Ett M/M/1 betjäningssystem har följande egenskaper: 1. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde 1 μ

Transkript

1 M/M/ ösystem M/M/ ösystem Ett M/M/ betjäningssystem har följande egensaper:. Systemet har en betjänare. Betjäningstiderna är exponentialfördelade med medelvärde x =.. Kunder anommer enligt Poissonprocess med anomstintensiteten under per tidsenhet.. Obegränsat antal öplatser M/M/ ösystem Anommande under ön betjänare Avgående under Anomstintensitet = betjäningsintensitet = Obegränsat antal öplatser (ingen und avvisas) = Figur Figur. Tillståndsgraf för ett M/M/ ösystem Sida av 8

2 M/M/ ösystem Betecningar: Medelantal under i systemet, = q + s q s Medelantal under i ön Medelantal under i betjänarna x~ Betjäningstid för en und (stoastis variabel ) x Medel betjäningstid för en und, x = E (x ~ ) w ~ Väntetid (=tid i ö) för en und (stoastis variabel ) W Medel väntetid för en und, W = E(w~ ) s~ Total tid i systemet för en und; ~ s = ~ x + w ~ T Medel totaltid i systemet för en und T = E(s ~ ), T = W + x Anomstintensitet Effetiv anomstintensitet Betjäningsintensitet Erbjuden trafi, = p Stationära sannoliheter; p är sannoliheten för under i systemet ågra formler för ett M/M/ ösystem: I ett M/M/ ösystem är > (annars bildas en obegränsad ö) = q + s T = W + x x = p p = p = =, T = Fördelningsfuntionen för den totala tiden i systemet för en und är ( ) t F~ s t P( ~ ( ) = s t) = e Littles formler: Sida av 8

3 M/M/ ösystem = T (I ett M/M/ system =, eftersom ingen und avvisas) q s = W = x ÖVIGSUPPGIFTER: Uppgift. I ett M/M/ system är betjäningsintensiteten = under /minut. Medelantal under i systemet är = under. a) Härled formeln = b) Beräna anomstintensiteten och medelväntetiden i ön W. Lösning a) I ett M/M/ system gäller För att härleda formeln = ( ) = (*) p = där = = använder vi att ( som vi får genom derivering av den geometrisa serien = ) = Medel antal under i ett M/M/ system blir då = = = p p p = = = = [enligt p = ( ) =. ( ) ( ) Svar b) = 5, W=.5 minuter (=9 seunder) (*)] Uppgift. I ett M/M/ system är betjäningsintensiteten = under /minut. Medel totaltid i systemet är T = minuter. a) Härled formeln T = ( Börja med formeln = och använd Littles formel ) b) Beräna anomstintensiteten, och medelbetjäningstiden x. Svar: b) = , =9, x =. minuter Uppgift. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten = meddelanden/seund. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 5 bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( Sida av 8

4 M/M/ ösystem Beräna a) b) c ) x d) e) T f) W g) q Svar: a) =/5= meddelande per seund b) =/ c ) x =/ s d) = e) T =/ s f) W =/ s g) q =/ Uppgift 4. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten =4 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir T= seund. Bestäm för detta K: b) c) d) x e) W Lösning a) Vi sa använda seund som tidsenhet. Vi har =4 meddelanden/minut =4 meddelanden/seund. Betjäningsintensitet som rävs för att få T= bestämmer vi med hjälp av formeln T = som ger = 4 = = 4 4. Alltså för att få T=s rävs det betjäningsintensitet = 4meddelande per seund. Eftersom meddelande har i genomsnitt bitar drar vi slutsats att vi behöver en överföringsapacitet med minst K= 4 =4 bitar per seund. Svar: a) K= 4 bitar/seund. b) = 4 meddelanden / seund c) = 4 4 d) x = s e) W = s 4 4 Uppgift 5. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten =6 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 5 bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras, för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir (högst) T=. s. b) Bestäm sannoliheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir längre än.4 seunder. c) Bestäm sannoliheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än. seunder. Sida 4 av 8

