Formelsamling i matematisk statistik

Transkript

1 Formelamling i matematik tatitik Sannolikhetteori Sannolikhetaxiom : 0 P (A) :P () = 3: P (A [ B) = P (A) + P (B) om A \ B =? Additionaten Betingad annolikhet P (A [ B) = P (A) + P (B) P (A \ B) P (AjB) = P (A \ B) P (B) Total annolikhet Om H i \ H j = för i 6= j och [ n k= H k = å nx P (A) = P (AjH k )P (H k ) k= Oberoende händeler A och B är oberoende om P (A \ B) = P (A)P (B) Kombinatorik. n element kan välja bland N element Stokatika variabler Med återläggning och med hänyn till ordning på N n olika ätt Med återläggning och utan hänyn till ordning på N+n n olika ätt Utan återläggning och med hänyn till ordning på N! (N n)! olika ätt Utan återläggning och utan hänyn till ordning på N n olika ätt Fördelningfunktionen för : F (x) = P ( x) Sannolikhetfunktion för en dikret tokatik variabel : p (k) = P ( = k) bx P (a < b) = F (b) F (a) = p(k) om är dikret k=a+ Tähetfunktionen för en kontinuerlig tokatik variabel : f(x) = P (a < b) == Z b a f(x)dx = F (b) F (a) om är kontinuerlig df (x) dx

2 Väntevärden Väntevärdet 8 för P en tokatik variabel : < k= k p(k) dikret = E() = R : x f(x)dx kontinuerlig Väntevärdet 8 för P en funktion av en tokatik variabel g() : < k= g(k)p(k) dikret E(g()) = R : g(x)f(x)dx kontinuerlig Varianen för en tokatik variabel = V () = E [( )] = E( ) Om a och b är rella tal och är tokatik variabel å gäller att E(a + b) = ae() + b; V (a + b) = a V () Kovarianen för tokatika variablerna och C(; ) = E = E() E()E() Korrelationkoe cienten för tokatika variablerna och C(;) D()D() (; ) = Om och är oberoende gäller: E() = E()E() För alla tokatika variabler och gäller : E( + ) = E() + E() om och deutom är oberoende gäller: V ( + ) = V () + V () Normalfördelningen Om ; : : : ; n är oberoende och normalfördelade, N( ; ); : : : ; N( n ; n ) och c ; : : : ; c n är reella tal å gäller v 3 nx nx ux c i i N 4 c i i ; t n 5 Centrala gränvärdeaten, CGS i= i= Om ; : : : ; n är oberoende och likafördelade, med väntevärde E( i ) = och varian, V ar( i ) =, å gäller att nx i N(n; p n) och N(; = p n) i= Viktiga approximationer med CGS h q i Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) N np; np( p) N n N om np( p) N n N 0 h Binomialfördelning: Bin(n; p) ) N np; p i np( p) om np( p) 0: Poionfördelning: P o() ) N(; p ) om > 5: Andra viktiga approximationer. Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) Bin(n; p), om n N < 0: Hypergeometrik fördelning : Hyp(N; n; p) ) P o(np) om p + n N < 0: i= c i i Binomialfördelning: Bin(n; p) ) P o(np) om n > 0 och p < 0:

3 Statitikteori Punktkattningar Låt x ; : : : ; x n vara obervationer av oberoende och likafördelade tokatika variabler ; : : : ; n med väntevärde E( i ) = och varian, V ( i ) =. En väntevärderiktig kattning av och är då Kon denintervall = n ( ) = n nx x i = x i= nx (x i ) om är känd i= ( ) = n nx (x i x) om är okänd. Givet i N(; ) där är känt och ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g. Ett 00( )% kon denintervall för är då i= x = pn ; x + = pn. Givet i N(; ) där är okänt och ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g. Ett 00( )% kon denintervall för är då x t (n ) = p ; x + t n (n ) = 3. Givet ett tickprov i par (x ; y ); (x ; y ); : : : ; (x n ; y n ) där i N( i ; ) och i N( i + ; ). Ett 00( )% kon denintervall för är då q där z i = y i x i och = n z t P n i= (z i z) (n ) = p ; z + t n (n ) = 4. Givet två tickprov, fx ; x ; : : : ; x n g och fy ; y ; : : : ; y n g där i N( ; ) och j N( ; ) med och kända. Ett 00( )% kon denintervall för är då x y = + n p n p n n ; x y + = 5. Givet två tickprov, fx ; x ; : : : ; x n g och fy ; y ; : : : ; y n g där i N( ; ) och j N( ; ) med = men okända. Ett 00( )% kon denintervall för är då r (n n ) x y t = + ; x y + t n n där = n + n (n n ) = (n ) + (n ) n + n r n + n 3

4 6. Givet ett tickprov fx ; x ; : : : ; x n g där i N(; ). En intervallkattning av är då (n ) ; =(n ) (n ) =(n ) där = n P n i= (x i x), är en punktkattning av och kon dengraden är ( ). 7. Om ; ; : : : ; n är likafördelade och oberoende. v. med E( i ) = och V ( i ) = å är approximativt N(0; ) och ett approximativt kon denintervall för är x = p ; x + = p n n ( ) p n p n P n i= ( i ) Hypotetet Låt ( ; : : : ; N ) vara ett lumpmäigt tickprov från en fördelning om beror på en parameter. Nollhypoteen, H 0, peci cerar att 0 och en alternativ hypote, H, att dv H 0 : 0 H : Låt U = U( ; : : : ; n ) vara en tickprovfunktion och C ett kritikt område om är anpaat å att P (U C) =, där är peci cerad iförväg. Tetet blir då Förkata H 0 om u C Förkata inte H 0 om u 6 C där tettorheten u = u(x ; : : : ; x n ) är en obervation av U = U( ; : : : ; n ) Några vanliga tet Fördelning Parameter H 0 H u Förd av U Kritikt område, C under H 0 N(; ) = 0 < 0 x N( 0 ; = p n) u < p 0 n känt N(; ) = 0 > 0 x N( 0 ; = p n) u > 0 + p n känt N(; ) = 0 6= 0 x N( 0 ; = p n) u < = p 0 n känt u > 0 + = p n N(; ) = 0 < 0 x 0 = p n t(n ) u < t ej känt N(; ) = 0 > 0 x 0 = p n t(n ) u > t ej känt N(; ) = 0 6= 0 x 0 = p n t(n ) u < t = ej känt u > t = N(; ) = 0 < 0 N(; ) = 0 > 0 N(; ) = 0 6= 0 (n ) 0 (n ) 0 (n ) 0 (n ) u < (n ) (n ) u > (n ) (n ) u < =(n ) u > =(n ) 4

5 Typ I fel,, är annolikheten att förkata H 0 då H 0 är ann. Typ II fel,, är annolikheten att inte förkata H 0 då H är ann. Tetet tyrka mot ett alternativ är annolikheten att förkata H 0 då H är ann, dv. Linjär regreion Modell: y = + x; Y i N( + x i ; ) Följande beteckningar gäller: S xx = P (x i x) ; S yy = P (y i y) ; S xy = P (x i x)(y i y) Punktkattningar = Sxy S xx N ; p Sxx = Y x N ; q =! n + x S xx Q 0 n där Q (S 0 = S xy) yy S xx och R = Q 0 S yy Korrelation Punktkattning = r = Sxy p SxxS yy Intervallkattning F iher z tranform Z = +r ln( r ); E(Z) + ln( ) och V (Z) n Om z = +r ln( r ) ge ett kon denintervall för z av z ( z = pn ) ( )00% Hypotetet p H 0 : = 0 n p r r t(n ) Variananaly Anovatabell Där T = P i;j x ij, T i = P j kv f mkv tettorhet A Q A p A R Q 0 N p S : a Q N x ij och A F (p ; N p) Q A = P i n i T i N T, Q = P x ij i;j N T amt Q = Q A + Q 0 : Kon denintervall Sche é: i j (x i x j p (p )F (p ; N p)q n i + n j ) Om all n i är lika kan man använda Tukey: i j (x i x j T (p; N p) p n ) 5

6 Några vanliga fördelningar Fördelning Slh funkt rep. täthet Väntevärde Varian Binomial p(k) = n k p k ( p) n k k = 0; : : : ; n np np( p) Bin(n; p) Hypergeometrik Hyp(N; n; p) k )( N Np n k ) p(k) = (Np ( N n) N n k Np; n k N( p) np N np( p) Poion P o() p(k) = e k k! k = 0; : : : Geometrik p(k) = p( p) k k = 0; : : : ( p)=p ( p)=p g p(k) = p( p) k k = ; ; : : : =p ( p)=p Normal f(x) = p (x ) e < x < N(; ) Gamma f(x) = a p (p) xp e x a x 0 ap a p (p; a) Exponential f(x) = e x x 0 Exp() Rektangel f(x) = a+b b a a x b R(a; b) (a b) 6

7 Tabeller Tabell. Standardierad normalfördelning F(x) = P(X x)därx N (0, ) För negativa värden, utnyttja att F(x) = F( x) area = Φ(x) x Tabell. Normalfördelningen kvantiler P(X > l a ) = a där X N (0, ) a l a a l a x λ α λ α/ λ α/ area = α area = α/

8 Tabell 3. t-fördelningen P(X > t a (f )) = a där X t(f ) area = α t α (f) f a

9 Tabell 4. q -fördelningen P(X > q a(f )) = a där X q (f ) area = α f a χ α (f)

10 Tabell 5. Poionfördelningen P(X x)därx Po(m) x m x m x m

11 Tabell 5 fort. x m

12 Tabell 5 fort. x m

13 Tabell 6. Binomialfördelningen P(X x)därx Bin(n, p) För p > /, utnyttja att P(X x) = P(Y n x) däry Bin(n, p) n x p

14 Tabell 6 fort. n x p

15 Tabell 6 fort. n x p

16 Tabell 6 fort. n x p