Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 22 mars 2006
|
|
- Maria Fransson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 2070 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 22 mars 2006 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 22 mars 2006 Uppgift 1 a) Eftersom T x är likformigt fördelad, vilket innebär att f x (t) = = 1/(ω x), 0 < t < ω x, får vi P (T x t) = t ω x, 0 < t < ω x, vilket ger att l(x + t) = ω x t ω x, 0 < t < ω x. Vidare gäller att µ x+t = l (x + t)/l(x + t) vilket ger att µ x+t = 1 ω x t, 0 < t < ω x.
2 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars b) Eftersom T 20 är likformigt fördelad på intervallet (0, ω 20) innebär det att e 20 = (ω 20)/2 = 60. Vidare gäller för denna fördelning att σ 2 (T 20 ) = (ω 20) 2 /12. Detta ger då att σ 2 (T 20 ) = /12 = Uppgift 2 a) Sannolikheten att minst en av dem lever efter 50 år är lika med, med sedvanliga antaganden om oberoende mellan individernas återstående livslängder, ett minus sannolikheten att båda har avlidit vilken ges av ( 1 1 l(65) l(15) ) ( 1 l(66) ) l(16) Kapitalvärdet kan skrivas som = l(65) l(15) + l(66) l(16) l(65) l(15) l(66) l(16) [ D(65) A = D(15) + D(66) D(16) l(65) = l(15) l(66) [ D(65) D(15) + D(66) D(16) ] l(16) e 50 δ D(65, 66) D(15, 16) a 0 (10) = ] a 0 (10). Observera att ingen uppgift ges om vem som skall ha pengarna, ej heller är utbetalningen villkorad av mer än att någon skall leva efter 50 år. Vad som händer därefter påverkar inte utbetalningen. b) Ett rimligt enkelt sätt är att utveckla annuiteterna i termer av kommutationsfunktioner. Det görs enklast genom att vi först skriver om likheten. Vi får M(x + s) M(x + s + n) = ( ) l(x + s + n) 1 = (1 δ a 1 (x + s; n)) δ l(x + s) δ a 0(n)
3 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Vidare gäller att samt att a 0 (n) = 1 e δn δ 1 δ a 1 (x + s; n) = D(x + s + n) + M(x + s) M(x + s + n). Vi får då l(x + s + n) l(x + s) ( ) 1 δ δ a l(x + s + n) ( ) 0(n) = 1 (1 e δn ) = l(x + s) D(x + s + n) = och därmed följer påståendet. Uppgift 3 Beviset låter sig enklast göras med hjälp av induktion. Till att börja med ser vi att påståendet är sant för x = 1 eftersom l(1) = 1 q 0. Nästa steg är att anta att påståendet är sant för x = k, det vill säga att l(k) = k 1 i=0 (1 q i). Slutligen gäller att visa att då är påståendet också sant för x = k + 1. Men eftersom l(k + 1) = l(k)(1 q k ) så är påståendet sant för alla x. Uppgift 4 Försäkringen är ett exempel på en temporär uppskjuten ålderspension med, i det här fallet, en indexerad förmån. Indexeringen bestäms av intensiteten δ r som alltså skiljer sig från diskonteringsintensiteten δ.
4 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Mot bakgrund av att individen är x år när försäkringen tecknas, att utbetalning från försäkringen sker i åldersintervallet (z, z + s) samt med användande av de två intensiteterna för indexeringen respektive diskonteringen kan kapitalvärdet av förmånen, vid durationen 0, skrivas som s A = L = L e δ r(z x) 0 s 0 e δ(z x+t) l(z + t) e δrt dt = l(x) e (δ δ r)(z x+t) l(z + t) dt = l(x) = L e δ r(z x) N (z) N (z + s) D (x) där N ( ) är beräknad med ränteintensiteten δ δ r. Nämnaren D (x) är obekväm när vi skall härleda Thieles differentialekvation där det är bekvämare att ha D(x) i nämnaren. Vi konstaterar att D (x) = e δrx D(x) vilket ger att A = L e δ rz N (z) N (z + s) D(x) Nästa steg är att studera A(t) samt B(t) vid olika durationer. Vi kan då skriva L e δ rz N (z) N (z+s), 0 < t z x A(t) = L e δrz N (x+t) N (z+s), z x < t z x + s. Eftersom försäkringen skall löpa med en konstant årlig premie, P = P x, får vi B(t) = { P N(x+t) N(x+n), 0 < t n 0, n < t z x + s.
5 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Värdefunktionen kan nu skrivas som V (t) = A(t) B(t) vilket, för att vara lite mer noggrann, blir V (t) = L e δ rz N (z) N (z+s) P N(x+t) N(x+n), 0 < t n L e δrz N (z) N (z+s), n < t z x L e δrz N (x+t) N (z+s), z x < t z x + s. När vi nu skall slutföra härledningen av Thieles differentialekvation, genom att multiplicera V (t) med D(x + t), derivera med avseende på t samt dividera med D(x + t), noterar vi att vi behöver derivera N (x + t) med avseende på t. Vi får att d dt N (x + t) = e δr(x+t) D(x + t). Om vi nu multiplicerar ekvationen för värdefunktionen med D(x + t) och deriverar kan det vänstra ledet skrivas dv (t)d(x + t) dt = V (t) D(x + t) (µ x+t + δ) V (t) D(x + t). Högerledet delas egentligen upp i tre delar som ses i skrivningen av V (t). För 0 < t n faller utbetalningstermen bort i deriveringen. Likadant för n < t z x. För z x < t z x + s blir det kvar en term, enligt deriveringen av N (x + t) ovan. Premietermen lämnar också ett bidrag för 0 < t n. Sammantaget får vi då, efter att ha organiserat om termerna en del, δv (t) + P + µ x+t V (t), 0 < t n V (t) = δv (t) + µ x+t V (t), n < t z x δv (t) L e δr (t (z x)) + µ x+t V (t), z x < t z x + s. och därmed har vi alltså härlett Thieles differentialekvation för en indexerad uppskjuten temporär ålderspension.
6 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Uppgift 5 Detta är ett exempel på en tvålivsförsäkring. Premieekvationen kan skrivas som A = B, vilken kan formuleras som A = B = P a 2 (x, y; 40 x). där vi använt gängse beteckningar för annuiteter. Utbetalningen A från försäkringen kan delas upp i två delar. Den första delen hänför sig till den tid som är kopplad till om den försäkrade avlider i åldersintervallet (40, 60). Vid durationen 40 x kan kapitalvärdet skrivas som A 1 = L 1 (a 1 (y + 40 x; 20) a 2 (40, y + 40 x; 20)). Observera att vid durationen 40 x är den medförsäkrade y + 40 x år gammal och utbetalningen kan komma att pågå i 20 år. Kapitalvärdet av den andra delen av utbetalningen, diskonterat till durationen 60 x, ges då av A 2 = L 2 (a 1 (y + 60 x) a 2 (60, y + 60 x)). Kvar återstår att diskontera respektive kapitalvärde till durationen 0 vilket görs med relationen A = D(40, y + 40 x) [ ] D(60, y + 60 x) A 1 + D(40, y + 40 x) A 2. Vi har därmed härlett de komponenter som behövs för att formulera premieekvationen.
7 Lösning Livförsäkringsmatematik I, 22 mars Lösningen på uppgiften kan också uttryckas med hjälp av kommutationsfunktioner. Genom att använda definitionerna på annuitetsfunktionerna får vi N(y + 40 x) N(y + 60 x) A 1 = L 1 D(y) N(40, y + 40 x) N(60, y + 60 x) L 1. Vidare får vi, på samma sätt, N(y + 60 x) A 2 = L 2 D(y) N(60, y + 60 x) L 2. Slutligen gäller också att B = P N(x, y) N(40, y + 40 x) och vi kan då, med lite arbete, formulera premieekvationen A = B med hjälp av kommutationsfunktioner.
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 08 januari 2015. Lösningar
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT712 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 8 januari 215 Lösningar Tentamen i Livförsäkringsmatematik I, 8 januari 215 Uppgift 1 a) Först konstaterar
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, EA, GA, ML 14 december 2009
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT8003 MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, EA, GA, ML 14 december 2009 Tentamen i Livförsäkringsmatematik II, 14 december 2009 Examinator: Gunnar Andersson Tillåtna
Läs merLaborationer till kursen Livförsäkringsmatematik I
Laborationer till kursen Livförsäkringsmatematik I OBS: Texten i laborationerna är till viss del formulerad för att passa med Excel. Valet av verktyg för att genomföra laborationerna är emellertid ingalunda
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merLaboration 1 - Utjämning med Makehams formel
Laborationer OBS: Texten i laborationerna är till viss del formulerad för att passa med Excel. Valet av verktyg för att genomföra laborationerna är emellertid ingalunda nödvändigt att vara Excel. För att
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs mer24 oktober 2007 kl. 9 14
STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 2070 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 24 oktober 2007 Tentamen i Livförsäkringsmatematik I 24 oktober 2007 kl. 9 14 Examinator: Gunnar Andersson, gunnar.andersson@actstrats.com,
Läs merSTOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 12 december Lösningsförslag
STOCKHOLMS UNIVERSITET MT8003 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 12 december 2013 Lösningsförslag Tentamen i Livförsäkringsmatematik II, 12 december 2013 Uppgift 1 Enligt
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merFinansinspektionens författningssamling
Finansinspektionens författningssamling Finansinspektionens föreskrifter (FFFS 2007:24) om försäkringstekniska grunder FFFS 2007:24 Konsoliderad elektronisk utgåva Senast uppdaterad: 2008-01-01 Observera
Läs merMatematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof
Läs merFöreläsning 4, Matematisk statistik för M
Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs mer} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),
Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta
Läs merKunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel.
