Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
|
|
- Johanna Lundberg
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005
2 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 ) = antalet delmängder av storlek k ur en C(X, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) = E(XY ) E(X)E(Y ) ρ(x, Y ) = C(X, Y ) D(X)D(Y ) 3. Diskreta fördelningar Binomialfördelningen X är Bin(n, p) om p X (k) = E(X) = np, V (X) = np( p) ( n k ) p k ( p) n k, k = 0,,..., n, där 0 < p <. För-första-gangen -fördelningen X är ffg(p) om p X (k) = p( p) k, k =, 2, 3,..., där 0 < p <. E(X) = p, V (X) = p p 2 Hypergeometriska fördelningen ( )( ) Np N( p) k n k X är Hyp(N, n, p) om p X (k) = ( ), 0 k Np, Nn 0 n k N( p), där N, Np och n är positiva heltal samt N 2, n < N, 0 < p <. E(X) = np, V (X) = N n np( p) N Poissonfördelningen X är Po(µ) där µ > 0 om p X (k) = µk k! e µ, k = 0,, 2,... E(X) = µ, V (X) = µ 4. Kontinuerliga fördelningar Likformig fördelning { för a < x < b X är U(a, b) där a < b om f X (x) = b a 0 annars E(X) = a + b 2, V (X) = (b a)2 2
3 2 Exponentialfördelningen { X är Exp(λ) där λ > 0 om f X (x) = λ e λx för x > 0 0 annars E(X) = λ, V (X) = λ 2 Normalfördelningen X är N(µ, σ) om f X (x) = E(X) = µ, V (X) = σ 2 X är N(µ, σ) om och endast om X µ σ (x µ)2 2σ e 2, < x <, σ > 0. 2π σ är N(0, ). Om Z är N(0, ) sa har Z fördelningsfunktionen Φ(x) enligt tabell och täthetsfunktionen ϕ(x) = 2π e x2 /2, < x <. En linjär sammansättning a i X i + b av oberoende, normalfördelade stokastiska variabler är normalfördelad. 5. Centrala gränsvärdessatsen Om X, X 2,..., X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde µ och standardavvikelse σ > 0 sa är Y n = X + + X n approximativt N(nµ, σ n ) om n är stort. 6. Approximation Hyp(N, n, p) Bin(n, p) om n N 0. Bin(n, p) Po(np) om p 0. Bin(n, p) N ( np, np( p) ) om np( p) 0 Po(µ) N(µ, µ) om µ 5 7. Tjebysjovs olikhet Om E(X) = µ och D(X) = σ > 0 sa gäller för varje k > 0 att P ( X µ > kσ) k 2 8. Statistiskt material x = n x n j j= s 2 = n (x n j x) 2 = [ n x n j 2 ( n ) ] 2 x n j j= j= j=
4 3 9. Punktskattningar 9. Maximum-likelihood-metoden Lat x i vara en observation pa X i, i =, 2,..., n, där fördelningen för X i beror pa en okänd parameter θ. Det värde θobs som maximerar L -funktionen { px,...,x (x n,..., x n ; θ) = (om oberoende) = p X (x ; θ) p Xn (x n ; θ) L(θ) = f X,...,X n (x,..., x n ; θ) = (om oberoende) = f X (x ; θ) f Xn (x n ; θ) kallas maximum-likelihood-skattningen (ML-skattningen) av θ. 9.2 Minsta-kvadrat-metoden Lat x i vara en observation pa X i, i =, 2,..., n, och antag att E(X i ) = µ i (θ, θ 2,..., θ k ) och V (X i ) = σ 2, där θ, θ 2,..., θ k är okända parametrar och X, X 2,..., X n är oberoende. Minsta-kvadrat-skattningarna (MK-skattningarna) av θ, θ 2,..., θ k är de värden (θ ) obs, (θ 2) obs,..., (θ k) obs som minimerar kvadratsumman n ( Q = Q(θ, θ 2,..., θ k ) = xi µ i (θ, θ 2,..., θ k ) ) Medelfel En skattning av D(θ ) kallas medelfelet för θ och betecknas d(θ ). 9.4 Felfortplantning Med beteckningar och förutsättningar enligt läroboken gäller a) E(g(θ )) g(θ obs ) D(g(θ )) g (θobs ) D(θ ) b) E(g(θ,..., θn)) g ( (θ ) obs,..., (θ n) ) obs [ V (g(θ,..., θn) n n C(θi, θ g j ) g ] x j= i x j x k =(θ k ) obs,k=,...,n 0. Nagra vanliga fördelningar i statistiken χ 2 -fördelningen Om X, X 2,..., X f är oberoende och N(0, ) sa gäller att f Xk 2 är χ2 (f) -fördelad. k= t -fördelningen Om X är N(0, ) och Y är χ 2 (f) samt om X och Y är oberoende sa gäller att X Y/f är t(f) -fördelad.
