MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT-01

Transkript

1 LUNDS UNIVERSITET MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK ÖVNINGSUPPGIFTER (S-UPPGIFTER) MATEMATISK STATISTIK AK, MAS 101:A, VT I utfallsrummet har händelserna A, B och C sannolikheterna 0.20, 0.4 resp Dessutom är A och B disjunkta, likaså A och C. (a) Hur stor är P(A B)? (b) Hur stor är P(A )? (c) Hur stor är P(AC)? (d) Är B och C disjunkta? 2. Dra samtidigt två kort ur en kortlek. Sannolikheten att det ena är en hjärter är 1/4 och sannolikheten att det andra är en hjärter är också 1/4. Dessutom är sannolikheten att båda är hjärter 1/17. Beräkna sannolikheten att minst ett av korten är hjärter. 3. Visa följande variant av Booles olikhet: P(A B) 1 P(A ) P(B ). Ge exempel på när likhet gäller personer sitter runt ett bord. Kalle vill uttala sig om personernas framtid men känner inte till vilka (av 12 möjliga) stjärntecken de är födda i. Han antar därför en modell där alla möjliga konfigurationer av stjärntecken har samma sannolikhet. Vad är enligt denna modell sannolikheten att (a) alla är födda i samma tecken? (b) minst två är födda i samma stjärntecken? (c) minst två är fiskar? 5. Tag slumpmässigt, utan återläggning, 5 kort ur en kortlek med 52 kort (dvs en pokerhand). Beräkna med hjälp av den klassiska sannolikhetsdefinitionen sannolikheten för att (a) alla är. (b) inget är. (c) fyra är ess. (d) minst ett av korten är ett ess. 6. (Detta problem diskuterades i en brevväxling mellan Fermat och Pascal.) Pierre och Blaise spelar ett spel där i varje omgång båda har lika stor chans att vinna. De satsar 10 franc var och bestämmer att den som först har vunnit 10 omgångar får pengarna. De blir dock avbrutna av Modesty och spelet måste avslutas efter 15 omgångar då Pierre har vunnit 8 omgångar och Blaise 7. Hur bör de dela upp sina 20 F? (Om X är Pierres vinst vid fortsatt spel skall han få E(X ) vid avbrutet.) 7. Ett nytt test för att avslöja en allvarlig sjukdom har tagits fram. Det ger positivt utslag med sannolikhet 0.99 om personen har sjukdomen och med sannolikhet 0.05 om personen inte har den. Det är känt att 1 procent av patienterna har sjukdomen. Beräkna den intressanta sannolikheten att en patient har sjukdomen ifråga om utslaget är positivt. 8. (Gissa först och räkna sedan!) En låda innehåller två mynt, ett vanligt med krona på ena sidan och klave på den andra samt ett med krona på båda sidorna (en s.k. tvåkrona?). Ett mynt väljs slumpvis och kastas varvid krona kommer upp. Med vilken sannolikhet är myntet på den andra sidan också krona?

2 9. Sätt tillräckligt många apor vid var sin skrivmaskin under tillräckligt lång tid och förr eller senare kommer någon apa att producera Shakespeares samlade verk. En skrivmaskin antas ha 50 tangenter inklusive mellanslagstangenten, och en apa antas varje gång trycka ner en av dessa med sannolikheten 1/50 oberoende av vilka tangenter han tidigare använt. Uppskatta hur många apor som måste till för att sannolikheten för att minst en apa med sina 24 första nedslag åstadkommer meningen ATT VARA ELLER INTE VARA skall vara större än 1/2? (Ledning: lim x 0 log(1 x)/x = 1.) 10. Två defekta transistorer har av misstag hamnat i samma ask som tre felfria. För att få reda på vilka tre som går att använda, testar man en transistor i taget tills man funnit antingen de båda defekta eller de tre felfria. Låt X beteckna det antal test man behöver göra. Bestäm fördelningen för X. 11. Låt X vara en stokastisk variabel med täthetsfunktion f X (x) = e x om x 0 och 0 annars. Beräkna fördelningsfunktionen F X. Definiera nu Y = ax + b för en positiv konstant a. Vad blir F Y och f Y? (Tänk på att {Y y} = { Y b a y b a }.) 12. Triangeln RST är liksidig med sidan 1. Man väljer på måfå en punkt Q i triangeln. Härvid ska uttrycket på måfå tolkas så att om A är ett område i triangeln så kommer Q att hamna i A med en sannolikhet som är proportionell mot arean A av A, som alltså (varför?) är lika med 4 A / 3. Ange fördelningsfunktionen för X = avståndet från Q till sidan ST. 13. Visa att funktionen { 1, 0 x 1, 0 y 1 f X,Y (x, y) = 0, annars är en täthetsfunktion för en tvådimensionell stokastisk variabel (X, Y ). (a) Bestäm F Y. (b) Beräkna P(X 2Y ) och P(X 2 + Y 2 1). (c) Är X och Y oberoende? (d) Bestäm F U och F V då U = X + Y och V = min(x, Y ). 14. Betrakta en rektangel med bas X och höjd Y där (X, Y ) har den simultana täthetsfunktionen { 6xy f X,Y (x, y) = 2, 0 x 1, 0 y 1 0, annars (a) Bestäm F X,Y och f X. (b) Vad är sannolikheten att basen är längre än 1/2? (c) Vad är sannolikheten att rektangelns omkrets är mindre än 1? (d) Bestäm f Z då Z = max(x, Y ). (e) Låt U vara oberoende av X med fördelning F U = F X. Betrakta rektanglarna A och B med sidor (X, U ) respektive (X, X ). Vad är väntevärdena av rektanglarnas areor och omkretser? 15. De tre fångarna Pål, Petter och Per får besked att två av tre skall avrättas. Pål pratar med fångvaktaren och säger: Vi vet båda att åtminstone en av Petter och Pär ska avrättas. Om du vet någonting, kan du väl säga namnet på en som ska avrättas av dessa två. Fångvaktaren ser ingen skada i att tala om för Pål att Petter ska avrättas. Pål blir glad när han hör detta, för nu har sannolikheten att han ska avrättas sjunkit från 2/3 till 1/2. Har Pål resonerat rätt? (Ledning: Antag att fångvaktaren med sannolikhet 1/2 (eller allmännare p) väljer att ange Petter i det fall han har något val, dvs då Pål frikänns.) 2

3 S-uppgifter: MAS 101:A, VT Låt ett likformigt fördelat slumptal i intervallet (0, 1) ges av u = Generera med hjälp av inversmetoden ett slumptal x från en Laplace-fördelning (alternativt: dubbel exponentialfördelning) med täthetsfunktionen { e f X (x) = x /2, x 0 e x /2, x > Låt X = max{y 1,..., Y 5 }, där Y i R( 1, 4), i = 1,..., 5 är oberoende stokastiska variabler. Generera ett slumptal från X med hjälp av slumptalet u = från R(0, 1). 18. Generera slumptal från en fördelning med täthetsfunktionen { x, 0 x 1 f (x) = 2 x, 1 x 2 med hjälp av rejektionsmetoden. Till ditt förfogande har du två slumptal u 1 = och u 2 = från R(0, 1). 19. Generera slumptal från en fördelning med täthetsfunktionen f (x) = x x6, 0 x 1 med hjälp av rejektionsmetoden. Till ditt förfogande har du två oberoende slumptal och från R(0, 1). 20. Generera slumptal med Box-Müllers metod från N(0, 1) med hjälp av två oberoende slumptal och från en likformig fördelning i intervallet (0, 1). 21. Generera slumptal från N(0, 1) med Marsaglias metod med hjälp av de fyra oberoende slumptalen , , och från en likformig fördelning i intervallet (0, 1). 22. Om x är ett slumptal från (a) R(0, 1), hur genereras ett slumptal från R(a, b)? (b) N(0, 1), hur genereras ett slumptal från N(m, )? (c) (1, 1), hur genereras ett slumptal från (1, a)? 23. (Detta problem är känt under namnet S:t Petersburgsparadoxen.) Du får kasta ett mynt tills klave kommer upp för första gången. Om detta sker i n:te kastet vinner du 2 n kronor. Låt X beteckna vinsten. Visa att E(X ) =. (a) Skulle du vilja betala en miljon kronor för att spela detta spel en gång? (b) Skulle du vilja betala en miljon kronor för varje spel, om du kunde spela så länge du ville, och inte behövde betala förrän du slutade spela? 24. Visa att C(a + bx, c + dy ) = bdc(x, Y ) om a, b, c och d är konstanter. 25. Per äger fyra par skor för utomhusbruk och bor i ett hus med två ytterdörrar. När Per går på promenad väljer han en av utgångarna slumpmässigt med samma sannolikhet, tar på sig ett par skor vid dörren, återvänder så småningom till en slumpmässigt vald dörr och ställer skorna där. Anta att det från början står 2 par skor vid varje dörr och låt X beteckna det antal avslutade promenader han utför innan han finner att alla skor står vid motsatt dörr mot den han vill gå igenom. (a) Beräkna E(X ). (b) Beräkna V(X ). (Betydligt svårare.) (Detta tal finns även i kap 10, där man genom simulering skall uppskatta E(X ). Gör gärna detta för att kontrollera att din räkning stämmer.) 26. Surhetsgraden i ett vattendrag bestäms varje måndag med hjälp av en ph-meter. Därvid uppstår ett fel Y med väntevärde och standardavvikelse = Här bör (= det systematiska felet) vara 0 men 3

