histogram över 1000 observerade väntetider minuter 0.06 f(x) täthetsfkn x väntetid

Transkript

1 Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF55: Matematisk statistik för C och M OH-bilder på föreläsning 4, EXEMPEL: buss. Från en busshållplats avgår en buss var 2 min (inga förseningar). Du kommer på en på måfå vald tidpunkt till hållplatsen, X = väntetiden. (a) Vad är fördelningen för X? (b) Vad är sannolikheten att du får vänta mindre än 3 minuter? (c) Vad är sannolikheten att du får vänta mer än 5 minuter? (d) Hur länge får du vänta i genomsnitt? 5 histogram över observerade väntetider antal ggr minuter.6 f(x) täthetsfkn.4.2 F(x) Fördelningsfkn x väntetid x väntetid

2 EXEMPEL: livslängd. En viss typ av elektroniska komponenter håller i genomsnitt 2 timmar. Låt X vara livslängden (timmar) hos en slumpmässigt vald komponent. (a) Vad är fördelningen för X? (b) Vad är sannolikheten att livslängden ligger mellan och 3 timmar? (c) Vad är den förväntade livslängden hos denna komponent? (d) Vad är medianen av livslängden? 5 histogram över 5 observerade livslängder x 3 f(x) täthetsfkn 4 2 F(x) fördelningsfkn x livslängd (tim) x livslängd (tim)

3 EXEMPEL: Under 38 år noteras årliga maximala vindstyrkan (m/s) på en plats. Man är intresserad av Hur troligt är det att årliga maximala vindstyrkan överstiger 35 m/s? Vilken är den årliga maximala vindstyrka som överskrids i % av åren? ARBETSGÅNG: Plotta data från de 38 mätningarna (plotta mot tid, histogram) Försök hitta en standardmodell som passar till de 38 mätningarna Använd mätningarna för att skatta parametrarna i modellen Beräkna sannolikheter och kvantiler I MODELLEN En lämplig modell visade sig vara Gumbelfördelning (extremvärdesfördelning av typ I) med fördelningsfunktion F (x) = e e (x b a ) där b uppskattas till 29. och a till 2.5.

4 VINDHASTIGHET (m/s) TID Empirical and Gumbel estimated cdf FREKVENS HISTOGRAM VINDHASTIGHET FREKVENSFUNKTION, GUMBEL.2 F(x) f(x) VINDHASTIGHET VINDHASTIGHET (a) Hur troligt är det att årliga maximala vindstyrkan överstiger 35 m/s? (b) Vilken är den årliga maximala vindstyrka som överskrids i % av åren?

5 EXEMPEL: Också en av de vanligaste fördelningarna... Normalfördelningen (gaussisk fördelning, gaussisk klocka).6 FREKVENSFUNKTION FÖRDELNINGSFUNKTION Studerar vi mycket efter påskuppehållet!

6 Lathund för stokastiska variabler: Olika funktioner (fördelningar) för att beskriva variation: diskret s.v. sannolikhetsfunktion p X (x) = P (X = x) kontinuerlig s.v. frekvensfunktion f X (x) j x p X(j) fördelningsfunktion F X (x) = P (X x) = x f X(t) dt

7 Lathund (forts) Lägesmått för s.v. väntevärde: { x= xp X(x) diskret E(X) = µ = xf X(x)dx kontinuerlig median m F X (m) = m f X(x)dx=.5 undre p:te percentil L p F X (L p ) = L p f X(x)dx= p övre kvantil x α F X (x α ) = α Spridningsmått för s.v. varians: V (X) = σ 2 = standardavvikelse: D(X) = σ = V (X) { x= (x µ)2 p X (x) diskret (x µ)2 f X (x)dx kontin.

8 EXEMPEL mätfel; hållfasthet hos trä; längden hos betongelement; GRÄNSFÖRDELNING för summan av s.v. FÖRDELNING beteckning Normalfördelning X N(µ, σ) Lognormalfördelning ln X N(µ, σ) axiell belastning hos betongpelare; årsnederbörd av snö Exponentialfördelning Weibullfördelning X Exp(λ) livslängd hos komponenter; tidpunkten mellan två händelser som inträar slumpmässigt och oberoende av varandra; Richtermagnituden hos en jordbävning utmattningsfenomen; karakteristisk bärförmåga; tiden en enhet ligger i lager, restider extrema värden, årsmaxima, spricktillväxt Gumbelfördelning Gammafördelning Rektangelfördelning Binomialfördelning Poissonfördelning X Γ(p, a) X R(a, b) X Bin(n, p) X P o(λ) årsmaxima för snödjup avrundningfel; väntetid på en buss antalet defekta komponenter i en sändning; antalet ggr ett gränsvärde överskrids under mätperioden; antalet översvämningsår antalet fel i prod.process; antalet radioaktiva sönderfall under en tidsperiod; antalet mc-olyckor under en månad