Matematisk analys, laboration III. Per Jönsson Teknik och Samhälle, Malmö Högskola

Transkript

1 Mtemtisk nlys, lbortion III Per Jönsson Teknik och Smhälle, Mlmö Högskol 1

2 Viktig informtion om lbortionern I nlyskursen ingår tre obligtorisk lbortioner. Under lbortion 1 nvänds Mtlb/GNU Octve och under lbortion och 3 dtorlgebrsystemet Mxim. För tt bli godkänd krävs tt ll tre lbortionern hr redovists på ett godtgbrt sätt. Vid lbortionern gäller följnde: Lbortionsuppgiftern (och eventuell förberedelseuppgifter) skll vr gjord innn mn kommer till lbortionen (du är lltså tvungen tt sitt hemm eller i dtorsl före lbortionen och gör uppgiftern smt förbered dig). Hr du stött på problem med uppgiftern kn du komm till frågetimmrn innn lbortionen. Under lbortionen skll uppgiftern redoviss. Under lbortionen kn du även få hjälp med något moment du inte hr lyckts få rätt på hemm. Studenter som inte hr förberett uppgiftern när de kommer till lbortionen underkänns. Vid lbortionstillfälle 1 redoviss lbortion 1, vid lbortionstillfälle redoviss lbortion. Mn kn t.ex. inte utebli under lbortion 1 och sedn redovis lbortion 1 och vid lbortionstillfälle. Det går inte tt byt lbortionsgrupp under kursens gång. Om mn inte kn närvr på en lbortion på grund v sjukdom så måste dett nmäls snrst till kursledren. För de som hr nmält frånvro på grund v sjukdom till kursledren finns ett reservtillfälle i slutet v kursen då mn kn redovis lbortioner mn misst. Endst studenter som hr meddelt frånvro till kursledren på grund v sjukdom bereds plts vid reservtillfällen. Reglern ovn tolks strikt och är till för tt få lbortionsmomentet tt funger prktiskt och underlätt er egen plnering.

3 1 Gränsvärde Gränsvärdesbegreppet är v fundmentl betydelse vid mtemtisk nlys. I Mxim beräkns gränsvärden med hjälp v kommndot limit. limit(f,x,) bestämmer gränsvärdet v det symbolisk uttrycket f då x. limit(f,x,,plus) bestämmer gränsvärdet v det symbolisk uttrycket f då x + (högergränsvärde). limit(f,x,,minus) bestämmer gränsvärdet v det symbolisk uttrycket f då x (vänstergränsvärde). I limit-kommndot kn också vr minf eller inf, vrvid vi får gränsvärden v f då x och då x. Exempel 1. () Gränsvärdet sin(x) lim x bx beräkns genom vilket ger limit(sin(*x)/(b*x),x,) b (c) Betrkt funktionen f(t) = 3 + e t. För tt beräkn gränsvärdet då t ger vi kommndot limit(3 + exp(-*t),t,inf) Då vi inte hr ngett om konstnten är positiv, negtiv eller noll så går det inte tt bestämm gränsvärdet. Mxim inser dett och ger följnde svrsutskrift Is positive, negtive, or zero? Om vi skriver positive och trycker return returnerr Mxim resulttet 3. Om vi svrr negtive blir gränsvärdet oändligt och Mxim skriver inf. Slutligen om vi svrr zero så blir gränsvärdet 4. Om vi från börjn vet tt > så kn vi skriv ssume( >) limit(3 + exp(-*t),t,inf) vilket ger resulttet 3 3

4 (d) För tt beräkn gränsvärdet skriver vi vilket ger ( lim 1+ ) t t t limit((1+/t)^t,t,inf) e Här är e Exempel. Vi hr funktionen f(x) = sin(7(x 3)) 1+ 1 (x 3), som är definierd för llxutomx = 3. Grfen till funktionen viss i figur 1. Funktionen sknr gränsvärde då x går mot 3, men hr både höger- och vänstergränsvärden. Dess beräkns genom f : sin(7*(x-3))*sqrt(1 + 1/(x-3)^) limit(f,x,3,plus) limit(f,x,3,minus) vilket ger resulttet 7 resp Figur 1: Vänster- och högergränsvärde. 4

