Tentamen i FTF140 Termodynamik och statistisk mekanik för F3

Transkript

1 Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik för F3 Tid och plats: Tisdag 25 aug 215, kl i V -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook, BETA, ett A4-blad (2 sidor) med egna anteckningar, Chalmersgodkänd räknare. Jourhavande lärare: Göran Wahnström, tel , Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 1 poäng. Till detta adderas eventuella duggapoäng. För godkänt krävs 2 poäng (4:a minst 3 poäng, 5:a minst 4 poäng). Lösningar: Anslås på kurshemsidan. Rättningsgranskning: Onsdag 9 sep 215, kl i rum O7112B, översta våningen i Origohuset, norra flygeln. 1. En enatomig gas är innesluten i en behållare. Den kan behandlas som en klassisk idealgas och består av N atomer. Gasen genomgår en cyklisk process enligt figuren nedan. Samtliga ingående processer kan behandlas som kvasistatiska (reversibla). Beteckna P 1 = P och V 1 = V och antag att P 2 = 2P och V 2 = 3V. För varje delprocess ange om tillfört värme är positivt, negativt eller noll! Ange på motsvarande sätt vad som gäller för tillfört arbete! Beräkna därefter kvoten U B U A där U A och U B är ändringen i energi för gasen i process A respektive B! Ditt svar ska vara rent numeriskt, dvs får inte innehålla storheterna N, P eller V. Fig. PV-diagram för den aktuella cykeln. 2. En diamant med massan m=,2 g har från början temperaturen T =2 K. Den placeras i en stor behållare med temperaturen 3 K. Bestäm entropiändringen för diamanten då termisk jämvikt har inställt sig, dvs då den har fått temperaturen 3 K! Bestäm också entropiändringen 1

2 för omgivningen! I det givna temperaturintervallet 2-3 K är diamants värmekapacitet till god approximation proportionell mot temperaturen upphöjt till 3 (se figur nedan), dvs C = amt 3, där a är en konstant med dimension J/kg K 4. Skillnaden mellan C P och C V kan försummas. Beräkna numeriskt entropiändringen för diamanten och omgivningen med hjälp av ett konstant värde på a, extraherat från figuren nedan! Fig. Värmekapaciteten för diamant per mol. 3. Betrakta en gas av klassiska partiklar i tre dimensioner. Den normerade hastighetsfördelningen ges då av uttrycket f(v) = ( ) m 3/2 exp ( mv 2 /2kT ) 2πkT där v är partikelns hastighet, v = v dess fart, m partikelns massa, k Boltzmanns konstant och T temperaturen. Utgående från denna fördelning beräkna medelvärdet av 1/v, dvs 1/v! Svara genom att jämföra med inversen av medelfarten v, dvs ange kvoten 1/v 1/ v = 1/v v 4. Betrakta ett system som är i termisk och diffusiv kontakt med en omgivning med temperaturen T och kemiska potentialen µ, dvs systemet kan studeras med hjälp av stor kanonisk fördelning. För systemet gäller att sannolikheten att finna det i ett tillstånd s med energin E(s) och partikelantalet N(s) ges av uttrycket P(s) = 1 Z e [E(s) µn(s)]/kt 2

3 där normeringen Z = s e [E(s) µn(s)]/kt brukar benämnas stora tillståndssumman. För vårt system gäller att Z = [1 ] + e (µ ɛ)/kt 3 där ɛ är en konstant med dimension energi. Med hjälp av detta uttryck på den stora kanoniska fördelningen, beräkna medelantalet partiklar N för systemet som funktion av µ och T! Antag sedan att µ > ɛ. Vad blir då gränsvärdet av N då T respektive T! 5. I en solcell omvandlas solljuset direkt till elektrisk energi. Det aktiva materialet är en halvledare. En halvledare karakteriseras av ett valensband som är fyllt av elektroner och ett ledningsband som väsentligen är tomt. Mellan dessa två band finns ett gap i energi, ɛ g, där det inte finns några tillstånd som en elektron kan ockupera. Om en foton infaller mot halvledaren kan den excitera en elektron från valensbandet till ledningsbandet endast om dess energi ɛ = hν är större än bandgapet, hν > ɛ g. Den exciterade elektronen kan utnyttjas för att producera elektrisk energi. Snabba dissipativa processer gör att den exciterade elektronen förlorar energi tills den är lokaliserad i botten av ledningsbandet. Om man sedan kan undvika att den relaxerar tillbaks till valensbandet så kan man utnyttja energin ɛ g för att producera elektrisk energi genom att låta elektronen passera en yttre krets. Solcellens effektivitet beror därför av storleken på bandgapet ɛ g. Om man väljer en halvledare med ett litet bandgap ɛ g så betyder det att många fotoner kan utnyttjas för produktion av elektrisk energi. Å andra sidan kommer dessa fotoner var och en bidra med en förhållandevis liten energi lika med ɛ g. Om man väljer en halvledare med ett större bandgap så medför det att färre fotoner kan utnyttjas, men dessa fotoner kommer å andra sidan att bidra var och en med en högre energi. Det betyder att det finns ett optimalt bandgap som ger maximal elektrisk energi. Antag att den infallande solstrålningen kan behandlas som svartkroppsstrålning med temperaturen T (solens yttemperatur). Teckna ett uttryck för solcellens verkningsgrad (förhållandet mellan producerad elektrisk energi och infallande solenergi) som funktion av storleken på bandgapet! Bestäm därefter det optimala bandgapet! Detta leder till en ekvation som måste lösas numeriskt. För full poäng behöver du bara härleda denna ekvation, den behöver inte lösas numeriskt. Dock ska du förenkla tills det bara återstår en ekvation som kan lösas numeriskt. Ange slutligen solcellens maximala verkningsgrad uttryckt i 3

