Markovprocesser SF1904
|
|
- Ulla-Britt Karlsson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn Föreläsning 4 Markovprocesser 20 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 4
2 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade Markovkedjan 3 Absorption 4 Stationär fördelning 5 Poissonprocessen Johan Westerborn Markovprocesser (2) Föreläsning 4
3 Förra Föreläsningen Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade Markovkedjan 3 Absorption 4 Stationär fördelning 5 Poissonprocessen Johan Westerborn Markovprocesser (3) Föreläsning 4
4 Förra Föreläsningen Intro till Markovprocesser Vi studerar nu Markovprocesser, vilket är en stokastisk process i kontinuerlig tid. Många definitioner är snarlika motsvarande definitioner för Markovkedjor. p ij (t) = P(X(t) = j X(0) = i) och P(t) = (p ij (t)) ij. Chapman-Kolmogorovs ekvationer finns på motsvarande sätt som i Markovkedjor. Tiden mellan hopp måste vara strikt större än noll (reguljär Markovprocess). Tiden mellan hopp är Exponentialfördelad då det är den enda (kontinuerliga) fördelningen som saknar minne. Johan Westerborn Markovprocesser (4) Föreläsning 4
5 Intensitetsmatrisen Förra Föreläsningen Intensitetsmatrisen Q = (q ij ) ij introducerades där: Elementet på plats i, j defineras som q ij = p ij p ij (h) p ij (0) (0) = lim. h 0 + h qij för j i är intensiteten med vilken processen rör sig från tillstånd i till j. q i = i j q ij är uthoppsintensiteten för tillstånd i. q ii = q i är diagnoalelementen. Radsumman i Q är noll. I Markovkedjorna karaktäriserar vi processen med hjälp av P och p (0). Vad gäller för Markovprocesserna? Johan Westerborn Markovprocesser (5) Föreläsning 4
6 Intensitetsmatrisen Förra Föreläsningen Intensitetsmatrisen Q = (q ij ) ij introducerades där: Elementet på plats i, j defineras som q ij = p ij p ij (h) p ij (0) (0) = lim. h 0 + h qij för j i är intensiteten med vilken processen rör sig från tillstånd i till j. q i = i j q ij är uthoppsintensiteten för tillstånd i. q ii = q i är diagnoalelementen. Radsumman i Q är noll. I Markovkedjorna karaktäriserar vi processen med hjälp av P och p (0). Vad gäller för Markovprocesserna? Johan Westerborn Markovprocesser (5) Föreläsning 4
7 Förra Föreläsningen Bakåt och framåt ekvationerna I matrisform kan vi skriva intensitetsmatrisen som Q = lim h 0 + P(h) I h Vi kan då skriva upp följande ekvationer P (t) = P(t)Q = QP(t) p (t) = p(0)p(t)q = p(t)q Första ekvationerna kallas för Kolmogorovs framåt och bakåt ekvationer. De har lösningen P(t) = exp(qt) = (Qt) k k=0 Matrisen Q tillsammans med p(0) karakteriserar Markovprocessen. k! Johan Westerborn Markovprocesser (6) Föreläsning 4
8 Förra Föreläsningen Bakåt och framåt ekvationerna I matrisform kan vi skriva intensitetsmatrisen som Q = lim h 0 + P(h) I h Vi kan då skriva upp följande ekvationer P (t) = P(t)Q = QP(t) p (t) = p(0)p(t)q = p(t)q Första ekvationerna kallas för Kolmogorovs framåt och bakåt ekvationer. De har lösningen P(t) = exp(qt) = (Qt) k k=0 Matrisen Q tillsammans med p(0) karakteriserar Markovprocessen. k! Johan Westerborn Markovprocesser (6) Föreläsning 4
9 Förra Föreläsningen Bakåt och framåt ekvationerna I matrisform kan vi skriva intensitetsmatrisen som Q = lim h 0 + P(h) I h Vi kan då skriva upp följande ekvationer P (t) = P(t)Q = QP(t) p (t) = p(0)p(t)q = p(t)q Första ekvationerna kallas för Kolmogorovs framåt och bakåt ekvationer. De har lösningen P(t) = exp(qt) = (Qt) k k=0 Matrisen Q tillsammans med p(0) karakteriserar Markovprocessen. k! Johan Westerborn Markovprocesser (6) Föreläsning 4
