STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. Matematisk statistik, GA 12 december Lösningsförslag

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MT8003 MATEMATISKA INSTITUTIONEN LÖSNINGAR Avd. Matematisk statistik, GA 12 december 2013 Lösningsförslag Tentamen i Livförsäkringsmatematik II, 12 december 2013 Uppgift 1 Enligt lag, FRL 8 kap. 1, är ett försäkringsföretag skyldigt att upprätta, och följa, Försäkringstekniska riktlinjer (FTR). I dessa riktlinjer skall det finnas principer angivna hur 1. Premier bestäms, 2. Försäkringstekniska avsättningar beräknas, 3. Försäkringar återköps och belånas, 4. Återbäring till försäkringstagarna och andra ersättningsberättigade fördelas, 5. Återförsäkring avges och tas emot, och 6. Soliditeten ska tillgodoses. Vidare skall ett livförsäkringsföretag lämna in riktlinjerna (FTR) till FI senast den dag de skall tillämpas. Tillsammans med riktlinjerna skall det även lämnas en redogörelse för de konsekvenser som riktlinjerna får för försäkringsföretaget samt för försäkringstagarna och

2 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december andra ersättningsberättigade på grund av försäkringar. Riktlinjerna skall beslutas av styrelsen i livförsäkringsföretaget. Mer specifikt skall riktlinjerna innehålla principer om hur man väljer antaganden om 1. Avkastning 2. Avkastningsskatt 3. Livslängd 4. Sjuklighet, exempelvis vid premiebefrielseskydd 5. Andra riskaspekter, exempelvis förhöjd risk och optionsrätt, och 6. Driftskostnader Försäkringsföretaget bör även redovisa principerna för hur man följer upp premiesättningen, annulationsrisk samt moturvalsrisk. Vad gäller försäkringstekniska avsättningar skall man ange principerna för livförsäkringsavsättningar samt garanterad och villkorad återbäring. Avsättning för okända försäkringsfall nämns också särskilt liksom principerna för rätt till återköp och belåning av försäkringar samt överföring av försäkringars värde. Vad gäller livförsäkring med periodisk utbetalning bör principer för bestämmande av belopp anges. Här avses även antaganden om avkastning, dödlighet och driftskostnader. För de verksamheter som inte är att likställa med ren riskförsäkring avkrävs livförsäkringsföretaget också bestämma en nivå för företagets kollektiva konsolidering (förhållandet mellan tillgångarna och åtagandena). Det ovan nämnda faktorerna är de viktigaste, därutöver finns regler om förräntning av försäkringsbelopp som förfallit till betalning, avgivande och mottagande av återförsäkring och soliditet.

3 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december Utöver vad som anges i FRL, 8 kap. 1, upprepas det i Finansinpektionens författning FFFS 2011:12 att försäkringsföretag bör upprätta så kallade försäkringstekniska riktlinjer. Vi citerar ur FFFS 2011:12: Ett försäkringsföretag bör utforma de försäkringstekniska riktlinjerna så att det som är gemensamt för försäkringsrörelsen behandlas före det som gäller för enskilda delar av försäkringsrörelsen. Inledningsvis bör riktlinjerna ange vem som ansvarar för att försäkringstekniskt beräkningsunderlag uppdateras och följs. Företaget bör även ge en översiktlig bild av dess viktigaste verksamheter eller produkter. Det bör särskilt nämnas om företaget driver verksamhet som avser tjänstepensionsförsäkring. Riktlinjerna bör innehålla uppgifter om datum för styrelsebeslut och det datum riktlinjerna ska börja gälla. Riktlinjerna skall innehålla principerna för hur 1. premier bestäms, 2. försäkringstekniska avsättningar beräknas, 3. försäkringar återköps och belånas, 4. återbäring till försäkringstagarna och andra ersättningsberättigade fördelas, 5. återförsäkring avges och tas emot, och 6. soliditeten ska tillgodoses. Uppgift 2 Liksom alla andra företag redovisar livförsäkringsföretaget årets verksamhet i en resultaträkning. Resultaträkningen består i huvudsak av posterna premieinkomst, kapitalavkastning, utbetalningar, försäkringstekniska avsättningar och driftskostnader. Alla dessa poster kan vi betrakta som bekanta bortsett från posten försäkringstekniska avsättningar. Den uppträder i resultaträkningen genom att man beräknar förändringen i försäkringstekniska avsättningar.

4 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december Posten förändringen i försäkringstekniska avsättningar är i sin tur en effekt av utvecklingen av respektive försäkring beräknad med det som kallas för första ordningens princip, det vill säga de ingående parametrarna är antagna utifrån ett teoretiskt tänkt framtida utfall. Detta beskrivs normalt med hjälp av bland annat Thieles differentialekvation (se nedan). Verkligheten av en försåld försäkring blir alltid en annan än vad som låg i antagandena och analysen som görs enligt det faktiska utfallet kallas för en analys enligt andra ordningens princip. Skillnaden mellan dessa första ordningens antaganden och andra ordningens utfall är alltså det eventuella överskott som uppstår. Livförsäkringsbolag gör utfästelser om avtalade utbetalningar långt framåt i tiden. Exempel på det är pensioner med avtalade premier och avtalade pensionsbelopp, D-försäkring med avtalade premier och avtalat belopp vid dödsfall eller vid försäkringstidens slut. Eftersom utfästelserna är garanterade i försäkringsavtal är det nödvändigt att göra försiktiga antaganden om framtida kapitalavkastning, dödlighet, driftskostnader. + premieinkomst + kapitalavkastning - utbetalningar - förändring av försäkringstekniska avsättningar - driftskostnader = resultat Tabell 1: Schematisk resultaträkning I

