid en sådan spegling kallas jämna funkioner. Analyisk: x() jämn x() = x( ). (.) Exempel på jämna fukioner:,, n där n e jämn helal, cos, sin, och sin. x() x( ) I själva verke räcker funkionsbegreppe, så som de brukar definieras.ex. i :ans grundkurser, ine rikig för signaleorins behov, men de probleme ar vi upp förs senare. 9

20 .4 Spegling i horisonella axeln, x() Om grafen för x() speglas i -axeln, så får man grafen för x(). x().5 Vridning e halv varv kring origo, x( ) x() Om grafen för x() vrids e halv varv kring punken (0,0) i xplane, så får man grafen för x( ). Funkioner vars grafer övergår i sig själva vid en sådan vridning kallas udda funkioner. Analyisk: x() udda x() = x( ). (.) Exempel på udda fukioner:, 3, n där n e udda helal, sin, an, sign = Vridning rad x() x( ).6 Skalning i horisonell led, x(a) Om grafen för x() rycks ihop (resp. öjs) så a avsånden ill x- axeln blir a ggr mindre (a >) resp. sörre (0< a <), så får man grafen för x(a), x(a) x() a a >.7 Skalning i verikal led, a x() Om grafen för x() öjs (resp. rycks ihop) så a avsånden ill - axeln blir a ggr sörre (a >) resp. mindre (0< a <), så får man grafen för a x(). a x() x() a >.8 Areabevarande skalning, a x(a) Grafen för a x(a), a >, erhålls genom a grafen för x() rycks ihop i -led och öjs i x-led. Areorna mellan graferna och -axeln är då densamma i båda fallen, y a x(a) d = Subs a = x() d. (Desamma gäller om 0 < a <, men då är de fråga om öjning i - led och hopryckning x-led.) a x(a) x() a > a Samma area 0

21 .9 Trunkering. Rekangelfunkioner Om en signal iakas under e korare idsinervall än sin oala varakighe, så har man a göra med en runkerad signal. I figuren här bredvid har man skuri u den del (fe linje) av signalgrafen x() (unn linje) som ligger i inervalle a b och glöm den del som ligger uanför inervalle. Analyisk kan man beskriva dea genom a införa den runkerade funkionen: x T () = x(), då a < < b, (3 0, då > b eller < a. Ofa vill man dock så lång möjlig undvika a använda klammersymbolen. Man kan få en mera koncis beskrivning av den runkerade funkionen genom a ill menagerie av sandardformler foga s.k. rekangelfunkioner: x() a b Om a < b rec [a,b] () =, då a < < b, 0, då > b eller < a. rec [a, b] () Den runkerade funkionen ges då av x T () = x() rec [a,b] (). a b Rekangelfunkionerna hör ill de sräckvis konsana funkionerna och är nära släk med vå andra sådana funkioner, som också få någo så när vederagna namn: Signumfunkionen: sign () =, då 0 <,, då < 0. (Skrivningen sgn () används också.) (.3) sign() Enhessprånge, ( he uni-sep-funcion, Heavisides funkion 4 ) u() =, då 0 <, (.4) 0, då < 0. Man har a u() sign () + sign () = u(), u() =, och om a < b rec [a,b] () = u( a) u( b) = u( a) u(b ). (Konrollera dea!) Orde beyder avhuggning och kommer ursprungligen från de lainska verbe för hugga av, runco. På engelska heer de runcaion. 3 Den nogranne undrar kanske vad som händer med x:s värden för = a och b. De probleme (som egenligen ine är någo problem) kommeneras närmare längre fram. 4 Efer Oliver Heaviside, briisk fysiker och ingenjör, Införde funkionen ifråga vid sina kalkyler inom elläran. Beeckningen för den är yvär ine sandardiserad (än?). I amerikansk lieraur skrivs som ovan ofa u. En annan vanlig beeckning är H, medan uppslagsverke β använder sig av θ!

22 Vi använder också beeckningen rec () för rec [ /,/] (), d.v.s. för rekangelfunkionen som är = i e inervall av längd, symmerisk beläge kring origo. Funkionen i fråga är jämn. rec () =, om < /, 0, om > /. (.5) / rec () / rec (/p) Övningar:. Skissera i samma diagram graferna ill: p/ p/ a. sin, sin och sin, b. sin, sin och sin.. a. Skissera grafen ill x() =, då 0, 0, då > eller < 0 och skissera sedan graferna för b. y() = x( ), c. y() = x(), d. y() = x( ), e. y() = x(), f. y() = x(/), g. y() = x( + ), h. y() = 0 x(0 ), i. y() = (x()) 00. j. Ge en formelbeskrivning i samma sil som (*) för funkionen y() = x()..3 a. Verifiera a y() = x() + x( ) är en jämn och a z() = x() x( ) är en udda funkion. b. x() + x( ) Efersom x() = x() x( ) +, så kan ydligen varje funkion skrivas som en Hsumma av en jämn och en udda funkion. Visa a de bara finns en sådan omskrivning, d.v.s. om x() = xj () + x u (), där x j är jämn och x u udda, (**) så är x() + x( ) x j () = x() x( ) och x u () =. Ledning: Kombinera likheen (**) med den man får då bys mo. Funkionerna x j och x u i uppgif.3b. brukar kallas den jämna respekive udda delen av funkionen x. De beecknas ibland Ev{x()} respekive Od{x()}..4 Vilka är de jämna respekive udda delarna ill (*) a. e, b. e i, c..5 Verifiera a. a. rec [ L /,L/] () = rec (/L), b. rec [a, b] () = rec a b (b a).