4 S-uppgifter: MAS 101:A, VT-01 på grund av en feljustering i ph-metern är = 0.4. Anta vidare att vattnets surhetsgrad varierar från måndag till måndag som en s.v. X med väntevärde 5.5 och standardavvikelse 0.5. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för mätresultatet en godtycklig måndag. 27. (Forts från uppgift S26.) Anta att man varje måndag gör tre mätningar på ett vattenprov med surhetsgraden X och att man därefter bildar medelvärdet av de tre mätningarna. Hur stor blir standardavvikelsen för detta medelvärde om de slumpmässiga felen vid de tre mätningarna är oberoende och X varierar som i uppgift S De s.v. X och Y har varianserna V 1 respektive V 2 och korrelationskoefficienten. Bestäm c så att Z = X + cy får minimal varians. Ange även variansen minimivärde. 29. Låt X 1 och X 2 vara oberoende och exponentialfördelade med väntevärdet 1 och sätt Y = min(x 1, X 2 ) och Z = max(x 1, X 2 ). Beräkna korrelationskoefficienten (Y, Z). (Ledning: Utnyttja sambandet X 1 + X 2 = Y + Z och betrakta V(Y + Z). 30. Momentgenererande funktionen för X ges av X (t) = exp(2e t 2), och för Y gäller att ( ) 3e t Y (t) =. 4 Dessutom är X och Y oberoende. (a) Beräkna P(X + Y = 2). (b) Beräkna P(XY = 0). (c) Beräkna E(XY ). 31. (a) Beräkna momentgenererande funktionen Z(t) för en s.v. Z vars täthetsfunktion är f Z (x) = 1 2 e x. (b) Beräkna momentgenererande funktionen X (t) för en s.v. X som är exponentialfördelad med täthetsfunktionen f X (x) = e x för x 0. (c) Bevisa att för varje s.v. Y är Y (t) = Y ( t). (d) De s.v. X och Y är oberoende och exponentialfördelade med täthesfunktioner f X (x) = f Y (x) = e x för x 0. Beräkna X Y (t). (Ledning: Utnyttja att X Y = X + ( Y ) och använd resultaten i (b) och /c) ovan. (e) Jämför den i (a) beräknade funktionen Z(t) med den i (d) beräknade funktionen X Y (t). Slutsats? 32. Låt S = N i=1 X i, där N är en heltalsvärde s.v. och {X i } N i=1 är likafördelade. Anta vidare att alla ingående s.v. är oberoende. (a) Visa att S(t) = P N ( X (t)), där P N (s) är sannolikhetsgenererande funktionen för N. (b) Visa att E(S) = E(X ) E(N ). (c) Visa att V(S) = V(X ) E(N ) + V(N ) E(X ) (För r:te gången-fördelning.) Ett mynt kastas upprepade gånger. Anta att P(krona) = p. Låt Z vara det antal kast som behövs för att få krona r gånger. (a) Bestäm P(Z = k). (b) Beräkna E(Z) och V(Z). 4

