Tentamen för kursen. Linjära statistiska modeller. 27 oktober

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Tentamen för kursen Linjära statistiska modeller 27 oktober Examinator: Ola Hössjer, tel. 070/ , ola@math.su.se Återlämning: Meddelas via kurshemsida och webbaserat kursforum. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling delas ut vid tentamenstillfället. Tabell över F-kvantiler återfinns nedan. Det gäller även att χ (1) 3.8. Resonemang skall vara tydliga och lätta att följa. Varje korrekt och fullständigt löst uppgift ger 10 poäng. Följande gränser gäller för betygen A-E: A B C D E Uppgift 1 Ett läkemedelsföretag har tagit fram en astmamedicin och vill i en förstudie med 10 patienter undersöka om medicinen fungerar så pass väl att man senare kan gå vidare och genomföra större studier. För varje patient i = 1,..., 10 i förstudien, som tidigare samma dag tagit x i mg av medicinen, uppmättes utandningsvolymen Y i liter under en sekund. Resultatet framgår av följande tabell: Dos i mg Utandningsvolum 1 5.0, , , , , 5.9 Man ansatte en linjär regressionsmodell Y i = α + β(x i x) + ε i = µ(x i ) + ε i, i = 1,..., 10,

2 Linjära statistiska modeller, 27 oktober där µ(x) = α+β(x x) är den förväntade utandningsvolumen för en patient som tagit x mg av medicinen, x = 10 i=1 x i/10 är den genomsnittliga dosen för alla tio patienter, och ε i är oberoende och normalförelarde feltermer med väntevärde 0 och standardavvikelse σ. a) Beräkna en skattning ˆµ(6) av den förväntade utandningsvolumen hos en patient som tar 6 mg av medicinen. (Ledning: 10 i=1 y i = 54.8 och 10 i=1 y i(x i x) = 2.8.) (3 p) b) Beräkna en skattning av σ 2, utgående från följande (ofullständiga) variansanalystabell: Variationskälla Kvs Regression Residual Total (3 p) c) Ange ett 95% prediktionsintervall för utandningvolymen hos en patient som tar 6 mg av medicinen. (Ledning: Prediktionsfelsvariansen är σ 2 + Var(ˆα) + (6 x) 2 Var( ˆβ), samt t p/2 (f) = F p (1, f).) (4 p) Uppgift 2 I en epidemiologisk studie ville man undersöka om en viss ämnesomsättningssjukdom endast orsakades av livsstilsfaktorer, eller om det också fanns ärftliga komponenter. Man uppmätte koncentrationen Y i av en viss hormontyp i blodet som påverkar ämnesomsättningen, för 30 olika patienter (i = 1,..., 30). För varje person uppmättes också tre livsstilsfaktorer (matvanor, stressnivå, infektionskänslighet) x 1i, x 2i, x 3i, samt vilka varianter x 4i, x 5i av två olika gener som ärvts ned. Man ansatte en multipel linjär regressionsmodell (grundmodellen) med parametervektor θ = (α, β 1,..., β 5 ) T, där β j anger effekten av förklarande variabel j, och där feltermerna antas oberoende och normalfördelade med väntevärde 0 och varians σ 2. a) Formulera hypotesmodellen att bara livsstilsfaktorer påverkar ämnesomsättningen, enligt θ = Bλ, för lämpligt vald matris B och kolumnvektor λ. (2 p) b) Definiera förklaringsgraderna R0 2 och R2 1 för grund- och hypotesmodellen med hjälp av Y i, ˆµ i och ˆµ i för alla patienter i = 1,..., 30, samt Ȳ = 30 i=1 Y i/30. Här anger ˆµ i och ˆµ i skattningar av µ i = E(Y i ) från grund- respektive hypotesmodellen. (2 p) c) Resultatet av studien gav en förklaringsgrad R0 2 = för grundmodellen, och R1 2 = för hypotesmodellen. Testa på nivån 5% om genetiska faktorer har en signifikant inverkan på ämnesomsättningen. (Ledning: Börja med att titta på R0 2 R2 1 och 1 R2 0.) (3 p)

3 Linjära statistiska modeller, 27 oktober d) Ange en väntevärdesriktig skattning av σ 2, givet extrainformationen Kvs(Total) = (3 p) Uppgift 3 En mäklarfirma ville undersöka hur mycket priset av en viss typ av husobjekt berodde på dess läge. Eftersom det var fråga om en exlusiv och ovanlig hustyp hade man endast försäljningspris från fem tidigare sålda objekt. Man ansatte en multipel linjär regressionsmodell Y i = α + β 1 x 1i + β 2 x 2i + ε i för priset på hus i = 1,..., 5, där de två förklarande variablerna samvarierade enligt följande tabell: i x 1i x 2i Här anger x 1i husets läge svarande mot glesbygd (-1), förort (0) och tätort (1), medan x 2i anger graden av efterfrågan när huset såldes, svarande mot lågsäsong (-1), normalsäsong (0) och högsäsong (1). Parametern av primärt intresse är β 1, medan β 2 finns med för att skapa en mer tillförlitlig modell, till priset av högre varians för parameterskattningarna. För att inte överanpassa modellen tog man inte med fler än två förklarande variabler. Feltermerna ε i N(0, σ 2 ) antogs vara oberoende. a) Ange ett uttryck för Var( ˆβ 1 ), förenklat så långt som möjligt. (Ledning: Börja med att bestämma designmatrisen A. Matrisinversionsformeln ( ) 1 ( ) a b 1 d b = c d ad bc c a kan också vara användbar.) (4 p) b) Hur hade uttrycket för Var( ˆβ 1 ) sett ut om β 2 varit känd? (Ledning: Om β 2 x 2i är känd kan detta uttryck subtraheras bort från Y i.) (3 p) c) Bestäm variansinflationsfaktorn (VIF) för skattningen av β 1, förenklat så långt som möjligt. (3 p) Uppgift 4 Träden i ett visst område har utsatts för olika grad av svampangrepp, som också varierar mellan säsonger beroende på vädret. Vid ett lantbruksuniversitet ville man studera detta närmare och mätte graden av svampangrepp för tre slumpmässigt valda träd, som analyserades under tre säsonger,

