Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel."

Kurt Larsson
för 8 år sedan
Visningar:

1 Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Kunna beräkna medelvärde, andramoment och varians för stokastiska variabler med hjälp av transformerna. Kunna beräkna laplace- och z-transformen för summor av oberoende stokastiska variabler. En fråga som vi ofta får är hur man ska tolka transformerna. I signalbehandling kan man ju ibland ge en fysisk motsvarighet till en transform, t ex så ger ju fouriertransformen en signals spektrum. Någon sådan enkel tolkning finns inte för våra transformer. Se dem bara som matematiska hjälpmedel som gör det lättare att lösa problem! Problem, nivå A 1. Låt N vara en diskret stokastisk variabel för vilken P (N k) p k (1 p),k (a) Beräkna z-transformen för N. (b) Beräkna medelvärdet för N med hjälp av z-transformen. (c) Beräkna variansen för N med hjälp av z-transformen. 2. Låt X och Y vara två oberoende positiva och kontinuerliga stokastiska variabler med frekvensfunktionerna f X (t) e t,t f Y (t) δ(t 1/) (a) Beräkna medelvärdet för X med laplacetransformen. (b) Beräkna variansen för X med laplacetransformen. (c) Bestäm frekvensfunktionen för Z X + Y med laplacetransformer. 3. För en födelse-dödsprocess i kontinuerlig tid med tre tillstånd gäller att q 21 och q 23. Visa att tiden i tillstånd 2 är exponentialfördelad med medelvärdet 1 + 1

2 Problem, nivå B 4. Låt X vara en likformigt fördelad stokastisk variabel som kan anta värden mellan och 1. (a) Beräkna X:s laplacetransform. (b) Använd laplacetransformen för att beräkna medelvärdet för X. (c) Beräkna medelvärdet utan att använda laplacetransformen. 5. Vi singlar slant n gånger. Varje gång vi får klave drar vi ett exponentialfördelat tal med medelvärdet 1/. Efter de n slantsinglingarna summerar vi alla de dragna talen. Låt oss kalla summan X. (a) Beräkna laplacetransformen för X. (b) Beräkna medelvärdet för X. Problem, nivå C 6. Antag att intensiteterna som står på utpilarna från ett tillstånd i en markovkedja är numrerade 1...n och att intensiteten på utpil nummer i är i. Visa att sannolikheten att man lämnar tillståndet via pil i är i j j 7. Z-transformen för antalet kunder som kommer till ett kösystem under en dag är 1 p 1 pz Varje kund medför ett arbete som varar en exponentialfördelad tid med medelvärde 1/. (a) Hur mycket arbete kommer det i medeltal på en dag? (b) Vad är laplacetransformen för allt arbete som kommer under en dag? Lösningar till övning 2 1. Detta är nästan samma problem som i tal 1 i Övning 1. Som ni kommer att se så blir det mycket lättare att lösa när man använder z-transformen i stället för att använda definitionerna. (a) Vi beräknar N:s z-transform: P (z) z k P (N k) z k (1 p)p k k k (1 p) (pz) k 1 p k 1 pz 2

3 (b) Vi deriverar en gång: d 1 p ( p)(1 p) dz 1 pz p(1 p) (1 pz) 2 (1 pz) 2 p(1 p) (1 p) p 2 1 p då z 1 Således är medelvärdet p 1 p (c) Ytterligare en derivering ger d 2 1 p dz 2 1 pz 2p2 (1 p) (1 pz) 2p2 3 (1 p) då z 1 2 Detta innebär att E(N 2 ) E(N) E(N 2 ) Slutligen får vi 2p2 (1 p) 2 2p2 (1 p) + p 2 1 p p + p2 (1 p) 2 V (N) E(N 2 ) E 2 (N) p + p2 (1 p) 2 p 2 (1 p) 2 p (1 p) 2 2. Vi börjar med att beräkna laplacetransformerna för X och Y. Definitionen ger FX (s) e st f X (t)dt F Y (s) e st f Y (t)dt e st e t dt + s e st δ(t 1/)dt e s/ I formelsamlingen finns en tabell över de viktigaste laplacetransformerna. Använd gärna den när du löser problem. (a) En derivering ger d ds F X(s) ( + s) 1 2 då s Således blir E(X) 1 (b) Vi deriverar ytterligare en gång d 2 ds 2 F X (s) Det innebär att 2 ( + s) då s E(X 2 ) 2 2 V (X) E(X2 ) E 2 (X)

4 (c) Eftersom X och Y är oberoende så får vi Z:s laplacetransform som produkten av X:s och Y :s laplacetransformer. Det ger FZ(s) e s/ + s En titt i formelsamlingen visar att f(t a) L e as F (s) Detta ger att f Z (t) e (t 1/) 3. Tiden i ett tillstånd kan inte bero på vad som händer när man väl har lämnat tillståndet. Låt oss därför antaga att utintensiteterna från tillstånd 1 och 3 är det vill säga de är absorberande tillstånd. Om vi startar denna process i tillstånd 2, så måste fördelningen för tiden i tillstånd 2 vara samma som i den ursprungliga födelse-dödsprocessen. Den nya processen har följande Q-matris Q vilket ger p (t) p(t) Q p 2 (t) ( + )p 2(t) p 2 (t) Ce (+)t Eftersom processen startar i tillstånd 2 så måste det gälla att p 2 () 1 C 1 Om X är tiden i tillstånd 2 så gäller alltså F X (t) P (X t) 1 P (X >t)1 p 2 (t) 1 e (+)t Detta innebär att X är exponentialfördelad med medelvärde 1/( + ). 4. (a) Frekvensfunktionen för en likformigt fördelad variabel som kan anta värden mellan och 1 är { 1 om t 1 f X (t) annars Om vi definierar { 1 om t Θ(t) annars så kan vi skriva f X (t) Θ(t) Θ(t 1) 4