23 3. Om periodiska funkioner och periodisk forsäning Man säger a en funkion x() är periodisk med periodlängd L (eller korare L-periodisk) om L > 0 och x( + L) = x() för alla. Graferna för sådana funkioner karakeriseras ydligen (jämför. ovan) av a de övergår i sig själva då de förskjus L, L, 3L, längdenheer i å vänser eller höger. x() L + L Välkända exempel på periodiska funkioner är de rigonomeriska funkionerna cos och sin (periodiska), sam an x och co x (-periodiska). Mera udda exempel ugör konsanerna, x() = C, som ydligen är L-periodiska för vilke L som hels. Om en funkion är L-periodisk så är den auomaisk också L-periodisk, 3L-periodisk, 4L-periodisk o.s.v. exempelvis är an också -periodisk. Borse från de konsana funkionerna, så kan man visa a de i alla i prakiken inressana fall allid finns en minsa posiiv period ill varje periodisk funkion. 5 Den periodlängden kallas fundamenalperioden. För de rigonomeriska funkionerna i de föregående sycke angavs jus deras fundamenalperioder. Konsanerna har ingen fundamenalperiod. Övningar: 3. Besäm fundamenalperioderna ill a. cos sin, b. cos, c. an. 3. Verfiera a x() =, där = sörsa helale, är periodisk och ange dess fundamenalperiod. Om man från grafen ill en L-periodisk funkion ersäer all som ligger uanför e -inervall med längden L,.ex. inervalle L/ < L/, med mosvarande del av -axeln så kan man säga a man har skuri u en period av grafen, x () L L/ L/ Analyisk kan man beskriva denna sympning med, a man bildar funkionen x L () = x(), om L/ < L/, 0, för alla övriga. = x() rec(/l). 5 Mera precis gäller: Om en icke-konsan funkion x() är periodisk och koninuerlig i åminsone en punk så har funkionen en minsa posiiv period som alla andra är helalsmulipler av. Bevise för dea är ine alldeles enkel och uelämnas. 3

24 Man säger a x() är den L-periodiska forsäningen ill x L (). Funkionen x() kan åerskapas från x L () genom a man adderar funkionerna x L ( nl), n = 0, ±, ±, : x() = x L ( nl). (3.) n = Lägg märke ill a en funkion x() som är definierad av e samband av ypen (3.) allid är L-periodisk och dea alldeles oavse vilken funkion x L man ugår ifrån bara den oändliga serien konvergerar. Mera generell har man kommi överens om: Definiion: (Periodisk forsäning av funkion) Funkionen x() = y( nl) n = sägs vara den L-periodiska forsäningen av funkionen y() förusa a serien är konvergen. y( + 3L) y( + L) y( + L) y() y( L) y( L) y( 3L) x() 3L L L L L 3L Exempel 3. Grafen av funkionen y() =, då, 0, då >, y () har skissas i figuren här bredvid. De L-periodiska forsäningarna ill denna för L = 3,, 3/, och har då följande grafer: (Konrollera dea som en övning!) 3-periodisk forsäning y periodisk forsäning y ,5-periodisk forsäning y

25 -periodisk forsäning y Övningar: 3.3 Skriv upp analyiska uryck för de 3-, - och,5-periodiska forsäningarna i exemple ovan. Välj a göra dea i inervall symmeriska kring origo och med respekive fundamenalperiods längd. 3.4 Skissera den 3-periodiska forsäningen ill x() =, då, 0, då >., då <, 3.5 Vilken är den -periodiska forsäningen av x() =, då > 0, 0, då 0, i fundamenalinervalle 0 <? Ledning: + k + k + + k n + = /( k) om k <. 5

26 Svar ill övningarna:. b. x() = + k =.3 b. A n = a n och ϕ n = 0. (k + ) ej(k+)..4 a. c n = ( )n+ j n, då n 0, c 0 = 0. b. a n = 0, n 0, b n = ( )n+ n, n. /.5 x() = c n e jn och c n = x(τ) e n= jnτ dτ. /.6 a. c n = ( )n n, då n 0, c 0 = 0. b. a n = ( )n n, a 0 = b n = 0, n..7 a. sin ω/ ω/, om ω 0, om ω = 0. b. + jω. c. jω. d. + ω.. (Observera a funkionen i uppgif d är summan av dem i uppgiferna b och c.).8 d m = , d = , /3 och /(3 5) respekive, /3 och /(3 5)..0 a. 6, b a.. b. Inegralens värde =, nollsällena är helalpunkerna uom α = 0. sinc X(ω) = a + iω, Y(ω) = a a iω, Z(ω) = X(ω) + Y(ω) = a + ω. Inegralens värde: a 3. 6

27 . a. x sin sin / sin b. x sin sin / sin. a. d. x x( ) x() x( ) x() 7

28 a., e. g. a., h. x 0 x x( +) x() x() x(/) 0 x(0 ) 3 4 a., i. x x() x() 3 4 (x()) 00 /0.3 b. x() = x j () + x u () x( ) = x j ( ) + x u ( ) = x j () x u (). Summaion och subrakion av dessa likheer ger x() + x( ) = x j () och x() x( ) = x u ()..4 a. cosh och sinh, b. cos och i sin, c. och..5 a. Obs. a man får grafen för rec P om man öjer (drar ihop) grafen för rec med en fakor P. b. Obs. a man får grafen för rec [a, b] om man förskjuer rec P där P = b a med (a + b)/ å höger (om dea al > 0, annars å vänser). 3. a., b., c.. 3. Fundamenalperioden är = periodiska forsäningen: y 3 () =, då, 0, då,5, y 3 () = y 3 ( 3). -periodiska forsäningen: y () =, då, y () = y ( ).,5-periodiska forsäningen: y 3/ () =, då 0,5, 0,5, då 0,5 0,75, y,5 () = y,5 (,5). 8

29 3.4 x x () = ( ), då 0 <. 9