5 . Stickprovsvariablernas fördelningar vid normalfördelade stickprov. Lat X,..., X n vara oberoende stokastiska variabler som alla är N(µ, σ). Da gäller: a) X är N b) ( ) σ µ, n n (X i X) 2 (n )S2 σ 2 = σ 2 är χ 2 (n ) c) X och S 2 är oberoende d) X µ S/ n är t(n ) 4.2 Lat X,..., X n vara N(µ, σ) och Y,..., Y n2 vara N(µ 2, σ) och samtliga stokastiska variabler antas oberoende. Da gäller: ( a) X Y är N µ µ 2, σ n + ) n2 b) (n + n 2 2)S 2 σ 2 är χ 2 (n + n 2 2) där S 2 = (n 2 )S + (n 2 )S2 2 n + n 2 2 S 2 = n (X n i X) 2 och S2 2 = n 2 (Y n 2 i Y ) 2 c) X Y och S 2 är oberoende d) X Y (µ µ 2 ) är t(n + n 2 2) S n + n 2,.3 Lat X,..., X n vara N(µ, σ ) och Y,..., Y n2 vara N(µ 2, σ 2 ) och samtliga stokastiska variabler antas oberoende. Da gäller: ( σ 2 ) X Y är N µ µ 2, + σ2 2 n n 2 2. Konfidensintervall 2. λ -metoden Lat θ vara N(θ, D) där D är känd och θ okänd. Da är θ obs ± D λ α/2 ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden α.
6 5 2.2 t -metoden Lat θ vara N(θ, D) där D och θ är okända och D inte beror pa θ. Lat Dobs vara en punktskattning av D sadan att θ θ D är t(f). Da är θobs ± D obs t α/2 (f) ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden α. 2.3 Approximativa metoden Lat θ vara approximativt N(θ, D). Antag att D obs är en lämplig punktskattning av D. Da är θ obs ± D obs λ α/2 ett konfidensintervall för θ med den approximativa konfidensgraden α. 2.4 Metod baserad pa χ 2 -fördelning Lat θobs vara en punktskattning av en parameter θ sadan att ( θ ) 2 f är χ 2 (f). Da är θ ( ) θobs f χ 2 α/2 (f), θ f obs χ 2 α/2 (f) ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden α. 3. Linjär regression 3. Fördelningar Lat Y i vara N(α + βx i, σ), i =, 2,..., n, och oberoende. Da gäller: ( ) n a) β (x = i x)(y i Y ) σ n (x i x) 2 är N β, n (x i x) 2 b) α = Y β x är N c) α + β x 0 är N ( ( α, σ α + βx 0, σ ) n + (x) 2 n (x i x) 2 ) n + (x 0 x) 2 n (x i x) 2 d) (n 2)S2 σ 2 är χ 2 (n 2) där S 2 = n 2 e) S 2 är oberoende av α och β n (Y i α β x i ) 2
7 6 3.2 Konf idensintervall I α : α obs ± t p/2 (n 2)s n + (x) 2 n (x i x) 2 I β : βobs ± t s p/2 (n 2) n (x i x) 2 I α+βx0 : α obs + β obs x 0 ± t p/2 (n 2)s n + (x 0 x) 2 n (x i x) Beräkningsaspekter n n n n S xy = (x i x)(y i y) = (x i x)y i = x i (y i y) = x i y i nx y n S xx = (x i x) 2 n = x 2 i nx2 n S yy = (y i y) 2 (n 2)s 2 = S yy (βobs )2 S xx = S yy βobs n S xy = min (y i α βx i ) 2 α,β 4. Hypotesprövning 4. Def initioner Signifikansnivan (felrisken) α är (det maximala värdet av) P (förkasta H 0 ) da hypotesen H 0 är sann. Styrkefunktionen h(θ) = P (förkasta H 0 ) da θ är rätt parametervärde. 4.2 Konf idensmetoden Förkasta H 0 : θ = θ 0 pa nivan α om θ 0 ej faller inom ett lämpligt valt konfidensintervall med konfidensgraden α. 4.3 χ 2 -test Man gör n oberoende upprepningar av ett försök som ger nagot av resultaten A, A 2,..., A r med respektive sannolikheter P (A ), P (A 2 ),..., P (A r ). Lat för j =, 2,..., r den stokastiska variabeln X j beteckna antalet försök som ger resultatet A j.
8 7 Test av given fördelning: Vi vill testa H 0 : P (A ) = p, P (A 2 ) = p 2,..., P (A r ) = p r för givna sannolikheter p, p 2,..., p r. Da blir r (x j np j ) 2 Q = np j= j ett utfall av en approximativt χ 2 (r ) -fördelad stokastisk variabel om H 0 är sann och np j 5, j =, 2,..., r. Om vi skattar k parametrar ur data, θ = (θ,..., θ k ), för att skatta p, p 2,..., p r med p (θobs ), p 2 (θ obs ),..., p r (θ obs ) sa är ( r xj np Q j (θobs = )) 2 j= np j (θobs ) ett utfall av en approximativt χ 2 (r k ) -fördelad stokastisk variabel. r x 2 j Beräkningsaspekt: Q = n, Q = np j= j r j= x 2 j np j (θ obs ) n Homogenitetstest: Man vill testa om sannolikheterna för resultaten A, A 2,..., A r är desamma i s försöksserier. Inför beteckningar enligt nedanstaende tabell: Serie Antal observationer av Antal försök A A 2 A 3... A r x x 2 x 3... x r n 2. x 2. x 22 x x 2r n 2. s x s x s2 x s3... x sr n s Kolonnsumma m m 2 m 3... m r N ( s r x ij n i m ) j 2 N Bilda Q =. n i m j j= N Q är ett utfall av en approximativt χ 2 ((r )(s )) -fördelad stokastisk variabel. Kontingenstabell (test av oberoende mellan rader och kolonner): Samma teststorhet och fördelning som ovan.
9 5. Markovprocesser 5. Markovkedjor i diskret tid 5.. Grundläggande begrepp Tillstandsrum: E Ȯ vergangsmatris: P = (p ij ) i,j E där p ij = P (X n = j X n = i) p (n) = (p (n), p(n) 2,...) där p(n) i = P (X n = i). Initialfördelning: p (0) Stationär fördelning: π Gränsfördelning: p 5..2 Chapman-Kolmogorovs ekvationer a) p (m+n) ij = p (m) ik p(n) kj k E b) P (m+n) = P (m) P (n) c) P (n) = P n d) p (n) = p (0) P (n) = p (0) P n Stationära sannolikheter 8 Om π = (π, π 2,..., π N ) är en stationär sannolikhetsfördelning till en irreducibel markovkedja (ändlig eller oändlig), är π i = /E(T i ) där T i är tiden mellan tva besök i tillstand i. π j /π i är förväntat antal besök i tillstand j mellan tva besök i tillstand i Ergodicitet. En markovkedja kallas ergodisk om den har en asymptotisk fördelning som är oberoende av startfördelningen. 2. En ändlig markovkedja är ergodisk om och endast om dess tillstandsmängd E innehaller en enda sluten irreducibel deltillstandsmängd och denna är aperiodisk. Speciellt är en ändlig, irreducibel och aperiodisk markovkedja ergodisk. 3. En irreducibel, aperiodisk markovkedja (ändlig eller oändlig) är ergodisk 5..5 Absorption om och endast om det existerar en stationär fördelning. En markovkedja kallas en A-kedja om E = A G, där alla tillstand i A är absorberande och alla tillstand i G leder till ett absorberande tillstand i A. Sannolikheten för absorption i tillstand j A, da den startar i tillstand i: a ij. Tiden till absorption, da den startar i tillstand i G: T i, t i = E(T i ).
10 9 För en ändlig A-kedja gäller för alla j A att a ij = p ij + k G p ik a kj, i G, och t i = + k G p ik t k, i G. 5.2 Markovprocesser i kontinuerlig tid 5.2. Grundläggande begrepp Ȯ vergangsmatris: P (t) = ( p ij (t) ) i,j E där p ij (t) = P (X(s + t) = j X(s) = i) p(t) = (p 0 (t), p (t),...) där p i (t) = P (X(t) = i) Uthoppsintensitet fran tillstand i: q i Ȯ vergangsintensitet fran tillstand i till tillstand j : q ij Stationär fördelning: π Gränsfördelning: p Intensitetsmatrisen (eller generatorn): Q = där q ii = q i Chapman-Kolmogorovs ekvationer a) p ij (s + t) = p ik (s)p kj (t) k E b) P (s + t) = P (s)p (t) c) p(t) = p(0)p (t). P (h) I lim h 0+ h = (q ij ) i,j E Kolmogorovs framat- resp. bakat-ekvation: P (t) = P (t)q = QP (t) Stationära sannolikheter. π är en stationär fördelning till en markovprocess om och endast om πq = Om π = (π 0, π,...) är en stationär sannolikhetsfördelning till en ändlig Ergodicitet (eller reguljär oändlig) irreducibel markovprocess, är π i = /q i E(T i ) där T i π j är tiden mellan tva inträden i tillstand i. är förväntad tid i tillstand q i π i j mellan tva inträden i tillstand i.. En ändlig och irreducibel markovprocess är ergodisk. 2. En reguljär, irreducibel markovprocess (ändlig eller oändlig) är ergodisk om och endast om det existerar en stationär fördelning.
11 Absorption Definitioner se För en ändlig A-process gäller för alla j A att a ij = q ij + q ik a q i q kj, i G, och t i = + i q i k G\{i} k G\{i} Poissonprocesser Om {N(t); t 0} är en poissonprocess med intensitet λ sa är q ik q i t k, i G. N(t) N(s) Po(λ (t s)), för t > s, och processens ökningar i disjunkta tidsintervall är oberoende. {N(t); t 0} är en födelseprocess med alla λ i = λ Födelseprocesser En födelseprocess med födelseintensiteter λ 0, λ,... är en markovprocess med X(0) = 0 och med övergangsintensiteter λ i, j = i +, i = 0,, 2,... q ij = λ i, j = i, i = 0,, 2,... 0, annars. En födelseprocess med födelseintensiteter λ 0, λ,... är reguljär, d.v.s. exploderar ej, om och endast om =. λ i=0 i Födelse-döds-processer En födelse-döds-process med födelseintensiteter λ 0, λ,... och dödsintensiteter µ, µ 2,... är en markovprocess med övergangsintensiteter λ i, j = i +, i = 0,, 2,... µ i, j = i, i =, 2,... q ij = λ i µ i, i = j, i =, 2,... λ 0, i = j = 0 0, annars. Lat ρ 0 = och ρ i = λ 0 λ λ i µ µ 2 µ i. En födelse-döds-process är reguljär om och endast om k=0 λ k ρ k k ρ i =. i=0 En födelse-döds-process har en stationär fördelning π om och endast om ρ i < och =. λ i=0 i=0 i ρ i Den stationära fördelningen π är given av π j = ρ j. ρ i i=0
12 6. Köteori 6. Allmänt system Vi förutsätter att inblandade gränsvärden existerar. Beskrivning av systemet λ = ankomstintensitet. U = betjäningstiden för en godtycklig kund. B(t) = P (U t) = betjäningstidens fördelningsfunktion. c = antalet betjäningsstationer. Beteckningar µ = /E(U) = betjäningsintensitet för en godtycklig kund. ρ = λ = trafikintensiteten (betjäningsfaktorn). Vi förutsätter att ρ <. cµ X(t) = antalet kunder i systemet vid tid t. p = (p 0, p,...) = gränsfördelningen för antalet kunder i systemet, d.v.s. p i = lim P (X(t) = i). t l(t) = E(X(t)) = förväntat antal kunder i systemet vid tid t. l = lim l(t) = ip t i = förväntat antal kunder i systemet (efter lang tid). i=0 X q (t) = antalet kunder i kön vid tid t. l q (t) = E(X q (t)) = förväntat antal kunder i kön vid tid t. l q = lim l q (t) = förväntat antal kunder i kön (efter lang tid). t Q n = n:te kundens kötid. G q (τ) = lim n P (Q n τ). U n = n:te kundens betjäningstid, P (U n t) = B(t). S n = Q n + U n = n:te kundens tid i systemet. G(τ) = lim n P (S n τ). Lat Q vara en s.v. med fördelningsfunktion G q (τ). w q = E(Q) = förväntad tid i kön. w = E(Q + U) = förväntad tid i systemet. Under mycket allmänna villkor gäller att l = cρ + l q, w q = l q λ och w = l λ. Da c = gäller under mycket allmänna villkor att sannolikheten att en kund maste sta i kö = p 0 = λ µ = ρ.
13 2 6.2 System med Poissonankomster och exponentialfördelade betjäningstider System med c ( c (cρ) n ) p 0 = + (cρ)c. n! c!( ρ) n=0 p p n = 0 (cρ)n, n =, 2,..., c, n! p c ρ n c, n = c +, c + 2,... l q = p c ρ ( ρ) 2. G q (τ) = p c ρ e cµ( ρ)τ, τ 0. Sannolikheten att en kund maste sta i kö = System med c = p n = ( ρ)ρ n, n = 0,,... l q = ρ2 ρ. G q (τ) = ρe µ( ρ)τ, τ 0. G(τ) = e µ( ρ)τ, τ 0. System med c = 2 p n = l q = ρ + ρ, n = 0, 2( ρ)ρ n + ρ 2ρ3 ρ 2., n =, 2,... G q (τ) = 2ρ2 + ρ e 2µ( ρ)τ, τ 0. Förlustsystem med c p c ρ. Detta innebär att en kund, som inte far betjäning omedelbart, lämnar systemet. p n = (cρ) n n! + cρ! + (cρ)2 + + (cρ)c 2! c!, n = 0,,..., c.
14 3 6.3 System med Poissonankomster och godtyckligt fördelade betjäningstider System med c = ρ 2 l q = 2( ρ) 6.4 Jacksonnätverk ( + V (U) (E(U)) 2 ). Ett könätverk som har m noder kallas ett Jacksonnätverk om följande villkor är uppfyllda:. Varje nod har identiska betjäningsstationer med exponentialfördelade betjäningstider. Nod i har c i betjäningsstationer, vardera med betjäningsintensitet µ i. 2. Kunder som kommer till nod i utifran kommer enligt en Poissonprocess med intensitet λ i. (Kunder kan även komma till nod i fran andra noder i systemet.) 3. Sa snart en kund är betjänad i nod i sa gar kunden till nod j med sannolikheten p ij för j =,..., m eller lämnar systemet med sannolik- m heten p i = p ij. Alla förflyttningar sker ögonblickligen. j= 4. Alla ankomstprocesser, betjäningstider och förflyttningar är oberoende av varandra och av systemet i övrigt. m Ankomstintensiteten till nod i ges av Λ i = λ i + p ji Λ j för i =,..., m. j= Lat X i (t) vara antalet kunder som befinner sig i nod i. För ett Jacksonnätverk med Λ i /(c i µ i ) < för i =,..., m gäller att lim P (X (t) = n, X 2 (t) = n 2,..., X m (t) = n m ) = t p() n p (2) n 2 p (m) n m, där (p (i) 0, p(i), p(i) 2,...) är sannolikhetsfördelningen för ett M/M/c i -system i stationärt tillstand med ankomstintensitet Λ i och förväntad betjäningstid /µ i.
Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 6 Markovprocesser 9 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 6 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Johan Westerborn
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merTAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Martin Singull Innehåll 4.1 Multipel regression.............................. 15 1 Sannolikhetslära 7 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 16 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs mere x/1000 för x 0 0 annars
VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B506 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURRS FÖR D OCH F, 5B504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR ÄLDRE OCH 5B50 MARKOVPROCESSER ONSDAGEN DEN
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 13 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 24 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 2 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTAMS79 / TAMS65 - vt TAMS79 / TAMS65 - vt Formel- och tabellsamling i matematisk statistik. TAMS79 / TAMS65 - vt 2013.
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik c Martin Singull 2 Innehåll 3.3 Tukey s metod för parvisa jämförelser.................... 14 1 Sannolikhetslära 5 1.1 Några diskreta fördelningar.........................
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs merFöreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merDel I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1920/SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 11 MARS 2019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 4 Markovprocesser 20 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 4 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology April 27, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två numeriska
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs merb) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 05 KL 4.00 9.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merTENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merFöreläsning 5: Hypotesprövningar
Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merTentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp
Tentamen i Matematisk Statistik, 7.5 hp Distanskurs 15 januari, 2011 kl. 9.00 13.00 Maxpoäng: 30p. Betygsgränser: 12p: betyg G, 21p: betyg VG. Hjälpmedel: Miniräknare samt formelsamling som medföljer tentamenstexten.