10 Förra Föreläsningen Bakåt och framåt ekvationerna I matrisform kan vi skriva intensitetsmatrisen som Q = lim h 0 + P(h) I h Vi kan då skriva upp följande ekvationer P (t) = P(t)Q = QP(t) p (t) = p(0)p(t)q = p(t)q Första ekvationerna kallas för Kolmogorovs framåt och bakåt ekvationer. De har lösningen P(t) = exp(qt) = (Qt) k k=0 Matrisen Q tillsammans med p(0) karakteriserar Markovprocessen. k! Johan Westerborn Markovprocesser (6) Föreläsning 4
11 Föreläsningsplan Innbäddade Markovkedjan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade Markovkedjan 3 Absorption 4 Stationär fördelning 5 Poissonprocessen Johan Westerborn Markovprocesser (7) Föreläsning 4
12 Uthoppsmatrisen Innbäddade Markovkedjan Låt t 0, t 1,... vara tidpunkterna då Markovprocessen {X(t); t 0} med intensitetsmatris Q hoppar. Vi låter { X n ; n = 0, 1,...} vara en process där X n = X(t n ). Då är X n en Markovkedja med övergångsmatris P = ( p ij ). Där övergångssannolikheterna är proportionella mot intensiteterna, p ij = q ij q i. Bra övning att visa följande: Låt T 1 Exp(λ 1 ) och T 2 Exp(λ 2 ) då är P(T 1 < T 2 ) = λ 1 λ 1 + λ 2 Johan Westerborn Markovprocesser (8) Föreläsning 4
13 Uthoppsmatrisen Innbäddade Markovkedjan Låt t 0, t 1,... vara tidpunkterna då Markovprocessen {X(t); t 0} med intensitetsmatris Q hoppar. Vi låter { X n ; n = 0, 1,...} vara en process där X n = X(t n ). Då är X n en Markovkedja med övergångsmatris P = ( p ij ). Där övergångssannolikheterna är proportionella mot intensiteterna, p ij = q ij q i. Bra övning att visa följande: Låt T 1 Exp(λ 1 ) och T 2 Exp(λ 2 ) då är P(T 1 < T 2 ) = λ 1 λ 1 + λ 2 Johan Westerborn Markovprocesser (8) Föreläsning 4
14 Uthoppsmatrisen Innbäddade Markovkedjan Låt t 0, t 1,... vara tidpunkterna då Markovprocessen {X(t); t 0} med intensitetsmatris Q hoppar. Vi låter { X n ; n = 0, 1,...} vara en process där X n = X(t n ). Då är X n en Markovkedja med övergångsmatris P = ( p ij ). Där övergångssannolikheterna är proportionella mot intensiteterna, p ij = q ij q i. Bra övning att visa följande: Låt T 1 Exp(λ 1 ) och T 2 Exp(λ 2 ) då är P(T 1 < T 2 ) = λ 1 λ 1 + λ 2 Johan Westerborn Markovprocesser (8) Föreläsning 4
15 Tillförlitlighet forts. Exempel (Tillförlitlighet) Innbäddade Markovkedjan En maskin består av två komponenter, A och B som är parallellkopplade. De går sönder oberoende av varandra med intenistet λ. När en komponent är trasig lagas den med intensitet µ. Man har tillgång till två reperatörer så alla komponenter kan repareras parallellt. Man är intresserad av att veta om systemet fungerar eller ej. Bestäm P. A B Johan Westerborn Markovprocesser (9) Föreläsning 4
16 Innbäddade Markovkedjan Att simulera en Markovprocess Med den inbäddade Markovkedjan är det enkelt att simulera en Markovprocess på följande sätt: Låt X(0) = X(0) i med sannolikhet p i (0); Låt T 0 0; for n = 1, 2,... do Låt Y n Exp(q Xn 1 ); end Låt T n T n 1 + Y n ; Låt X n = X(T n ) j med sannolikhet q Xn 1,j /q Xn 1 ; Där X(t) är Markovprocessen, X n är den innbäddade Markovkedjan och T n är tiden för hopp n. Johan Westerborn Markovprocesser (10) Föreläsning 4
17 Absorption Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade Markovkedjan 3 Absorption 4 Stationär fördelning 5 Poissonprocessen Johan Westerborn Markovprocesser (11) Föreläsning 4
18 Absorption Absorption i Markovprocesser Ett absorberande tillstånd är ett tillstånd från vilket man ej kan gå till ett annat tillstånd. Det betyder att q ij = 0 för alla j i, vilket också betyder att q i = q ii = 0 för ett absorberande tillstånd i (rad av nollor i Q). Begreppet genomgångstillstånd och A-kedja defineras som hos Markovkedjorna. Vi inför, analogt med Markovkedjorna, a ij = P(absorberas i tillstånd j X(0) = i), och T i som tid till absorption givet start i tillstånd i och t i = E[T i ]. Vi kan beräkna dessa på samma sätt som i Markokedjorna om vi inser att förväntad tid i tillstånd i är 1 q i och använder den innbäddade Markovkedjan. Johan Westerborn Markovprocesser (12) Föreläsning 4