4 det optimala bandgapet! Detta uttryck ska inte innehålla någon integral. Du kan ha användning för följande integralvärde x 3 π4 e x dx = 1 15 Fig. Illustration av hur en solcell fungerar. (A) En infallande foton med energi hν > ɛ g (relativt kort våglängd) kan excitera en elektron från valensbandet till ledningsbandet. Energi större än bandgapet förloras som värme. Den exciterade elektronen kan sedan utnyttjas för att producera elektrisk energi. (B) Om fotonens energi är för liten hν < ɛ g (relativt lång våglängd) transmitteras den genom halvledaren utan att exciterar någon elektron. 4

5 Chalmers Institutionen ör Teknisk Fysik Anders Lindman, Lösningar till tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk mekanik Uppgi 1 För en enatomig (3 frihetsgrader) ideal gas så ger ekvipartionsteoremet U = 3 2 NkT och i kombination med ideala gaslagen så gäller a U = 3 2 PV. Då varje delprocess är kvasistatisk så gäller a (tryck-volym-) arbetet ges av W = PΔV. Till sist så kan värmet Q bestämmas från 1:a huvudsatsen ΔU = Q + W. Vi betraktar nu varje process. A: Då volymen är konstant är W A =. Värmet ges då av Q A = ΔU A = 3 2 (2P V P V ) = 3 2 P V >. B: Trycket är nu konstant och därmed är Värmet ges av W B = 2P (3V V ) = 4P V <. Q B = ΔU B W B = 3 2 (2P 3V 2P V ) ( 4P V ) = 1P V >. C: Återigen är volymen konstant och W C =. Värmet ges då av Q C = ΔU C = 3 2 (P 3V 2P 3V ) = 9 2 P V <. 1

6 D: Trycket är nu konstant och W D = P (V 3V ) = 2P V >. Värmet ges av Q D = ΔU D W D = 3 2 (P V P 3V ) (2P V ) = 5P V <. Till sist så beräknar vi kvoten ΔU B /ΔU A vilken ges av ΔU B = 6P V ΔU 3 A 2 P = 4 V 2

7 Uppgi 2 Värmekapaciteten ges av u rycket C = amt 3. För diamanten blir entropi örändringen ΔS d = T2 T 1 C T2 dt = am T 2 dt = am T T 1 3 ( T 3 2 T 3 1) För omgivningen är temperaturen konstant och entropi örändringen blir således ΔS o = Q o T 2 där Q o är värme örändringen i omgivningen. Då inget arbete ut örts gäller T2 T2 Q o = Q d = CdT = am T 3 dt = am T 1 T 1 4 ( T 4 2 T 4 1) vilket ger ΔS o = am [ ] ( T 4 4T 2 T 4 ) am 1 = T 3 2 T T 2 Ur den givna figuren kan man avläsa a värmekapaciteten är C =.2 J/K ör en mol diamant vid temperaturen 1 K. Då en mol väger 12 gram är a = J/kg K4 = 1 4 J/kg K 4. 6 I uppgi en är det givet a m =.2 g, T 1 = 2 K och T 1 = 3 K. Med dessa värden blir ΔS d = 3 mj/k och ΔS o = 22.5 mj/k. 3

8 Uppgi 3 För a beräkna medelvärdet av 1/v använder vi den givna hastighets ördelningen f(v) enligt 1 1/v = v f(v)dv. Den här integralen kan lösas genom a övergå till s äriska koordinater vilket ger 1/v = 2π = 4π π dφ sin θdθ ( m ) 3/2 2πkT v exp v 2 1 ( m v 2πkT ( mv2 2kT ) ) 3/2 exp ( mv2 dv 2kT ) dv. Med variabelsubstitutionen x = v m/2kt kan integralen skrivas som 1/v = 4π ( m ) 3/2 2kT 2πkT m x exp ( x 2) dx = 8m πkt Integralen blir 1/2 (se Physics Handbook) och således blir 1/v = 2m/πkT. x exp ( x 2) dx. På samma sä med övergången till s äriska koordinater samt variabelsubstitutionen x = v m/2kt kan vi nu beräkna medelvärdet av v. ( m ) 3/2 ) v = 4π v 3 exp ( mv2 ( m ) ( ) 3/2 2kT 2 dv = 4π x 3 exp ( x 2) dx 2πkT 2kT 2πkT m 32kT = x 3 exp ( x 2) dx. πm Även här integralen blir 1/2 (se Physics Handbook) och vi får v = 8kT/πm. Kvoten mellan 1/v och 1/ v kan ges av 1/v 2m 8kT 1/ v = 1/v v = πkt πm = 4 π 4