5 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december premieinkomst P + kapitalavkastning AV K - utbetalningar U - förändring av försäkringstekniska avsättningar V - driftskostnader DKO = resultat Tabell 2: Schematisk resultaträkning II I den så kallade Aktuarierapporten (Aktuarieredogörelsen), som varje år inlämnas till Finansinspektionen, görs en analys av resultatet i livförsäkringsrörelsen. Där uppdelas resultatet efter sina vinstkällor. För en normal traditionell livförsäkringsrörelse är de väsentliga posterna dödlighet, driftskostnader, säkerhetsbelastningar, kapitalavkastning. Analysen grundar sig på resultaträkningen och Thieles differentialekvation i integrerad form. Vi inför en del notation och skriver resultaträkningen då som i Tabell 2. Här är premierna P de verkligt betalda premierna. Kapitalavkastningen AV K innefattar såväl direktavkastning som realiserade och orealiserade värdeförändringar. Utbetalningarna U är utbetalningar enligt försäkringsavtalen, alltså inte utbetald återbäring. Den senare påverkar inte resultatet, eftersom det endast handlar om utbetalning av från tidigare år uppsamlade vinstmedel. Thieles differentialekvation kan schematiskt skrivas dv dt = δv µ(s V ) + (P U) ϵ DKO.

6 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december Här är P och U premieintensiteter respektive utbetalningsintensiteter. S är reservens värde efter försäkringsfall och S V är risksumman. Avdragstermen DKO står för intensitet för driftskostnadsuttag, som kan härröra från belastningar på premie, utbetalning, ränta och dödlighet. Om ekvationen integreras över en period fås V = grundränta riskpremie + (P U) - driftskostnadsuttag där nu P och U får betyda inbetalda respektive utbetalda belopp. Denna ekvation gäller för en försäkring för en period då försäkringsfall inte inträffar. Om vi nu betraktar hela försäkringsrörelsen kommer (med all sannolikhet) försäkringsfall att inträffa då vi får utbetalning av försäkringsbelopp vilket med vårt språkbruk innebär att det förfaller risksummor till betalning. För hela rörelsen måste man därför tillfoga dessa. Det betyder att vi, schablonmässigt, för hela rörelsen har att betrakta V + förfallna risksummor. Vi kan nu skriva resultatet, se Tabell 2, för hela kollektivet som resultat = P + AV K U DKO V förfallna risksummor = = P + AV K U DKO (grundränta riskpremie + P U driftskostnadsuttag) förfallna risksummor. Reduktion av ekvationen, och omformning ger vid handen att man kan skriva resultatet som en resultaträkning på formen i Tabell 3.

7 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december riskpremie - förfallna risksummor + driftskostnadsuttag - DKO + AV K - grundränta = resultat Tabell 3: Schematisk resultaträkning III Uppställningen enligt Tabell 3 är uppställningen i Aktuarierapporten, och här kan livförsäkringsrörelsens tre vinstkällor analyseras. Livförsäkringsrörelsens vinstkällor är alltså riskrörelsen, driften, kapitalavkastningen och i analysen studerar man frågeställningarna tar bolaget ut tillräckligt mycket riskpremier för att täcka de förfallna risksummorna, är driftskostnadsuttagen tillräckligt stora föra att täcka de verkliga driftskostnaderna, ger avkastningen på bolagets tillgångar tillräckligt för den grundränta som man räknar med vid bestämningen av förmånerna. Balansräkningen innehåller uppgifter om bolagets tillgångar och bolagets skulder. I ett livförsäkringsbolag utgörs tillgångarna huvudsakligen av placeringstillgångar, och dessa utgörs mest av aktier, fastigheter och obligationer. För livförsäkringsbolag gäller vissa restriktioner beträffande hur medlen får placeras. Bolaget måste placera tillgångar för skuldtäckning

8 Lösning Livförsäkringsmatematik II, 12 december Tillgångar % Skulder % Aktier 36 Konsolideringsfond 29 Fastigheter 8 FTA 71 Obligationer 56 Tabell 4: Schematisk balansräkning I enligt FRL 6 kap. Huvudsakligen anges obligationer av säkerställd kvalitet som tillåtna. Därutöver måste försäkringsföretaget besitta en kapitalbas som är till för att täcka övriga behov i företaget, se vidare FRL kap 7. Bland annat måste bolaget måste ha tillgångar till ett värde som utöver F T A täcker solvensmarginalen, som huvudsakligen är bestämd som Solvensmarginal = 4 % av F T A + + 0,1 % av positiva risksummor. I ett normalt svenskt livförsäkringsbolag är (marknadsvärdet av) tillgångarna mycket större än F T A. Balansräkningen kan ha ett schematiskt utseende enligt Tabell 4. Summan av tillgångarna är alltid lika med summan av skulderna. Skillnaden mellan skulderna (alternativt tillgångarna) och F T A är konsolideringsfonden. Den kan uppfattas som bolagets ackumulerade överskott. Konsolideringsfonden ökar varje år med årets vinst och minskar med utbetald återbäring.