19 Absorption Absorption i Markovprocesser Sats (6.5) Låt a ij vara absorptionssannolikheterna och t i vara förväntad tid till absorption i en A-kedja med intensitetsmatris Q. Då gäller för alla absorberande tillstånd j a ij = q ij q i + t i = 1 q i + k G\{i} k G\{i} där G är alla genomgångstillstånd. q ik q i a kj, q ik q i t k, i G i G Bevisas på samma sätt som för Markovkedjor. Johan Westerborn Markovprocesser (13) Föreläsning 4
20 Tillförlitlighet forts. Exempel (Tillförlitlighet) Absorption En maskin består av två komponenter, A och B som är parallellkopplade. De går sönder oberoende av varandra med intenistet λ. När en komponent är trasig lagas den med intensitet µ. Man har tillgång till två reperatörer så alla komponenter kan repareras parallellt. Man är intresserad av att veta om systemet fungerar eller ej. Antag att systemet börjar med två fungerande komponenter, hur lång tid förväntar vi oss att det tar innan systemet slutar fungera? A B Johan Westerborn Markovprocesser (14) Föreläsning 4
21 Stationär fördelning Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade Markovkedjan 3 Absorption 4 Stationär fördelning 5 Poissonprocessen Johan Westerborn Markovprocesser (15) Föreläsning 4
22 Stationär fördelning Stationär fördelning En Markovprocess kan precis som en Markovkedja ha en stationär fördelning. Låt π vara en stationär fördelning, då måste Derivera uttrycket och vi får π = πp(t), t 0 0 = πq Löst uttryckt, detta betyder att i en stationär fördelning är nettoförändringen noll. Frågor som kvarstår är: Kommer vi hamna i en stationära fördelningen? Är den stationära fördelningen entydig? Johan Westerborn Markovprocesser (16) Föreläsning 4
23 Stationär fördelning Stationär fördelning En Markovprocess kan precis som en Markovkedja ha en stationär fördelning. Låt π vara en stationär fördelning, då måste Derivera uttrycket och vi får π = πp(t), t 0 0 = πq Löst uttryckt, detta betyder att i en stationär fördelning är nettoförändringen noll. Frågor som kvarstår är: Kommer vi hamna i en stationära fördelningen? Är den stationära fördelningen entydig? Johan Westerborn Markovprocesser (16) Föreläsning 4
24 Stationär fördelning Global balans Sats (6.6) π är en stationär fördelning till en reguljär Markovprocess med tillståndsrum E om och endast om πq = 0. Denna ekvation kan skrivas som π i q ij = 0, j E i E π i = 1, i E π i 0, i E. Första ekvationen kallas för global balans. Johan Westerborn Markovprocesser (17) Föreläsning 4
25 Stationär fördelning Lokal balans Definition (Lokal balans) En sannolikhetsfördelning π uppfyller lokal balans om π i q ij = π j q ji, i, j E π i q ij kan benämnas med flödet från i till j. Vid lokal balans är flödet från i till j lika med flödet från j till i. Om π uppfyller lokal balans uppfyller den också global balans π är en stationär fördelning. Alla stationära fördelningar uppfyller inte lokal balans. Johan Westerborn Markovprocesser (18) Föreläsning 4
26 Stationär fördelning Ergodicitet Sats (6.8) En ändlig, irreducibel Markovprocess {X(t); t 0} är ergodisk och gränsfördelningen är den entydiga stationära fördelningen π. Kvoten π i = 1/q i E[T i ] där T i är återkomsttiden för tillstånd i. Förväntad tid i tillstånd j mellan två besök i tillstånd i är π j /(q i π i ). Johan Westerborn Markovprocesser (19) Föreläsning 4