5 En titt i tabellen över laplacetransformer avslöjar att Ae at Θ(t) L A a + s Sätter vi a och A 1så ger det att Θ(t) L 1 s Dessutom gäller att f(t a) L e as F (s) vilket slutligen ger f X (t) L F X(s) 1 s (1 e s ) (b) Vi deriverar Laplacetransformen en gång för att beräkna medelvärdet d ds F X (s) 1 s e s 1 s (1 2 e s ) se s 1+e s s 2 s2 s(1 s O(s3 )) 1+1 s + s2 + 2 O(s3 ) s 2 Således är s2 2 + O(s3 ) s O(s) 1 2 då s E(X) 1 2 (c) Vi använder definitionen av medelvärde 1 E(X) tf X (t)dt tdt 1 2 Här är det faktiskt mycket enklare att inte använda laplacetransformen. 5. (a) Antag att A antalet gånger vi får klave när vi singlar slant. A kommer då att vara binomialfördelad med frekvensfunktionen ( ) n P (A i) p i (1 p) n i, i n i Antag nu att det blir i klavar när vi singlar slant. Då kommer X att vara summan av i oberoende stokastiska variabler var och en med laplacetransformen + s Det innebär att ( ) i FX(s A i) + s 5

6 Vi tar bort betinget n FX (s) FX (s A i)p (A i) (1) i ( n ) i ( ) n p i (1 p) n i (2) i + s i ( ) n p + s +1 p (3) (b) Vi beräknar medelvärdet genom att derivera och låta s d ds F X(s) p ( ) n 1 p ( + s) n 2 + s +1 p np då s Således blir E(X) np 6. Låt oss för enkelhetens skull titta på ett tillstånd som har två utpilar och härleda resultatet för detta specialfall. Vi plockar ut tillståndet ur den ursprungliga markovkedjan och gör en ny markovkedja som består av tre tillstånd: tillstånd (som är det ursprungliga), tillstånd 1 och tillstånd 2. Det går en pil från tillstånd till tillstånd 1 på vilken det står 1 och en från tillstånd till tillstånd 2 på vilken det står 2. Antag vidare att tillstånd 1 och 2 är absorberande, dvs man lämnar aldrig tillståndet när man har hamnat i det och att markovkedjan startar i tillstånd. Sannolikheten att man absorberas i tillstånd i i denna nya markovkedja är detsamma som sannolikheten att man lämnar tillstånd via pil i. Dessutom inser man att sannolikheten att man lämnar tillstånd via pil i i den nya markovkedjan är lika med sannolikheten att man lämnar tillstånd via pil i i den ursprungliga markovkedjan. Q-matrisen för den nya markovkedjan är Q vilket leder till ekvationssystemet p (t) ( )p (t) p (t) p(t)q p 1 (t) 1p (t) p 2 (t) 2p (t) med begynnelsevillkor p () 1, p 1 () och p 2 eftersom den nya kedjan börjar i tillstånd. Först löser vi ekvationen för p (t) p (t) ( )p (t) p (t) Ce ( 1+ 2 )t Begynnelsevillkoret p () 1 ger sedan C 1. Insättning av p (t) i ekvationen p 1(t) 1 p (t) ger nu p 1 (t) 1e ( 1+ 2 )t p 1 (t) e ( 1+ 2 )t + A 6

7 Begynnelsevillkoret p 1 () ger A Man kan beräkna p 2 (t) på samma sätt som p 1 (t). Detta ger p (t) e ( 1+ 2 )t då t p 1 (t) p 2 (t) 1 ( ) 1 e ( )t 1 då t ( ) 2 1 e ( )t 2 då t Detta måste innebära att man hoppar till tillstånd i, i 1, 2 med just sannolikheten i Man kan generalisera detta till godtyckligt antal utpilar från ett tillstånd. 7. Låt oss införa beteckningarna X totala mängden arbete som kommer under en dag N antalet ankomster under en dag (a) Om det kommer k kunder under en dag så är medelvärdet av den ankommande arbetsmängden k/. Det innebär att E(X N k) k Vi tar bort betinget E(X) E(X N k)p (N k) 1 kp(n k) E(N) k P (N k) Nu återstår att beräkna E(N). Vi gör detta genom att derivera z-transformen och låta z 1. d 1 p dz 1 pz Svaret blir således p E(X) (1 p) p(1 p) (1 pz) 2 p 1 p då z 1 7

8 (b) Laplacetransformen för en stokastisk variabel med medelvärde 1/ är + s Laplacetransformen för summan av k sådana stokastiska variabler får man genom att multiplicera k sådana laplacetransformer vilket ger ( ) k FX (s N k) + s Nu tar vi bort betinget FX (s) FX (s N k)p (N k) p)( + s) P N ( )(1 + s + s p ( ) k P (N k) + s 8

Relevanta dokument

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen