MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

Transkript

1 9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet v MTLB förenklr små och stor mtrisberäkningr och lösndet v linjär ekvtionssstem. MTLBkod bifogs i bilg. linjlgni.m skicks med dett dokument. Innehåll: Uppgift 3.65 )... 2 Uppgift )... 4 Uppgift )... 6 Uppgift Resultt... 4 Bilg: MTLBkod... 7

2 29) Uppgift 3.65 ) Resultten i uppgiften sk redoviss i form v två grfer, en grf innehållnde resulttet v f) och p) smt en grf innehållnde skillnden melln f) och p), där f) 7 och p) smt p) f); p) f); p') f'); p') f') För tt kunn plott grfen för p) behöver vi bestämm konstntern,, 2, och 3. Vi hr fr okänd konstnter och kn v ovn givn dt få frm ett ekvtionssstem med lik mång ekvtioner två från p) respektive p) smt två från p ) respektive p )). Till en börjn räkns f) och dess derivt frm med och. f) 7 f ) 7 6 f) 7 f ) 7* 6 7 f) ) 7 f ) 7*) 6 7 f) f') 7 f) f') 7 Därefter räkns p) och p') frm med och : p) p ) p) p') p) p') Ett ekvtionssstem ställs upp med de frmräknde värden. {

3 39) För tt sedn få frm,, 2 och 3 skrivs ekvtionssstemet som ) ) 2 3 ) 7 7 så tt det blir möjligt tt gusseliminer. Genom gusseliminering fås värden för,, 2 och 3.Gusselimineringen görs i MTLB där vi definerr koefficienttmtrisen som och resulttvektorn som B. Vi får då följnde sts i MTLB: \B Vilket ger ) 2 3 ) 2 3 p) Med de resultten får mn svren på polnomet och dess derivt, nämligen p) p') 7 p) p') 7 Skillnden melln funktionern och polnomen blir då f) p) 7 2* + 3* 3 ) f) p) ) 7 2*) + 3*) 3 ) vilket visr tt p) f), p) f). Grfer rits också över polnomet p) och funktionen f) 7, smt skillndern melln dem.

4 49) Uppgift ) Vid produktion v kol, bensin och el förbruks energiformer enligt: För tt producer en enhet kol behövs bensin behövs el behövs enheter kol enheter bensin,,,2 enheter el,,2, Mn vill vet hur mcket kol, bensin och el som behövs för tt kunn leverer 35 enheter kol, 63 enheter bensin och 96 enheter el. Vi ser v uppgiftens formulering tt den totl åtgången v en viss energitp är summn v de mängder som förbruks smt energimänden som sk leverers. Den totl mängden kol som krävs är den mängd som leverers smt förbrukningen vid produktion v bensin och olj. De totl mängdern enhetern) bensin och el som krävs ges på smm sätt, frånsett tt dess även kräver lite v sin egen energitp för tt kunn producers. Dett ger följnde ekvtionssstem med tre ekvtioner och tre obeknt: k k + b +,e + 35 b,k +,b +,2e + 63 e,k +,2b +,e + 96 Där k är ntlet enheter kol, b ntlet enheter bensin och e ntlet enheter el som behövs. För tt gör uträkningen lättre omformulering v uttrcket för tt vi på ett lätt sätt sk kunn nvänd MTLBS funktion för gusselimintion) kn vi skriv om uttrcket: k b,e 35,k +,9b,2e 63,k,2b +,9e 96 Dett gör tt vi kn nvänd MTLBs inbggd funktion för gusseliminering. För tt tdliggör dett sätter vi in ovnstående ekvtionssstem i en totlmtris.,,,9,2, 35,2 63,9 96 I MTLB skpr vi en mtris koef och en kolumnvektor leverns. Mtrisen koef innehåller koefficientern i totlmtrisen ovn t.v. om det rk strecket) och kolumnvektorn leverns innehåller summorn t.h. om det rk strecket).

5 59) I MTLB skriver vi: koef [,,.;.,.9,.2;.,.2,.9]; leverns [35;63;96]; koef \ leverns å dett sätt genomförs gusseliminering. Vi erhåller en kolumnvektor innehållnde de totl mängdern v energiformern: k 5 b 2 e 5 Mn behöver 5 enheter kol, 2 enheter bensin och 5 enheter el för tt kunn leverer 35 enheter kol, 63 enheter bensin och 93 enheter el.

