Exempel. Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V) mulet (M) regn (R)

Transkript

1 Exempel Vi observerar vädret och klassificerar det i tre typer under en följd av dagar. vackert (V mulet (M regn (R

2 Exempel Vackert idag vackert imorgon sannolikheten 0.6 Vackert idag mulet imorgon sannolikheten 0.3 Vackert idag regn imorgon sannolikheten 0.1 Mulet idag vackert imorgon sannolikheten 0.4 Mulet idag mulet imorgon sannolikheten 0.3 Mulet idag regn imorgon sannolikheten 0.3 Regn idag vackert imorgon sannolikheten 0.3 Regn idag mulet imorgon sannolikheten 0.4 Regn idag regn imorgon sannolikheten 0.3 Om vädret endast bestäms av hur det var föregående dag, kan vädret modelleras med en en Markovkedja.

3 Exempel Vackert idag vackert imorgon sannolikheten 0.6 P (Vackert imorgon Vackert idag = 0.6 Vackert idag mulet imorgon sannolikheten 0.3 P (Mulet imorgon Vackert idag = 0.3 Vackert idag regn imorgon sannolikheten 0.1 P (Regn imorgon Vackert idag = 0.1 På samma sätt för de två andra fallen.

4 Exempel Vi kan stoppa alla dessa sannolikheter i en matris P = , Definition Låt {X (t, t = 0, 1,...} vara en följd av s v. Om vi har att för alla n 2 P (X (n = x n X (0 = x 0, X (1 = x 1,..., X (n 1 = x n 1 = P (X (n = x n X (n 1 = x n 1. kallas {X (t, t = 0, 1,...} för en Markovkedja.

5 Grundläggande begrepp Om man känner processens värde X (n 1 vid tidpunkten t = n 1 och önskar uttala sig om dess värde vid X (n vid nästa tidpunkt t = n, har man ingen glädje av att dessutom känna processens värden X (0, X (1,..., X (n 2 för föregående tidpunkter. Processens tillstånd betecknas E 1, E 2,.... Sannolikheten att processen vid t = n är i ett visst tillstånd E i skrivs p (n i = P (X (n = E i och kallas absoluta sannolikheter.

6 Övergångssannolikheter Sannolikheten att processen går från E i till E j i ett steg skrivs Matrisen p ij = P (X (n = E j X (n 1 = E i. P = p 11 p 12 p 13 p 21 p 22 p 23 p 31 p 32 p , (1 kallas övergångsmatrisen (den kan vara oändligtdimensionell. Sannolikheten att processen går från E i till E j i r steg skrivs p (r ij = P (E i E j i r steg, r = 1, 2,... och kallas övergångssannolikheter av r:te ordningen.

7 Övergångssannolikheter av r:te ordningen Övergångssannolikheter av r:te ordningen beräknas som r-te potensen av övergångsmatrisen. Övergångssannolikheter av r:te ordningen i en matris betecknas P (r. Alltså har vi P (r = P r. Vi antar att processen vid t = 0 startar i E i med en given sannolikhet p (0 i. Radvektorn ( p (0 = p (0 1, p(0 2,... kallas startfördelningen.

8 Markovkedjans fördelning Startvektorn och övergångsmatrisen bestämmer processens fördelning. Fördelningen vid tidpunkten n ( p (n = p (n 1, p(n 2,... Det gäller att p (n = p (0 P n.

9 Om asymptotiska fördelningar Fördelningen vid tidpunkten n är ( p (n = p (n 1, p(n 2,.... och p (n = p (0 P n. Om ( p (n = p (n 1, p(n 2,... går mot π = (π 1, π 1,... då n, π j 0, i=1 π j = 1 och π ej beror av startvektorn säges kedjan ha en asymptotisk fördelning (jämviktsfördelning.

10 Företagsstruktur I en viss bransch klassificerar vi företagen som små (10-99 anställda medelstora ( anställda stora (över 400 anställda

11 n 11 n 00 + n 01 + n 10 + n 11 = n Att skatta övergångssannolikheter Antag att vi har observerat följande växlingar i vädret n + 1 = 40 dagar 0 0 }{{} 00 0 }{{} , 01 där 1 betyder regn och 0 betyder torrt väder. Fyra typer av förändringar i data 00 torrt väder följdes av torrt väder Vi har n = 39 övergångar i data (kolla!. n 00 antal övergångar från 0 till 0 n 01 antal övergångar från 0 till 1 n 10

12 Att skatta övergångssannolikheter ( n00 n 01 ˆP = n 10 n 11 n 00 n 00 +n 01 n 01 n 00 +n 01 n 10 n 10 +n 11 n 11 n 10 +n 11

13 Att skatta övergångssannolikheter Nu är n 00 = 16 n 01 = 6 n 10 = 6 n 11 = 11 Då skattar vi övergångsmatrisen ˆP = n 00 n 00 +n 01 n 01 n 00 +n 01 n 10 n 10 +n 11 n 11 n 10 +n 11 n 00 + n 01 = 22 n 10 + n 11 = 17 = ( 16/22 6/22 6/17 11/17 Data simulerades från övergångsmatrisen ( = (