Övning 2 Vad du ska kunna efter denna övning Kunna definiera laplacetransformen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Kunna definiera z-transformen för en diskret stokastisk variabel. Kunna beräkna
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merVi tittar också på Makehams fördelning som är den mest tillämpade livslängdsmodellen i Sverige. Historia om livslängdstabeller 2
Abstract Den här föreläsningen introducerar en stokastisk modell för livslängder. Speciellt definierar vi livslängd, fördelningsfunktion, dödlighetsintensitet och överlevelsefunktion. Vi tittar också på
Läs mer10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer
10.1 Linjära första ordningens differentialekvationer Här ska vi studera linjära första ordningens differentialekvationer som kan skrivas y (x) + g(x)y(x) = h(x) Om g(x) har en primitiv funktion G(x) så
Läs merFinansinspektionens författningssamling
Finansinspektionens författningssamling Utgivare: Finansinspektionen, Sverige, www.fi.se ISSN 1102-7460 Finansinspektionens föreskrifter om försäkringstekniska grunder; FFFS 2007:24 Utkom från trycket
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs mer= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5
Läs merTentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (92MA1, STN2) 21-1-16 kl 8 12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merP =
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF297 (f d 5B157) TILLFÖRLITLIGHETSTEORI LÖRDAGEN DEN 2 OKTOBER 21 KL 1. 18.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 79716, e-postadress: gunnare@math.kth.se Tillåtna hjälpmedel:
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6825 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Carl Lundholm 5325 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.
Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)
Läs mery + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer 2007-10-12 Skrivtid: 9-14. Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook
Läs merAlltså är {e 3t, e t } en bas för lösningsrummet, och den allmänna lösningen kan därmed skrivas
ektion 7, Envariabelanalys den 8 oktober 1999 Visa att funktionerna y 1 = e r 1t och y = e r t, där r 1 r, är linjärt oberoende. 17.7. Finn den allmänna lösningen till y 3y = 0. Vi ska visa implikationen
Läs mer(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och
Läs merStudietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23
Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merBoken är tänkt att ersätta tidigare kurslitteratur som används i kursen Livförsäkringsmatematik I som ges vid Stockholms universitet.
Livförsäkringsmatematik andra upplagan Inledning Litteraturen för inledande kurser inom livförsäkring på svenska högskolor och universitet har, på grund av den omfattande utvecklingen i livförsäkringsbranschen
Läs merFöreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.
Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.
Läs merTentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18
LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) 213-1-11 kl 14 18 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merLösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1
KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merEn trafikmodell. Leif Arkeryd. Göteborgs Universitet. 0 x 1 x 2 x 3 x 4. Fig.1
10 En trafikmodell Leif Arkeryd Göteborgs Universitet Tänk dig en körfil på en landsväg eller motorväg, modellerad som x axeln i positiv riktning (fig.1), och med krysset x j som mittpunkten för bil nummer
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merf(x) = 2 x2, 1 < x < 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90,SF907,SF908,SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK TORSDAGEN DEN 7:E JUNI 0 KL 4.00 9.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 7 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs mery = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 08-47 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-2-4 Skrivtid: 5.00 20.00. Hjälpmedel:
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merTentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).
Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Flerdimensionella Uwe Menzel, 2018 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Flerdimensionella Ett slumpförsök kan ge upphov till flera (s.v.): kast med
Läs merProgram: DATA, ELEKTRO
Program: DATA, ELEKTRO TENTAMEN Datum: 0 aug 007 Kurser: MATEMATIK OCH MAT STATISTIK 6H3000, 6L3000, MATEMATIK 6H30 TEN (Differential ekvationer, komplea tal) Skrivtid: 3:5-7:5 Lärare: Armin Halilovic
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 1715 kl. 14. - 18. Tentamen Telefonvakt: Jonny Lindström 733 674 MVE475 Inledande Matematisk Analys Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merUppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I 5B57 MATEMATISK STATISTIK FÖR T och M ONSDAGEN DEN 9 OKTOBER 25 KL 8. 3.. Examinator: Jan Enger, tel. 79 734. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merLivförsäkringsmatematik II
Livförsäkringsmatematik II Hantering av överskott Föreläsningar Resultaträkningen Liksom alla andra företag redovisar livförsäkringsbolaget årets verksamhet i en resultaträkning. Resultaträkningens har
Läs merMatematisk statistik TMS063 Tentamen
Matematisk statistik TMS63 Tentamen 8-8- Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof Elias,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merx 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)
Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90/SF9 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAG 5 JUNI 09 KL 4.00 9.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs mer1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik Tentamen: 29 7 kl 8 3 Matematikcentrum FMSF45 Matematisk statistik AK för D,I,Pi,F, 9 h Lunds universitet MASB3 Matematisk statistik AK för fysiker, 9 h. För tiden mellan
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merLösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus
Läs merFACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30
Göteborgs Universitetet GU Lärarprogrammet 06 FACIT: Matematik för lärare, åk 7-9, Sannolikhetslära och statistik, Matematik för gymnasielärare, Sannolikhetslära och statistik 07-0-04 kl..0-.0 Examinator
Läs merFöreläsning 2, Matematisk statistik för M
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merSjukförsäkring. Kapitel Introduktion
Kapitel 7 Sjukförsäkring Hittills har vi mest koncentrerat oss på försäkringar med sparande som ett huvudsakligt inslag. Som ett specialfall omfattar ovan genom-gången teori också dödsfallsförsäkring tecknad
Läs mer1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) y(t) = sin 2t, t > 0 y(0) = 1
Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 4, kl 8:3-:3 Telefon: Maximilian Thaller, 3-77 535 Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010
TAMS14/36 SANNOLIKHETSLÄRA GK Poissonprocessen (komplettering) Torkel Erhardsson 14 maj 2010 1 1 Stokastiska processer Definition 1.1 En stokastisk process är en familj {X(t);t T } (kan även skrivas {X
Läs merTentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),
Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver
Läs merLMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål
LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen EXAM TAMS 27 / TEN 2 augusti 218, klockan 8.-12. Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 79-62827) Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk
Läs merKomplettering till kursboken i Numeriska beräkningar. 1 Beräkningsfelsanalys. 1.1 Uttryck med kancellation
Linköpings Universitet Kompletterande material Matematiska institutionen/beräkningsmatematik 5 februari 203 Ingegerd Skoglund IT Termin 6 Komplettering till kursboken i Numeriska beräkningar Beräkningsfelsanalys
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1. Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x och y =
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merKOMIHÅG 18: Ekvation för fri dämpad svängning: x + 2"# n. x j,
KOMIHÅG 18: ------------------------------------------------------ Ekvation för fri dämpad svängning: x + "# n x + # n x = # n x j, 1 med konstanterna! n = k m och!" n = c m. ------------------------------------------------------
Läs merTMS136. Föreläsning 5
TMS136 Föreläsning 5 Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med
Läs merTillämpningar av komplex analys på spektralteori
Tillämpningar av komple analys på spektralteori Anders Källén, baserat på föreläsningar hösten 1979 av Lars Hörmander MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet härleds
Läs merSekant och tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren).
Derivata Sekant oc tangent Om man drar en rät linje genom två punkter på en kurva får man en sekant. (Den gröna linjen i figuren). I figuren ovan finns även en tangent inritad. Som nästa ska vi titta på
Läs merSF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.
1. Beräkna integralen medelpunkt i origo. SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen 218-3-14 D DEL A (x + x 2 + y 2 ) dx dy där D är en cirkelskiva med radie a och Lösningsförslag.
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs merBestäm uttrycken för följande spänningar/strömmar i kretsen, i termer av ( ) in a) Utspänningen vut b) Den totala strömmen i ( ) c) Strömmen () 2
7 Elektriska kretsar Av: Lasse Alfredsson och Klas Nordberg 7- Nedan finns en krets med resistanser. Då kretsen ansluts till en annan elektrisk krets uppkommer spänningen vin ( t ) och strömmen ( ) Bestäm
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 211-1-18 DEL A 1. Låt x och y vara två tal vars summa är 6. Ange det minimala värdet som uttrycket 2x 2 + y 2 kan anta. Lösningsförslag. Eftersom vi
Läs merUppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 9:E JUNI 205 KL 4.00 9.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1913 MATEMATISK STATISTIK FÖR IT OCH ME ONSDAGEN DEN 12 JANUARI 2011 KL 14.00 19.00. Examinator: Camilla Landén, tel. 7908466. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merUppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2017-06-01 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merKTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...
KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merPartiella differentialekvationer av första ordningen
Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,
Läs merTENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).
Tekniska högskolan i Linköping Matematiska institutionen Matematisk statistik,jan Olheim MATEMATIK:Statistik 9MA31 STN, 9MA37 STN TENTAMEN MÅNDAGEN DEN OKTOBER 01 KL 14.00-18.00. Hjälpmedel:Formler och
Läs mer