6 69) Uppgift ) Vi sk finn proportionern v olik ingredienser i en deg. g deg innehåller 24, g fett, 55 g kolhdrter, 7,5 g protein och 5 kcl. Tbellen nedn visr de ingående ingrediensern och ders vrudeklrtion g/g): Fett Kolhdrt rotein Kcl Smör 8 8 Socker 4 Vetemjöl Skummjölkspulver Vi sk bestämm receptet för 5 g deg. Vi börjr med tt t red på hur de olik ingrediensern förhåller sig till degen. Dett förhållnde kn vi få frm genom ett ekvtionssstem som visr förhållndet melln de olik ingredienserns innehåll och degens innehåll vid g , , där är mängden smör förhållnde), 2 mängden socker förhållnde), 3 mängden vetemjöl förhållnde) och 4 mängden skummjölkspulver förhållnde). Som ni ser ställer vi upp ekvtionen så vrje innehållstp t.e. fett) i degen ställs upp på vrje rd. Överst rden visr hur mcket fett degen innehåller, ndr hur mcket kolhdrter, tredje protein och fjärde kcl i förhållnde till deg). Vi överför ekvtionssstemet till en totlmtris och utför gusellimintion i MTLB) , 55 7,5 5 I MTLB skpr vi en mtris och en kolumnvektor B. Mtrisen innehåller ll koefficienter med smm rduppdelning som i totlmtrisen ovn. Kolumnvektorn B innehåller summorn till höger om det rk strecket i totlmtrisen ovn). Vi genomför därefter gusselimineringen genom tt skriv: \B

7 79) Resulttet är en kolumnvektor som ger, 2, 3 och 4.,3 2,2 3,4 4, Resulttet visr hur de olik ingredienserns mss förhåller sig till degens mss. Vi multiplicerr förhållndet med 5 g eftersom vi sökte receptet för 5 g deg.,3 5,2 5,4 2, 5 Dett ger receptet för 5 g deg: 5 g smör g socker 2 g vetemjöl 5 g skummjölkpulver

8 89) Uppgift 4 Figur Det först som behövde görs vr tt t frm en vektor som innehöll de ttre belstningrn, förslgsvis genom tt nvänd ekvtionssstemet i eempel.7.se Ekvtionsstem ). I denn uppgift så vr det ndr ttre lster jämfört med eemplet. I uppgiften så vr: ll ndr krfter på nodern vr noll. Se lösning i Figur 3 Figur 2

9 Ekvtionss stem 99)

10 9) B ) ) ) ) När denn vektor vr frmtgen så vr det br tt sätt mtrisen figur 5) lik med belstningsvektorn B och Gusseliminer. Då erhölls vektorn X som innehöll stångkrften på vrje element i fckverket. Det är dock br ett element i den vektorn som vr intressnt, dvs det som vr störst. För tt t frm rätt så gjordes dett i MTLB se kommentrer för mer beskrivning): p []; % Initier krftvektorn krft []; % Initier stångkrftsvektorn for ::2 B [;;;;;;;;;;;;;;;;]; % Bestäm lstvektorn \B % Gusseliminer och stopp lösningen I mkmbs)); % T ut den högst stångkrften ur vektorn p[p ]; % Lägg till I vektorn p krft[krft mk]; % lägg till högst stångkrften för dett i %vektorn krft end plot p,krft) Figur 3

11 9) Följnde plottning gjordes: Krft Miml Stångkrft Miml stångkrftens förändring beroende på krften 2 2 Figur 5 Figur 4 7

12 29) 4.b e8 är en vektor v dimension 7 där den åttonde sklären är. + + ) 8 ) e b B Där B Fig3 är motsvrnde B som vi tog frm i Figur 3. 4.c Enligt frågns formulering kn vi sätt 8 ) ; e b B + För tt få ensmt multiplicerr vi med inversen till från vänster i båd leden. 8 ) 8 ) 8 ) e b e b e b Vi sätter b och )e8 z z e b ) Figur 6 Ekvtion B Fig3

13 39) 4.d Vid testning v olik värden på i MTLB så såg mn tt den setonde sklären i vektorn jämt är störst. För tt lös ut vilket som generr en miml stångkrft på 2 krftenheter så räcker det med tt koll på den setonde sklären i vektorn. Vi börjr med tt följ rbetsmönstret från föregående uppgift. B b + ) e8 Ekvtion 2 Multiplicerr mn ekvtion 2 från vänster med inversen till mtrisen så får mn lösningen i vänsterledet. b + ) e8 Ekvtion 3 Det vr den setonde sklären som vr intressnt så därför sklärmultiplicerdes med enhetsvektorn e6 v dimension 7. e6 b) e6+ ) e8) e6 Ekvtion 4 Sedn återstod egentligen br tt få över till vänsterledet. I ekvtion 5 hr först väntserledet och högerledet btt plts. Sedn hr först termen i högerledet subtrherts i båd led. Sedn dividerdes båd leden med de 2 sist fktorern i den ndr termen i högerledet i ekvtion 4. Efter dess beräkningr såg ekvtion 4 ut som ekvtion 5. Slutligen återstod br tt dderd till båd led så tt fick stå ensmt. e6 b) e6 ) Ekvtion 5 e8) e6 e6 b) e6 + e8) e6 Ekvtion 6 Efter insättning v värden i MTLB så erhölls följnde värde för : 72, ,32 krftenheter

14 49) Resultt Uppgift p) Uppgift 2 Mn behöver 5 enheter kol, 2 enheter bensin och 5 enheter el för tt kunn leverer 35 enheter kol, 63 enheter bensin och 93 enheter el. Uppgift 3 Receptet för 5 g deg: 5 g smör g socker 2 g vetemjöl 5 g skummjölkpulver

15 59) Uppgift Krft Miml Stångkrft Miml stångkrftens förändring beroende på krften B + + ) 8 ) e b B Figur 6 B Fig3 7

16 69) C + z där b och z )e8 D 72, ,32 krftenheter

17 79) Bilg: MTLBkod clc, cler % %Uppg % %Vi löser det med guselimintion %p),p),p')7,p')7 [,,,;,,,;,,2,3;,,2,3]; B [;;7;7]; C\B %Gusselimintion disp',,2,3)') %För tt få prdligre grf öks värdet intervllet,5 X :.5:; %Vektorer f) och p) för plottning X 2 * X + 3 * X.^3; FX X.^7; plotx, X, X, FX), legend')', 'F)') %Skillnd melln f) och p) difff FX X; figure2) plotx, difff), title'diff F) och )') % %Uppg 2 % %enligt ekvss i rpporten koef [,,.;.,.9,.2;.,.2,.9]; leverns [35;63;96]; %Utskrift v mängdern disp'totlt krävs') dispkoef\leverns) disp'kol, bensin, el') % %Uppg3 % %Känd dt sätts ingreddeklrtion [8,,,;,,75,5;,,,35;8,4,35,4]; ndelvidg [24.;55;7.5;5]; %Ingrediensförhållndet beräkns på w grm deg är...) inggredforhllnde ingreddeklrtion\ndelvidg; %receptet för 5g deg skrivs ut recept 5.* inggredforhllnde

18 % %Uppg 4 % cler, cler b sqrt2)/2; [ ]; ; % krften i led på nod 5 b [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % vektorn som innehåller informtion om % belstningrn på ll noder p []; krft[]; bb/; for ::3 hl [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; \hl;% gusseliminering. b. p[p ];% Stopp in i en vektor som kommer tt nvänds till plottning och tbellering mkmbs));% ett uttrck som tr ut störst stångkrften ur lösningen krft[krft mk]; % stopp in miml stångkrften för vrje värde på i en vektor som kommer % tt nvänds vid plottning och tbellering end figure3) %plott stångkrften på eln och krften på eln plotp,krft,72,2,':or'),lbel'krft '),lbel'miml Stångkrft'),title'Miml stångkrftens förändring beroende på krften '); %rutnät grid on hold on disp'tbell med och tillhörnde stångkrft') [p' krft'] % Tbell med i vänstr kolumnen och stångkrften i den högr kolumnen b [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % Vektorn b då är e8 [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % enhetsvektor e8 med dimension 7 e6 [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % enhetsvektor e6 med dimension 7 89)

19 99) formt long 2 dotinv)*b,e6))/dotinv)*e8,e6)+ ); % ekvtion 6 i rpporten. %Ger värdet för då miml stångkrften är 2 krftenheter disp'det värde på som generr en miml stångkrft på 2 krftenheter:') disp) ndersson m.fl. Linjär lgebr med goemetri. Studentlittertur, 999.