27 Tillförlitlighet forts. Exempel (Tillförlitlighet) Stationär fördelning En maskin består av två komponenter, A och B som är parallellkopplade. De går sönder oberoende av varandra med intenistet λ = 1 2. När en komponent är trasig lagas den med intensitet µ = 2. Man har tillgång till två reperatörer så alla komponenter kan repareras parallellt. Man är intresserad av att veta om systemet fungerar eller ej. Antag att maskinen producerar 4 enheter per tidsenhet när allt fungerar och 3 enheter per tidsenhet när bara ena fungerar. Vad är den förväntade produktionen när man kollar långt in i framtiden? Om manskinen är trasig, hur många enheter förväntas tillverkas innan maskinen är trasig igen? Johan Westerborn Markovprocesser (20) Föreläsning 4
28 Poissonprocessen Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Innbäddade Markovkedjan 3 Absorption 4 Stationär fördelning 5 Poissonprocessen Johan Westerborn Markovprocesser (21) Föreläsning 4
29 Poissonprocessen Poissonprocessen En speciell Markovprocess som används flitigt inom många olika områden är Poissonprocessen. Används ofta när man vill räkna händelser: Ankomster till en affär. Radioaktivt sönderfall. Olyckor. Definition (6.5) Poissonprocessen {N(t), t 0} är en Markovprocess med uppräkneligt tillståndsrum, N(0) = 0 med följande övergångsintensiteter λ j = i + 1 q ij = λ j = i 0 annars. Johan Westerborn Markovprocesser (22) Föreläsning 4
30 Poissonprocessen Poissonprocessen Sats (6.3) Följande definitioner är ekvivalenta. a) {N(t), t 0} är en Poissonprocess. b) {N(t), t 0} är en Markovprocess med N(0) = 0 och övergångssannolikheter p ij (t) = (λt)j i (j i)! e λt, om j i c) {N(t), t 0} är en stokastisk process sådan att 1) För alla 0 s 1 < t 1... s n < t n är N(t 1 ) N(s 1 ), N(t 2 ) N(s 2 ),..., N(t n ) N(s n ) oberoende stokastiska variabler. 2) N(t) N(s) är Po (λ(t s)) fördelad. 3) N(0) = 0. Johan Westerborn Markovprocesser (23) Föreläsning 4
Markovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 13 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 3 Markovprocesser 16 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 3 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Markovprocesser
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 24 April 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 5 Markovprocesser 2 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 5 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Poissonprocessen
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 2 Markovprocesser 4 April 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 2 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Absorption
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 2 Markovprocesser 30 Mars 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 2 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Absorption
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 6 Markovprocesser 9 Maj 2016 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 6 Föreläsningsplan 1 Förra Föreläsningen 2 Johan Westerborn
Läs merb) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 9 JUNI 05 KL 4.00 9.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 1 Markovprocesser 25 Mars 2015 Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 1 Föreläsningsplan 1 Kursinformation 2 Stokastiska processer
Läs merMarkovprocesser SF1904
Markovprocesser SF1904 Johan Westerborn johawes@kth.se Föreläsning 1 Markovprocesser Johan Westerborn Markovprocesser (1) Föreläsning 1 Föreläsningsplan 1 Kursinformation 2 Stokastiska processer 3 Betingade
Läs merTAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor
TAMS79: Föreläsning 0 Markovkedjor Johan Thim december 08 0. Markovkedjor Vi ska nu betrakta en speciell tidsdiskret diskret stokastisk process, nämligen Markovkedjan. Vi börjar med en definition Definition.
