LÖSNING TILL TENTAMEN I STJÄRNORNA OCH VINTERGATAN, ASF010

Transkript

1 Teoretisk fysik och mekanik Institutionen för Fysik och teknisk fysik Chalmers &Göteborgs Universitet LÖSNING TILL TENTAMEN I STJÄRNORNA OCH VINTERGATAN, ASF010 Tid: 25 augusti 2010, kl Plats: V-huset Examinator: Ulf Torkelsson, tel (arbete), (bostad), (mobil) Hjälpmedel: Tefyma, Physics Handbook eller liknande formelsamling. Alla formelsamlingar ska vara fria från egna anteckningar bortsett från korrektioner av tryckfel. Räknare med tömt minne. Lösningar anslås på kurshemsidan den 17 september Resultaten anslås senast den 20 september. Tentamensgranskning den 20 september kl i O5113. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 8,5 poäng och för VG 13,5 poäng. UPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkel skiss). Alla väsentliga steg i analys och beräkningar skall redovisas. 1. Från de flesta platser på Jorden kan man på grund av atmosfären inte uppnå en upplösning som är bättre än 1 till 2 bågsekunder. a. Vilket är det minsta teleskop som kan ge dig en upplösning på 1 bågsekund vid 700 nm? b. Antag att teleskopet har en brännvidd på 1 m. Vilken brännvidd behöver då ett okular ha för att ge 100 gångers förstoring. c. Hur stort behöver teleskopet bli för att man ska kunna se stjärnor som är en magnitud ljussvagare. Lösning: a. Ett teleskops upplösning ges av θ min = 1.22 λ/d, så vi behöver ett teleskop med en diameter som är minst (1) D = 1.22 λ. (2) θ min 1

2 Vi omvandlar nu vinkeln 1 bågsekund till radianer Teleskopets diameter blir då b. Förstoringen ges av 1 π = (3) D = = 0.18 m. (4) ω = där vi kan lösa ut okularets brännvidd f tel f okular, (5) f okular = f tel ω = 1 = 0.01 m = 10 mm. (6) 100 c. Om stjärnan blir en magnitud ljussvagare så minskar dess strålningsflöde med faktorn 100 1/5. Alltså måste teleskopets yta öka med sama faktor och dess diameter med faktorn (100 1/5 ) 1/2 = 100 1/10. Teleskopets diameter blir då D ny = 100 1/10 D = 100 1/ = 0.28 m. (7) 2. Den franska satelliten CoRoT letar bland annat efter exoplaneter genom att registrera när en stjärna förmörkas av en planet. Antag att en planet som har 10 gånger så stor diameter som Jorden kretsar kring en K0Vstjärna på ett avstånd av 0.3 AU. Beräkna planetens omloppstid, hur länge förmörkelsen varar. och hur djup den blir. Planetens massa kan försummas jämfört med stjärnans massa. Lösning: Planetens omloppstid är vilket ger oss P 2 = a3 m, (8) ( ) a 3 1/2 ( ) /2 P = = = 0.18 år. (9) 0.8 m Planetens banhastighet är då v = 2πa P, (10) 2

3 och förmörkelsens längd blir 2 (R + r) 2 (R + r) t = = P = R + t V 2πa πa P = π d = 0.30 d = 7.3 h. (11) Förmörkelsens djup bestäms av bråkdelen av stjärnans yta som skyms bort av planeten F F = A ( ) A = (12) Förändringen i stjärnans ljusstyrka är då m = 2.5 lg F F ( = 2.5 lg 1 F ) = F F [ ( ) ] 2.5 lg = mag. (13) 3. Beskriv den miljö i vilken stjärnor bildas och skissa de viktigaste stegen i stjärnbildningsprocessen fram till huvudserien. Lösning: Stjärnor bildas när de täta kärnorna i stora molekylmoln kollapsar under sin egen gravitation. Dessa kärnor är mycket tyngre än enskilda stjärnor, så under kollapsen fragmenterar molnet tills fragmenten till slut är endast något tyngre än vanliga stjärnor. Till att börja med går kollapsen fort, den sker på molnets dynamiska tidsskala, som är några hundra till något tusental år. Den potentiella energi som frigörs under kollapsen strålas genast ut, för molnet är optiskt tunt. Under kollapsen växer densiteten i molnets centrum snabbast, och därför blir de centrala delarna av molnet ogenomskinliga. Detta leder till att de centrala delarna värms upp. Då stiger trycket och kollapsen bromsas upp i centrum, medan de yttre delarna fortsätter att falla in. Efter ett tag når temperaturen upp till K, då molekylärt väte dissocieras, delas upp i atomer. Senare, vid 10 4 K så joniseras väte, och därefter helium. Alla dessa processer kostar energi, vilket återigen skyndar på kollapsen. Vid en temperatur på 10 5 K så är slutligen det mesta av gasen joniserad. Protostjärnan närmar sig hydrostatisk jämvikt när en stor del av gasen har blivit joniserad. Stjärnan har då en radie på ungefär 0.25 AU. Den fortsatta utvecklingen sker nu på den längre termiska tidsskalan, vilken för en sollik stjärna är flera miljoner år. Under denna del av utvecklingen fortsätter en del gas att falla in i stjärnan. Stjärnan är fortfarande 3

