Föreläsn. anteckn. HT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9

Transkript

1 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 1 Föreläsn. anteckn. HT1. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9 Det 4:de huvuda momentet av kursen är egenvektorer/egenvärden och dessa tillämpingar. Här ges en sammanfattning och mer exempel med lösningar 1 Egenvärden och Egenvektorer. Motivering och Teorin Alla matriser i denna texten är kvadratiska n n-matriser om inget annat är sagt. 1.1 Kort sammanfattning av Kap 5-7/Ex. 1. Basbytesmatriser. Låt G = (g 1 g n ) vara en bas till R n. En linjär avbildning med matris A, v Av har också en matris relativt G, A G. Sammbandet mellan A och A G är A = GA G G 1 Formeln A = GA G G 1 är lättare att förstå som AG = GA G, eller annat sagt, det är enkelt att uppfatta A G som AG = (Ag 1,, Ag n ) = (g 1,, g n )A G I bland är en linjär avbildning x Ax given som en geometrisk avbildning. Så kan vi bestämma A G enligt ovan och bestämma A efterhand som A = GA G G 1.. Ex. Låt u = [1, 1, 1] t och f vara rotation en vinkel 90 o = π runt axeln genom origo med riktningsvektorn n (dvs moturs sett från u s spets). Bestäm matrisen för f under standardbasen. Lsn. Rotationen f har självklart en enkel form under en bas bestående vektorn n och två ON-vektorer på det ortogonala planet. Låt n = 1 u och v 1 = 1 [1, 1, 0] t vara en normaliserad ortogonal vector mot n. Beteckna v = n v 1 = 1 6 [1, 1, ] t Så bildar G = (n, v 1, v )

2 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang en positivt orienterad ON-bas. Låt θ = 90 o = π. Enligt definitionen får avbildar f (identifierad alltid med A) basvektorerna som (vi kan tänka oss att v 1, v är standard basen på det ortogonala planet) A f : n n [ ] cos θ v 1 cos θv 1 + sin θv = [v 1 v ], sin θ [ ] sin θ v sin θv 1 + cos θv = [v 1 v ] cos θ Dvs A G är given som A f : G = [n v 1 v ] [n v 1 v ] 0 cos θ sin θ, A G = } sin θ {{ cos θ } A G Eftersom G är en ON-matris får vi G t G = I och G 1 = G t och SVAR: A = GA G G 1 = GA G G t = (Ser du att A också är en ON-matris. Varför?). Kriteriet för att ekvationssystemet Ax = 0 har en icke trivial lösn x 0: Ekvationen Ax = 0 har en icke trivial lösn x 0 omm det A = Exempel. Motivering till Egenvärde-egenvektor-problemet 4. Ex. Vi tar upp Matlab-uppgiften om biluthyrningen och betraktar en förenklad version. Säg att firman Hyr-Ett-Vrak har sina bilar på Centralen eller uthyrda. Av de bilar som är på Centralen i början av en vecka är / kvar där i början av veckan därpå, 1/ är uthyrda. Av de som var uthyrda i början av en vecka är 1/ det också veckan därpå, 1/ är på Centralen. Låt oss ge alla berörda kvantiteter två underindex, 1 = Centralen, = Uthyrda. Den ovana tabellen kan kort beskrivas som en -matris. [ ] / 1/ A = [a ij ] = 1/ 1/ där a ij är percent av bilar till j efter en vecka från i. Låt v 1 (n) vara antalet bilar på Centralen vecka n, och v (n) antalet uthyrda bilar vecka n och låt [ ] v1 (n) v(n) =. v (n)