5 S-uppgifter: MAS 101:A, VT-01 (c) Beräkna sannolikhetsgenererande funktionen för Z. 34. Låt den s.v. X ha täthetsfunktion f X (x) = 2x, 0 x 1, vara väntevärde och stan- samt låt m och dardavvikelse. (a) Uppskatta P(m 2 < X < m+2 ) med hjälp av Tjebysjevs olikhet. (b) Beräkna sannolikheten. (c) Var uppskattningen bra? 35. Den s.v. X är Poissonfördelad med väntevärde m, och den har då även variansen m. Beräkna approximativt väntevärde och varians för Y = X. 36. Beräkna E(1/X ) och 1/E(X ) då X (2, 1). 37. De s.v. X och Y är oberoende och har samma väntevärde m medan V(X ) = 1 och V(Y ) = 4. Man sätter Z = c 1 X + c 2 Y och önskar välja koefficienterna c 1 och c 2 så att E(Z) = m. Detta ger ett villkor på koefficienterna. Vilket? Om man under detta bivillkor vill minimera V(Z) som funktion av c 1 och c 2, hur skall koefficienterna då väljas? 38. I det gamla relativa betygssystemet antog man att elevernas kunskaper följde en normalfördelningskurva så att 7 % skulle ha ettor, 24 % tvåor, 38 % treor, 24 % fyror och 7 % femmor (a) Om vi antar att de siffrorna är erhållna enligt figuren nedan (med intervallgränser 1.5, 2.5, 3.5 och 4.5), hur stort är väntevärdet och variansen i denna normalfördelning? (b) Om väntevärdet ändras till 3.3 (som skedde i exempelvis i matematik på naturvetenskaplig linje), men variansen behålls oförändrad, hur många kommer då att hamna i de olika betygsgrupperna? % 24% 38% 24% 7% Låt (X, Y ) vara tvådimensionellt normalfördelad med täthetsfunktionen ( [ ( ) 2 ( ) ( ) exp 1 x m x 2(1 2 ) x 2 x m x y my + x y f X,Y (x, y) = 2 x y 1 2 ( y my Visa att X och Y är oberoende om och endast om X och Y är okorrelerade. y ) 2 ]) 40. De s.v. X 1,..., X 10 är oberoende och N(1, 0.05). (a) Ange fördelningen för Y = 10X 1. (b) Ange fördelningen för summan Z = 10 i=1 X i. (c) Beräkna P( Y 10 < 0.1) och P( Z 10 < 0.1). (d) Tillämpning på ovanstående: En 5

6 maskin klipper till bomullsband i bitar, vilkas längd (enhet: meter) visar en slumpmässig variation som är N(1, 0.05). Vid ett tillfälle vill man ha 10 bitar med en sammanlagd längd på 10 meter. Då gör man på ett av nedanstående två sätt: I: Tag ett band slumpmässigt med längden X 1 och klipp till ytterligare 9 precis lika långa bitar. Sammanlagda längden är då Y. II: Tag 10 bitar slumpmässigt med längder X 1, X 2,..., X 10. Deras sammanlagda längd är då Z. Med vilken metod är sannolikheten störst att den sammanlagda längden ligger nära 10? 41. En viss typ av glödlampor har livslängder som är oberoende och exponentialfördelade med väntevärde 1000 (enhet: timme). Hur stor är sannolikheten att 100 lampor av denna typ har en sammanlagd brinntid på minst timmar? 42. Låt (X, Y ) vara tvådimensionellt normalfördelad med täthetsfunktionen ) 1 f X,Y (x, y) = exp 1 ( (1 2 ) (x2 2 xy + y 2 ) Bestäm täthetsfunktionen för den s.v. Z = ax + by. 43. Ett flygbolag tillämpar 8 % överbokning på vissa turer. Detta gör man i den trygga förvissningen om att inte alla som bokat plats kommer att utnyttja denna. I själva verket tror man sig veta, att i medeltal var tionde inbokad resenär aldrig utnyttjar sin bokade plats. Anta att ett plan har 120 platser och att man till en tur bokar in 130 passagerare. Vad är sannolikheten för att någon eller några regelrätt inbokade passagerare inte kommer att få någon plats på resan? Lämpliga approximationer och oberoendeantaganden får göras. 44. En maskin producerar enheter som är defekta med sannolikheten p. Olika enheter är defekta oberoende av varandra. Enheterna paketeras om N enheter i varje paket. Tag ur ett sådant paket utan återläggning n enheter och låt X vara antalet defekta bland dessa. Bestäm fördelningen för antalet defekta enheter Y i hela paketet, givet att X = k. 45. Låt X och Y vara oberoende Poissonfördelade s.v. med väntevärde m 1 respektive m 2. Visa att den betingade sannolikhetsfunktionen för X, givet att X + Y = n, är en binomialfördelning. 46. Låt X vara Poissonfördelad med väntevärde. Visa att p X (k) antar sitt största värde då k = [ ] (heltalsdelen av ). (Ledning: Studera p X (k)/p X (k 1).) 47. På ett bord ligger ett uppslagsverk i tre band, A, B och C, i en trave. En ström av personer utnyttjar oberoende av varandra uppslagsverket på följande sätt: Varje person väljer med lika stor sannolikhet ett av de tre banden, tittar i det och lägger tillbaka det överst i traven. Det händer aldrig att två personer samtidigt utnyttjar uppslagsverket. Traven kan se ut på sex olika sätt: E 1 = ABC, E 2 = ACB, E 3 = BAC, E 4 = BAC, E 5 = CAB, E 6 = CBA (uppifrån räknat). Betrakta detta som en Markovkedja och ställ upp dess övergångsmatris. 48. En sekvens elektriska impulser passerar ett mätinstrument som registrerar det största värdet som har passerat upp till en given 6

7 tidpunkt. Anta att pulserna vid tidpunkterna 1, 2, 3,... kan beskrivas av oberoende s.v. Y 1, Y 2, Y 3,... som är likformigt fördelade på {1, 2, 3, 4, 5}. Detta innebär att om X (1), X (2), X (3),... är de registrerade värdena vid tidpunkterna 1, 2, 3,... så är X (k) = max(y 1,..., Y k ), k = 1, 2,... (a) Ange sannolikhetsfunktionen för den s.v. X (k). (b) Motivera att {X (n), n = 1, 2,...} är en Markovkedja. (c) Ange övergångsmatrisen. (d) Kontrollera resultatet i (a) genom att räkna ut fördelningen för X (3) med hjälp av startfördelning och övergångsmatris. 49. En partikel placeras ut slumpmässigt på en av nedanstående nio punkter. Den utför sedan en slumpvandring så att vid varje steg var och en av de angränsande punkterna (till höger eller vänster, uppåt eller nedåt) väljs med lika stor sannolikhet. Detta betyder att partikeln aldrig stannar kvar i en punkt eller rör sig diagonalt. Beräkna sannolikheten för att partikeln efter tre steg är i origo. (Ledning: Detta kan göras genom att man betraktar en Markovkedja med nio tillstånd, men räkningarna blir hanterligare med en kedja med tre tillstånd. Om du inte direkt ser hur de tre tillstånden bör väljas, inför nio tillstånd och tänk sedan ut hur de kan reduceras till tre.) 50. Markovkedjan {X n, n = 0, 1, 2,...} har tillstånden 1, 2, 3, 4 och övergångsmatrisen Visa att det existerar en asymptotisk fördelning och bestäm denna. 51. Låt A och B vara två urnor. I urnorna ligger sammanlagt 6 kulor numrerade från 1 till 6. Vid tidpunkterna n = 1, 2,... kastas en symmetrisk tärning, och den kula vars nummer är lika med utfallet i tärningskastet flyttas över till den andra urnan. Låt X n vara antalet kulor i urna A vid tidpunkten n. Då är {X n, n = 1, 2,...} en Markovkedja. Bestäm dess övergångsmatris och stationära fördelning. 52. Vid tiden 0 sänder man upp en satellit innehållande bland annat två radiosändare. Dessa fungerar båda vid uppskjutningstillfället, men var och en av dem går därefter sönder, oberoende av varandra, med den konstanta intensiteten. När båda sändarna har gått sönder tystnar satelliten. Med vilken intensitet tystnar satelliten? (Den efterfrågade intensiteten kommer att bli tidsberoende.) 53. (Forts. från föregående uppgift.) Anta att bara en av sändarna är inkopplad från början och den andra kopplas in först när den första går sönder. Med vilken intensitet kommer satelliten i så fall att tystna? 54. En viss elektronisk utrustning går vid åldern t sönder med intensiteten (t) = t t + 1. I en satellit som är avsedd att fungera 4 tidsenheter, ska man installera ett nytt exemplar av nämnda utrustning. Man behöver dock inte sätta in ett nytt tillverkat 7

8 exemplar, utan kan använda ett med åldern a. Hur ska a väljas för att man ska uppnå maximal sannolikhet för att utrustningens återstående livslängd är minst 4 tidsenheter? (Man sätter naturligtvis inte in ett exemplar som redan gått sönder.) 55. Låt {X (t), t 0} vara en livslängdsprocess med intensitetsfunktionen (t). Låt Y a beteckna återstående livslängd för en vid tiden a levande individ. Beräkna E(Y a ) om (t) = t/(1 + t). 56. Händelser inträffar för t 0 enligt en Poissonprocess. Under intervallet (0, 2) observerar man att fyra händelser inträffar. Bestäm sannolikheten för att två av dessa inträffar i intervallet (0, 1) och de återstående två i intervallet (1, 2). 57. Vid en trafikundersökning räknade man antalet bilar som passerade en viss punkt på en väg. Strömmen av bilar i vägens ena riktning beskrivs av en Poissonprocess med intensiteten 2 (enhet: minut 1 ), i den andra riktningen av en Poissonprocess med intensiteten 3. De båda Poissonprocesserna antas vara oberoende. Man beslöt upphöra med räkningen när 400 bilar passerat. Låt T vara den tid (enhet: minut) som förflyter tills man räknat in det nämnda antalet bilar. Bestäm med lämplig approximation talet a så att P(T a) = På en glest trafikerad väg kör bilar i båda riktningarna enligt oberoende Poissonprocesser med intensiteterna två bilar per minut i ena riktningen och tre bilar per minut i den andra riktningen. Anta att man börjar räkna bilarna vid en viss tidpunkt. (a) Med vilken sannolikhet kommer det på två minuter precis fyra bilar från vardera hållet? (b) Med vilken sannolikhet kommer det sammanlagt fyra bilar på en minut? (c) Med vilken sannolikhet kommer det först en bil i den riktning där det i genomsnitt passerar tre bilar per minut? 59. En lian är L meter lång. Utefter linan förekommer felställen enligt en Poissonprocess med intensiteten fel per meter, dvs antalet felställen är en stokastisk variabel X (L) Po( L). Felställena har oberoende draghållfastheter som är rektangelfördelade mellan 0 och k, där k är en känd konstant. Utanför felställena har lianen draghållfastheten k. Bestäm sannolikheten att lianen håller om den utsätts för en belastning y, 0 < y < k. 60. En födelsedödsprocess med tillstånden E 0, E 1, E 2,... har födelseintensiteterna n = / n + 1 och dödsintensiteterna n = n, där och är positiva konstanter med / =. Beräkna den asymptotiska fördelningen. (Du kan förutsätta att en sådan existerar.) 61. Till en affär med en expedit anländer kunder enligt en Poissonprocess med intensiteten. Vid eventuell köbildning stressas expediten så att betjäningarna avslutas med intensiteten i om totalt i kunder befinner sig i butiken (inklusive den som betjänas). Beräkna jämviktsfördelningen för antalet kunder i butiken. 62. Till en telefonväxel med 15 utgående linjer kommer anrop enligt en Poissonprocess med intensiteten 4 minut 1. Samtalslängderna är exponentialfördelade med väntevärdet 3 minuter. (a) Ange den asymptotiska fördelningen för antalet pågående samtal. (b) Beräkna numeriskt den asymptotiska sannolikheten att högst 10 linjer är upptagna. (Ledning: Använd tabell för Poissonfördelningen.) 8

9 63. Ett pumpverk består av två pumpar. Anta att pumparna parallellkopplas och att de när båda fungerar har en felintensitet p (per pump) som är lägre än felintensiteten då endast en pump fungerar. Beräkna väntevärdet av tiden som pumpverket fungerar. 64. Ett universitetsbibliotek har tre kopieringsapparater som går sönder med intensiteterna 1, 1 respektive 2. En reparatör reparerar dem med intensiteten. När både en typ 2 -apparat och en eller två typ 1 -apparater är sönder repareras typ 2 -apparaten först. Vad är sannolikheten att en student som kommer till biblioteket finner minst två apparater i funktion om 1 = 2 2 = 0.1 gång/dag och reparationstiden i genomsnitt är en dag. Alla funktions- och reparationstider antas vara exponentialfördelade. 65. Om en stokastisk variabel X 0 så är även E(X ) 0. Visa att X Y medför E(X ) E(Y ). 66. Låt A vara en delmängd av R och X en stokastisk variabel. Finn funktionen g så att E[g(X )] = P(X A). 67. Låt (X, Y ) vara en tvådimensionell stokastisk variabel, visa att f Y (y) = E(f Y X (y X )). 9

10 Svar: 1. (a) 0.60 (b) 0.80 (c) 0 (d) Nej 2. 15/ (a) 1/12 12 (b) 1 (c) 1 ( )/ (a) (b) (c) (d) F 7. 1/6 8. 2/ p X (2) = 1/10, p X (3) = 3/10, p X (4) = 6/ F X (x) = 1 e x för x 0 och F X (x) = 0 för x < 0. F Y (y) = F X ((y b)/a) och f Y (y) = f X ((y b)/a)/a. 0, x < 0, 4x(1 x/ 3) 12. F X (x) = = 4x 4x , 0 x 3/2, 1, x > 3/2. 0, y < (a) F Y (y) = y, 0 y 1 1, 1 < y (b) P(X 2Y ) = 3/4, P(X 2 + Y 2 1) = /4. (c) Ja. (d) F U (u) = F V (v) = 0, u 0 u 2 /2, 0 < u 1 1 (2 u) 2 /2 = 2u u 2 /2 1, 1 < u 2 1, u > 2 0, v < 0 1 (1 v) 2 = 2v v 2, 0 v 1 1, 1 < v. 14. (a) f X (x) = 2x om 0 x 1, 0 annars. F X,Y (x, y) = max(x 2, 1) max(y 3, 1) om 0 x och 0 y, 0 annars. (b) 3/4 (c) 1/10 (d) f Z (z) = 5z 4 om 0 z 1, 0 annars (e) E(area(A)) = E(XU ) = 1/9, E(area(B)) = E(X 2 ) = 1/8, E(omkrets(A)) = E(omkrets(B)) = E(X + U ) = 2/ /(1 + p), dvs 2/3 om fångvaktaren med lika stor sannolikhet (p = 1/2) väljer Petter resp. Per Med g(x) = 1/2, 0 x 2; Med g(x) = 2x, 0 x 1; ,

11 , (a) a + (b a)x (b) m + x (c) ax 23. (a) Ganska dåliga odds! (b) Bra spel! (om man har stort tålamod) (a) E(X ) = 12 (b) V(X ) = resp resp c = V 1 /V 2 resp. V 1 (1 2 ) 29. 1/ (a) 467e 2 /4 10 (b) (c) (a) 1/(1 t 2 ), t < 1 (b) 1/(1 t), t < ( ) k (a) p r q k r, k r r 1 (b) ( r/p, rq/p ) 2 r ps (c) 1 qs 34. (a) 3/4 (b) m, 1/ , 1/2 37. c 1 + c 2 = 1, c 1 = 4/5, c 2 = 1/5 38. (a) 3.0 resp (b) 3.6 %, 17.6 %, 36.7 %, 30.6 %, 11.5 % 40. (a) N(10, 0.5) (b) N(10, 0.158) (c) resp (d) metod II N(0, a ab + b 2 ) med normalapproximation, med Poissonapproximation 44. ( N n j k ) p j k q N n j+k, k j N n + k 45. (X X +Y = n) Bin(n, m 1 /(m 1 +m 2 )) (a) P(X (k) = i) = i k (i 1) k, i = 2, 3, 4, 5 = 5 k 1 5, i = 1 k (b) (c) (d) / (1/20, 9/20, 9/20, 1/20) 51. (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)/ (1 e t ) 2 e t 2 t 1 + t 54. a = a 1 + a 56. 3/8 57. a =

12 58. (a) (b) (c) 3/5 59. e Ly/K 60. Po( ) 61. Po( ) 62. (a) k = 12k /k! 15 j=0 12j /j! 63. 1/(2 p ) + 1/ g(x) = 1 om x A och g(x) = 0 om x A