Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Transkript

1 Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid Lärare: Mykola Shykula, Inge Söderkvist, Mikael Stenlund Jourhavande lärare: Mykola Shykula Tel: Examinator: Mykola Shykula Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen (del 1), som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in även lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. OBS! Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen (del 2), som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på del 1 samt minst 13 poäng på del 2. För betyg 5 krävs godkänt på del 1 samt minst 23 poäng på del 2. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på del 1 av tentamen med poäng från del 2. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (8)

2 1. En universitetskurs har två kursmoment A och B, som kan ge en bonuspoäng vardera på tentamen. En student kan därför få maximalt 2 bonuspoäng. Andelen studenter som klarar kursmoment A och B, och får motsvarande bonuspoäng, är 70% respektive 90%. Antag att kursmoment A och B är statistiskt oberoende. (a) Räkna ut sannolikheten att en slumpvisvald student får exakt en bonuspoäng. (b) Som ett mått på genomsnittsstudentens prestation, räkna ut väntevärde för antalet bonuspoäng för en slumpvisvald student. 2. Lotta tycker mycket om lotterier. Hon köper 20 lotter i ett lotteri där det finns 1000 lotter varav 250 är vinstlotter. Använd en lämplig approximationsmetod för att bestämma sannolikheten att Lotta får minst 6 vinstlotter. 3. Antag att längden av en vuxen svensk man följer en normalfördelning med väntevärde 176 cm och standardavvikelse 8 cm, medan längden av en vuxen svensk kvinna följer en normalfördelning med väntevärde 166 cm och standardavvikelse 6 cm. Om man väljer slumpmässigt ut en man och en kvinna, vad är då sannolikheten att mannen är kortare än kvinnan? 4. Vid trafikplanering studeras tiden mellan två på varandra följande bilar (enhet sekunder) vid en måttligt trafikerad väg. Denna tids slumpmässiga variation anses följa en kontinuerlig sannolikhetsfördelning med frekvensfunktion { 1 f(x) = 20 e x/20 om x 0, 0 annars. (a) Beräkna sannolikheten att det dröjer högst en minut mellan två bilar. (b) Efter att en bil har passerat har en trafikingenjör väntat i två minuter men ingen ny bil har dykt upp. Givet denna information, beräkna sannolikheten att nästa bil kommer inom en minut. 5. En viss typ av motstånd är märkta 10 kω. Den verkliga resistansen är dock pga tillverkningsvariation rektangelfördelad över intervallet (9.5, 10.5). Det är känt att om man seriekopplar motstånd så blir den totalla resistansen summan av de seriekopplade. Man seriekopplar 48 motstånd av nämnda typ vars resistanser kan anses oberoende. Bestäm sannolikheten att den totala resistansen är minst 477 kω. 2 (8)

3 6. För de oberoende slumpvariablerna ξ 1 och ξ 2 gäller att ξ 1 Po(1.2) och ξ 2 Po(0.5). Beräkna P(ξ 1 + ξ 2 = 2). 7. Golvplankor av ett visst fabrikat levereras alltid förpackade i paket där varje paket innehåller samma kvadratmeter golvplankor. På grund av fukthalt och annat så skiljer sig paketens vikt. För att uppskatta vikten tar man ett stickprov omfattande 6 st paket och väger dessa. Låt ξ 1, ξ 2,..., ξ 6 vara oberoende stokastiska variabler som betecknar vikten vid de 6 mätningarna. (a) Antag att paketens vikt kommer från en okänd kontinuerlig fördelning och att vi vill bestämma ett konfidensintervall för fördelningens median. Som intervallgränser används stickrovets näst minsta respektive näst största observation, d.v.s. konfidensintervallet blir då [ξ(2), ξ(5)]. Bestäm intervallets konfidensgrad. (b) Efter en noggrann analys visar det sig att vi kan anta att paketens vikt följer en normalfördelning. Använd detta antagandet och att stickprovet gav ett medelvärde om 12.5 kg och en standardavvikelse 1.4 kg för att bestämma ett 90% konfidensintervall för fördelningens väntevärde. Svara med den övre gränsen. 8. Läkaren Eva är skeptisk mot homeopatmediciner. Hon beslutar sig för att prova om ett nylanserat preparat har någon effekt på kolesterolnivån för 9 slumpmässigt utvalda patienter. Resultatet, i kodade enheter, återges i tabellen nedan (höga kolesterolvärden motsvarar höga kodade värden). Patient Före Efter Diff Eva skall testa nu på 10% signifikansnivå om behandlingen ökar kolesterolnivån. Det visade sig att antagande om normalfördelning kan inte göras i detta fall. Därför används teckentest och testas H 0 : behandlingen ökar inte kolesterolnivån mot H 1 : behandlingen ökar kolesterolnivån. Som testvariabel tar Eva antalet patienter med ökad kolesterolnivån efter behandlingen. (a) Kan man på 10% signifikansnivå påvisa att behandlingen ökar kolesterolnivån? Ange JA i svarsbladet om nollhypotesen skall förkastas och NEJ om den inte skall förkastas. (b) Ange P -värdet (i Vännman används beteckningen α 0 ) i testet ovan. 9. En forskare har konstruerat konfidensinervall för 10 olika okända konstanter. Varje intervall har konfidensgrad 90% och de olika intervallen härrör från av varandra oberoende mätserier. Vad är sannolikheten att någon av de 10 intervallen inte täcker den konstant för vilken intervallet konstruerats? 3 (8)

