P = b) Vad betyder elementet på platsen rad 1 kolumn 3 i matrisen P 319? (2 p)

Transkript

1 Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER ONSDAGEN DEN 1 JUNI 2016 KL ENGLISH VERSION FOLLOWS AFTER THE SWEDISH TEXT Examinator: Jimmy Olsson tel Kursansvarig: Johan Westerborn tel Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 5 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 20 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 Vi har en tidshomogen Markovkedja {X n, n 0} med tillståndsrum E = {1, 2, 3, 4, 5} och övergångsmatris, P = för denna uppgift räcker det med att skriva ner svaret. a) Fyll i de tomma rutorna i matrisen. (1 p) b) Vad betyder elementet på platsen rad 1 kolumn 3 i matrisen P 319? (2 p) c) Beräkna P(X 1 = 3, X 2 = 5, X 3 = 5 X 0 = 1). (1 p) d) Dela in tillstånden i slutna irreducibla delmängder och genomgångstillstånd. (2 p) e) Beräkna varje tillstånds period. (2 p) f) Existerar en unik stationär fördelning? Om ja, skriv ner den, om nej, skriv ner en stationär fördelning. Både svar och fördelning behövs som svar. (2 p)

2 forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) Uppgift 2 En doktorand pendlar varje dag mellan de tre tillstånden E = {motiverad, pigg, trött} varje dag enligt en Markovkedja med övergångsmatris P = a) En dag är doktoranden motiverad, hur många dagar förväntas det ta innan doktoranden är trött. (5 p) b) Doktoranden definerar sin produktivitet enligt funktionen 4 om k = motiverad, f(k) = 3 om k = pigg, 1 om k = trött. En måndag är doktoranden pigg, beräkna summan doktorandens föväntade produktivitet under måndagen, tisdagen och onsdagen. (5 p) Uppgift 3 En Markovprocess {X(t), t 0} med tillståndsrum E = {1, 2, 3} har följande intensitetsmatris Q = a) Existerar en asymptotisk fördelning? Om ja skriv ner den, om nej skriv ner en stationär fördelning. Glöm inte att motivera ditt svar! (3 p) b) Hur många hopp förväntas kedjan göra mellan två besök i tillstånd 3? (7 p) Uppgift 4 I ett företag används en dataterminal. Kunder anländer enligt en Poisson-process med intensitet 1 kund/timme. Ärendena för kunderna tar exponentialfördelade tider med väntevärde 30 minuter. Kunder som ej direkt får tillgång till terminalen ställer sig i kö. Terminalen används ju i genomsnitt bara hälften av tiden vilket för företagsledningen verkar tillfredsställande. Kunderna klagar dock över att de får vänta orimligt länge. a) Beräkna förväntad kötid. (4 p) b) Man beslutar sätta dit ytterligare en terminal och ha en gemensam kö till de två terminalerna. Hur stor blir nu förväntad kötid? (6 p)

3 forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) Uppgift 5 En maskin består av tre komponenter, A, B, och C. Där A och B är parallellkopplade och C är seriekopplad med A och B, se schemat i bilden nedanför. Komponenterna går sönder oberoende av varandra (och oberoende av om maskinen fungerar eller ej) med intensiteterna λ A, λ B och λ C. Där λ A = λ B = 4 och λ C = 2. När en komponent går sönder repareras den med intensitet µ = 5 oberoende av vilken komponent det är. Man har tillgång till 3 reperatörer så alla tre kan repareras samtidigt. A C B Ställ upp systemet och beräkna sannolikheten att systemet fungerar efter lång tid. Beräkna också sannolikheten att komponent C är trasig efter lång tid. (10 p)

4 forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) Avd. Matematisk statistik EXAM IN SF1904 MARKOVPROCESSER WEDNESDAY 1st JUNE 2016 KL Examinator: Jimmy Olsson tel Kursansvarig: Johan Westerborn tel Means of assistance permitted: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), calculator. You should define and explain your notation. Your computations and your line of reasoning should be written down so that they are easy to follow. Numerical values should be given with the precision of two decimal points. You may apply results stated in a part of an exam question to another part of the exam question even if you have not solved the first part. The number of exam questions (Uppgift) is five (5). Every correct solution gives 10 points, to pass the exam, grade E, 20 points are needed. The grade Fx (the exam can completed by extra examination) for those with points. Uppgift 1 We have a time homogeneous Markov chain {X n, n 0} with state space E = {1, 2, 3, 4, 5} and transition matrix, P = , for this exercise we only require the answer. a) Fill in the blank spaces in the matrix. (1 p) b) What does the element in row 1 column 3 in the matrix P 319 represent? (2 p) c) Calculate P(X 1 = 3, X 2 = 5, X 3 = 5 X 0 = 1) (1 p) d) Split the states into communicating classes. (2 p) e) Calculate the periodicity of each state. (2 p) f) Does a unique invariant distribution exist? If yes write it down, if no write down one invariant distribution. Both answer and distribution are needed for this part. (2 p)

