Uppdaterade uppgifter 1-10 till Krzysztofs häfte

Transkript

1 Uppdaterade uppgifter 1-10 till Krzysztofs häfte Dessa uppgifter ersätter de tio uppgifterna som fanns i slutet av Krzysztofs häfte som tar upp teorin från föreläsning 8 inom kursen TNIU23. 1) Låt c för 1 < x 3 f " (x) = ' x + 1 a) Vilka två egenskaper kännetecknar en täthetsfunktion? ) Bestäm c så att f " (x) lir en täthetsfunktion. c) Bestäm sannolikheten för x > 0, alltså sannolikheten att den stokastiska variaeln X, som eskrivs av denna täthetsfunktion, antar ett positivt värde. d) Vilka egenskaper har en fördelningsfunktion? e) Bestäm tillhörande fördelningsfunktion F " (x). Låt nu istället f " (x) gälla på följande intervall: c för 3 x 8 f " (x) = ' x + 1 f) Bestäm på nytt c så att f " (x) lir en täthetsfunktion. g) Bestäm sannolikheten för x > 8, alltså sannolikheten att den stokastiska variaeln X, som eskrivs av denna täthetsfunktion, antar ett värde större än 8. h) Bestäm på nytt den tillhörande fördelningsfunktionen F " (x). 2) Skissa kurvor för täthetsfunktionen skapad i 1) ) och den tillhörande fördelningsfunktionen i 1) e).

2 3) Låt X vara en stokastisk variael för radioaktivt sönderfall enligt funktionen f " (x) = A λedef för x 0 med sönderfallskonstanten λ. Vi minns från kärnfysiken att halveringstiden T = 1/λ. a) Visa att f " (x) faktiskt är en täthetsfunktion. ) Bestäm tillhörande fördelningsfunktion F " (x). 4) Låt 0 för x < 1 F " (x) = ' 1 1 xj för x 1 a) Beräkna nedre kvartilen x K.JM med hjälp av fördelningsfunktionen ovan. Den tillhörande täthetsfunktion är 0 för x < 1 f " (x) = ' 2 xo för x 1 ) Beräkna åter den nedre kvartilen x K.JM men med hjälp av en integral med sökt övre integrationsgräns. c) Beräkna medianen x K.M på två olika sätt. d) Beräkna alfakvantilen x P. e) Visa med hjälp av svaret i d) att alfakvantilen x P då sannolikheten α 1 D och fundera över inneörden av detta. 5) Låt 6 f " (x) = T 5 eof för x < edf för x 0 a) Hur stor är chansen att ett slumpmässigt valt X är negativt? ) Beräkna nedre kvartilen. c) Beräkna medianen med hjälp av en integral. d) Bestäm fördelningsfunktionen. e) Beräkna istället medianen med hjälp av fördelningsfunktionen.

3 6) Låt F " (x) vara en fördelningsfunktion enligt: 0 för x < 1 2x F " (x) = T för 1 x 2 1 för x > 2 a) Hur ser man att F " (x) saknar tillhörande täthetsfunktion? ) Vilket krav på kontinuitet finns för frödelningsfunktioner F " (x)? 7) Den stokastiska variaeln X anger hur lång tid det normalt tar (i minuter efter att en affär öppnas) innan den första kunden dyker upp. Variaeln eskrivs av fördelningsfunktionen: F " (x) 0 för x < 0 = W 1 e DK.MF för x 0 a) Beräkna på två sätt hur stor är chansen att den första kunden dyker upp inom tidsintervallet 2-4 min efter att affären öppnas. ) Beräkna hur stor är chansen att den första kunden dyker upp efter exakt 2 min. c) Beräkna hur stor är chansen att den första kunden dyker upp senare än 4 min. 8) Den stokastiska variaeln X anger (i mil) avståndet mellan en jagande havsörn och örnens o. Avståndet eskrivs av täthetsfunktionen: 0 för x < 0 f " (x) = A 8xe DXFY för x 0 a) Beräkna median-avståndet. ) Beräkna den radie (avstånd till örnoet) som örnen finns inom med 99 % säkerhet. 9) Den stokastiska variaeln X eskrivs av täthetsfunktionen a) Beräkna medianen. ) Beräkna väntevärdet μ = E(X). c) Beräkna variansen V(X). x för 0 x 2 f " (x) = ' 2 0 för övriga x d) Beräkna standardavvikelsen σ = ^V(X).

