Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Transkript

1 Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 21 september 2016 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 2/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 3/21

2 Resultat Testet (och ett test med inferens) är tillgängligt om ni vill träna inför tentan. Ni som inte klarat testet, gör det innan tentan (godkänt höjt från 6 till 7). Alla > 0 rätt Försök Försök/student Godkända tester 36.4% 44.9% Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 4/21 I en stad lider man av vattenbrist i genomsnitt ett år av tio. Antag oberoende mellan år av vattenbrist. Vad är sannolikheten att man under de närmaste 30 åren får vattenbrist under minst 5 år? X : Antal år med vatten brist av 30 år Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 5/21 Orterna A och B ligger på var sin sida av ett vattendrag och förbinds av en bro. Antalet fordon som under en minut färdas från A till B är poissonfördelat med väntevärde 3 medan antal fordon i andra riktningen är poissonfördelat med väntevärde 4. Beräkna sannolikheten att det under en minut kommer minst 13 fordon på bron. X A : Antal bilar från A till B X B : Antal bilar från B till A Y = X A + X B : Totalt antal bilar över bron Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 6/21

3 Tiden det tar att betjäna en kund vid station A är en stokastisk variabel med väntevärde 5.4 minuter och standardavvikelse 4 minuter. Vid station B tar det i genomsnitt 3.7 minuter att betjäna en kund och standardavvikelsen är b) Beräkna sannolikheten att det går snabbare att betjäna 50 kunder vid A än 80 kunder vid B. A i : Tid för kund i, station A B i : Tid för kund i, station B 50 S A = A i : Tid för 50 kunder, station A i=1 80 S B = B i : Tid för 80 kunder, station B i=1 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 7/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 8/21 (Kap & & 9.3.3) H 0 förkastas om observationerna, θ, avviker för mycket från nollhypotesen θ 0. Testa nollhypotesen H 0 : θ = θ 0 mot mothypotesen (tex) H 1 : θ θ 0 på nivån α; felrisken α ges av α = P(H 0 förkastas trots att den är sann) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 9/21

4 Olika metoder för att utföra hypotestest 1. Direktmetoden eller P-värde Antag att H0 är sann Räkna ut P-värdet p = P(Få det vi fått eller värre) Om p < α förkastas H0 2. Konfidensmetoden. Gör ett konfidensintervall med konfidensgraden 1 α och förkasta H 0 på nivån α om intervallet ej täcker θ 0. Intervallen skall, beroende på H 1, vara Test H 1 : θ < θ 0 H 1 : θ θ 0 H 1 : θ > θ 0 Intervall: uppåt begr tvåsidigt nedåt begr 3. Testkvantitet T(X) och kritiskt område C Förkasta H 0 om testskvantiteten hamnar i det kritiska området. C och T skall väljas så att α = P(T(X) C) = P( Förkasta H 0 om H 0 är sann ) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 10/21 (Kap. 7.6) Användas för att avgöra hur bra testet skiljer H 0 från H 1. h(θ) = P( Förkasta H 0 om θ är rätt värde ) Typ 1 fel: Typ 2 fel: α = P(H 0 förkastas om H 0 sann) β = P(H 0 förkastas ej om H 0 ej sann) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 11/21 Metoder för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 12/21

5 Dreamliner Metoder NTSB Interim Factual Report (March 7, 2013) Boeing also determined that the probability that a battery could vent was once in every 10 million flight hours. As of January 16, 2013, the in-service 787 fleet had accumulated less than flight hours, and during this period two events involving smoke emission from a 787 battery had occurred... Antag att antalet fel per flygtimme är oberoende poisson. Vad är fördelningen för antalet fel under flygtimmar? Undersök, på nivån α = 0.001, om två fel är oväntat många? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 13/21 Metoder LTHs enkät inför studiestart När och hur brukade du förbereda dig för större skrivningar på gymnasiet? a) Läxläsning under hela terminen och därefter repetition inför skrivningen. b) Nästan ingen läxläsning under terminen utan endast inläsningsstudier inför skrivningen. Kvinnor Män Alt. a) 82% 64% Alt. b) 18% 36% Antal svarande Undersök, på signifikansnivå α = 0.01, om kvinnliga LTH studenter var flittigare än sina manliga kollegor under gymnasietiden /Fall_2013_-_Percents_Graphical_-_Lund_-_Gender. pdf Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 14/21 Hypotestest Vilken metod? Metoder Normalfördelad skattning. σ känd: Vilken som helst. σ okänd: Direktmetoden kräver t-fördelningens fördelningsfunktion. Fördelning där μ = X N (μ, V(μ ))... enl. CGS. Vilken som helst Bin, Po,... där D(θ ) innehåller θ. Direktmetoden Går alltid att använda, ibland med normalapproximation. Testkvantitet Kräver normalt normalapproximation. Vid styrkefunktion är det naturligt att utgå från testkvantitet. Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 15/21

6 Testkvantiter Metoder Antag att vi vill testa H 0 : θ = θ 0. Model Skattning T(X) D(θ )/d(θ ) kvantil X i N ( μ, σ 2) σ känd μ = X μ μ 0 λ X Bin(n, p) X i Po(μ) Notera: σ okänd p = X n μ = X D(μ ) μ μ 0 d(μ ) p p 0 D 0 (p ) μ μ 0 D 0 (μ ) 1. Standardavvikelse/medelfel räknas under H Bin och Po fallet kräver normalapproximation. 3. α-kvantil om ensidigt, α/2-kvantil om tvåsidigt. σ n s n p 0 (1 p 0 ) n μ0 n t(f) λ λ Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 16/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 17/21 (Kap. 7.6) Användas för att avgöra hur bra testet skiljer H 0 från H 1. h(θ) = P( Förkasta H 0 om θ är rätt värde ) Typ 1 fel: Typ 2 fel: α = P(H 0 förkastas om H 0 sann) β = P(H 0 förkastas ej om H 0 ej sann) Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 18/21

7 för diskret data En vanligt förekommande (ca 1 på 10) biverkning av Malaria medicin är feber och/eller kliande hudutslag. Genom att justera doseringen av medicinens aktiva ämne hoppas läkemedelsbolaget att minska biverkningarna. I ett första försök med 250 personer rapporterade endast 16 personer biverkningar. 1. Test på nivån 1% om detta tyder på en minskad risk för biverkningar. 2. Utvecklingsavdelningen hävdar att den nya medicinen borde halvera risken för biverkningar (till 1 på 20). Hur många personer borde ingå i försöksgruppen för att, med 95% sannolikhet, upptäcka den minskade risken? Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 19/21 för diskret data : Poisson & Binomial för diskret data Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 20/21 Hypotestest Tolkning Årsmedelvärdet av kvävedioxid i utomhusluft bör inte överstiga 40 μg/m 3 (Miljökvalitetsnorm, ). I en större svensk stad vill man undersöka om gränsvärdet överskrids och ett antal mätningar av NO 2 görs. Gatukontoret (som måste vidta åtgärder om normen överskrids) anser att man bör testa H 0 : μ = 40 μg/m 3 mot H 1 : μ > 40 μg/m 3 Miljöförvaltningen anser däremot att ett lämpligt test är H 0 : μ = 40 μg/m 3 mot H 1 : μ < 40 μg/m 3 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 21/21