Repetition: Enkel sampling. Systemplanering VT11. Repetition: Enkel sampling. Repetition: Enkel sampling

Transkript

1 Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Repetitio: Ekel sampli Mål: Få fram E[X] Defiitio av E[X]: EX [ ] = x f ( xdx ), EX [ ] = x f ( x), X X då X kotiuerli Okäd! då X diskret Problem: Ka ej beräka E[X] teoretiskt Lösi: Aväd Mote Carlo-simuleri! 2 Repetitio: Ekel sampli Ka ej beräka E[X] exakt teoretiskt uta får öja oss med att skatta vätevärdet: EX [ ] mx Vår skatti Om vi kude eomföra experimet som er observatioer av variabel X (tex sila slat och observera utfallet som i ex. 6.20) så skulle vi kua skatta vätevärdet som medelvärdet av våra observatioer: EX [ ] mx = xi i = Repetitio: Ekel sampli I måa fall är det svårt att utföra verklia experimet! Om täthetsfuktioe till X varit käd skulle vi kuat slumpa fram observatioer uta att behöva öra verklia experimet. Me f X (x) är okäd! Utyttja att vi vet vilke stokastisk variabel Y som påverkar X och hur de påverkar X dvs: ( Y) = X där täthetsfuktioe till Y är käd och som är e matematisk modell av systemet också är käd. Nu ka vi slumpa fram observatioer av Y: y,, y Vi får således också fram observatioer av X eom: x i =(y i ), i=,2,3,, ivet att x,,x är oberoede. 3 4

2 Repetitio: Ekel sampli Slutlie blir vår skatti m = av det sökta vätevärdet E[X]. X x i i= Observera att m X också är e stokastisk variabel (ty medelvärde av slumpmässia observatioer x i =(y i )) Slumpas fram Slumptalseerator Repetitio: Ekel sampli U Iversa trasformmetode Y Matematisk modell (Y)=X Sampli Detta är pricipe för ekel sampli. För att få fram observatioera på Y aväder vi e slumpeerator som eererar oberoede likformia slumptal på itervallet [0,]. Med hjälp av iversa trasformmetode omvadlar vi dessa till observatioer av Y, {y, y 2, y 3, y 4, y 5,, y }. Det eda som vi måste ta fram för att aväda iversa trasformmetode är fördelisfuktioe eller varaktihetskurva till Y. m X 5 6 Repetitio: Ekel sampli Skatties vätevärde är samma som de stokastiska variabels vätevärde, dvs E[m X ] = E[X]. Skatties varias är itressat, eftersom de aer hur mycket e eskild skatti ka förvätas avvika frå de sökta vätevärdet (dvs E[X]) Norahete i skattie ka alltså mätas med skatties varias. Sats 6.22: Var[ X ] Var[ mx ] = Ju fler observatioer, desto midre Var[m x ] oraare skatti. Repetitio: Ekel sampli Me vi ka ite öra oädlit måa observatioer. Vi måste ha ett stoppkriterium för att bestämma Två typer av stoppkriterier Fördefiierat atal sampel (ituitio eller beräkas). Variatioskoefficiete, a (sätter e relativ tolerasivå)