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik Chalmers University of Technology September 21, 2015 Tvådimensionella fördelningar Definition En två dimensionell slumpvariabel (X, Y ) tillordnar två
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 Punktskattningar Egenskaper Väntevärdesriktig Effektiv Konsistent
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merLufttorkat trä Ugnstorkat trä
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merFöreläsning 17, Matematisk statistik Π + E
Sannolikhetsteori Statistik Föreläsning 17, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 26 febuar 2015 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F17 1/63 Stokastisk variabel En stokastisk variabel
Läs merFöreläsning 15: Försöksplanering och repetition
Föreläsning 15: Försöksplanering och repetition Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 19, 2015 Utfall och utfallsrum Slumpmässigt försök Man brukar säga att ett slumpmässigt försök
Läs merFöreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori. Jan Grandell
Föreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Anna Lindgren 4+5 oktober 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 1/18 N(μ, σ)
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Sannolikhetsteori Stokastisk variabel 2D stokastisk variabel Linjärkombination Gauss approximation Poissonprocess Markovkedjor Statistik Konfidensintervall Hypotesprövning Regression Multipel reg. Matematisk
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Johan Lindström Repetition Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 1/44 Begrepp S.V. Fördelning Väntevärde Gauss CGS Grundläggande begrepp (Kap.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 12 oktober 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 12 oktober 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametsriska metoder. (Kap. 13.10) Det grundläggande
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merFACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski
FACIT för Förberedelseuppgifter: SF9 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 206 KL 4.00 9.00. Examinator: Timo Koski - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0. FACIT Problem
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 8 Johan Lindström 9 oktober 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 8 AUGUSTI 207 KL 08.00 3.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF11/SF114/SF115/SF116 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 0:E DECEMBER 018 KL 8.00 13.00. Examinator för SF114/SF116: Tatjana Pavlenko, 08-70 84 66 Examinator
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merFöreläsning 7: Punktskattningar
Föreläsning 7: Punktskattningar Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology April 7, 2014 Projektuppgift Projektet går ut på att genomföra ett statistiskt försök och analysera resultaten.
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH. PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 14 maj 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 14-15 PASSNING AV FÖRDELNING: χ 2 -METODER. Tatjana Pavlenko 14 maj 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Icke-parametriska metoder. (Kap. 13.10) Det
Läs mera) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merEnkel och multipel linjär regression
TNG006 F3 25-05-206 Enkel och multipel linjär regression 3.. Enkel linjär regression I det här avsnittet kommer vi att anpassa en rät linje till mätdata. Betrakta följande värden från ett försök x 4.0
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merTAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder
TAMS65 - Föreläsning 2 Parameterskattningar - olika metoder Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Fö2 I Punktskattningar I Egenskaper I Väntevärdesriktig I E ektiv I Konsistent
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik Π + E
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 9 december 214 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 1/23 Repetition Binomial Poisson
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, normalfördelning (del 1) Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2008 Jan Grandell &
Läs merUppgift 1 P (A B) + P (B A) = 2 3. b) X är en diskret stokastisk variabel, som har de positiva hela talen som värden. Vi har. k s
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 8:E MARS 06 KL 08.00 3.00. Kursledare: Timo Koski, tel 070 370047 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merb) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 OCH SF905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 4:E MARS 204 KL 4.00 9.00. Kursledare: För D och Media: Gunnar Englund, 073 32 37 45 Kursledare: För F:
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merf(x) = 2 x2, 1 < x < 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 6. Kovarians, korrelation, väntevärde och varians för summor av s.v.:er, De stora talens lag Jan Grandell & Timo Koski 04.02.2016 Jan Grandell & Timo
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 9 Johan Lindström 16 oktober 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F9 1/26 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03
Läs merUppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merUppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter).
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, FREDAGEN DEN 13:E MARS 2015 KL 14.00 19.00. Kursledare för F och E: Timo Koski, tel: 070 237 00 47 Kursledare för D
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merExempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor
Kontinuerliga stokastiska variabler Exempel En stokastisk variabel är kontinuerlig om den kan anta vilka värden som helst i ett intervall, men sannolikheten för varje enskilt utfall är noll: P(X = x) =.
Läs merSannolikheter och kombinatorik
Sannolikheter och kombinatorik En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1 som anger hur frekvent en händelse sker, där 0 betyder att det aldrig sker och 1 att det alltid sker. När vi talar om sannolikheter
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B508 MATEMATISK STATISTIK FÖR S TISDAGEN DEN 20 DECEMBER 2005 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 790 746. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 TILLÄMPAD STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:E APRIL 09 KL 8.00 3.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 8649 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merSF1901: Medelfel, felfortplantning
SF1901: Medelfel, felfortplantning Jan Grandell & Timo Koski 15.09.2011 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 15.09.2011 1 / 14 Felfortplantning Felfortplantning kallas propagation of error
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 208 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merTAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning
TAMS65 - Föreläsning 12 Test av fördelning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Grundläggande χ 2 -test Test av given fördelning Homogenitetstest TAMS65 - Fö12 1/37 Det
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs mer