Övningstentamen 3. Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: f(x) = 0

Transkript

1 Övningstentamen Uppgift 1: Bill och Georg har gått till puben tillsammans. De beslutar sig för att spela dart (vilket betyder kasta pil mot en tavla). Sedan gammalt vet de att Bill träffar tavlan med sannolikheten.7 medan Georg oberoende av Bills resultat träffar tavlan med sannolikheten.4. De båda vännerna kastar var sin pil mot tavlan samtidigt. a) Anta att endast en pil träffar tavlan. Vad är sannolikheten att det är Georg som har kastat den? b) Anta att tavlan träffas av minst en pil. Vad är sannolikheten att Georgs pil har träffat den? Uppgift : I ett stort Radio- och TV-varuhus finns vid ett tillfälle 1 kunder. Av dessa har 5 tänkt köpa en vanlig färg TV, ett komplett TV- och videopaket medan bara vill se sig omkring. En anställd talar med 5 kunder. Vad är sannolikheten att av dessa 5 kunder köper en vanlig färg TV, 1 köper ett komplett TV- och videopaket medan bara vill se sig omkring? Uppgift : Ett flygbolag vet sedan gammalt att 5% av de som reserverat en flygbiljett inte dyker upp. Därför har man som policy att överboka planet, d.v.s. sälja 5 platser till ett plan som har 5 sittplatser. Anta att ett sådant plan skall lyfta. Vad är sannolikheten att alla passagerare som dyker upp får en sittplats? Uppgift 4: Beräknade med lämpliga approimationer sannolikheterna i följande situationer: a) P(ξ ) där ξ är Binomialfördelad med n 45 och p.4 b) P(ξ 6) där ξ är Binomialfördelad med n 5 och p.95 Uppgift 5: Anta att ξ är en kontinuerlig stokastisk variabel med följande frekvensfunktion: C( 4 ) för < < f() för övrigt a) Bestäm konstanten C. b) Bestäm fördelningsfunktionen. c) Beräkna P(.5 < ξ < 1.5).

2 Uppgift 6: Vid ett bankkontor är två av kassorna bemannade. Vid öppningsdags går tre människor A, B och C in samtidigt. A och B går direkt fram till var sin kassa medan C väntar på sin tur tills antingen A eller B lämnar banken. Anta att betjäningstiderna för A, B och C är oberoende. Vad är sannolikheten att A fortfarande är kvar vid sin kassa efter att de andra två har lämnat banken om a) servicetiden för varje banktjänsteman är eakt 1 minuter? b) servicetiden är i minuter med sannolikheten 1/ för i 1,,? (8 poäng) Uppgift 7: Livslängden har ett visst sorts batteri kan ses som en stokastisk variabel med väntevärdet 4 timmar och standardavvikelsen timmar. Ett batteri används tills det går sönder varvid det omedelbart byts ut till ett nytt. I en fabrik har man köpt in 5 sådana batterier vars livslängder är oberoende. Beräkna sannolikheten att fabriken har minst 11 timmars användningstid totalt från dessa batterier. Uppgift 8: Vid upprepade vägningar av ett föremål fick man en genomsnittsvikt på 15.1 gram. Vågen ger ett slumpmässigt fel som kan antas vara normal-fördelat med µ gram och σ.1 gram. Anta att man har gjort 5 vägningar. Ange ett 95%- igt konfidensintervall för föremålets verkliga vikt.

3 Lösningar till övningstentamen Uppgift 1: G Georg träffar tavlan B Bill träffar tavlan P(G).4 P(B).7 P(G precis en träff) a) P(G precis en träff) P(precis en träff) C P(G B ) (oberoende) C C P(G B ) + P(G B) P(G) P( B ) C C P(G) P(B ) + P(G ) P(B) C P(G minst en träff) b) P(G minst en träff) P(minst en träff) P(G) (oberoende) 1 P(ingen träff) P(G) 1 P(G C C ) P(B ) Uppgift : N 1 kunder n 5 kunder ξ antal kunder som köper en vanlig färg TV η antal kunder som köper ett komplett TV- och videopaket ν antal kunder som bara vill se sig omkring P(ξ, η 1, ν )

4 Uppgift : P(en person som bokat en plats dyker inte upp).5 ξ antal personer som bokat plats också dyker upp. ξ är Bin(n, p) Bin(5,.95) P(alla som dyker upp får en sittplats) P(ξ 5) 1 P(ξ > 5) 1 [ P(ξ 51) + P(ξ 5) ] Uppgift 4: a) ξ är Bin(n, p) Bin(45,.4). Eftersom np(1-p) > 1 så kan ξ approimeras med en normalfördelning med µ np och σ np(1-p) P(ξ ) P(Z 18 ) P(Z.61) b) Låt ξ vara antal gånger händelsen A inträffar. ξ är Bin(n, p) Bin(5,.95), d.v.s. P(A).95. För att kunna approimera denna situation får vi studera händelsen A C. Låt η vara antal gånger händelsen A inte inträffar. P(A C ).5. p.95 p * 1-p.5 η är Bin(n, p * ) Bin(5,.5). Eftersom n > 1 och p * <.1 så kan η approimeras med en Poissonfördelning med λ np* Ω ξ {, 1,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,..., 49, 5} Ω η {5, 49, 48, 47, 46, 45, 44, 4, 4, 41,., 1, } Av ovanstående utfallsrum ser vi att P(ξ 6) P(η 44). P(ξ 6) P(η 44) e !

5 Uppgift 5: 8 8C a) f ()d 1 C ( )d C C( 4 ) 1 C 8 b) : F() f (t)dt < < : t F() f(t)dt dt + (t t )dt t ( ) : F() f (t)dt dt + (t t )dt + dt 4 t + t + ( ) Fördelningsfunktionen: F() ( 4 1 ) för för < < för c) P(.5 < ξ < 1.5) P(ξ < 1.5) P(ξ <.5) 1.5 (1.5.5 ) (.5 ) Uppgift 6: a) Om servicetiden är eakt 1 minuter så blir A och B klara eakt samtidigt. Sannolikheten att A fortfarande är kvar vid sin kassa efter att de andra två har lämnat banken blir. Fortsättning uppgift 6 på nästa sida

6 fortsättning uppgift 6 b) ξ servicetiden för A η servicetiden för B ζ servicetiden för C Vi vill alltså beräkna P(ξ > η + ζ) P(ξ η ζ > ) Eftersom det finns variabler med värden vardera så får vi 7 alternativ. Sannolikheterna för varje alternativ är 1/, vilket medför att var och en av de 7 alternativen har sannolikheten 1/7 att inträffa. Enda möjligheten att ovanstående situation skall kunna inträffa är att ξ, η 1 och ζ 1. Sannolikheten att detta skall inträffa är 1/7. Det finns givetvis flera sätt att beräkna detta. Ett sätt är att bilda sannolikhetsfördelningen för ξ η ζ. Detta är givetvis arbetskrävande och omständlig men även ett säkert sätt att finna lösningen. Uppgift 7: ξ i livslängden hos batteri i E(ξ i ) 4 S(ξ i ) η total livslängd hos 5 batterier där η ξ 1 + ξ ξ 5 E(η) 5 E(ξ) Var(η) 5 Var(ξ) 5 1 P(η > 11) 1 P(η < 11) 1 P(Z < 11 1 ) 1 P(Z < 1) Uppgift 8: 15.1 gram n 5 vägningar felet kan antas vara normalfördelat med µ gram och σ.1 gram Vikten den sanna vikten + ett slumpmässigt fel Ett 95%-igt konfidensintervall blir ± 1.96 σ n d.v.s ± ±.9