4 så pass kall att opaciteten är hög, och därigenom sker värmetransporten i stjärnans inre genom konvektion. Fullständigt konvektiva stjärnan ligger i HR-diagrammet längs Hayashi-spåret i diagrammets högra del. Stjärnan utvecklas nu nedåt längs med Hayashi-spåret, det vill säga stjärnan drar ihop sig och strålar ut allt mindre energi. Medan stjärnan drar ihop sig växer dess inre temperatur, och till slut sjunker opaciteten så mycket att strålningstransport tar över från konvektionen. Den lämnar då Hayashispåret och rör sig mer åt vänster. Efter ett tag har temperaturen blivit så hög att de första kärnreaktionerna kan starta. Först förbränns det deuterium, litium och bor som fanns i stjärnan från början, vilket leder till att stjärnans luminositet växer, så att stjärnan börjar röra sig uppåt och åt vänster i HR-diagrammet. Till slut är temperaturen så hög att stjärnan börjar förbränna vanligt väte, och stjärnan har då blivit en huvudseriestjärna. 4. Beskriv hur vi kan studera solens inre. Lösning: Det finns två sätt på vilka vi direkt kan observera en stjärnas inre. Dels kan man med stora underjordiska detektorer registrera neutrinos som bildas i kärnreaktionerna i solens inre. Man kan också mäta upp småoscillationer i solens ytlager. Dessa är den synliga delen av vågor som rör sig genom solens inre. Genom att mäta upp deras frekvenser och amplituder kan man bestämma ljudhastigheten i solens inre, vilken beror på temperaturen och den kemiska sammansättningen. 5. Stjärnorna får sin energi från olika kärnreaktioner, och samtidigt skapas tyngre grundämnen. Beskriv hur en tung stjärna producerar: a. Helium. b. Kol. c. Uran. Lösning: a. Helium bildas i tunga stjärnor genom CNO-cykeln 12 C + 1 H 13 N + γ (14) 13 N 13 C + e + + ν (15) 13 C + 1 H 14 N + γ (16) 14 N + 1 H 15 O + γ (17) 15 O 15 N + e + + ν (18) 15 N + 1 H 12 C + 4 He. (19) 4

5 som också har en sidogren b. Kol bildas genom trippelalfaprocessen 15 N + 1 H 16 O + γ (20) 16 O + 1 H 17 F + γ (21) 17 F 17 O + e + + ν e (22) 17 O + 1 H 14 N + 4 He. (23) 4 He + 4 He 8 Be (24) 8 Be + 4 He 12 C. (25) c. Uran är ett tungt grundämne som bildas genom att lättare atomkärnor stegvis fångar in neutroner genom r-processen. Detta sker i samband med att en tung stjärna exploderar som en supernova, då det finns gott om fria neutroner. 6. Beskriv hur svarta hål och neutronstjärnor bildas. Lösning: Svarta hål och neutronstjärnor bildas när tunga stjärnor exploderar som supernovor. När en tung stjärna har nått så långt i sin utveckling att den har bildat järn i sin kärna, så finns det inte några kärnreaktioner som kan fortsätta producera energi i kärnan utan den börjar kollapsa. Under kollapsen växer temperaturen tills dess att järnkärnorna kan fotodissocieras till alfapartiklar och neutroner. När temperaturen stiger ytterligare dissocieras sedan alfapartiklarna till protoner och neutroner. Allt detta kostar energi och pskyndar kollapsen. Därefter blir det energimässigt fördelaktigt för protonerna att fänga in elektroner och bilda neutroner enligt p + e n + ν, (26) vilket också påskyndar kollapsen. När densiteten är högre än det i en atomkärna kommer trycket till slut att bromsa upp kollapsen och vända den i en expansion utåt. Vi får en chockvåg som rör sig ut genom stjärnan. Tillsammans med chockvågen har det skapats en stor mängd neutriner, vilka bär med sig nästan hela den frigjorda energin, J. Endast omkring en procent av energin frigörs som elektromagnetisk strålning. Vanligen kan neutriner passera praktiskt taget obehindrat genom all materia, men under en supernovaexplosion kan det uppstå sådana speciella omständigheter att stjärnan tillfälligt blir ogenomskinlig för neutriner. Dessa hjälper då till med att skjuta på tryckvågen, innan de frikopplas från stjärnmaterien. När chockvågen efter några timmar når stjärnans 5

6 yta så ökar stjärnans ljusstyrka med upp till tjugo magnituder och vi observerar den som en supernova. I explosionen kastas det mesta av stjärnans yttre lager ut med hastigheter upp till 10 4 km s 1. Dessa gasmassor kommer sedan att bygga upp en expanderande nebulosa, en supernovarest. Kvar i centrum blir ett kompakt objekt, en neutronstjärna eller ett svart hål. 6