5 Derivtor Derivtor nvänds blnd nnt för tt krkteriser funktioners utseende och för tt lös optimeringsproblem. diff(f,x) deriverr det symbolisk uttrycket f med vseende på x. diff(f,x,n) deriverr det symbolisk uttrycket n gånger med vseende på x. Exempel 3. Betrkt funktionen f(x) = x 1+cos(bx). () Derivtn med vseende på x fås genom diff(*x/(1 + cos(b*x)),x) Utskriften från Mxim blir bx sin(bx) (cos(bx)+1) + cos(bx)+1 (b) För tt deriver funktionen två gånger ger vi kommndon vilket ger diff(*x/(1 + cos(b*x)),x,) b x sin (bx) b sin(bx) 3 + (cos(bx)+1) (cos(bx)+1) + b x cos(bx) (cos(bx)+1) (c) För tt beräkn värdet v derivtn i en given punkt skriver mn denn punkt på smm rd som derivtn. Derivtn v f(x) = sin(x)e x i x = π/ beräkns genom vilket ger df : diff(sin(x)*exp(x),x) df, x=%pi/ e π Exempel 4. Vi hr funktionen f(x) = x +x+4. x+1 För tt bestämm sttionär punkter deriverr vi funktionen och sätter derivtn till noll f : (x^+x+4)/(x+1) df : diff(f,x) solve(df=,x) 5

6 Vi får punktern [x = 3,x = 1] För tt vgör om punkten är en lokl mx- eller minpunkt sätter vi in i ndrderivtn. En punkt är en lokl mxpunkt om ndrderivtn är negtiv och en lokl minpunkt om ndrderivtn är positiv (nlysboken sid 31 3). Då vi skriver df : diff(f,x,) df, x=-3 får vi svret 1, dvs x = 3 är mxpunkt. Då vi skriver df : diff(f,x,) df, x=1 får vi svret 1, dvs x = 1 är minpunkt. Funktionskurvn är plottd i figur Figur : Lokl mx- och minpunkter. 3 Integrler Vi sk nu se hur mn kn låt Mxim bestämm primitiv funktioner, integrler och lös differentilekvtioner. Speciellt kommndon för tt bestämm integrler är krftfull och undnröjer mång v svårighetern som nnrs är förknippde med dett område v mtemtiken. Vi hr följnde kommndon för tt bestämm primitiv funktioner (obestämd integrler) och beräkn integrler. 6

7 integrte(f,x) bestämmer den obestämd integrlen v f med vseende på vribeln x. integrte(f,x,,b) beräknr den bestämd integrlen v f från till b med vseende på vribeln x. Om Mxim inte klr v tt beräkn integrlen nlytiskt returners kommndot oberbett. logbs logbs : true gör tt 1/xdx beräkns som log x istället för log(x). Vid bestämd integrtion sätts logbs utomtiskt till true, men inte vid obestämd integrtion. Härefter förutsätter vi tt logbs hr stts till true. Exempel 5. () Den obestämd integrlen (primitiv funktionen) x sin(x)dx fås genom integrte(x^*sin(x),x) Mxim skriver ut funktionen x sinx+ ( x ) cosx (b) För tt beräkn den obestämd integrlen x 3 +x+1 x dx 1 ger vi integrtionskommndot integrte((x^3+x+1)/(x^-1),x) Svrsutskriften blir log( x+1 ) + 3 log( x 1 ) (c) Vi sk beräkn integrlen π x sin(x)dx och ger kommndot + x integrte(x^*sin(x),x,,%pi) Mxim svrr π 4 (d) Mxim kn inte beräkn integrlen 1 cos(x) x +1 dx och då vi ger kommndot 7