3 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang Vi har sett att v(n + 1) = Av(n) och att matlab-beräkningarna indikerar att v(n) konvergerar mot en stabil lösninga v, Av = v, oavsett vilken begynnelsevektor v(0) att börja med. (Det gäller inte helt rätt om man inte ger begränsningar till v(0). Se lösningsex. nedan.) Säg att firman har 50 bilar och vi kan till ex börja med en godtycklig input v, v 1 = 10 v = 40. Veckan därpå blir [ ] 7 Av(0) Låt nu v 1 = 0 v = 0. Veckan därpå är precist den samman, Av = v. Så kan man säga denna omdelniningen är mer representativ än den första. Med andra ord kan vi säga att [ ] /5 v = /5 är typisk eller genomsnitt fördelning av bilarna. v kallas en egenvektor till A med egenvärdet λ = 1, Av = λv 5. Ex. Betrakta en statistik på slumpmässiga web-surfningar på två hemsidor 1 och. Unifär en / av de som läser sidan 1 stannar där och 1/ flyttar till sidan, en 1/ som är på sidan stannar medan 1/ flyttar till sidan 1. Vi följar konventionen i Grafteorien och Grannmatrisen och betecknar b ij sannolekheten att man flyttar från sidan i till sidan j. Så får vi följande matrisen [ ] / 1/ B = [b ij ] = 1/ 1/ Vi börjar med att surfa planlöst. Låt r = [r 1 r ], r 1 + r = 1 vara (en radvektor och) sannolikheten att vi väljar sidorna. En representativ surfning på sidorna ges av vektoren r, r = rb. Vi ser med huvudräkning att r = [/5, /5] är en lösning. Dvs r en mättning på populariteten av sidorna. Se ytterligare [SL. Ex 9.45] om Googles Page Ranking. OBS! Anledingen till att vi har den vänstra multiplikationen r rb är att elementet b ij beskriver sannolekheten att vi flyttar från i till j, medan i det ovana exemplet med bilflyttningarna är a ij andeln från j till i. 6. Ex. Låt S vara en matris för speglingen i linjen med en normaliserad riktningsvektor r och normaliserad normalvektor n. Enligt definitionen för speglingen får vi Sr = r, Sn = n

4 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 4 Dvs S har egenvärden ±1 med tillhörande egenvektorer r, n. Detta kan formuleras som [ ] 1 0 S = G G 1, G = [r n], G 1 = G t (G är en ON-matris) 0 1 Denna formeln 1 kallas en diagonalisering av A. 1. Att bestämma egenvärden/egenvektorer Ett reellt tal λ kallas för ett egenvärde till A om Ax = λx för något x Vi försöker nu hitta en metod att bestämma alla egenvärden och motsvarande egenvektorer. Ekvationen Ax = λx, x 0 är ekvivalent med 0 = Ax λx = (A λi)x, x 0 (där I = I n är enhetsmatrisen) vilken kan formuleras ekvivalent som att λ är ett egenvärde till A omm (A λi)x = 0, x 0 har en lösning. Enligt Påminnesen ovan gäller detta omm det(a λi) = 0. Den här ekvationen kallas för den karakteristika ekv. för A. Proceduren att bestämma egenvärden och motsvarande egenvärden: Steg 1. Lös den karatertisktiska ekvation det(a λi) = 0, dvs räkna determinanten och lös polynomekvationen, och bestäm egenvärden λ. Steg. För varje λ lös ekv.systemet (A λi)x = 0 (som måste ha icke triviala lösn. enligt Sats 5.8). 8. Anmärkning. Eftersom det(a λi) = det(a t λi) så har A och A t samma egenvärden (men inte samma egenvektorer). Men för att inte blir förvirrade med konventionen i Grannmatrisen är det bra att omformulera ett problem rb = λr för en radvektorer r som B t k = λk med en kolonnvektor k = r t. 1 Ni kanske undrar den ser lite annorlunda ut som vi bevisat i Kap, att S = I nn t. Men de två är exakt samma. Obeservera att GG t = I säger [ ] r t [r n] n t = I, dvs rr t + nn t = I, dvs rr t = I nn t och samma som tidigare. [ ] [ ] [ ] 1 0 r t r t S = [r n] 0 1 n t = [r n] n t = rr t nn t = I nn t nn t = I nn t

