TMV206-VT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra

Transkript

1 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 1 TMV206-VT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för linjära avbildningar, speciellt kommer vi att gå genom teorin med material från olika kapitel av boken Jag skriver ner därför den här (icke finslippade) texten om bland annat, matrisalgebra, linjäravbildning, volymer och determinant 1 Linjär avbildning och matrisalgebra (Kap 2, Kap 31-33, SL LinAlg) Matematiskt är matrisalgebra och linjära avbildingar samma sak Huvudmålet av kursen linjär algebra är att lösa ekvationsystem samt att lära dess tillämpning Att studera matrisalgebra genom linjära avbildningar, dvs betrakta algebra som geometriska operationer, är ett av centrala tema i matematik; kort sagt, vill man omformulera diversa matematiska eller praktiska problem som ett geometriska problem Vi får därifrån intuition och hittar rätta verktyg! Några konkreta exempel har vi minsta-kvadrat-läsning (se Överbestämda system, Kap 56) och diagonalisering av symmetriska matris (se Kap 8) 11 Matrisalgebra (Kap 2) Betrakta ekvsys { x 1 + 2x 2 = 5 3x 1 + 4x 2 = 6 För att kunna jämföra med en ekv ax = b så introducerar vi koefficientmatrisen 1 2 A = 3 4 x1 En lösning (x 1, x 2 ) skall idenifieras som en vektor x = x 1 e 1 + x 2 e 2 =, och ekv systemet skall skrivas som Ax = b, b = Vi känner oss manade att lösa ekv:n med 5 = 5e e 2 x = A 1 b Men vi behöver först se över reglerna innan vi börjar invertera matriser 1 Vi påminner oss att addition/multiplication av tal uppfyller följande regler 1 Det sägs att några anställda i ett högteknologiskt företag ville invertera en gigantiskt stor matris med elementärvis invertering och fick nästan hela datorerna att krascha x 2

2 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 2 1 a + 0 = a, a0 = 0, a1 = a 2 a(cx) = c(ax) (Konstanten c är fritt fram) 3 (a + b)x = ax + bx, a(x + y) = ax + ay (Distributiviteten) Matrismultiplikation Vi behandlar 2 2-matriser - allmänna matriser är egentligen samma x1 Skriv A som två kolonnvektorer A = a 1 a 2 Låt x = Ax = a 1 a 2 x1 x 2 x 2 = x 1 a 1 + x 2 a 2 (1) som är linjär kombination av a 1, a 2 Alternativt kan vi betrakta A som två rader av radvektorer Först definierar vi multiplication av en radvektor med en kolonnvektor Låt och vi definierar Skriv A som två radvektorer rx = p q Matrisprodukten (1) är det samma som Ax = Ex eller r = p q x1 x 2 A = r1 = 7 = r 2 = x 1 p + x 2 q (2) r1 r 2 x = r1 x r 2 x 2 = = Den sista är på något sätt snabbare att beräkna, medan den första är begreppsmässigt bättre Matriser som motsvarande 0, 1 blir noll-matriser 0, och identitetmatrisen 1 0 I 2 = I = 0 1 Räkneregler för matriser är exakt samma som tal, så längre man behåller ordningen under multiplikationen - bortsett från skalärmultiplikation som är fritt fram (3)

3 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 3 Transponant Låt r vara en radvektor r = c d Transponentet r t är kolonnvektorn r t = c d (Omvänt blir transponentet k t av en kolonnvektor k en radvektor) OBS! Matrismultiplikation av radvektor och kolonnvektor vs Inreprodukt (2 ) kan omskrivas rx = r t x Detta kommer att användas av i minst-kvadrat-lösning Transponentet A t av en m n-matrix A är denna n m-matrix vars j:te kolonnen är den j : te raden i A transponerad, dvs A t = r t 1r t 2 r t m, om A är skriven som m rader (av rad-n-vektorer) r 1 A = r 2 r m (Alternativt: A t är n stycken rad-m-vektorer om A är n stycken kolonn-m-vektorer) Vi gör några små beräkningar av matriser Ex 12 4 = 14, = (Se du någon samband mellan resultaten?) = (förlängning) 4 5 1/4 5/12 = I /3 2 (invertering) 12 Linjära avbildningar (Kap SL:LinAlg Påminnas att begreppet y = f(x) är en funktion i x eller f är en avbildning från x till y använder vi för att uttrycka värdet av y är bestämt av variablen x Den enklaste klassen av funktioner är linjära fkt i en variabel x, dvs, f(x) = ax Linjära funktioner av två variabler är av form z = f(x, y) = a 1 x + a 2 y Denna kan vi betrakta som en avbildning från planet R 2 av vektorer xe 1 + ye 2 till reella linjen R Det är bra att skilja definitionsmängden R 2 av (x, y) ifrån

