Sammanfattning av ALA-B 2007

Transkript

1 Crl-Mgnus Trä t7 Smmnttning v L- 7. Ordinär dirntilkvtionr (ODE). Först ordningns homogn ODE.... ndr ordningns homogn ODE.... Inhomogn kvtionr.... Sprl vrilr 5. Intgrrnd ktor 6. En ltrntiv örskjutningsrgl. Volmräkningr md intgrlr.. Mtodn md cirkulär skivor... Mtodn md clindrisk skl.. C. Lit om imginär tl... Någr dinitionr.. Polär orm.. d Moivrs orml.. Eulrs orml. D. llmänt gällnd intgrring..5. Polnomdivision och prtilråksuppdlning (PU) 5. Vrilsustitution...6. Invrs sustitution..6. Prtilintgrring Gnrlisrd intgrlr...7 E. Lit om linjär lgr...9. Linjär kvtionssstm och utökd koicintmtrisr.9. Trppstgsorm och rducrd trppstgsorm..9. Linjärkomintion och kort örklring till Spn()... Ekvtionn. 5. Undrrum 6. Mtrismultipliktion Linjär trnsormtion Invrsn till mtrisr 9. Dtrminntr.... Mtriskvtionr.

2 Crl-Mgnus Trä t7. Ordinär dirntilkvtionr (ODE). Först ordningns homogn ODE Dirntilkvtionn hr dn llmänn lösningn godtcklig konstnt C, där C är n. ndr ordningns homogn ODE Dirntilkvtionn hr dn krktristisk kvtionn r r md röttrn r och r. Dn llmänn lösningn till dirntilkvtionn är:» r r C C om röttrn är rll och olik r r C C r» om röttrn är rll och lik r r r» C cos C sin om röttrn är ick-rll ( r i, ).. Inhomogn kvtionr Dirntilkvtionrn och klls inhomogn om. D löss lämplign i tr stg:. Först stäms på något sätt n prtikulärlösning p till dn givn, inhomogn kvtionn. Ot kn mn stämm n prtikulärlösning som är v smm slg som högrldt. Förskjutningsrgln kn nvänds här.. Därtr stämmr mn dn llmänn lösningn h till motsvrnd homogn kvtion (rhålls om sätts lik md ).. Dn llmänn lösningn till dn givn, inhomogn kvtionn är: h p. Sprl vrilr Mtodn md sprl vrilr kn nvänds på dirntilkvtionr v tpn g. Empl: Dirntilkvtionn d,, kn skrivs d. Formll lösning: d d C C

3 Crl-Mgnus Trä t7 5. Intgrrnd ktor g hr dn intgrrnd ktorn G, där G är n primitiv unktion till g. Empl: Lös dirntilkvtionn gnom tt nvänd n intgrrnd ktor. Intgrrnd ktor är (notr tt är n primitiv unktion till ) Multiplicr hl uttrckt md : C d d (Dividr åd sidor md ) C Svr: llmänn lösningn är C 6. En ltrntiv örskjutningsrgl Empl: räkn n prtikulärlösning ör Sätt: p p p 6 Sätt vidr: Dtt gr tt prtikulärlösningn är p

4 Crl-Mgnus Trä t7. Volmräkningr md intgrlr. Mtodn md cirkulär skivor» Vid rottion kring -ln gällr: V V d Skriv om kvtionn så du hr uttrckt i trmr v (och s till tt gränsrn gällr ör och int ör ). Sn är dt r tt intgrr på som vnligt (st md vsnd på och int ).» Vid rottion kring -ln gällr: V V d T din givn unktion i kvdrt, intgrr md vsnd på och multiplicr svrt md.. Mtodn md clindrisk skl Om du till mpl sk rotr tt områd kring -ln mn hr svårt tt skriv om din unktion så tt uttrcks i trmr v så kn du nvänd dnn mtod. Vid rottion kring -ln gällr: V V d Du tr lltså din unktion gångr, intgrrr md vsnd på och multiplicrr svrt md.

5 Crl-Mgnus Trä t7 5 C. Lit om imginär tl. Någr dinitionr Ett komplt tl kn skrivs på ormn i, där och är rll tl och Om z i så gällr:» är rldln v z R z» är imginärdln v z Im z» i är dn imginär nhtn i» z är solutloppt v z» z är konjugtt till z z i z i.. Polär orm z i r cos v r sin r cos v isin v v i Ett komplt tl z i kn lltså skrivs z r cos v isin v, där r är solutloppt v z och v är rgumntt v z (vinkln mlln z och dn rll tllinjn). Vi sägr då tt z är skrivt i polär orm. rgumntt v z skrivs rg z. Vid multipliktion i polär orm multiplicrs solutloppn och rgumntn ddrs. Vid division i polär orm dividrs solutloppn och rgumntn sutrhrs.. d Moivrs orml cos v i sin v n cos nv i sin nv, där n är tt nturligt tl.. Eulrs orml Om och är rll tl gällr: i cos isin z i i cos isin Empl: i cos i sin i i i cos isin cos i Empl: i n in är n kompkt orm v d Moivrs orml. sin 7,,i

6 Crl-Mgnus Trä t7 6 D. llmänt gällnd intgrring. Polnomdivision och prtilråksuppdlning (PU) Empl: Om vi sk intgrr tt krångligt uttrck som vill vi gärn örnkl dt örst. Dtt kn vi gör gnom tt örst dl upp nämnrn i ktorr gnom polnomdivision och sdn dl upp uttrckt md hjälp v prtilråksuppdlning. För tt hitt vår örst ktor hövr vi inn n rot till nämnrn, lltså. Vi sr tt n rot är, och n ktor är då ( ). Dn ndr ktorn ås vi polnomdivision: Vi hr lltså: Nu sk vi prtilråksuppdl. kn skrivs på ormn C C. Vi sk inn, och C. C C C Vi hr: C C Dtt lösr vi md n utökd koicintmtris: ~ C C C ~ 9 Vi hr då:

7 Crl-Mgnus Trä t7 7 kn örnkls ttrligr md PU gnom tt ktorisr nämnrn till.. Vrilsustitution Om vi hr n intgrl på ormn dn till u du. Empl: räkn intgrln I v dv v sin cos d dv sin v cos 7 d 8 g g d kn vi örnkl dn gnom tt omvndl 8 rnhtr. Invrs sustitution Ilnd lir räkningrn nklr om mn gnomör n invrs sustitution, lltså så tt intgrln Empl: räkn volmn: V d d omvndls till g u g u du. sin t 6 sin d t cos t dt sin t cos t 6 cos t dt cos t 6 6 dt volmsnhtr

8 Crl-Mgnus Trä t7 8. Prtilintgrring Ett smnd som ilnd gör räkningrn nklr är U dv UV VdU Empl: räkn intgrln Vi prtilintgrrr: ln d I ln d U du U ln d V dv V U d V VdU ln ln 9 rnhtr d 5. Gnrlisrd intgrlr Om är kontinurlig på intrvllt, dinirr vi dn gnrlisrd intgrln v på, som tt gränsvärd v vnlig intgrlr: d R lim R d Likdnt om är kontinurlig på d R lim R d, : Om gränsvärdt istrr sägr vi tt intgrln är konvrgnt, om dt int istrr sägr vi tt dn är divrgnt (och divrgrr ntingn mot llr ). Om är kontinurlig på d c lim, hr vi: c d

9 Crl-Mgnus Trä t7 9 Om är kontinurlig på d c lim c, hr vi: d Krut här är lltså tt s om intgrln konvrgrr och i så ll till vilkt gränsvärd. Till lim mpl är rctn trsom tn då rctngns md grn ör tngns., jämör grn till

10 Crl-Mgnus Trä t7 E. Lit om linjär lgr. Linjär kvtionssstm och utökd koicintmtrisr Ett linjärt kvtionssstm v tpn hr ntingn n, ingn llr oändligt mång lösningr. Sstmt kn löss gnom tt mn omvndlr dt till n utökd koicintmtris och rducrr mtrisn md Gusslimintion så vi lätt år rm vd, och är. I dtt ll: ~ Sstmt hd int ht någr lösningr om dn rducrd mtrisn hd vrit på ormn: Dt hd ht oändligt mång lösningr om dt hd vrit på ormn: Dss lösningr hd ht ormn: t där t är n ri vril, t. Trppstgsorm och rducrd trppstgsorm En mtris på trppstgsorm hr ormn: # # # # Där # kn vr vilkt nollskilt tl som hlst. # klls pivotlmnt och kolumnn där dn står klls pivotkolumn. En mtris på rdrducrd trppstgsorm hr ormn: Dvs. vrj pivotlmnt hr rducrts till n tt och ll tl ovnör tt pivotlmnt är noll.

11 Crl-Mgnus Trä t7. Linjärkomintion och kort örklring till Spn() Om vktorn kn ås gnom sklärmultipliktion och vktorddition v vktorrn och så är n linjärkomintion v och. lltså istrr dt sklärr (tl) och sådn tt: Därmd hr också kvtionn n lösning ör Låt u och v vr vktorr i skild rån nollvktorn. I så ll är Spn v n linj gnom origo uppspänd v v och Spn u, v är tt pln gnom origo uppspänt v u och v.. Ekvtionn Lösningr till kvtionn ås gnom tt rdrducr dn utökd mtrisn till trppstgsorm där mn lätt sr värdt på,... ~ Ud, n : llr gnom tt multiplicr md invrsn till : Om lösningrn hd ht ormn: t där t är n ri vril, t Så hd vktorrn i vrit linjärt rond (trsom svrt till kvtionn ror på n ri vril t). Om ll kolonnr i iställt hd vrit pivotkolonnr hd kolonnrn i sgts vr linjärt orond. 5. Undrrum Ett undrrum till n är n mängd H i n som hr dss gnskpr:, H innhållr nollvktorn, För ll vktorr u och v i H gällr tt summn u + v liggr i H c, För vrj vktor u i H och vrj sklär c gällr tt vktorn c u liggr i H En s ör tt undrrum H till n är vrj linjärt orond mängd i H som spännr upp H. Dimnsionn ör tt undrrum H, dim H, är lik md ntlt svktorr i n s ör H. Kolonnrummt ör n mtris är mängdn Col v ll linjärkomintionr v kolonnrn i. Pivotkolumnrn i ildr n s till kolonnrummt v. Nollrummt ör n mtris är mängdn Nul v ll lösningr till dn homogn kvtionn. Rngn ör n mtris, rng, är lik md dimnsionn v kolonnrummt till. Så om mtrisn hr n kolumnr så hr vi tt: rng dim Nul n

12 Crl-Mgnus Trä t7 Empl: stäm n s ör nollrummt och kolonnrummt ör Vi gör dtt gnom tt:. Lös kvtionn. stämm ll pivotkolonnr Mtod: stäm (rducrd) trppstgsorm ör : ~ 7 t är ri vril t 7t 7 t, t Svr: En s ör En s ör dim dim Nul Col 7 7 Nul är { } Col är {,, } rng #kolonnr D tr örst kolonnrn i är pivotkolonnr t 6. Mtrismultipliktion Vid multipliktion v mtrisr måst ntlt kolonnr i dn örst mtrisn vr lik md ntlt rdr i dn ndr mtrisn. Om vi hr n mtris v storlk m n och n mtris v storlk n p så kn vi multiplicr dm i ordningn m n n p. Dn n mtrisn kommr h storlkn m p. Vi kn dock int multiplicr dm i ordningn trsom dn örst mtrisn då kommr h p stckn kolonnr mdn dn ndr kommr h m stckn rdr.

13 Crl-Mgnus Trä t7 Empl: Linjär trnsormtion Om T är n linjär trnormtion som omvndlr vktorr n m så gällr tt: T u v T u T v där u och v är vktorr i n smt ör sklärn c: T cu ct u Då inns dt n mtris ( m n ) sådn tt: T ör ll i n. T utör lltså och klls stndrdmtrisn ör T och T... t..: T n, där nhtsvk tor längd n 8. Invrsn till mtrisr En kvdrtisk mtris (v storlk n n) som är rdkvivlnt md idntittsmtrisn I v smm storlk hr n invrs sådn tt: I I» För mtrisr störr än ås invrsn gnom smndt: I ~ I» För n -mtris gällr: c d d c d c dt d c» Osrvr tt kn löss gnom 9. Dtrminntr Dtrminntn ör n mtris tckns dt och skrivs: dt c d c d För n -mtris gällr: dt d c om är smm mtris som ovn. För n -mtris kn dtrminntn räkns md Srrus rgl (s ok/ntckningr).

14 Crl-Mgnus Trä t7 För störr mtrisr ås dtrminntn vi tt mn rdrducrd mtrisn till trppstgsorm, och dtrminntn är lik md produktn v lmntn i digonln. När mn rdrducrr måst mn dock t hänsn till dss räknrglr:, Om n multipl v n rd i ddrs till n nnn rd så mtrisn ås, så är dt dt., Om två rdr i tr plts ör tt ild, så är dt dt c, Om n rd i multiplicrs md k ör tt å, gällr tt dt k dt. Mtriskvtionr Empl: Vi hr X=+X där vi sk räkn dn okänd mtrisn X. X X X X I X I X I I X I Sn är dt r tt räkn på. X C Sn är dt r tt räkn på. I Empl: Vi hr X=+CX där vi sk räkn dn okänd mtrisn X. X CX X CX C X