5 forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) Uppgift 2 A PhD student can shift between three states E = {motivatied, happy, tired} each day according to a Markov chain with transition matrix P = a) One day the PhD student is motivated, how many days does it take on average before the PhD student is tired. (5 p) b) The PhD student defines his productivity according to the function 4 if k = motivated, f(k) = 3 if k = happy, 1 if k = tired. One Monday the PhD student is happy, calculate the expect sum of the PhD student s productivity during the Monday, Tuesday and Wednesday of that week. (5 p) Uppgift 3 A Markov process (continuous-time Markov chain) {X(t), t 0} with state space E = {1, 2, 3} has the following intensity matrix Q = a) Does a unique limiting distribution exist? If yes write it down, if no write down one invariant distribution. Don t forget to motivate your answer! (3 p) b) How many jumps do we expect the chain to make between two visits in state 3? (7 p) Uppgift 4 In a company a computer terminal is used. Customers arrive to the terminal according to a Poisson-process with intensity 1 customer/hour. The service-times are exponentially distributed with expected value 30 minutes. Customers that cannot get access to the terminal at once form a line. The terminal is only used roughly half the time which seems reasonable for the management. The customers do complain about having to wait unreasonably long times. a) Calculate the expected waiting time. (4 p) b) The company installs another terminal and uses a common line for both terminals. How long is the expected waiting time now? (6 p)

6 forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) Uppgift 5 A machine has three components, A, B, and C. Where A and B are parallel and C is in series with both A and B, see the scheme below. The components all fail independently of each other (and independently of whether the machine is working or not) with intensities λ A, λ B and λ C, where λ A = λ B = 4 and λ C = 2. When a component is broken it is repaired with intensity µ = 5 for all components. 3 repairmen are available to work on the machine, only one person can work on each component but they can all work simultaneously on different components. A C B Write down the system and calculate the probability that after long time the system is working. Also calculate the probability that component C is broken after long time. (10 p)

7 Avd. Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 21 AUGUSTI 2015 KL Uppgift 1 a) Radsumman i matrisen ska vara 1 och de saknade elementen är då 0.1 i rad 1 och 1 i rad 2. b) Det är sannolikheten att gå från tillstånd 1 till tillstånd 3 i 319 steg. c) Sannolikheten blir p 13 p 35 p 55 = = d) Genomgångstillstånd: {1}, slutna irreducibla delmängder {2, 4} och {3, 5}. e) Tillstånd 1,3,5 har period 1 och tillstånd 2,4 har period 2. f) Ingen unik stationär fördelning existerar. En stationär fördelning är (0,.5, 0,.5, 0). Uppgift 2 a) Gör tillstånd trött absorberande. Och beräkna föräntad tid till absorption givet start i motiverad. Svaret blir 7.5 dagar. b) Vi vill beräkna E[f(X 0 ) + f(x 1 ) + f(x 2 ) X 0 = pigg] vilket blir E[f(X 0 ) + f(x 1 ) + f(x 2 ) X 0 = pigg] = =8.7. Uppgift 3 a) Kedjan är ändlig och irreducibel därför existerar en unik stationär fördelning. Vi hittar den genom att lösa πq = 0 samt 3 i=1 π i = 1. Det ger π = (3/50, 3/10, 32/50). b) Eftersom vi är intresserade av hopp måste vi nu studeraden inbäddade Markovkedjan. Övergångsmatrisen ges av 0 3/5 2/5 P = 1/7 0 6/7, Den unika stationära fördelningen för hoppasmatrisen ges av π = (5/72, 35/72, 32/72) och antal hopp ges av 1/ π 3 = 72/32.

8 forts tentamen i SF1904 (f d SF1831) Uppgift 4 a) Vi har ett M/M/1 system, förväntad kö-längd ges av formelsamlingen och är l q = ρ2 = 1 vilket 1 ρ 2 ger förväntad kö-tid w q = 1 timme. 2 b) Nu har vi ett M/M/2-system, förväntad kö-längd ges av l q = 2ρ3 = 1 vilket ger förväntad kö-tid 1 ρ 2 30 w q = 1 timme. 30 Uppgift 5 Vi inför tillstånden E = {0, 1, 2, 3, 4, 5} där 0: Alla fungerar 1: En av A o B trasig 2: Både A o B trasiga 3: C trasig 4: En av A o B trasig samt C trasig 5: Alla trasiga Detta ger intensitetsmatrisen Q = (1) Eftersom vi har en ändlig och irreducibel Markovprocess är den ergodisk och vi har en unik asymptotisk fördelning. Den ges av π (0.22, 0.35, 0.14, 0.09, 0.14, 0.06). Systemet fungerar i tillstånd 0 och 1 så sannolikheten att systemet fungerar är π 0 + π 1 = Komponent C är trasig i tillstånd 3,4 och 5 vilket ger sannolikheten att C är trasig π 3 + π 4 + π 5 = 0.29.