4 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 4 värdemängden R av z Även om det är en funktion f : R 2 R 2 med samma R 2 är det bra att skilja det ena R 2 från det andra R 2 (Mer viktigt är det i praktiken) Funktionerna ax eller a 1 x + a 2 y är ex på linjära skalära funktioner Vi tittar nu vektorella funktioner av flera variabler, dvs funktioner som har vektorer som värden Ex f : (x, y) (w, z), w = x + 2y, z = 3x + 4y Denna funktion kan vi skrivas mha matrismultiplikationen 1 2 u = f(v) = Av, A = 3 4 där v = xe 1 + ye 2, u = ze 1 + we 2 OBS! Allmänt, A = AI 2 = Ae 1 Ae 2 enligt definitionen för matrixmultiplikation Räknelagarna för matrisprodukt Av kan man omformuleras som egenskaper för f: f(cv) = cf(v), f(u + v) = f(u) + f(v) Sammanfattning: Varje 2 2- matris A definierar en linjär avbildning f A : R 2 R 2 Omvänt har vi följande Sats Varje linjär avbildning f : R 2 R 2 är av formen f A, f = f A, för någon 2 2-matris A som bestäms av A = f(e 1 ) f(e 2 ) Def A kallas matrisen för f Se senare ex för att se hur man bestämmer matriser för lin avb 13 Determinant Area Volym Vi kan grovt beskriva samband mellan algebraiska beräkningar som inreprodukt och korsprodukt så här Inreprodukt u v Projektionen av u på v Korsprodukt u v Area av parallellogram spant av u och v samt medurs-moturs-orienteringen av paret (u, v) (i förhållande till en fix orientering i planet) Vi kommer att introducera determinanten det(a) för en 3x3-matris som beräknar volymen på en parallellopiped och som omfattar båda inreprodukt och korsprodukt Påminn om korsprodukten: u v definieras som vektorn sådan att

5 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 5 (i) u v är ortogonal mot u och v, (ii) den minsta vridning (dvs mellan 0, π) med högra handen från u till v ger tummen siktad åt u v, (iii) Längden av u v är arean av parallellogramen med sidorna u och v Ex Betrakta två vektorer u 1 u = u 1 e 1 + u 2 e 2 = u 1 e 1 + u 2 e 2 + 0e 3 = u 2, v = v 1 e 1 + v 2 e 2 = v 1 e 1 + v 2 e 2 + 0e 3 = v i xy-planet i xyz-rummet Korsprodukten u v är då parallell med e 3 Mer precist u v = 0 0 = (u 1 v 2 u 2 v 1 )e 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Enligt definitionen är u 1 v 2 u 2 v 1, bortsett från tecknet, arean för parallellogramen spant av u, v; den är positiv om (u, v) är moturs och negativ medurs Dvs, talet u 1 v 2 u 2 v 1 beräknar då arean med orientering relativ den given orientering på xy-planet Vi har sett en teknik i matematik där vi kan betrakta ett två-dimensionellt problem i tre-dimensioner 2 Ett fågelperspektiv Låt nu a b A = c d vara en 2 matris Def Determinanten det(a) av A definieras som det(a) = ad bc Betrakta A = u, v som två ordnade vektorer Enligt beräkningen ovan på korsprodukten (av ũ = u + 0e 3, ṽ = v + 0e 3, dvs u, v lyftades till tre i tre-dim) får följande Sats det(a) är arean Area(P ) av parallellogramen P som spänns upp av u, v, om paret (u, v) är moturs, det(a) = Area(P ); den är negativ av Area(P ) om paret är medurs, det(a) = Area(P ) Volym Vi söker nu lösningen till följande fråga Låt u, v, w vara tre vektorer Hur beräknar vi volymen av parallellopepiden P som de spänner upp? Hur avgör orienteringen av de (höger eller vänster hand, dvs ser ut som (e 1, e 2, e 3 ) eller (e 1, e 2, e 3 ))? 2 Ni vet säkert lite grann om Einsteins relativitetsteori som säger att vi lever i 4-dim iställt för 3? v 1