4 10. Den 6:e februari 2018 observerades följande bensinpriser för några orter på varierande avstånd från Stockholm (bensinpriser.nu). X=Avstånd till Stockholm (mil) Y=Pris för 40 liter (kronor) Regressionsanalys med Minitab ger följande resultat. Analysis of Variance Source DF Adj SS Adj MS F-Value P-Value Regression 1 528,3 528,31 9,27 0,056 X 1 528,3 528,31 9,27 0,056 Error 3 170,9 56,96 Total 4? Model Summary S R-sq R-sq(adj) 7,54736? %? % Coefficients Term Coef SE Coef T-Value P-Value VIF Constant 537,77 4,63 116,25 0,000 X 0,317 0,104?? 1,00 Regression Equation Y = 537,77 +0,317X (a) Vi ser ovan att b 1 = och b 0 = vilket är koefficienterna i den linjära modellen. För att på 5% signifikansnivå testa om avståndet X mil från Stockholm har en effekt på bensinpriset så kan man jämföra absolutbeloppet av en t-kvot med ett värde ur t-tabellen. Vad är värdet av absolutbeloppet av t-kvoten? Vilket värde skall absolutbeloppet av t-kvoten jämföras med? Har antalet mil från Stockholm någon effekt på bensinpriset på signifikansnivån 5% (svara med JA eller NEJ)? För full poäng på denna uppgift krävs korrekt svar på alla tre frågorna. (b) Om man ökar avståndet till Stockholm med 20 mil hur mycket kommer priset för 40 liter att öka i genomsnitt? Bestäm ett 99% konfidensinterval. Svara med den övre gränsen. (c) Bestäm förklaringsgraden. (3p) Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet (nästa sida) med tentan! 4 (8)

5 Tabell för svar till del 1 Lägg detta blad först i tentamen Namn: Personnummer: Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform om inte annat anges. Fråga Svar Poäng 1 a Sannolikhet (två decimaler) b Väntevärde (en decimal) Sannolikhet (fyra decimaler) ( OK) 3 Sannolikhet (fyra decimaler) a Sannolikhet (två decimaler) b Sannolikhet (två decimaler) Sannolikhet (fyra decimaler) Sannolikhet (tre decimaler) a Konfidensgrad i % (en decimal) b Övre gräns (två decimaler) a JA eller NEJ JA 1 b P -värdet (fyra decimaler) Sannolikhet (fyra decimaler) a Absolutbelopp av t-kvoten (tre decimaler) Värde ur t-tabellen (tre decimaler) JA eller NEJ NEJ 3 b Övre gräns (en decimal) c Förklaringsgrad i % (två decimaler) Totalt antal poäng 25 5 (8)

6 Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del Till uppgifterna på del 2 krävs fullständiga lösningar. 11. Vid en fabrik produceras 1000 enheter varje dag. På grund av slumpmässiga variationer i råvaran så blir de producerade enheterna av olika kvalite och de sorteras i tre olika klasser. Kvaliten på de olika enheterna kan antas vara oberoende av varandra. De olika kvalitetsklasserna är: Felaktig : Sannolikheten för att en producerad enhet blir felaktig är 0.1. Felaktiga enheter kasseras. Sekunda: Sannolikheten för att en producerad enhet blir sekunda är 0.4. Sekunda enheter säljs till ett pris av 10 kr/enhet Prima: Sannolikheten för att en producerad enhet blir prima är 0.5. Prima enheter säljs till ett pris av 20 kr /enhet. Man studerar försäljningen av dagsproduktionen varje dag under en period omfattande 20 dagar. Beräkna sannolikheten att det bland dessa 20 produktionsdagar, är minst 2 dagar då de producerade enheterna säljs till ett pris som överstiger kr. (10p) Lösningsförslag: Låt ξ i vara försäljningspriset för enhet i, i = 1,..., Då gäller E(ξ i ) = = 14. Var(ξ i ) = = 44. Låt η = ξ ξ 1000 vara den totala försäljningen för en dag. Enligt centrala gränsvärdessatsen blir η approximativt normalfördelad N(14000, 44000). Tag p = P (η > 14200) = Låt ζ vara antal dagar (av 20 st) som har en försäljning som är över kr. Då gäller att ζ är Bin(20, 0.17) fördelad. Vi söker P (ζ 2) = 1 P (ζ 1) = 1 ( ) = I uppgift 11 ovan är andelen felaktiga enheter 10 %. För att minska denna andel anlitas en konsult som får i uppdrag att justera tillverkningsprocessen så att andelen felaktiga enheter minskas till att understiga 8 %. Innan konsulten får betalt vill man kontrollera att denna lyckats med sitt uppdrag. Detta görs genom att kontrollera 300 st slumpmässigt utvalda enheter som är producerade med den justerade tillverkningsprocessen. (a) Ställ upp ett lämpligt hypotestest som, med en signifikansnivå på högst 6%, skall avgöra om sannolikheten för att en producerad enhet är felaktig understiger Hypoteser, testvariabel och beslutsregel ska tydligt framgå. (b) Bestäm sannolikheten att ditt test signalerar att konsultens uppdrag är godkänt om andelen felaktigt producerade enheter har minskat till 5 %. (6p) (4p) Lösningsförslag: (a) Låt p beteckna sannolikheten för att en enhet är felaktig. 6 (8)

7 Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del H 0 : p = 0.08 H 1 : p < 0.08 Låt ξ vara antalet felaktiga enheter av de testade 300. Om H 0 är sann så gäller ξ Bin(300, 0.08) eller approximativt ξ N(24, 4.7) ty np(1 p) = > 10. Vi förkastar H 0 om ξ k. Bestäm största k så att P (ξ k ξ Bin(300, 0.08)) Med normalapproximation bestämmer vi k så att P (ξ k ξ N(24, 4.7)) Detta ger k = 16 ty P (ξ 16 ξ N(24, 4.7))) < 0.06 och P (ξ 17 ξ N(24, 4.7)) > Beslutsregel: Vi förkastar H 0 och anser att konsulten fullgjort sitt uppdrag om ξ 16. (b) Vi beräknar styrkan i punkten p = 0.05, d.v.s. P (ξ 16 ξ Bin(300, 0.05)) = Med normalapproximation får vi P (ξ 16 ξ N(15, 3.77)) = (Med halvkorrigering P (ξ 16.5 ξ N(15, 3.77)) = 0.65.) 13. En ofta använd fördelning är lognormalfördelning. En slumpvariabel ξ är lognormalfördelad om ln(ξ) N(µ, σ). För väntevärdet E(ξ) och variansen V (ξ) gäller följande: σ2 µ+ E(ξ) =e 2, V (ξ) =e 2µ( e 2σ2 e σ2 ). För en viss bro har man funnit att betongens tryckhållfasthet kan anses vara lognormalfördelad med väntevärdet 47.5 MPa och variansen 7.6 MPa. (a) Bestäm parametrarna µ och σ i lognormalfördelningen. Tips: Du kan först visa att V (ξ)/(e(ξ)) 2 = e σ2 1. (b) Beräkna sannolikheten för en tryckhållfasthet lägre en 45 MPa. Använd µ = 4.5 och σ = 0.5 om du inte löser (a). (6p) (4p) Lösningsförslag: (a) Låt η vara en stokastisk variabel som anger betongens tryckhållfasthet för en viss bro. Det är känd att ln(η) N(µ, σ) samt E(η) = 47.5 och V (η) = 7.6. Eftersom (E(η)) 2 = e 2µ+σ2 och V (ξ) = e 2µ( e 2σ2 e σ2 ), så har vi: V (η)/(e(η)) 2 = e2µ( e 2σ2 e σ2 ) e 2µ+σ2 = e2σ2 Då gäller V (η)/(e(η)) 2 = 7.6/ = e σ2 1, eller σ = ln(7.6/ ) σ2 µ+ Det är känd också att E(η) = e 2. Vi söker µ = ln(e(η)) σ2 2 e σ2 = e σ2 1. e σ2 = ln(47.5) (8)

8 Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del (b) Eftersom y = ln(x) är en monoton funktion, gäller P (ξ < 45) = P (ln(ξ) < ln(45)). Det är känd från (a) att ln(ξ) N(3.86, 0.058). Vi söker P (ξ < 45) = P (ln(ξ) < ln(45)) = Φ ( ln(45) 3.86) = Φ( 0.92) = = (För µ = 4.5 och σ = 0.5 gäller P (ξ < 45) = P (ln(ξ) < ln(45)) = Φ ( ln(45) 4.5) 0.5 = Φ( 1.39) = = ) 8 (8)