5 M/M/ ösystem Svar: a) K= bitar/seund ( = med/seund) Lösning b) Fördelningsfuntionen för den totala tiden i systemet för en und är ( ) t F~ t P( ~ ( ) = s t) = e. Därför s P( ~ s ( ) > t) = ( e ) = e = e Svar: c) e Uppgift 6. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten = meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= 4 bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Bestäm det minsta värdet på K som erfordras för att medelvärdet av totala tiden i systemet blir (högst) T=.5 seunder. b) Bestäm och W för detta K värde. c) Bestäm sannoliheten att för detta K värde totala tiden i systemet blir mindre än.5 seunder men längre än.5 seunder. Svar: a) K=6 bitar/seund (=5 meddelanden/s) b) = 9 med/seund) c) e e 5 Uppgift 7. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten K bitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten =8 meddelanden/minut. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( Beräna det minsta värdet på K som erfordras för att sannoliheten att totala tiden i systemet > seunder sa bli. ln Svar: K= ( + ) = (bitar per seund) Lösning: Först =8 meddelanden/minut= meddelande/seund Fördelningsfuntionen för den totala tiden i systemet för en und är ( ) t F~ s t P( ~ ( ) = s t) = e. Villoret P ( ~ s > ). ger ( ) ( ) ( e ). e. ( ) ln(.) multipliation med ger ( ) ln(.) eller ln(.) (notera att ln(.) ln( ) = ln som vi an sriva som + ln() eller ( eftersom = med/s) = ) Sida 5 av 8

6 M/M/ ösystem + ln(). ln Därmed K (+ ) = ln Svar: Det minsta som rävs är K = ( + ) bitar/s. Uppgift 8. En ommuniationsanal i ett datornät har apaciteten Megabitar/seund. Till analen anommer meddelanden enligt en Poissonprocess med intensiteten meddelanden/seund. Meddelandena har en längd som är exponentialfördelad med medelvärdet v= bitar. Vi antar att vi an modellera systemet som ett vanligt M/M/ system med ödisciplin FCFS ( a) Beräna b) Beräna det största värdet på som tillåtas, för att sannoliheten att totala tiden i systemet > seunder sa bli. Svar: a) = b) = ln() meddelande per seund. Uppgift 9. Vi betratar ett M/M/ ösystem. Bestäm sannoliheten att det finns minst under i systemet. Lösning: P(Antalet under ) = p + p + p + L = + p + p p = L = p ( + + L) = ( ) = Svar: P(Antalet under )= ============================================================== är vi betratar ett önät som består av flera M/M/ ösystem först bestämmer vi de etiva anomstintensiter för varje M/M/ system. Därefter gör vi beräningar i varje system separat. Uppgift. Vi betratar ett önät som består av två M/M/ ösystem ( CPU och I/O). ya program (under) ommer Poissonfördelade till CPU med intensiteten = 6 program per minut. Medelbetjäningstid för ett program in CPU är x = seunder och medelbetjäningstiden i I/O är x =6 seunder. 8% av program lämnar nätet efter betjäning i CPU men % fortsätter först till I/O och därefter igen till CPU (se Fig. ). Beräna medelantal program (under) i nätet (d v s program i CPU + program i I/O ) Sida 6 av 8

7 M/M/ ösystem Fig.. CPU % I/O 8% Lösning: Vi betecnar med och dem etiva intensiteter till första (CPU) och andra (I/U) ön. Då gäller: = + =. Härav = ( program / min) och = 4. Dessutom har vi = = ( program / min) och = = ( program / min). x x Eftersom = = har vi = =. På samma sätt = har vi = =. 5 8 Slutligen = + =. 8 Svar: = Uppgift. Vi betratar ett önät som består av två M/M/ ösystem ( CPU och I/O). ya program (under) ommer Poissonfördelade till CPU med intensiteten = 9 program per minut. Medelbetjäningstid för ett program in CPU är x = seunder och medelbetjäningstiden i I/O är x = seunder. 9% av program lämnar nätet efter betjäning i CPU men % fortsätter först till I/O och därefter igen till CPU (se Fig. ). Beräna medelantal program (under) i nätet (d v s program i CPU + program i I/O ) Fig.. CPU % I/O 9% Sida 7 av 8

8 M/M/ ösystem Lösning: Vi betecnar med och dem etiva intensiteter till första (CPU) och andra (I/U) ön. Då gäller: = + =. Härav = ( program / min) och =. Dessutom har vi = = ( program / min) och = = ( program / min). x x Eftersom = = har vi = =. På samma sätt = har vi = =. Slutligen = + =. Svar: = Sida 8 av 8