6 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 6 Först antar vi för tillfället att (u, v, w) är höger-hand-orienterad, dvs positiv orienterad Påminn Volym av en parallellopipeden V ol(p) = Basarean Höjden (4) Beteckna parallellogramen som spänns upp av u, v som B Betrakta B som basen, som sitter på ett plan B V ol(p) = Area(B) Höjden (5) Låt Enligt (i)-(iii) ovan är längden av n är arean och n är en normalvektor till B w n := u v (6) Area(B) = n (7) v u Höjden är då längden av orthgonalprojektionen, säg h, av w på normallinjen Av Kap 13, Sats 120 i textboken, vet vi h = n w n w n, Höjden = h = n 2 n (8) Bas med normal höjden Nu samlar vi upp dessa, (5)-(8) och kockar ihop, n w V ol(p) = Area(B) Höjden = n n Enligt vårt antangandet av orienteringen blir n w postiv, dvs V ol(p) = (u v) w = n w = (u v) w

7 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 7 Så får vi Sats Volymen av parallellopepiden P som spänns upp av u, v, w är om de är positivt orienterade, annans blir V ol(p) = (u v) w V ol(p) = (u v) w Enligt formeln för korsprodukten i koordinater får vi u 2 v 3 u 3 v 2 u v = u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 och (u v) w = (u 2 v 3 u 3 v 2 )w 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 )w 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 )w 3 = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Detta definierar vi som determinant för matrisen A = u v w och kan beräknas med s k Sarrus regl Def det(a) = u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 u 3 v 2 w 1 u 1 v 3 w 2 u 2 v 1 w 3 Satsen ovan kan omformuleras som V ol(p) = detu v w om de är positivt orienterade Anmärkning Om A är en övertriangulär matris a 11 a 12 a 13 A = 0 a 22 a a 33 då är produkten av diagonalelementen det(a) = a 22 a 22 a 33

8 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 8 14 Små beräkningar av det(a) mha radreducering Radreducering, eller Gauss elliminering, är en metod att lös ekvsys Den kan också använda för att beräkna determinant Det är samma princip för alla kvadratiska matriser, så beskriver jag här bara för 3 3-matriser För allmänna större matriser, säg 5 5, tar det mycket tid med handberäkningen om de inte har andra specialla egenskaper Man kan använda dator förstås Observera att determianten det(a) för n n-matris A (n = 2, 3) har följande egenskaper: (1) det(a) = det(a t ) Detta medförs av definitionen Man kan då betrakta A som en kolonn av radvektorer (iställt som kolonnvektorer) om man vill (2) den byter tecken efter omkastning av två rader (eller kolonn), ty att orientering av motsvarance parallellogramen (n = 2) och parallellopepiden (n = 3) ändras, (3) om två rader är det samma så blir den noll, ty det blir en degenererad parallellogramen (dvs ett segment n = 2) med noll area och degenerad parallellopepiden (en kallapad sådan, n = 3) med noll volym (4) den är linjär i varje rad (medan andra rader är fasta) Låt n = 3 Vi fixerar den 1:a och 2:a raderna och låt 3:te raden variera Med fixerade basen är arean linjärt beroende på höjden, vilken är en orthogonalprojektione av den 3:raden på normallinjen, men denna projektionen är linjär i raden (3) och (4) tillsammans medför att radoperationen c (i:te raden) + (j:te raden) blir den nya (j:te raden) förändrar ej det(a) Så kan vi genom några radoperationer överföra A till en övertriangulär matris vars determiant är produkt av diagonalen Ex Vi utför radreducering på A = ( 4)rad1+rad2,( 7)rad1+rad3, så får vi det(a) = 3 Fråga/Övn Kan du argumentera utan beräkning att det = 0? Uppgifter med lösning ( sudoku- beräkn Ex (a) Låt f vara speglingen map linjen L: y = 2x i planet Beräkna matrisen för f (b) I rummet representerar y = 2x + 3z ett plan P Beräkna matrisen för speglingen map P i rummet

9 Föreläsn Anteckn, Linjär algebra IT VT2013/Genkai Zhang 9 Lsn: Linjen L: y = 2x kan skrivas som 2x + y = 0 En normal till linjen är n = v1 Speglingen för en godtycklig vektor v = är (se bilden ner) v dvi Så att Svar: Matrisen är f(v) = v backad två steg längs normalen f(v) = v 2 v n n n n = f(e 1 ) = 1 15 v1 v 2 2 2v 1 + v 2 5 3, f(e 4 2 ) = (b) I rummet har planet y = 2x + 3z, dvs 2x + y 3z = 0 en normal n = 1 Speglingen 3 blir det samma som i två dimension, dvs backad två steg längs normalen, f(v) = v 2 v n v 1 n n n = v 2 2 2v v 2 3v v 3 3 Bilderna av enhetsvektorerna blir f(e 1 ) = 1 6 4, f(e 2 ) = , f(e 2 ) = och matrisen för speglingen är / Fråga/Övning Kan du bevisa med geometrisk argument, utan beräkningar, att matriserna A ovan uppfyller A 2 = I, det(a) = 1 v n linjen speglingen av v map linjen