Läs mer** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 19 AUGUSTI 2016 KL 08.00 13.00. Examinator: Jimmy Olsson tel. 790 72 01. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 9 Johan Lindström 16 oktober 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F9 1/26 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03
Läs merFöreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori. Jan Grandell
Föreläsningsanteckningar i kurs 5B1506 Markovprocesser och köteori Jan Grandell 2 Förord Dessa anteckningar gjordes för mitt privata bruk av föreläsningsmanuskript och har aldrig varit tänkta att användas
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 8 AUGUSTI 207 KL 08.00 3.00. Examinator: Boualem Djehiche tel. 790 78 75 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 208 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Kursansvarig: Björn-Olof Skytt tel. 790 86 49 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, grundkurs Varterminen 2005 . Kombinatorik ( ) n = k n! k!(n k)!. Tolkning: ( n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler
Läs merP =
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF297 (f d 5B157) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI LÖRDAGEN DEN 2 OKTOBER 21 KL 1. 18.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 79716, e-postadress: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel:
Läs merStokastiska processer
Stokastiska processer Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Avdelningen för produktionsekonomi Lunds tekniska högskola, Lunds universitet Dessa förläsningsanteckningar kommer att behandla diskreta
Läs merTentamen i FMS180/MASC03 Markovprocesser
Matematisk statistik Matematikcentrum Lunds Universitet Tentamen i FMS80/MASC03 Markovprocesser 009-05-5 Lösningsförslag. Följande är en möjlighet. 6 5 3 4 Här är tillstånden, och 3 transienta, tillstånd
Läs merTENTAMEN I SF2937 (f d 5B1537) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI TORSDAGEN DEN 14 JANUARI 2010 KL
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF2937 (f d 5B1537) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI TORSDAGEN DEN 14 JANUARI 2010 KL 08.00 13.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7907416, e-postadress: gunnare@math.kth.se
Läs merP = b) Vad betyder elementet på platsen rad 1 kolumn 3 i matrisen P 319? (2 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER ONSDAGEN DEN 1 JUNI 2016 KL 08.00 13.00. ENGLISH VERSION FOLLOWS AFTER THE SWEDISH TEXT Examinator: Jimmy Olsson tel. 790 72 01 Kursansvarig:
Läs merFö relä sning 2, Kö system 2015
Fö relä sning 2, Kö system 2015 Vi ska börja titta på enskilda kösystem som ser ut på följande sätt: Det kan finnas en eller fler betjänare och bufferten kan vara ändlig eller oändlig. Om bufferten är
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016
Läs merTiden i ett tillstånd
Föreläsning 3 I denna föreläsning ska vi behandla markovska kösystem som har ett begränsat antal buffertplatser och även ett begränsat antal kunder. För att kunna göra detta behöver man några resultat
Läs merP(X nk 1 = j k 1,..., X n0 = j 0 ) = j 1, X n0 = j 0 ) P(X n0 = j 0 ) = etc... P(X n0 = j 0 ) ... P(X n 1
Kaitel 1 Mer Markovkedjor Med att secificera en Markovkedja menar vi att man bestämmer övergångsmatrisen P. Detta säger ju allt om dynamiken för rocessen. Om vi dessutom vet hur kedjan startar, dvs startfördelningen
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 maj
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd. Matematisk statistik 24 maj 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 maj 2016 9 14
Läs merMarkovkedjor. Patrik Zetterberg. 8 januari 2013
Markovkedjor Patrik Zetterberg 8 januari 2013 1 / 15 Markovkedjor En markovkedja är en stokastisk process där både processen och tiden antas diskreta. Variabeln som undersöks kan både vara numerisk (diskreta)
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 15 / TEN 1