4 Linjära statistiska modeller, 27 oktober slumpmässigt valda från en tioårsperiod. Men ansatte en tvåsidig variansanalysmodell för graden Y ijk = µ + α i + β j + γ ij + ε ijk, 1 i, j, k 3, av svampangrepp på barkprov k, taget från träd i under säsong j. Eftersom de tre träden och säsongerna valdes ut som stickprov antog man att dessa faktorer var slumpmässiga (typ II), med möjligt samspel. Det innebär att alla α i, β j och γ ij är oberoende stokastiska variabler med varians σ 2 α, σ 2 β respektive σ 2 γ. Man var primärt intresserad av att skatta samspelsvariansen σ 2 γ, för att ta reda på om vissa träd var mer känsliga för vädervariation än andra. Feltermerna ε ijk anger variationen mellan olika barkbitar från samma träd. De antogs vara oberoende och normalfördelade med väntevärde 0 och varians σ 2. Resultatet av försöket framgår av följande två tabeller, där Ȳij. och s 2 ij anger stickprovsmedelvärdena och stickprovsvarianserna för de tre barkproven som togs från träd i under säsong j (dessutom anges radmedelvärden Ȳi, kolumnmedelvärden Ȳ j och totalmedelvärde Ȳ av alla stickprovsmedelvärden): Stickprovsmedelvärden Ȳij : Stickprovsvarianser s 2 ij : j = 1 j = 2 j = 3 Ȳ i i = i = i = Ȳ j Ȳ = 3.4 j = 1 j = 2 j = 3 i = i = i = a) Beräkna en skattning av variansen σ 2 inom celler, genom att utnyttja värdena i den högra tabellen. (4 p) b) Beräkna medelkvadratsumman för variationskällan samspel, och testa sedan om samspelsvariansen är signifikant skild från 0 på nivån 5%. (Ledning: Börja med att beräkna skattningar ˆγ ij av alla γ ij, genom att utgå från värden på Ȳij, Ȳi, Ȳ j och Ȳ i den vänstra tabellen.) (3 p) c) Skatta samspelsvariansen σ 2 γ mellan träd och säsong. (Ledning: Du kan ha nytta av a)-b), samt formeln för E [Mkvs(Samspel)] vid tvåsidig variansanalys av typ II.) (3 p) Uppgift 5 Nedanstående tabell visar ett fraktionellt försök med 8 försökspunkter och 5 faktorer A, B, C, D och E, som var och en varierar på två nivårer - och + (svarande mot -1 och 1). Den vänstra kolumnen anger enhetselementet I, som bara har ettor i sin kolumn. Kolumnerna för A E anger vilka nivåer

5 Linjära statistiska modeller, 27 oktober dessa fem faktorer har för de olika försökspunkterna. Den högra kolumnen Y hijkl i tabellen anger responsvärdet för respektive försökspunkt då A är på nivån h, B på nivån i, C på nivån j, D på nivån k och E på nivån l. Den fullständiga modellen, med intercept µ, huvudeffekter Ā,..., Ē och sampspelseffekter av alla ordningar, kan skrivas som Y hijkl = µ + Ā h + B i + C j + D k + Ē l + AB hi ABCDE hijkl + ε hijkl, (1) där ε hijkl oberoende och normalfördelade feltermer med väntevärde 0 och varians σ 2. I A B C D E Y hijkl a) Ange ett kopplingsshema för försöket genom att dela in alla 2 5 = 32 element I, A, B,..., ABCDE i 8 grupper med 4 element i varje grupp. (Ledning: Enheten I är kopplad till ADE, ABCD, och ett tredje element som innehåller E. För att ta reda på detta element, pröva med att multiplicera olika kolumner i den givna tabellen. Eller använd en snabbare metod, som utgår från de två andra elementen som är kopplade till enheten.) (4 p) b) Anta nu att interceptet, de fem huvudeffekterna Ā,..., Ē och en interaktionsparameter av ordning 2 behålls i (1) (det vill säga någon av de tio parametrarna AB,..., DE). Alla övriga interaktionsparametrar i (1) sätts till noll. Det finns fyra olika sätt att välja den interaktionsparameter av ordning 2 som ska behållas i modellen, för att alla huvudeffekter ska kunna skattas. Välj ut någon av dessa fyra interaktionsparametrar och beräkna minsta kvadrat-skattningen av den. (Ledning: Den interaktion du väljer kan inte vara kopplad till en huvudeffekt. Börja med att bestämma kolumnen för den valda interaktionen i designmatrisen och utnyttja sedan att alla kolumner i designmatrisen är ortogonala.) (3 p) c) Det går faktiskt att skatta ytterligare en interaktionsparameter av ordning 2, utöver den som skattades i b). Vilken är nackdelen med att ta med denna andra interaktionsparameter i modellen? Du behöver inte skatta denna parameter, ett allmänt resonemang om frihetsgrader räcker här. (3 p)

6 Linjära statistiska modeller, 27 oktober f 1 = f 2 = Table 1: F-kvantiler F 0.05 (f 1, f 2 ) avrundade till en decimals noggrannhet