3 Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Sampli av elmarkader Slumptalseerator U Iversa trasformmetode Y Matematisk modell (Y)=X Sampli Mål: Att försöka förutsäa hur elmarkade kommer fuera ivet vissa förutsättiar. Går ej att öra verklia experimet i e elmarkadssimuleri, vill kua eomföra simulerie bara med hjälp av dator. Varje sampel är e observatio av hur elmarkade beter si i ett visst sceario. Det fis ett oädlit atal möjlia scearier. Observera att både X och Y ka vara vektorer av stokastiska variabler. X är e vektor av de variabler vars vätevärde vi vill få fram. Oftast påverkar också flera stokastiska variabler X som samlas i vektor Y. Vad motsvarar X, E[X], Y och är ma samplar elmarkader? m X 9 0 X: Vektor av resultatvariabler X är e vektor av stokastiska variabler. Dessa stokastiska variabler är vårt utdata och kallas resultatvariabler. Resultatvariableras saolikhetsfördeli är ite käda. Typiska resultatvariabler för elmarkadssimuleri: TOC: Total Operatio Cost, de totala driftkostade. LOLO: Loss Of Load Occasio, biär variabel som är om det uppstår effektbrist och 0 aars. ENS: Eery Not Served, icke-levererad eeri pa av kapacitetsberäsiar i elsystemet. Vad motsvarar då E[X] som hela Mote Carlo år ut på att skatta? E[X]: Systemidex Det är jobbit att ta häsy till alla täkbara utfall på X. Vi vill få e mer överripade förståelse för de viktiaste eeskapera som e viss elmarkad har! Därför öjer vi oss med att studera systemidex: E[X]={X=(Y)}=E[(Y)] Typiska systemidex för elmarkadssimuleri: ETOC = E[TOC], de förvätade totala driftkostade. LOLP = E[LOLO], riske för effektbrist, dvs saolikhete att mist e kud är ofrivillit bortkopplad. EENS = E[ENS], de förvätade icke-levererade eeri. 2 3

4 Y: Vektor av scearioparametrar Y är e vektor av stokastiska variabler. Dessa stokastiska variabler är vårt idata och kallas scearioparametrar. Scearioparametraras saolikhetsfördeliar är käda. Dessa beskriver förutsättiara på elmarkade. Typiska scearioparametrar för elmarkadssimuleri: Last/efterfråa på el Maximal tilläli elproduktio i de olika kraftverke : Elmarkadsmodell är e matematisk modell som visar hur elmarkade reaerar på varje täkbart sceario. Dea modell kallas e elmarkadsmodell. I dea modell iår kostater som är de samma för alla scearier. Dessa kostater kallas modellkostater. E elmarkadsmodell består av två delar:. Ataade om hur aktörer på elmarkade aerar. 2. Modell av kraftsystemet. Möjlit att aväda i pricip vilke modell som helst beror på syftet. E vali elmarkadsmodell: Multi-areamodelle. 3 4 Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Multi-areamodelle Multi-areamodelle är de valiaste elmarkadsmodelle, och de eda elmarkadsmodell som preseteras i kurse. E elmarkadsmodell består av två delar:. Ataade om hur aktörer på elmarkade aerar. 2. Modell av kraftsystemet. Sart kommer vi se att multi-areamodelle i själva verket ka formuleras som ett optimerisproblem, där både pukt och pukt 2 ikluderas

5 Multi-areamodelle. Ataade om hur aktörer på elmarkade aerar: Multi-areamodelle. Forts: Ataade om hur aktörer på elmarkade aerar: Vi atar att aktörer på elmarkade kommer att aera så att deras vist maximeras, dvs varje aktör löser optimerisproblemet: Y X=(Y) maximera med häsy till vist kraftsystemets fysiska beräsiar Multi-areaproblemet motsvarar ett föreklat korttidsplaerisproblem. Skillade är att ma i korttidsplaerisproblemet aväder mer detaljerade modeller för kraftverk och elsystem. För varje observatio av y i (e viss efterfråa, e viss maximal elproduktio, osv) optimerar varje aktör si vist. Med lösie till optimerisproblemet ka e observatio av x i beräkas. Geom att lösa opt. prob. flera åer för olika y i eereras måa observatioer på x i och vi ka därmed skatta de sökta vätevärdea ETOC, LOLP, EENS. För att aktörera ska kua fatta optimala beslut det att de har korrekt iformatio och att de ka hadla fritt. Vi atar därför att det råder perfekt kokurres och att alla aktörer har perfekt iformatio. 7 8 Multi-areamodelle 2. Modell av kraftsystemet: Problem: Mote Carlo-simuleri består av ett stort atal scearier och för varje sceario måste ett optimerisproblem lösas Mycket tidskrävade!!! Multi-areamodelle 2. Forts: Modell av kraftsystemet: Area Area 2 Lösi: Ha så få variabler som möjlit i optimerisproblemet dvs vi måste öra förekliar av kraftsystemet. Metod:. Förekla det ursprulia ätet eom att flera oder slås samma till e. Detta ör vi eom att dela i kraftsystemet i areor. 2. Efterfråa iom varje area slås ihop och laste atas ej vara priskäsli. 3. Elätet represeteras bara av förbidelsera mella areora. Det eda som tas häsy till är överföriskapaciteter och trasmissiosförluster mella areora. Distributiosät iuti areora försummas. Area

