Räkneövning 5 hösten 2014

Transkript

1 Termodynamiska Potentialer Räkneövning 5 hösten 214 Assistent: Christoffer Fridlund

2 1. Vad är skillnaden mellan partiklar som följer Bose-Einstein distributionen och Fermi-Dirac distributionen. Ge två exempel var. (Blundell 29.1) Bose-Einstein distributionen Partiklar som följer Bose-Einstein distributionen kallas bosoner och har heltaligt spinn. Flera bosoner kan anta samma kvanttillstånd i Bose-Einstein distributionen. Exempel: fotoner, leptoner Fermi-Dirac distributionen Partiklar osm följer Fermi-Dirac distributionen kalls för fermioner och har halvtaligt spinn ( 1 2n, där n är udda). Endast en fermion i samma system kan ha ett givet kvanttillstånd. Exempel: elektroner, protoner 2

3 2. För en perfekt ideal gas av bosoner (massan m) vid en temperatur T under den kritiska kondenseringtemperaturen T c fås den molära värmekapaciteten enligt ( ) T 3/2 C v = 1.93 R, T < T c (1) T c Bestäm för denna gas vid temperatur T < T c : (i) Den inre energin per mol, (ii) entropin per mol, (iii) trycket. (Statistical Physics, F. Mandl, uppg. 11.4) Ekvationen för T c hittas på sidan 2 i anteckningarna för Bose-Einstein arbetet på hemsidan n är i det här fallet partikel densiteten N V och inte det vanliga molantalet n = N N A, där N är antalet och N A är avogadros konstant. T c n 2/3 ( N ) 2/3 = V i) Inre energin per mol: E = E ii) Entropin per mol de = Q dq = Q = T C V T dt C V dt = T ( = 1.93 k B N A m 3/2 k 3/2 B T 1.93 R ( N V ) 2/ ) 3/2 V N 3/2 T dt T 3/2 dt = m3/2 V /2 3 n k5/2 B T 5/2 =.128 (k BT ) 5/2 m 3/2 3 V n S = S ds = = Q T 1 T T dq = C V T dt R ( N V ) 2/3 = 1.93 k B N A m 3/2 k 3/2 B = m3/ /2 3 = m3/ /2 3 ( 3/2 T 1/2 dt ) 1 3/2 V T T 1/2 dt N V n k5/2 B T 3/2 V n k5/2 B T 5/2 T = 5 E 3 T 3

4 iii) Trycket F = U ST = E ST ( ) F = p T (E ST ) = (E 53 ) E df = SdT pdv p = = 2 3 (.128 (k BT ) 5/2 m 3/2 3 V n =.85 (k BT ) 5/2 m 3/2 3 n ) = ( ) 2 3 E = (k BT ) 5/2 m 3/2 3 n 4

5 3. Varför fungerar inte den klassiska beskrivningen av svartkroppsstrålningen? Visa att de =, och skriv ett par meningar om innebörden. Visa även att intde < ifall strålningen beskrivs av Plancks lag. Lagen beskriver uppmätta resultat väldigt bra. Appendix C i Blundell kan vara till nytta. Enligt klassiska resonemang finns det ingen minsta våglängd (största frekvens) för elektromagnetisk strålning (den ultravioletta katastrofen). I det här fallet gäller E(ν) = konstant ν, då ν. En fotongas kan i så fall ta emot oändligt med energi. I exemplet med en kavitet innuti en låda, kunde lådan i praktiken avge all sin energi i form av strålning. Enligt påståendena ovan gäller speciellt de =, om strålningen beter sig enlgit Rayleigh-Jenns lag. Enligt Plancks lag beskrivs svartkroppsstrålningen av de(ν) = 8πh ν dν, där ν är frekvensen. ν 3 c 3 e kt h de = de = 8πh c 3 ν 3 e hβν 1 dν t = hβν K = 8πh c 3 ( ) 1 4 t 3 de = K hβ e t 1 dt = konstant I B (3), där I B är Bose-integralen som beskrivs i Appendix C.4 i Blundell. Man kan beräkna integralens exakta värde, men det ärcker att konstatera att de = konstant I B (3) <. Således är också summan av energierna som en fotongas kan ha även ändlig. E i < i de < 5

6 4. En sfärisk satellit kretsar kring jorden på nära avstånd och är i termisk balans med strålningen från solen. Sedan flyttar sig satelliten i jordens skugga. Hur förändras dess temperatur genast efter att den hamnat i skuggan? Anväd Stefan-Boltzmann-lagen: I = P/A = σt 4, där P är effekten med vilken en svartkropp strålar. Du kan anta att jordens strålning är försumbar, och att satelliten är en svartkropp. Dess specifika värmekapacitet är c = 1 kj kgk, samt r = 1m och m = 1 ton. Tips: Vad är satellitens temperatur vid denna tidpunkt? Ur likheten I = P A = σt 4 fås att solens strålningseffekt (luminositet) är P S = A S σt 4 S, där A S är solens area och T S solens yttemperatur. Den sprids över en yta 4πd 2 (en sfär runt solen, där d är avståndet mellan satelliten och solen) och träffar satellitens yta πr 2 (en projektion på satelliten = 2D cirkel, där r är radien på skuggan) vinkelrätt. För satelliten gäller då: πr 2 P in = P S 4πd 2 = 4πR2 SσTS 4 πr 2 4πd 2 = σt Sπ 4 R2 S r2 d 2 Satellitens strålningseffekt är enligt antagandet P ut = 4πr 2 σt 4 sat, där T sat är satellitens temperatur. Eftersom satellitens temperatur hålls (till att börja med) konstant, gäller P in = P ut dvs. om man följer tipset och löser ut temperaturen för satelliten: σts 4 RS 2 r2 d 2 = 4πr 2 σt 4 sat T 4 sat = T 4 S R 2 S 4d 2 T sat = 4 T 4 S R 2 S 4d 2 28 K d är ungefär samma som jordens avstånd till solen. Inget arbet görs och all energi som satelliten förlorar när den hamnar i skuggan är ur dess egna värmeenergi, och kan beräknas P ut = dq dt = mcdt sat dt dt sat dt = 4πr 2 σt 4 sat = 4πr2 mc σt sat 4 = πσt S 4 mc R 2 S r2 d 2 = K s 4.3 mk s 6