4 10) Vid normalfördelning gäller exempelvis att Sannolikheten att ett slumpmässigt valt X finns inom en standardavvikelse från väntevärdet = P(μ σ X μ + σ) = 68 % och sannolikheten att ett slumpmässigt valt X finns inom två standardavvikelser från väntevärdet = P(μ 2σ X μ + 2σ) = 95 %. Normalfördelningskurvan eskriver fördelningen: Låt nu den stokastiska variaeln X eskrivas av täthetsfunktionen 2x för 0 x 1 f " (x) = A 0 för övriga x a) Beräkna väntevärdet μ = E(X). ) Beräkna standardavvikelsen σ = ^V(X). Fördelningen i denna uppgift är dock triangulär till skillnad från den klockformiga normalfördelningskurvan i figuren ovan och man får andra sannolikheter inom de olika intervallen runt väntevärdet μ. c) Beräkna sannolikheten P(μ σ X μ + σ) och jämför med motsvarande sannolikhet ovan. d) Beräkna sannolikheten P(μ 2σ X μ + 2σ) och jämför med motsvarande sannolikhet ovan.

5 Facit 1) a) Se Definition 1 på sid 1 i K:z häfte ) c = X c) 50 % d) Se Sats 7 på sid 6 i K:z häfte 0 för x < 1 e) F " (x) = c x + 1 för 1 x 3 J 1 för x > 3 f) c = J g) 0 % 0 för x < 3 h) F " (x) = ' x för 3 x 8 1 för x > 8 2) F " (x) och f " (x): 3) 4) a) Man visar att funktionen stämmer enligt de två egenskaperna i Definition 1 på sid 1 i K:z häfte ) F " (x) = A 1 edef för x 0 a) x K.JM = J O 1.2 ) x K.JM = J O 1.2 c) x K.M = 2 d) x P = DP = h P g DP e) lim K ih = Detta visar att det för denna stokastiska variael X krävs ett oändligt stort x-värde x P för att en slumpmässigt vald X med säkerhet skall vara mindre än x P. Alltså x P om α = P(X < x P ) 1 D.

6 5) 6) 7) 8) 9) a) 40 % ) x K.JM = kl MDkl m O 0.16 c) x K.M = ln 6 ln J M d) F " (x) = c eof för x < 0 1 O M edf för x 0 e) 1 O M edf = J ger också x K.M = ln 6 ln a) Då funktionen inte är kontinuerlig i x = 1 är den knappast deriveraar och saknar därmed tillhörande täthetsfunktion. ) En fördelningsfunktion måste åtminstone vara högerkontinuerlig i alla punkter, vilket denna funktion är. a) 23 % n n Y ) 0 % (integral utan area) c) 14 % n Y a) x K.M = o kl J X 4.2 km kl KK ) x K.qq = o 10.7 km X a) x K.M = ) μ = E(X) = X O 1,33 10) c) σ J = V(X) = J q d) σ = ^V(X) = J O a) μ = E(X) = J O 0,67 ) σ = ^V(X) = m 0,24 c) Integral mellan gränserna J O m och J O m ger sannolikheten t J + O m uj t J O m uj = = X J 63 % (jämfört med ca 68 % vid normalfördelning) q d) Integral mellan gränserna J J och 1 (ty μ + 2σ ligger utanför 0 x 1) ger O m sannolikheten 1 t J O J m uj = = O + X J q 96 % (jämfört med ca 95 % vid normalfördelning)