5 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 5 Problemslösningar 9. Ex. Låt A vara A λi = [a ij ] = [ ] / 1/ A = [a ij ] = 1/ 1/ [ ] / λ 1/, det(a λi) = ( 1/ 1/ λ λ)(1 λ) 1 6 = λ 7 6 λ+1 6. Ekvationen λ 7 6 λ = 0 lösas av (enligt formeln λ = 1 b ± ( 1 b) ac för en kvadratiska ekv aλ + bλ + c = 0) λ = 1 (7 6 ± 5 6 ) = 1, 1 6. Vi fick det ena egenvärdet λ = 1 innan med Matlab-experiment. De motsvarande egenvektorerna bestäms av ekvationen (A I)x = 0 och [ ] x = c, c fri Lös den andra egenvektor-ekvationen (A 1 I)x = 0, 6 [ ] 1 x = c, c fri 1 Matrisen A har två olika egenvärden och därmed linjärt oberoende egenvektorer och ytterligare en bas. Skriv Får vi dvs en diagonalisering G = [ ] 1 1 [ ] 1 0 AG = G 0 1/6 [ ] 1 0 A = G G 1 0 1/6 [ ] [ ] 1,, (a) Ge en diagonalisering till A = [ ] 1 0 (b) Kan du diagonaliser matrisen A = Kolla satserna i boken och motivera ditt svar. [ ] 1? 0 1

6 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 6.1 Tillämpingar. Slumvandringar på grafer. Låt G = (V, E) vara en graf (riktad eller ej). och n = V antalet noder. Vi skall numera noderna som {1,,, n}. Påminnas att kantmängden E är en delmängd av produktmängden V V = V = {1,,, n}. (Dvs vi behandlar ej multigrafer där det kan vara flera kanter mellan två noder.) Grannmatrisen till G är en matris A = (a ij ) där { 0, om (i, j) ej är en kant, dvs ej i E a ij = a i j = 1, om (i, j) är i E 11. Anmärkning. Vi kan även definiera Grannmatris för en multigraf, a ij = a i j är då antalet kanter från i till j. Men egentligen är de relativa antalkanterna mellan två noder, eller s.k. övergångsmatrisen, som är viktigaste. Säg att det är en multigraf med noder; det finns kanter från 1 till själv (dvs öglor), 1 kant från 1 till, kanter från till 1 och två öglor på. Så får vi [ ] 1 A = [a ij ] = Övergångsmatrisen beräknar chanser man kan flytta från i till j, dvs [ ] / 1/ M = (m ij ) = 1/ 1/ Nu har vi en matris som har summan av varje rad blir 1 (iställt att varje kolonn har sin summa 1 som i Hyr-Ett-Vrak-uppgiften). Hur är en typisk eller en mest representiv slumpvandring på grafen ser ut? En annan tolkning av problemet är att vi är 100 personer vandrande på ett fält med grafen som en karta (som går från den ena noden till den andra med noll tid). Hur många personer finns på varje nod? 1. För enkelhetsskull antar vi att G är en enkelgraf (ej multigraf.) med Grann matris A. Övergångsmatrisen M definieras som ovan genom m ij = chanser att förflyttas från i till j ur alla möjliga kanter från i till alla möjliga k, k = 1,, n a ij = n k=1 a. ik Ett av huvuda problemen i slumpvandringar är att hitta en fördelningsvektor r = [r 1 r n ] som beskriver en stabil vandring på G. Här r r n = 1 och alla är mella 0 och 1. Men en stabil vandring menas rm = r. Vilket är ett egenvärde-egenvektor-problem, M t r t = r t om vi insisterar i att behandla kolonnvektorer. Se ex. i boken om numeriska beräkningar.

7 Föreläsn. Anteckn., Linjär algebra D HT01/Genkai Zhang 7 1. Övn. (a) Bestäm Grannmatriserna för följande grafer med noder och stationära fördelningarna: (1) Tre isolerade noder, () en isolerad nod och en kant, () en -väg, (4) en triangel, (5) en triangel med en ögla. (OBS! Det är ofta effektivare resonera fram resultatet än att beräkna övergångsmatrisen - om man glömmer den allmänna Satsen 9.5) (b) Tolka följande matris som Grannmatris för en riktad multigraf (som internet-surfandet på två sidor) (a ij är antalet kanter från i till j.) Bestäm motsvarnde stationära fördelningen (den kan ej finnas två, om matrisen ej är enhetsmatrisen, varför?) [ ] 1. 4 Man behöver en generalisering av Sats 9.5 för grafter med öglor. Hur? [9, 14] 1 Facit: