FÖRELÄSNING 4:
|
|
- Viktor Bergqvist
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 FÖRELÄSNING 4: LÄRANDEMÅL Poissonfördelning Kontinuerliga slumpvariabler Kontinuerlig uniform fördelning Exponentialfördelning Samla in data Sammanställ data Gissa modell för datan Testa modellen Använd modellen för att förutsäga information om ny data o för fler fördelningar oen POISSONFÖRDELNING Poissonfördelningar dyker ibland upp när man räknar antalet saker/event av något slag som inträffar under ett mätintervall t.ex. en tidsperiod eller en sträcka. Poissonegenskaper,. Eventen inträffar oberoende av varandra 2. Inga event kan inträffa exakt samtidigt 3. Antalet event X som inträffar under ett mätintervall är proportionellt mot intervallets längd Antalet kunder som kommer in i en butik under en rusningstimme Antalet bilar som passerar en bro under en timma Antalet sprickor längs en betongpelare
2 Om en diskret slumpvariabel X uppfyller ovanstående egenskaper är den Poissonfördelad med parameter λ, och vi skriver, X~Poisson(λ) Sannolikhetsfunktionen ges av, P(X = x) = λx e λ en ges av tabell. x! Parametern λ anger hur många saker som i snitt inträffar under det mätintervall man tittar på. Sannolikhetsfunktion KONTINUERLIGA SLUMPVARIABLER Alla fördelningar vi gick igenom förra gången var diskreta, alltså de möjliga utfallen var endast några eller alla heltal. Sannolikhetsfunktionen angav sannolikheten att X antar ett specifikt värde, P(X = x), och är bara punkter i en graf. en angav sannolikheten att X antar ett värde mindre eller lika med ett specifikt värde, F(x) = P(X x), och är alltid en trappstegsfunktion. Om fördelningsfunktionen F(x) till en slumpvariabel X är: En kontinuerlig funktion så säger vi att X är en kontinuerlig slumpvariabel En trappfunktion så säger vi att X är en diskret slumpvariabel När vi tittar på kontinuerliga slumpvariabler så tänker vi oss att sannolikheten att X antar ett specifikt värde alltid är noll, P(X = x) =. Varför? X: Lufttemperaturen vid en husvägg. Det är känns intuitivt att sannolikheten för att temperaturen är exakt 8. C och inte en decimal mer eller mindre, alltså P(X = x), är extremt väldigt låg.
3 Sannolikhetsfunktionen P(X = x) är därför sällan intressant för kontinuerliga X, utan istället fokuserar vi på händelser när X hamnar inom ett intervall, t.ex. P(a X b). P(a X b) = P(X b) P(X < a) = P(X b) P(X a) + P(X = a) = Detta påminner om integraler! b f(x)dx = F(b) F(a) a = F(b) F(a) + = F(b) F(a) Om det finns en funktion f(x) sådan att fördelningsfunktionen kan skrivas som, F(x) = x f(x)dx så säger vi att f(x) är en frekvensfunktion till X. Vi kan alltså derivera fördelningsfunktionen för att få fram frekvensfunktionen för X, F (x) = f(x) KONTINUERLIG UNIFORM FÖRDELNING OBS! Boken kallar denna fördelning för rektangelfördelning. Vi säger att X är uniformt fördelad på intervallet [a, b], och skriver, X~Unif(a, b) en ges av, F(x) = {, om x < a x a, om x > b en ges av, f(x) = {, annars Låt X: hur långt in en m lång vajer går av vid ett stresstest. X~Unif(,) en ser då ut på följande sätt,, om x < F(x) = { x, om x, om x >,5-2
4 Sannolikheten att brottet sker någonstans mellan punkt a och b på vajern ges av, P(a < X b) = P(X b) P(X a) = = F(b) F(a) = b a, då a b Sannolikheten beror alltså endast på intervallets längd! Alla intervall som ) ligger inom - och 2) har samma längd, är lika sannolika för X att hamna i Hur ser sannolikhetsfunktionen ut för en kontinuerlig uniform slumpvariabel för a x b? P(X = x) = P(X x) P(X < x) = = P(a X x) P(a X < x) = = (x a) (x a) = För kontinuerliga slumpvariabler är inte P(X = x) ett bra sätt att beskriva X på, som vi konstaterade ovan. Låt oss istället undersöka hur frekvensfunktionen ser ut, F(x) =, om x < a f(x) = F (x) =, om x < a F(x) = x a f(x) = F (x) = F(x) =, om x > b f(x) = F (x) =, om x > b Alltså ges frekvensfunktionen för en kontinuerlig uniform slumvariabel f(x) = {, annars X av,,5 a= b= - 2 EXPONENTIALFÖRDELNING Poissonfördelningen hänger ihop med exponentialfördelningen på följande sätt. Låt X: antalet olyckor vid en fabrik på ett år, och anta att det sker i snitt 5 olyckor på ett år. Alltså är parametern λ = 5 och vårt mätintervall är år. X~Poisson(5) Tiden T från det att vi börjar mäta tills det att första olyckan inträffar är exponentialfördelad.
5 Om en slumpvariabel T är exponentialfördelad beror den av parameter λ, och vi skriver, T~Exp(λ) en ges av, F(t) = P(T t) = e λt en ges av, f(t) = λe λt Om vi har en Poissonprocess där det i snitt inträffar λ saker per tidsenhet, så är den förväntade tiden T mellan två händelser, alltså anger inversen av parametern λ förväntad tid mellan två händelser. λ Vi kan se hur fördelningsfunktionen hänger ihop med frekvensfunktionen för exponentialfördelningen, f(t) = d dt F(t) = d dt ( e λt ) = e λt ( λ) = λe λt ,5, SAMMANFATTNING FÖRDELNINGAR Diskret Kontinuerlig Fördelning Parametrar Sannolikhetsfunktion P(X = x) Diskret likformig Bernoulli Binomial n, antal möjliga utfall (a, b), min-/maxvärde p, sannolikhet för X = n, antal försök p, sannolikhet för vinst Poisson λ, snittförekomst λ x e λ Kontinuerlig uniform n f(x) = F (x) - x a+ F(x) = P(X x) P(X = ) = p - p, om x < ( n x )px ( p) n x - Tabell (a, b), min-/maxvärde - x! - Tabell x a Exponential λ, snittförekomst - λe λx e λx n
FÖRELÄSNING 3:
FÖRELÄSNING 3: 26-4-3 LÄRANDEMÅL Fördelningsfunktion Empirisk fördelningsfunktion Likformig fördelning Bernoullifördelning Binomialfördelning Varför alla dessa fördelningar? Samla in data Sammanställ data
Läs mer1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.
Föreläsning V; Kontinuerlig förd. Ufallsrummet har hittills varit dsikret, den stokastisk variabeln har endast kunnat anta ett antal värden. Ex.vis Poissonfördeln. är antal observationer inom ett tidsintervall
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merExempel för diskreta och kontinuerliga stokastiska variabler
Stokastisk variabel ( slumpvariabel) Sannolikhet och statistik Stokastiska variabler HT 2008 Uwe.Menzel@math.uu.se http://www.math.uu.se/ uwe/ Stokastisk variabel, slumpvariabel (s.v.): Funktion: Resultat
Läs merFöreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar
Föreläsning 3. Sannolikhetsfördelningar Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Slumpvariabel? Resultatet av ett slumpmässigt försök utgörs
Läs merFöreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel
Föreläsning 2, FMSF45 Slumpvariabel Stas Volkov 2017-09-05 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp och beteckningar Utfall resultatet
Läs merMatematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel
Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel Anna Lindgren 6+7 september 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F2: Slumpvariabel 1/23 Begrepp Samband Grundläggande begrepp Utfall
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 4 7 november 2017 1 / 29 Idag Förra gången Viktiga kontinuerliga fördelningar (Kap. 3.6) Fördelningsfunktion (Kap. 3.7) Funktioner av stokastiska
Läs merFöreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler
Föreläsning 2 (kap 3): Diskreta stokastiska variabler Marina Axelson-Fisk 20 april, 2016 Idag: Diskreta stokastiska (random) variabler Frekvensfunktion och fördelningsfunktion Väntevärde Varians Några
Läs mer4.1 Grundläggande sannolikhetslära
4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan
Läs merFÖRELÄSNING 7:
FÖRELÄSNING 7: 2016-05-10 LÄRANDEMÅL Normalfördelningen Standardnormalfördelning Centrala gränsvärdessatsen Konfidensintervall Konfidensnivå Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är känd Samla
Läs merFÖRELÄSNING 8:
FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data
Läs merPoisson Drivna Processer, Hagelbrus
Kapitel 6 Poisson Drivna Processer, Hagelbrus Poissonprocessen (igen) Vi har använt Poissonprocessen en hel del som exempel. I den här föreläsningen kommer vi att titta närmare på den, och även andra processer
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G Gripenberg Aalto-universitetet januari G Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistikexempel, del
Läs merVåra vanligaste fördelningar
Sida Våra vanligaste fördelningar Matematisk statistik för D3, VT Geometrisk fördelning X är geometriskt fördelad med parameter p, X Geo(p), om P (X = k) = ( p) k p P (X k) = ( p) k för k =,,... Beskriver
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 8.9.28 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 8.9.28 / 45 Stokastiska
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Övning 3 Vecka 4, 19 23.1.2015 Gripenberg I1. Vi antar att antalet telefonsamtal som kommer till ett servicenummer under en tidsperiod med längden
Läs mer1 Stokastiska processer. 2 Poissonprocessen
1 Stokastiska processer En stokastisk process är en stokastisk variabel X(t), som beror på en parameter t, kallad tiden. Tiden kan vara kontinuerlig, eller diskret (i vilket fall man brukar beteckna processen
Läs merKap 2. Sannolikhetsteorins grunder
Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder Olika händelser och deras mängbetäckningar Sats 2.7 Dragning utan återläggning av k element ur n (utan hänsyn till ordning) kan ske på ( n ) olika sätt k För två händelser
Läs mer4.2.1 Binomialfördelning
Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF9: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 3. Stokastiska variabler, diskreta och kontinuerliga Jan Grandell & Timo Koski 25..26 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25..26 / 44 Stokastiska
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering Anna Lindgren 8+9 september 216 Anna Lindgren - anna@maths.lth.se FMS12/MASB3: transform 1/11 Stokastisk variabel Kvantil Stokastisk
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
"Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Repetition Vad vi gjort hitills Vi har börjat med att studera olika typer av mätningar och sedan successivt tagit fram olika beskrivande mått
Läs merKapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs
Läs merDiskreta slumpvariabler
1/20 Diskreta slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 28/1 2013 2/20 Dagens föreläsning En maskin gör fel ibland! En man berättar att han har minst en
Läs mer1. Du slår en tärning två gånger. Låt A vara händelsen att det första kastet blir en sexa och låt B vara händelsen att summan av kasten blir sju.
Projekt MVE49 Del 1 Det är tillåtet att sammarbeta, men alla lösningar skall lämnas in individuellt. Sista inlämningsdag är 4de oktober på föreläsningen. Det är ok att lämna in elektroniskt genom att maila
Läs merSOS HT Slumpvariabler Diskreta slumpvariabler Binomialfördelning. Sannolikhetsfunktion. Slumpförsök.
Probability 21-9-24 SOS HT1 Slumpvariabler Slumpvariabler Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket. Talet är alltså inte känt före försöket; det bestäms
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 28 januari 2014 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I G. Gripenberg Sannolikheter Slumpvariabler Centrala gränsvärdessatsen Aalto-universitetet 8 januari 04 3 Tvådimensionella slumpvariabler
Läs mermodell Finansiell statistik, vt-05 Modeller F5 Diskreta variabler beskriva/analysera data Kursens mål verktyg strukturera omvärlden formellt
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-5 F5 Diskreta variabler Kursens mål beskriva/analysera data formellt verktyg strukturera omvärlden innehåll osäkerhet
Läs mer17.1 Kontinuerliga fördelningar
7. Kontinuerliga fördelningar En SV X är kontinuerlig om F X (x) är kontinuerlig för alla x F X (x) är deriverbar med kontinuerlig derivata för alla x utom eventuellt för ändligt många värden Som vi tidigare
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
F9: Intensiteter 3 september 213 Egenskaper Återstående livslängd Storm Poissonprocess (igen) Händelsen A inträffar enligt en Poissonprocess med intensitet l. N A (t) = antal gånger A inträffar i (, t)
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 2009) Föreläsning 2. Diskreta Sannolikhetsfördelningar. (LLL Kap 6) Stokastisk Variabel
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, VT 009) Föreläsning Diskreta (LLL Kap 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level course, 7,5 ECTS,
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Diskreta fördelningar Uwe Menzel, 2018 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs merhistogram över 1000 observerade väntetider minuter 0.06 f(x) täthetsfkn x väntetid 1
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF5: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 4, 27--8 EXEMPEL: buss. Från en busshållplats avgår en buss var 2 min (inga
Läs merKap 3: Diskreta fördelningar
Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen
Läs merNågra extra övningsuppgifter i Statistisk teori
Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,
Läs merÖvning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merMer om slumpvariabler
1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde
Läs merTvå parametrar: µ (väntevärdet) och σ (standardavvikelsen) µ bestämmer normalfördelningens läge
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 28-9-3 Normalfördelningen, X N(µ, σ) f(x) = e (x µ)2 2σ 2, < x < 2π σ.4 N(2,).35.3.25.2.5..5
Läs merStatistiska metoder för säkerhetsanalys
1 / 14 Statistiska metoder för säkerhetsanalys F2: Händelseströmmar och Poissonprocesser Definition Intensitet Exempel 2 / 14 Händelseström Händelsen A inträffar vid de okända tidpunkterna S 1, S 2,...
Läs merÖvning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.
Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Definiera fördelningsfunktionen för en stokastisk variabel. Definiera frekvensfunktionen
Läs merGamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120)
Gamla tentauppgifter i kursen Statistik och sannolikhetslära (LMA120) Lärandemål I uppgiftena nedan anger L1, L2 respektive L3 vilket lärandemål de olika uppgifterna testar: L1 Ta risker som i förväg är
Läs merFördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret stokastisk variabel.
Övning 1 Vad du ska kunna efter denna övning Diskret och kontinuerlig stokastisk variabel. Fördelningsfunktionen för en kontinuerlig stokastisk variabel. Täthetsfunktionen för en kontinuerlig och en diskret
Läs merTiden i ett tillstånd
Föreläsning 3 I denna föreläsning ska vi behandla markovska kösystem som har ett begränsat antal buffertplatser och även ett begränsat antal kunder. För att kunna göra detta behöver man några resultat
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 6. TK 14.11.2016 TK Matematisk statistik 14.11.2016 1 / 38 Lärandemål Stokastiska modeller för kontinuerliga datatyper Fördelningsfunktion (cdf) Sannolikhetstäthetsfunktion
Läs merDATORÖVNING 2: SIMULERING
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Måns Thulin - thulin@math.uu.se Matematisk statistik Statistik för ingenjörer VT 2013 DATORÖVNING 2: SIMULERING Innehåll 1 Inledning 1 2 Inledande exempel
Läs merF6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT ) Används som modell i situation av följande slag: Slh för A är densamma varje gång, P(A) = P.
Stat. teori gk, ht 2006, JW F6 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.4-5.6) Binomialfördelningen Används som modell i situation av följande slag: Ett slumpförsök upprepas n gånger (oberoende upprepningar). Varje
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Blomqvist U. ya begrepp: likformig fördelning, hypergeometerisk fördelning, Hyp(, n, p), binomialfördelningen, Bin(n, p), och Poissonfördelningen, Po(λ). Standardfördelningarna
Läs merResultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).
STOKASTISKA VARIABLER Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.). Definition 1. En reellvärld funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell)
Läs merSF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler. Jörgen Säve-Söderbergh
SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 3 Diskreta stokastiska variabler Jörgen Säve-Söderbergh Stokastisk variabel Singla en slant två gånger. Ω = {Kr Kr, Kr Kl, Kl Kr, Kl Kl}
Läs merFöreläsning 8 för TNIU23 Integraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integraler och statistik Krzysztof Marciniak ITN, Campus Norrköping, krzma@itn.liu.se www.itn.liu.se/ krzma ver. - 9--6 Inledning - lite om statistik Statistik är en gren av tillämpad
Läs merSimulering av Poissonprocesser Olle Nerman, Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp)
Simulering av Poissonprocesser Olle Nerman, 2015-09-28 Grupprojekt i MSG110,GU HT 2015 (max 5 personer/grupp) Frågeställning: Hur åstadkommer man en realisering av en Poissonprocess på ett tidsintervall
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
max/min Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 5 Johan Lindström 25 september 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F5 1/25 max/min Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Kontinuerliga fördelningar Uwe Menzel, 8 www.matstat.de Begrepp fördelning Hur beter sig en variabel slumpmässigt? En slumpvariabel (s.v.) har en viss fördelning, d.v.s.
Läs mer4. Stokastiska variabler
4. Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) är en funktion som definieras i utfallsrummet. Varje stokastisk variabel har en viss sannolikhetsstruktur. Ex: Man kastar två tärningar. Låt X = summan
Läs merKapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 3 Diskreta slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Diskreta slumpvariabler En slumpvariabel tilldelar tal till samtliga utfall i ett slumpförsök. Vi
Läs merMS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I
MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 26 januari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merFöreläsning 2, Matematisk statistik för M
Repetition Stok. Var. Diskret Kont. Fördelningsfnk. Föreläsning 2, Matematisk statistik för M Erik Lindström 25 mars 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F2 1/16 Repetition Stok. Var. Diskret
Läs merFöreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Repetition Binomial Poisson Stokastisk process Föreläsning 8, FMSF45 Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Stas Volkov 217-1-3 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F8: Binomial- och
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 23 mars, 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 3 DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 23 mars, 2018 PLAN FÖR DAGENSFÖRELÄSNING Repetition av betingade sannolikheter, användbara satser
Läs mer4 Diskret stokastisk variabel
4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används
Läs merFö relä sning 2, Kö system 2015
Fö relä sning 2, Kö system 2015 Vi ska börja titta på enskilda kösystem som ser ut på följande sätt: Det kan finnas en eller fler betjänare och bufferten kan vara ändlig eller oändlig. Om bufferten är
Läs merhistogram över 1000 observerade väntetider minuter 0.06 f(x) täthetsfkn x väntetid
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 4, 28-3-27 EXEMPEL: buss. Från en busshållplats avgår en buss var 2 min (inga
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merKapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar
Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar 1 Multivariata sannolikhetsfördelningar En slumpvariabel som, när slumpförsöket utförs, antar exakt ett värde sägs vara
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande
Läs merSlumpvariabler och sannolikhetsfördelningar
och sannolikhetsfördelningar Föreläsning 4 Sannolikhet och Statistik 5 hp Fredrik Jonsson April 2010 Översikt 1. Verklighetsanknutna exempel. Definition relativt utfallsrum. 2. Sannolikhetsfördelningar
Läs merRepetition och förberedelse. Sannolikhet och sta.s.k (1MS005)
Repetition och förberedelse Sannolikhet och sta.s.k (1MS005) Formellsamling och teori Nästa varje ekva.on som vi använder under kursen finns I samlingen. Tricket i examen är hica räc metod/fördelning.ll
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE31 Sannolikhet, statistik och risk 218-1-12 kl. 8:3-13:3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Olof Elias, telefon: 31-7725325 Hjälpmedel: Valfri miniräknare.
Läs merKurssammanfattning MVE055
Obs: Detta är enbart tänkt som en översikt och innehåller långt ifrån allt som ingår i kursen (vilket anges exakt på hemsidan). Fullständiga antaganden i satser kan saknas och fel kan förekomma så kontrollera
Läs merFormel- och tabellsamling i matematisk statistik
Formel- och tabellsamling i matematisk statistik 1. Sannolikhetsteori för lärarprogrammet Sannolikhetsformler P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) P (A B) = P (A B)P
Läs merMonte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo
Monte Carlo-metoder 0 Målen för föreläsningen På datorn Bild från Monte Carlo http://en.wikipedia.org/wiki/file:real_monte_carlo_casino.jpg 1 Begrepp En stokastisk metod ger olika resultat vid upprepning
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merFinansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 2008) Föreläsning 2
Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp, HT 008) Föreläsning Diskreta sannolikhetsfördelningar (LLL kap. 6) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics (Basic-level
Läs merRepetitionsföreläsning
Slumpförsök Repetitionsföreläsning Föreläsning 15 Sannolikhet och Statistik 5 hp Med händelser A B... avses delmängder av ett utfallsrum. Slumpförsök = utfallsrummet + ett sannolikhetsmått P. Fredrik Jonsson
Läs mer1.1 Diskret (Sannolikhets-)fördelning
Föreläsning III. Diskret (Sannolikhets-)fördelning Med diskret menas i matematik, att något antar ett ändligt antal värden eller uppräkneligt oändligt med värden e.vis {, 2, 3,...}. Med fördelning menas
Läs merDemonstration av laboration 2, SF1901
KTH 29 November 2017 Laboration 2 Målet med dagens föreläsning är att repetera några viktiga begrepp från kursen och illustrera dem med hjälp av MATLAB. Laboration 2 har följande delar Fördelningsfunktion
Läs merLärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015
Lärmål Sannolikhet, statistik och risk 2015 Johan Jonasson Februari 2016 Följande begrepp och metoder ska behärskas väl, kunna förklaras och tillämpas. Direkta bevis av satser från kursen kommer inte på
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 maj
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd. Matematisk statistik 24 maj 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 maj 2016 9 14
Läs merLösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik
Sida 1 Lösningar till uppgifter från Milton-Arnold, kap 3 4 Matematisk statistik 3.7, 3.11 Ympning används för att få en planta att växa på ett rotsystem tillhörande en annan växt. Elementarsannolikheterna
Läs merFöreläsning 3, Matematisk statistik Π + E
Repetition Kvantil Presentation Slumptal Transformer Inversmetoden Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E Sören Vang Andersen 13 november 2014 Sören Vang Andersen - sva@maths.lth.se FMS012 F3 1/19 Repetition
Läs merFöreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden
Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden Stas Volkov 2017-09-19 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSFF45 F5: väntevärden 1/18 2D stokastisk variabel Tvådimensionella stokastisk variabel (X, Y)
Läs merGrundläggande matematisk statistik
Grundläggande matematisk statistik Väntevärde, varians, standardavvikelse, kvantiler Uwe Menzel, 28 uwe.menzel@slu.se; uwe.menzel@matstat.de www.matstat.de Väntevärdet X : diskret eller kontinuerlig slumpvariable
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 4. Väntevärde och varians, funktioner av s.v:er, flera stokastiska variabler. Jan Grandell & Timo Koski 10.09.2008 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merTMS136: Dataanalys och statistik Tentamen
TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen 013-08-7 Examinator och jour: Mattias Sunden, tel. 0730 79 9 79 Hjälpmedel: Chalmersgodkänd räknare och formelsamling (formelsamling delas ut med tentan). Betygsgränser:
Läs merStokastiska processer och simulering I 24 augusti
STOCKHOLMS UNIVERSITET LÖSNINGAR MATEMATISKA INSTITUTIONEN Stokastiska processer och simulering I Avd Matematisk statistik 24 augusti 2016 Lösningar Stokastiska processer och simulering I 24 augusti 2016
Läs merVeckoblad 3. Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U.
Veckoblad 3 Kapitel 3 i Matematisk statistik, Dahlbom, U. Poissonfördelningen: ξ är Po(λ) λ = genomsnittligt antal händelser i ett intervall. Sannolikhet: P(ξ = ) = e λ λ! Väntevärde: E(ξ) = λ Varians:
Läs merMatematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess
Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 8: Binomial- och Poissonfördelning, Poissonprocess Anna Lindgren 4+5 oktober 216 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS12/MASB3 F8: Binomial och Poisson 1/18 N(μ, σ)
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 5. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski 28.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk
Läs merFinansiell statistik, vt-05. Slumpvariabler, stokastiska variabler. Stokastiska variabler. F4 Diskreta variabler
Johan Koskinen, Statistiska institutionen, Stockholms universitet Finansiell statistik, vt-05 F4 Diskreta variabler Slumpvariabler, stokastiska variabler Stokastiska variabler diskreta variabler kontinuerliga
Läs merFöreläsning 4, Matematisk statistik för M
Föreläsning 4, Matematisk statistik för M Erik Lindström 1 april 2015 Erik Lindström - erikl@maths.lth.se FMS012 F4 1/19 Binomialfördelning Beteckning: X Bin(n, p) Förekomst: Ett slumpmässigt försök med
Läs mer