6 Multi-areamodelle 2. Forts: Modell av kraftsystemet: Fler förekliar:. Termiska kraftverk: Modelleras med e viss tilläli produktioskapacitet och e kostadsfuktio. Tar edast häsy till produktioskostader i kostadsfuktioe (bortser frå startkostader). Multi-areaproblemet Att maximera viste är det samma som att miimera kostade. Följade optimerisproblem löses för varje sceario: miimera produktioskostade + straffkostad för bortkopplad last 2. Icke-relerbara kraftverk: Kraftverk där produktioskapacitete beror av åo faktor utom mäskli kotroll, tex vidkraftverk och vattekraftverk uta maasi. Produktioskostade försummas och de tillälia produktioskapacitete summeras per area för dea typ av kraftverk. då lastbalas i alla areor uppfylls fysiska beräsiar äller 2 22 Multi-areaproblemet Varför behöver vi e variabel för icke-levererad effekt och varför har de e kostad? Ia aratier för att elproduktioe är de samma som efterfråa i varje area. Måste ha e möjlihet att koppla bort laste! iför variabel U som är icke-levererad effekt i area Vi vill miimera produktioskostade. Det billiaste är om ie el produceras, dvs de optimala lösie blir: Efterfråa i varje area= icke-levererad effekt i varje area För att utyttja produktiosresursera ia vi kopplar bort last låter vi U ha e straffkostad som måste vara höre ä produktioskostade i det dyraste kraftverket. Multi-areaproblemet Optimerisvariabler: G = eereri i termiska kraftverket W = eereri i icke-relerbara kraftverk i area P,m = trasmissio frå area till area m U = icke levererad effekt i area Parametrar: P = mäde trasmissiosförbidelser (,m) P m = mäde av areor m som ka exportera till P m = mäde av areor m som ka importera frå

7 Multi-areaproblemet Parametrar (forts): C G = Kostadsfuktio för det termiska kraftverket C U = Kostadsfuktio för icke-levererad effekt i area D = Last i area G = Maximal produktio i kraftverk W = Maximal produktio i icke-relerbara kraftverk i area G = Mäde termiska kraftverk i systemet G = Mäde termiska kraftverk i area L,m = Förlustfuktio för trasmissio frå area och m N = Mäde areor i systemet P, m= Maximal trasmissio frå area till m Multi-areaproblemet Målfuktio: mi G C ( G ) + C ( U ) G Total produktioskostad för de termiska kraftverke N U Total straffkostad för bortkopplad last Observera att produktioskostade för de icke-relerbara kraftverke försummats helt! Observera att startkostadera för de termiska kraftverke försummats! Multi-areaproblemet Bivillkor för lastbalas: Multiareaproblemet Variabelräser: Beräsiar i produktios- och överföriskapacitet: G ( Pm, Lm, ( Pm, )) = D + Pm, U, N G + W + Geereri i area m P m Observera att eereri frå de icke-relerbara kraftverke slås ihop för varje area. Import till area Last i area m P m Export frå area Effektbrist i area 0 G 0 P 0 U 0 W, m G P D W, m G (, m) P N N

8 Multi-areaproblemet Kör optimerie. Ka seda beräka TOC och LOLO: Stryks om vi har e fiktiv straffkostad. TOC = CG ( G ) + CU ( U ) Edast med om det G N hadlar om att ersätti betalas ut. 0 om U = 0 N LOLO = omu > 0 N Mist e area har blivit bortkopplad. Multi-areamodelle Vad är scearioparametrar och resultatvariabler i multi-areamodelle är de aväds i Mote Carlo-simuleri? Scearioparametrar (Y): De parametrar som bestämmer förutsättiara! Tilläli produktioskapacitet i kraftverke: G,W Tilläli överföriskapacitet: P Laste: D Resultatvariabler (X): Driftkostad: TOC Effektbrist: LOLO Systemplaeri VT Föreläsi F6: Mote Carlo Iehåll:. Repetitio av ekel sampli 2. Sampli av elmarkader 3. Multi-areamodelle 4. Räka exempel Nu ska det räkas! Exempel Multi-areamodeller Vill du klara hemuppift 2)? Lyssa oa

9 Multi-areamodelle Exempel 6.: I de östafrikaska stade Mji fis e dieseleeratorer, som har e kapacitet på 250 kwh/h. P..a. bristade uderhåll är det valit med driftstöriar i dieseleerator. Driftkostade är 0 /kwh. 5 km ifrå Mji lier Mlima där fis ett vidkraftverk. De istallerade effekte i vidkraftverket är 200 kw och driftkostade är försumbar. Alldeles itill Mlima lier by Kijiji. Laste i Mji respektive Kijiji ka atas vara ormalfördelade och oberoede av varadra. Nu ska det räkas! Exempel 6.22: Ekel sampli av elmarkader Återkommade exempel är vi seare studerar variasreduceristekiker! Mlima och Kijiji är förbuda med Mji via e trasmissiosledi. Ma ka ata att förlustera på ledie uppår till 2% av de effekt som matas i och att ledie aldri drabbas av driftstöriar. Formulera e tvåareamodell av elsystem. Söker ETOC och LOLP. Vad är Y och E[X]? Ekel sampli av elmarkader Exempel 6.22: Lite by med eet ät. Data el. följade: Normalfördelad last, D, med vätevärde 80 och stadardavvikelse 40. Tre kraftverk: Vattekraftverk (ej maasi), max. effekt 50 kw, driftkostad 0 SEK/kWh Dieseleeratorer 00 kw, driftkostad SEK/kWh, körs aldri på midre ä 40 kw. Evetuell överskottsproduktio förbrukas i varmvatteberedare Dieseleeratorer 50 kw, driftkostad 2 SEK/kWh Alla kraftverk 00% tillälia Beräka ETOC, dels med Mote Carlo (0 obs. räcker för skattie) och dels exakt. Ekel sampli av elmarkader Lösi med Mote Carlo: Slumptalseerator U Iversa trasformmetode Y Matematisk modell (Y)=X Sampli Modellkostater: Är tilläli kapacitet och driftkostader då de är samma för alla scearier. Scearioparametrar Y: Är D, laste, ty de är stokastiskt med e käd saolikhetsfördeli. Vi vet att de är ormalfördelad med vätevärde 80 och varias 40. Resultatvariabler X: Är TOC ty det vätevärde vi söker är ETOC=E[TOC]. Matematisk modell, : Atar att vi kör kraftverke så att driftkostade miimeras. m X

10 Ekel sampli av elmarkader Ekel sampli av elmarkader Tabell visar hur kraftverke körs vid olika lastsituatioer, dvs fuktioe (D)=TOC. Slumptalseerator U Iversa trasformmetode D Matematisk modell (D)=TOC Sampli m TOC D [kw] TOC [SEK/h] Kommetar Vattekrafte körs *(D-50) *(D-50) *(D-250) > Vattekrafte körs fullt, lilla eerator följer laste Vattekrafte körs fullt, stora eerator kostat 40 kw, överskottsprod. förbrukas i vv-beredare Vattekrafte körs fullt, stora eerator följer laste Vattekrafte körs fullt, stora eerator körs fullt, lilla eerator följer laste Samtlia kraftverk körs fullt, last måste kopplas bort. Atar att 0 observatioer av TOC räcker för att skatta ETOC. 2. Börja slumpa 0 st U(0,) och trasformera dessa elit Appedix E till slumptal för laste D frå e N(80,40). Vi har u 0 st slumpmässia observatioer av D: d i, i=,, Ekel sampli av elmarkader Ekel sampli av elmarkader Slumptalseerator U Iversa trasformmetode D Matematisk modell (D)=TOC Sampli m TOC. Atar att 0 observatioer av TOC räcker för att skatta ETOC. 2. Börja slumpa 0 st U(0,) och trasformera dessa elit Appedix E till slumptal för laste D frå e N(80,40). Vi har u 0 st slumpmässia observatioer av D: d i, i=,,0. 3. Aväd som defiierades i tabelle för att räka fram 0 st slumpmässia observatioer av TOC: (d i )=TOC i, i=,,

11 Ekel sampli av elmarkader Ekel sampli av elmarkader Tabell visar hur kraftverke körs vid olika lastsituatioer, dvs fuktioe (D)=TOC. D [kw] TOC [SEK/h] Kommetar Vattekrafte körs *(D-50) *(D-50) *(D-250) > Vattekrafte körs fullt, lilla eerator följer laste Vattekrafte körs fullt, stora eerator kostat 40 kw, överskottsprod. förbrukas i vv-beredare Vattekrafte körs fullt, stora eerator följer laste Vattekrafte körs fullt, stora eerator körs fullt, lilla eerator följer laste Samtlia kraftverk körs fullt, last måste kopplas bort 4 42 Ekel sampli av elmarkader Slumptalseerator U Iversa trasformmetode D Matematisk modell (D)=TOC Sampli m TOC. Atar att 0 observatioer av TOC räcker för att skatta ETOC. 2. Börja slumpa 0 st U(0,) och trasformera dessa elit Appedix E till slumptal för laste D frå e N(80,40). Vi har u 0 st slumpmässia observatioer av D: d i, i=,,0. 3. Aväd som defiierades i tabelle för att räka fram 0 st slumpmässia observatioer av TOC: (d i )=TOC i, i=,,0. 4. Söker ETOC=E[TOC]. Får fram ett approximativt värde för ETOC eom att ta medelvärdet av våra 0 observatioer: 0 m TOC = TOCi 0 i= Ekel sampli av elmarkader Medelvärdet av driftkostade, dvs skatti av ETOC: 0 m TOC = TOCi = 42.6 SEK/h 0 i= Lösi då ETOC beräkas exakt: För detta lilla exempel år det dock att räka ut ETOC exakt: ETOC = TOC( x) f ( x) dx = K = SEK/h D Iterale löses umeriskt! 43 44

12 Nu ska det räkas! Ekel sampli av elmarkader Öv. Uppift 6.3: Övi 6.3 Ekel sampli av elmarkader Nu har vi beräkat ETOC bara att öva på LOLP kvar I e Mote Carlo-simuleri av e multiareamodell har ma eererat scearier. I 2 av dessa scearier blev de totala icke-levererade effekte större ä oll. Vad blir skattie av LOLP? Det viktiaste frå ida: Fuktioe = Elmarkadsmodelle = multiareamodelle Multi-areamodelle: Formuleras som ett optimerisproblem, där ataade om hur aktörer på elmarkade aerar samt kraftsystemet fysiska beräsiar tas med. Nästa å: Mål: Vill öra vår skatti av E[X] oraare uta att behöva ta fler sampel/observatioer! Metod: Välj våra observatioer smartare, dvs aväd variasreduceristekiker: Slumptalskomplemet Kotrollvariabler Stratifierad sampli Eller kombiera dem