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 5 / TEN januari 08, klockan 4.00-8.00 Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 0709-6087) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merTAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010
TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 1 1 Stokastiska processer Definition 1.1 En stokastisk process är en familj {X(t);t T } (kan även skrivas {X
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merINTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH
Läs detta först: INTRODUKTION TILL MARKOVKEDJOR av Göran Rundqvist, KTH Det här kompendiet är avsett som en introduktion till kompendiet av Enger och Grandell. Det är absolut inget fel på det officiella
Läs merExempel. Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V) mulet (M) regn (R)
Exempel Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V mulet (M regn (R Exempel Vackert idag vackert imorgon sannolikheten 0.6 Vackert idag mulet imorgon sannolikheten
Läs merKunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.
Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Kunna beräkna
Läs merGrafer och grannmatriser
Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på
Läs merPoisson Drivna Processer, Hagelbrus
Kapitel 6 Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Poissonprocessen (igen) Vi har använt Poissonprocessen en hel del som exempel. I den här föreläsningen kommer vi att titta närmare på den, och även andra processer
Läs mer3 Diskreta Markovkedjor, grundläggande egenskaper Grundläggande begrepp Fördelningen för X n Absorption...
Förord Detta kompendium behandlar grunderna för diskreta Markovprocesser i diskret och kontinuerlig tid. Ambitionen har varit att, åtminstone då tillståndsrummet är ändligt, ge en så matematisk fullständig
Läs mere x/1000 för x 0 0 annars
VK Matematiska institutionen avd matematisk statistik TENTAMEN I 5B506 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURRS FÖR D OCH F, 5B504 MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS FÖR ÄLDRE OCH 5B50 MARKOVPROCESSER ONSDAGEN DEN
Läs merFöreläsning 9, FMSF45 Markovkedjor
Föreläsning 9, FMSF45 Markovkedjor Stas Volkov 2017-10-10 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F9: Markovkedjor 1/1 Stokastisk process (rep) En stokastisk process {X(t), t T} är en följd av stokastiska
Läs merTENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS, TORSDAGEN DEN 7 JUNI 2012 KL 14.00 19.00 Examinator:Gunnar Englund, 073 3213745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merUtdrag ur TAMS15: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79
Utdrag ur TAMS5: Matematisk statistik I, grundkurs Extra kursmaterial för TAMS79 John M. Noble, Institute of Applied Mathematics, University of Warsaw, ul. Banacha, -97 Warszawa Revised: J. Thim ii Innehåll
Läs mer1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen
1 Stokastiska processer En stokastisk process är en stokastisk variabel X(t), som beror på en parameter t, kallad tiden. Tiden kan vara kontinuerlig, eller diskret (i vilket fall man brukar beteckna processen
Läs merUppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund tel. 073 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 8 Johan Lindström 9 oktober 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F8 1/26 process Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. I denna övning kallas ett kösystem som ingår i ett könät oftast nod.
Övning 7 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.
Läs merÖvningstentamen i matematisk statistik
Övningstentamen i matematisk statistik Uppgift : Från ett register över manliga patienter med diabetes fick man följande statistik i procent: Lindrigt fall Allvarligt fall Patientens Någon förälder med
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, 0 Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng för betyg, minst 0 poäng för 4 och minst 40 för 5. Examinator: Ulla Blomqvist,
Läs merFöreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merKunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare.
Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna P (spärr) för system med begränsat antal kunder och köplatser. Kunna beräkna λ eff. Kunna beräkna medelantal upptagna betjänare. Problem. Antag
Läs merKonvergens och Kontinuitet
Kapitel 7 Konvergens och Kontinuitet Gränsvärdesbegreppet är väldigt centralt inom matematik. Som du förhoppningsvis kommer ihåg från matematisk analys så definieras tex derivatan av en funktion f : R
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik, data/elektro
Tentamen LMA 00 Matematisk statistik, data/elektro 039 Tentamen består av åtta uppgiter motsvarande totalt 50 poäng. Det krävs minst 0 poäng ör betyg 3, minst 30 poäng ör 4 och minst 40 ör 5. Examinator:
Läs merTentamen i matematisk statistik, TAMS15/TEN (4h)
LINKÖPINGS UNIVERSITET Kurskod: TAMS1 Matematiska institutionen Provkod: TEN1 Johan Thim Datum: 2018-12-42 Institution: MAI Tentamen i matematisk statistik, TAMS1/TEN1 2018-12-42 (4h Hjälpmedel är: miniräknare
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merMarkovkedjor i kontinuerlig tid med tillämpning för motorproteiner. Jonathan Fagerström, Avhandling Pro Gradu
Markovkedjor i kontinuerlig tid med tillämpning för motorproteiner Jonathan Fagerström, 35708 Avhandling Pro Gradu Fakultetsområdet för naturvetenskaper och teknik Matematik Åbo Akademi 2017 1 Sammanfattning
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Anna Lindgren 4+5 oktober 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 1/18 N(μ, σ)
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merBayesianska numeriska metoder II
Bayesianska numeriska metoder II T. Olofsson Gibb's sampling Vi har sett att en viktig teknik vid Bayesiansk inferens är s.k marginalisering vilket, för kontinuerliga variabler, innebär att vi integrerar
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merKunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar.
Övning 8 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna medelantal kunder för alla köer i ett könät utan återkopplingar. Kunna beräkna medeltiden som en kund tillbringar i ett könät utan återkopplingar.
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merFöresläsningsanteckningar Sanno II
Föresläsningsanteckningar 1 Gammafunktionen I flera av våra vanliga sannolikhetsfördelningar ingår den s.k. gamma-funktionen. Γ(p) = 0 x p 1 e x dx vilken är definierad för alla reella p > 0. Vi ska här
Läs meratt genomföra laborationen) kan du sedan spara filen med ev. ändringar på ditt eget konto med Save As, såsom anges i introduktionslaborationen.
LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3: SIMULERING AV MARKOVPROCESSER MED TILLFÖRLITLIGHETSTILLÄMPNING MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01 1 Förberedelser Denna laboration
Läs merOm Markov Chain Monte Carlo
Om Markov Chain Monte Carlo Gunnar Englund Matematisk statistik KTH Ht 2001 1 Inledning Markov Chain Monte Carlo MCMC är en modern teknik att simulera komplicerade fördelningar som har fått stora tillämpningar
Läs merUppgift 3: Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen 0 10 f(x) =
Tentamen i Matematisk statistik för DAI och EI den 3 mars. Tid: kl 4. - 8. Hjälpmedel: Chalmersgodkänd ( typgodkänd ) räknedosa, Tabell- och formelsamling, Håkan Blomqvist, Matematisk statistik, Ulla Dahlbom,
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merKunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning av en betjänare och beräkna den.
Övning 4 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den medelantal upptagna betjänare i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till begreppet utnyttjning
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 5 FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 8 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av de viktiga begreppen diskret/kontinuerlig
Läs merStokastiska Processer
Kapitel 3 Stokastiska Processer Karakteristisk funktion: Den karakteristiska funktionen φ ξ : R n C för en R n -värd s.v. definieras för t R n. φ ξ (t) = E{e iπ(t ξ +...+t nξ n) } = E{e iπtt ξ } Den karakteristiska
Läs mer1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.
Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Ufallsrummet har hittills varit dsikret, den stokastisk variabeln har endast kunnat anta ett antal värden. Ex.vis Poissonfördeln. är antal observationer inom ett tidsintervall
Läs merFÖRELÄSNING 4:
FÖRELÄSNING 4: 26-4-9 LÄRANDEMÅL Poissonfördelning Kontinuerliga slumpvariabler Kontinuerlig uniform fördelning Exponentialfördelning Samla in data Sammanställ data Gissa modell för datan Testa modellen
Läs merKunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram.
Övning 3 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna dra slutsatser om ett systems betjäningstider och antalet köplatser genom att tolka diagram Kunna beräkna medeltid i systemet och spärrsannolikhet när
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F9: Intensiteter 3 september 213 Egenskaper Återstående livslängd Storm Poissonprocess (igen) Händelsen A inträffar enligt en Poissonprocess med intensitet l. N A (t) = antal gånger A inträffar i (, t)
Läs merFinansiell statistik FÖRELÄSNING 11
Finansiell statistik FÖRELÄSNING 11 Slumpvandring Brownsk rörelse 4 maj 2011 14:52 Pär och Pål Pär och Pål spelar ett hasardspel mot varandra upprepade gånger. Pär vinner = Pål betalar en krona. Pål vinner
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl
Lösningsförslag till tentamen i SF86 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2 kl. 4. 9. Examinator: Per Enqvist, tel. 79 62 98. (a) Inför variablerna x = (x sr, x sm, x sp, x sa, x sd, x gr, x gm, x gp,
Läs merDEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.
Matematiska Institutionen KTH TENTAMEN i Linjär algebra, SF604, den 5 december, 2009. Kursexaminator: Sandra Di Rocco Svaret skall motiveras och lösningen skrivas ordentligt och klart. Inga hjälpmedel
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 16: Markovkedjor
Repetition Processer Markovkedjor Tillstånd Ex Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 16: Markovkedjor Joakim Lübeck + Anna Lindgren 5+6 december, 2016 Anna Lindgren - anna@maths.lth.se FMS012/MASB03
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs merKunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem.
Övning 5 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna beräkna spärren i ett M/M/m*upptagetsystem. Kunna beräkna den avverkade och erbjudna trafiken i ett M/M/m*upptagetsystem. Känna till enheten Erlang för
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merFöreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integraler och statistik Krzysztof Marciniak ITN, Campus Norrköping, krzma@itn.liu.se www.itn.liu.se/ krzma ver. - 9--6 Inledning - lite om statistik Statistik är en gren av tillämpad
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik Π + E
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 9 december 214 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS12 F8 1/23 Repetition Binomial Poisson
Läs merProblemsamling i Sannolikhetsteori
Problemsamling i Sannolikhetsteori till An Intermediate Course in Probability av Allan Gut Sammanställd av Harald Lang 22/5-05 Kapitel 0 (Introduction) Man har ett seriesystem med två enheter som går sönder
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017
SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merLösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik
Sida 1 Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik 3.7, 3.11 Ympning används för att få en planta att växa på ett rotsystem tillhörande en annan växt. Elementarsannolikheterna
Läs merStokastiska vektorer
TNG006 F2 9-05-206 Stokastiska vektorer 2 Kovarians och korrelation Definition 2 Antag att de sv X och Y har väntevärde och standardavvikelse µ X och σ X resp µ Y och σ Y Då kallas för kovariansen mellan
Läs merFöreläsning 5, Matematisk statistik Π + E
Repetition Summor max/min Väntevärde Varians Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 25 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F5 1/16 Repetition Summor max/min
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merTentamen LMA 200 Matematisk statistik,
Tentamen LMA Matematisk statistik, Tentamen består av åtta uppgifter motsvarande totalt poäng. Det krävs minst poäng för betyg, minst poäng för 4 och minst 4 poäng för. Examinator: Ulla Blomqvist, ankn
Läs mer