Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Transkript

1 1 / 14 Statistiska metoder för säkerhetsanalys F2: Händelseströmmar och Poissonprocesser

2 Definition Intensitet Exempel 2 / 14 Händelseström Händelsen A inträffar vid de okända tidpunkterna S 1, S 2,... Ex: A = jordbävning ; A = brand S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 Följden S 1, S 2,... kallas stream of events för A (händelseström för A). N A (t) = antal gånger A sker i intervallet [0, t], N A (s, t) = antal gånger A sker i intervallet [s, s + t], P t (A) = P(A inträffar minst en gång i [0, t]) = P(N A (t) 1) För ett fixt t (t.ex. 1 år) är P t (A) ett mått på risken för A.

3 Definition Intensitet Exempel Intensitet Om mekanismerna bakom händelseströmmen inte ändrar sig sker händelsen A med en viss konstant intensitet λ A (per tidsenhet). Definition: Intensiteten λ A definieras som λ A = lim t 0 P t (A) t Tolkning: P t (A) = risk för A under tiden t λ A t om t är litet. Om t = 1 (i lämplig enhet) så är P t (A) λ A. Skattning: Om vi studerar händelseströmmen under intervallet [0, T] och noterar N A (T) = antal händelser under intervallet, kan vi skatta λ A med N A (T)/T. 3 / 14

4 Definition Intensitet Exempel 4 / 14 Exempel: Jordbävningar I ett område har man noterat 63 jordbävningar under 75 år. (a) Uppskatta risken för jordbävning en dag (en månad). (b) Beräkna sannolikheten (risken) för jordbävning under ett år. Vilka antaganden måste vi göra för beräkningen? (c) Beräkna sannolikheten (risken) för jordbävning under tio år. (d) Vad är förväntad tid mellan jordbävningar?

5 Definition Intensitet Exempel Ex: Jordbävning: Vi har A= jordbävning och har observerat T = 75 år = dagar där N A (T) = 63. Skattad intensitet λ A = N A(T) T = = 0.84 år 1 = = dag 1. För t = 1 dag får vi P 1 (A) = risk för jordbävning under en dag λ A = För t = 30 dagar får vi P 7 (A) = risk för jordbävning under en månad λ A 30 = För t = 3650 dagar = 10 år får vi??? ( = 8.4 > 1!) 5 / 14

6 Egenskaper Exempel 6 / 14 Poissonprocess (Poisson stream of events) Om det för händelseströmmen A gäller två eller flera händelser inträffar inte (exakt) samtidigt, det förväntade antalet händelser som sker i ett tidsintervall är ändligt, d.v.s. λ A är ändlig, antalet händelser som sker i icke överlappande intervall är oberoende. har vi en Poisson stream (Poissonprocess). Egenskaper: N A (t) = antal händelser i intervallet [0, t] är Po(λ A t), N A (s, t) = antal händelser i intervallet [s, s + t] är Po(λ A t), Förväntad tid mellan händelserna, d.v.s. återkomststiden, T A = 1/λ A, Tiden mellan två händelser är exponentialfördelad med väntevärde 1/λ A.

7 Egenskaper Exempel Poissonfördelning Om N A (t) är Po(λ A t)-fördelad så gäller att P(N A (t) = k) = e λ At (λ At) k, k = 0, 1, 2,... k! Speciellt: P t (A) = P(N A (t) 1) = 1 P(N A (t) = 0) = 1 e λ At (λ At) 0 = 1 e λ At 0! 7 / 14

8 Egenskaper Exempel 8 / 14 1 Jordbävningar under en dag 1 Jordbävningar under en månad sannolikhet sannolikhet antal antal 1 Jordbävningar under ett år 1 Jordbävningar under 10 år sannolikhet sannolikhet antal antal

9 Egenskaper Exempel Ex: Jordbävning (forts) t = 1 dag :N A (1) Po(λ A ) = Po(0.0023), P 1 (A) = 1 e = , t = 30 dagar :N A (30) Po(λ A 30) = Po(0.069), P 30 (A) = 1 e = 0.067, t = 365 dagar :N A (365) Po(λ A 365) = Po(0.84), P 365 (A) = 1 e 0.84 = 0.57, t = 3650 dagar :N A (3650) Po(λ A 3650) = Po(8.4), P 3650 (A) = 1 e 8.4 = Tiden mellan successiva jordbävningar är i medeltal: T A = 1 λ A = = dagar 9 / 14

10 Exempel Egenskaper 10 / 14 Exempel: Sjukhusbränder För sjukhus i Storbritannien anses intensiteten för brand (A) vara λ A = exp(β 0 + β 1 ln a) [år 1 ] där β 0 7.1, β och a är totala golvytan (m 2 ). För en byggnad på 5000 m 2 innebär det att λ A = (a) Verkar det rimligt att händelserna A = brand på sjukhus skulle utgöra en Poisson stream? (b) Vad är risken för brand i byggnaden under en månad? Brand i sig behöver inte innebära katastrof, men om det kombineras med t.ex. händelsen B = dörrarna kan ej öppnas blir det ett allvarligt scenario. (c) Vad är intensiteten för händelserna A B? Hur ska man beräkna risken för detta scenario (brand samtidigt som dörrarna ej kan öppnas)?

11 Exempel Egenskaper 11 / 14 Sjukhusbrand (forts) (a) Ja. (b) t = 1 månad = 1/12 år med N A (t) Po(λ A t) = Po(0.49/12) = Po(0.041), P t (A) = 1 P(N A (t) = 0) = 1 e = (c) Vi är intresserade av den sammansatta händelsen A B och P t (A B) = 1 P(N A B (t) = 0) =??? Vad kan vi säga om N A B (t) = antal bränder där dörrarna inte kan öppnas i intervallet [0, t]?

12 Exempel Egenskaper 12 / 14 Initieringshändelse och scenarier S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 B B Vi har en följd av initieringshändelser (A) som skulle kunna leda till allvarliga scenarier. Ur den får vi en följd av scenarier (A B) i andelen P(B) av händelserna. Om händelsen B är oberoende av händelseströmmen för A så är även A B en händelseström med intensitet λ A B = λ A P(B). Om händelserna A följer en poissonprocess så gör scenarierna A B det också.

13 Exempel Egenskaper Sjukhusbrand (forts) Vi har att N A B (t) Po(λ A P(B) t) och t = 1/12 : P t (A B) = 1 e λ At P(B) = 1 e P(B). Men hur ska vi uppskatta P(B)? Det finns två alternativ, baserade på en observationsperiod: (1) Som andelen av A som även ledde till B: P(B) antal A B under observationsperioden antal A under observationsperioden Kräver ett stort antal A för att bli bra. (2) Skatta separat. Inspektera dörrarna ett (stort) antal gånger och notera om de kan öppnas eller ej: P(B) antal gånger dörrarna ej kunde öppnas antal inspektioner 13 / 14

14 14 / 14 Addition av strömmar Vi kan ha flera oberoende strömmar, t.ex. bränder ( ) och vattenläckor ( ), som löper parallellt: Om bränder inträffar med intensitet λ A1 och vattenläckor med intensitet λ A2 så inträffar problem med intensitet λ A1 + λ A2. Ex: sjukhusbränder och -vattenläckor Om bränder inträffar med intensitet 0.49 (år 1 ) och vattenläckor med intensitet 0.77 (år 1 ) och inträffar problem (=brand eller vattenläcka) med intensitet = 1.26 (år 1 ).