8 integrte(cos(x)/(x^+1),x,,1) returners kommndot oberbett. 4 Numerisk beräkningr Numerisk beräkningr v integrler klls iblnd kvdrtur (engelsk qudrture). I Mxim finns följnde kommndo. qud_qg(f,x,,b,n) beräknr den bestämd integrlen v f från till b med vseende på vribeln x. n är ett tl från 1 till 6 som bestämmer integrtionsmetod. Kommndot returnerr fyr tl: integrlen, uppskttt fel, ntlet funktionsberäkningr och en felkod. Felkod indikerr tt beräkningen hr vrit utn problem. qud_qgi(f,x,,b) som ovn fst och b kn vr negtiv resp. positiv oändligheten. Observer tt mn här inte kn välj integrtionsmetod. Exempel 6. () Integrlen 1 cos(x) x +1 dx kn inte beräkns nlytiskt. För tt få ett numeriskt värde på integrlen ger vi kommndot qud_qg(cos(x)/(x^+1),x,,1,3) och Mxim svrr [ , ,31, ] Integrlens värde är lltså med ett fel på c Antlet funktionsberäkningr vid integrtionen vr 31. Felkoden indikerr tt beräkningen förlöpte utn problem. (b) Den generliserde integrlen e x x +1 dx är konvergent. För tt få ett numeriskt värde skriver vi qud_qgi(exp(-x)/(x^+1),x,,inf) svrr Mxim [ , ,15, ] Integrlens värde är med ett uppskttt fel Antlet funktionsberäkningr vid integrtionen vr 31. Felkoden indikerr tt beräkningen även denn gång förlöpte utn problem. 8

9 5 Geometrisk tillämpningr v integrler Integrler hr olik geometrisk tillämpningr. Aren med tecken melln funktionskurvn f(x) och x-xeln ges v integrlen I = b f(x)dx. Att ren ges med tecken innebär tt bitr över x-xeln ger positiv bidrg medn bitr under x-xeln ger negtiv bidrg. Aren melln två funktioner f(x) och g(x) ges v I = b (f(x) g(x))dx. Aretolkningen illustrers i figur 3. y y = f(x) y y = f(x) A b B x b x y = g(x) Figur 3: Aretolkning v integrler. En prmeterkurv i plnet hr formen (x(t),y(t)), där t är en prmeter som löper i något intervll [,b] (se plot till vänster i figur 4). Längden v prmeterkurvn ges v formeln L = b x (t) +y (t) dt. I meknisk tillämpningr beskriver (x(t), y(t)) positionen hos en prtikel som funktion v tiden t. Integrlen ovn kn då tolks som sträckn prtikeln hr rört sig melln t = och t = b. Vnlig funktionskurvor (x,f(x)), där x ligger i ett intervll [,b] (se plotten till höger i figur 4), kn ses som ett specilfll v de llmänn prmeterkurvorn. Längden v funktionskurvn ges v formeln L = b 1+f (x) dx. 9

10 y y y = f(x) x b x (x(t),y(t)) Figur 4: Prmeterkurv (x(t), y(t) och funktionskurv y = f(x). I mång tillämpningr förekommer rottionskroppr. En rottionskropp uppkommer då en kontinuerlig kurv y = f(x), f(x) > roterr kring x-xeln (se figur 5). Volymen v rottionskroppen ges v integrlen V = π b f(x) dx. Mntelytn v rottionskroppen fås genom Y = π b f(x) 1+f (x) dx. Integrler som innehåller rottecken är i llmänhet mycket besvärlig tt beräkn och Mxims integrlkommndot kn här vr till stor hjälp. y y=f(x) b x Exempel 7. Figur 5: Rottionskropp genererd v funktionen y = f(x), x b. () Vi hr en prmeterkurv (x(t),y(t)) = (cos 3 (t),sin 3 (t)), t π. För tt beräkn längden v kurvn ger vi kommndon Dx : diff(cos(t)^3,t) 1

11 Dy : diff(sin(t)^3,t) integrte(sqrt(dx^+dy^),t,,*%pi) Mxim kn inte beräkn integrlen nlytiskt utn returnerr uttrycket oberbett. För tt få ett numeriskt värde skriver vi qud_qg(sqrt(dx^+dy^),t,,*%pi,3) och får svret [ 6., ,17, ] Integrlens värde är 6. med ett uppskttt fel Felkoden indikerr tt beräkningen förlöpte utn problem. (b) Betrkt rottionskroppen genererd v funktionskurvn y = cosx, x π/4. Rottionskroppens volym beräkns genom vilket ger y : cos(x) integrte(%pi*y^,x,,%pi/4) π (π +) 8 Mntelytns re fås som integrte(*%pi*y*sqrt(1+diff(y,x)^),x,,%pi/4) och Mxim svrr ( ) π sinh Önsks värden på decimlform kn kommndot flot nvänds. 6 Ordinär differentilekvtioner En ordinär differentilekvtion (ODE) nger ett smbnd melln en funktion och dess derivtor. Ordningen v differentilekvtionen ges v den högst derivtn. Ordinär differentilekvtioner kn h oändligt mång lösningr. För tt få en entydig lösning måste mn lägg på villkor på lösningen i en eller fler punkter. Om mn hr villkor på lösningen och dess derivtor i en end punkt brukr mn prt om ett begynnelsevärdesproblem. Exempel 8. () Ekvtionen y = ty 11

12 är en ordinär differentilekvtion v först ordningen. Ekvtionen hr den llmänn lösningen y(t) = Ce t, där C är en godtycklig konstnt. Att ovnstående funktion är en lösning verifiers genom insättning i ekvtionen. Någr v lösningrn är plottde till vänster figur 6. Konstnten C bestäms genom tt lägg på ett villkor på lösningen. Om vi till exempel kräver tt y(1) = 3 så blir C = 3/e 1 = 3e. (b) Ekvtionen y +y +y = cost är en ordinär differentilekvtion v ndr ordningen. Ekvtionen hr den llmänn lösningen ( ) ( ) y(t) = C 1 e t/ sin 3t/ +C e t/ cos 3t/ +sin(t) där C 1 och C är godtycklig konstnter. Konstntern bestäms genom tt lägg på två villkor på lösningen. Om vi kräver tt y() = 1 och y () = så blir C 1 = 1/ 3 och C = 1. Lösningen som uppfyller de två villkoren är plottd till höger i figur 6. y y x Figur 6: Till vänster viss någr lösningr till y = ty. Till höger är lösningen till y +y + y = cost som uppfyller y() = 1 och y () =. Ordinär differentilekvtioner utn begynnelsevillkor löses nlytiskt med hjälp v kommndot ode. Lösningr som uppfyller givn begynnelsevillkor fås sedn med ic1 (först ordningen) och ic (ndr ordningen). Differentilekvtionern definiers lltid med hjälp v uppskjuten evluering. ode(ekv,y,t) löser differentilekvtion ekv. y är den beroende och t den oberoende vribeln. ic1(sol,villkor) bestämmer den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret (först ordningen). ic(sol,villkor) bestämmer den lösning som uppfyller begynnelsevillkoret (ndr ordningen). t 1

13 Exempel 9. () Den llmänn lösningen till differentilekvtionen y +y = te t bestäms genom kommndon eq : diff(y,t) + y = t*exp(-t) sol1 : ode(eq,y,t) och vi får ( t ) y = +%c e t Här är %c en godtycklig konstnt. För tt bestämm den lösning som uppfyller y() = 5 skriver vi sol : ic1(sol1,t=,y=5) vilket ger svret ( t +1e 4 ) e t y = (b) Vi hr en kropp med tempertur T som befinner sig i ett omgivnde medium med konstnt tempertur T omg. Enligt Newtons vsvlningslg gäller tt dt dt = k(t T omg) där k är en positiv konstnt. Antg tt kroppen hr temperturen T vid t =. För tt lös ekvtionen skriver vi eq : diff(t,t) = -k*(t - Tomg) sol1 : ode(eq,t,t) sol : ic1(sol1,t=,t=t) Mxim svrr T = e kt ( T + ( e kt 1 ) T omg ) Omskriven på lite lämpligre form blir lösningen lltså T = e kt (T T omg )+T omg Kroppens tempertur närmr sig, precis som förväntt, T omg då t. (c) Iblnd kn Mxim inte finn explicit lösningr (den beroende vribeln ges som ett explicit uttryck v den oberoende vribeln) utn lösningen fås i stället på implicit form. Betrkt följnde differentilekvtion (1 siny)y = t För tt lös ekvtionen skriver vi 13

14 eq : (1-sin(y))* diff(y,t) = t sol1 : ode(eq,y,t) Mxim kn inte finn en explicit lösning utn ger lösningen på implicit form cosy +y = t +%c Exempel 1. () Betrkt ekvtionen y +3y +my = För tt lös ekvtionen ger vi kommndon eq : diff(y,x,)+ 3* diff(y,x) + m*y = sol : ode(eq,y,x) Mxim svrr med följnde utskrift Is 4*m-9 positive, negtive, or zero? Vi kommer lltså tt h tre olik lösningstyper beroende på värdet v 4m 9. Då vi skriver in positive som svr på frågn och trycker return får vi ( ( ) ( )) 4m 9x 4m 9x y = e 3x %k 1 sin +%k cos Om vi istället skriver negtive så blir lösningen y = %k 1 e ( 9 4m 3)x +%k e ( 9 4m 3)x Slutligen om vi svrr zero får vi y = (%k x+%k 1 ) e 3x I formlern ovn är %k 1 och %k godtycklig konstnter. (b) Vi hr följnde ekvtion för en odämpd oscilltion med en extern periodiskt vriernde krft y +144y = cos(11t) där lösningen skll uppfyll y() = y () =. Differentilekvtionen med villkor löses genom eq : diff(y,t,)+144*y = cos(11*t) sol1 : ode(eq,y,t) sol : ic(sol1,t=,y=, diff(y,t)=) Mxim ger utskriften y = cos(11t) 3 cos(1t) 3 Lösningen plotts i figur 7 i intervllet [,]. 14

15 cos(11*t)/3-cos(1*t)/ t Figur 7: Lösning till y +144y = cos(11t) som uppfyller y() = y () =. 7 Uppgifter tt redovis Nednstående uppgifter skll redoviss under lbortionstillfället. Observer tt uppgiftern skll görs hemm innn lbortionen och tt det är redovisning som gäller under lbortionen. Mximkommndon som behövs för tt lös uppgiftern kopierr du till ett Worddokument eller liknnde så tt det går tt följ vd du gjort. Klipp även in Mxims svrsutskrifter och eventuell plottr eller figurer. Du skll vis upp dokumentet med kommndon och svrsutskrifter för din lbortionshndledre i smbnd med redovisningen. Du skll också vr beredd på tt svr på frågor kring hur du hr löst uppgiftern. Se till tt svr på ll uppgiftern. 1. Beräkn gränsvärden ln(1+x) sin(x) () lim, (b) lim, (c) lim x x x bx x +xln(x) rccos(x) (d) lim x 1 1 x. Beräkn gränsvärden () lim t +t+1 t, t ( (b) lim 1+ 1 ) n n n K (c) lim där K,c,r är positiv konstnter t 1+ce rt 3. Beräkn derivtorn () d dx xex, (b) d sin(t)e t dt 1+t, (c) d dx esin(x), (d) d dx xx 4. Plott funktionen y = e sin(x) tillsmmns med först- och ndrderivtn i intervllet [,1]. Vilken funktion är vilken? 5. Bestäm eventuell inflexionspunkter för f(x) = 1/(x + 3) (en inflexionspunkt är en punkt där ndrderivtn är noll). Plott även funktionen, derivtn och ndrderivtn. 15

16 6. Undersök om funktionen f(x) = rctn(x) + (1 x)/(1 + x ) hr lokl mx- och minpunkter. Vilk är dess punkter? Plott funktionen. Du skll tydligt kunn förklr vd du gör och vrför, dvs om du hr bestämt vrför en punkt är en mx- eller minpunkt så måste du kunn berätt hur du hr gjort och vrför du kn dr de slutstser du gör. 7. Bestäm integrlern x+1 () x +5x+6 dx, (c) 1 1 sin (x)e x dx, (d) (b) π/4 ln(x) dx x sin(x)dx 8. Bestäm de generliserde integrlern dx () e x e x, (b) ln(x 1) x 9. Bestäm följnde integrler numeriskt () 1 1 sin(x) e x dx, e x (b) dx cos(x) x +1 dx 1. Kurvn y = xe x, x 1 roterr kring x-xeln. Beräkn volymen v den uppkomn rottionskroppen. 11. Kurvn y = x, x 3 roterr kring x-xeln. Bestäm volymen och mntelytns re för rottionskroppen. 1. Lös differentilekvtionern () y ky =, (b) y +ty = t 13. Lös begynnelsevärdesproblemet och plott lösningen { (1+x )y xy = x. y() = 14. Lös differentilekvtionern och plott lösningen i () () y +6y +9y = 4e x, y() =, y () = (b) y +6y +9y = (x+1)e 3x 16