9 Uppgi 4 Generellt så gäller ör medelantalet partiklar a N = s N(s)P(s). Då P(s) ges av stor kanonisk ördelning kan de a u ryck utvecklas enligt N = s = kt Z N(s) 1 Z e [E(s) μn(s)]/kt = 1 kt Z μ Z μ. s [ e [E(s) μn(s)]/kt] = kt Z [ ] e [E(s) μn(s)]/kt μ s För det givna systemet så gäller a Z = ( 1 + e (μ ϵ)/kt) 3. Med den här tillståndssumman så ges medelantalet partiklar av N = e (μ ϵ)/kt. Vi antar nu a μ > ϵ och därmed blir exponenten i u rycket ör medelantalet partiklar alltid negativ. Vi får då öljande gränsvärden då T och T : lim N = 3 T 1 + e = 3 lim N = 3 T 1 + e = 3 2 5

10 Uppgi 5 Fotoner distribueras enligt Planck ördelningen och deras energi kvantiseras enligt där n = n Pl (ϵ) = 1 e ϵ/kt 1 ϵ = hcn 2L n 2 x + n 2 y + n 2 z och L är en längd som kan relateras till volymen V enligt V = L 3. För a beräkna solcellens verkningsgrad behöver vi beräkna både den producerade elektriska energin och den infallande solenergin. Vi börjar med den senare. Den totala infallande energi kan beräknas enligt U tot = 2 hcn 1 ϵ n Pl (ϵ) = L e n x n y n z n x,n y,n hcn/2lkt 1 z där faktorn två härstammar från två möjliga polarisationstillstånd och n x, n y n z. Om vi går över till integralform och s äriska koordinater får vi U tot = π/2 dφ π/2 sin θdθ n 2 hcn L 1 e hcn/2lkt 1 dn = π 2 hc L Om vi nu gör variabelsubstitutionen x = hcn/2lkt får vi U tot = π ( ) hc 2LkT 4 x 3 1 8πV π 4 (kt) 4 2 L hc e x dx = 1 (hc) 3 15 där lösningen till integralen fanns given i uppgi sformuleringen. Den elektrisk producerade energin i solcellen kan beräknas enligt U cell = N cell ϵ g n 3 1 e hcn/2lkt 1 dn. där N cell är antalet infallande fotoner vars energi är högre än eller lika med bandgapet ϵ g och därmed bidrar med energin ϵ g. N cell kan beräknas enligt samma princip som U tot ovan genom summering över alla kvan al som uppfyller n n g, där ϵ g = hcn g /2L. Vi får då N cell = 2 n n g n Pl (ϵ) = 2 n n g 1 e hcn/2lkt 1. Går vi över till integralform med s äriska koordinater så får vi N cell = 2 π/2 dφ π/2 sin θdθ n 2 1 n g e hcn/2lkt 1 dn = π n 2 1 n g e hcn/2lkt 1 dn. 6

11 Om vi nu skriver om integralen i termer av ϵ istället ör n får vi N cell = 8πV (hc) 3 ϵ g ϵ 2 1 e ϵ/kt 1 dϵ och den elektriskt producerade energin i solcellen ges därmed av U cell = 8πV (hc) 3 ϵ g ϵ g ϵ 2 1 e ϵ/kt 1 dϵ. Vi kan nu ställa upp e u ryck ör solcellens verkningsgrad enligt e cell = U cell U tot = 15 π 4 (kt) 4 ϵ g Vi kan nu bestämma det optimala bandgap ϵ opt g de cell dϵ g ϵ g ϵ 2 1 e ϵ/kt 1 dϵ. som maximerar verkningsgrad enligt =. ϵg =ϵ opt g Med u rycket ör verkningsgraden får vi [ ( de cell = 15 )] dϵ g π 4 (kt) 4 ϵ 2 1 ϵ g e ϵ/kt 1 dϵ + ϵ d g ϵ 2 1 dϵ g ϵ g e ϵ/kt 1 dϵ [ ] = 15 π 4 (kt) 4 ϵ 2 1 ϵ g e ϵ/kt 1 dϵ 1 ϵ3 g e ϵg/kt 1 och ör det optimala bandgapet gäller då a där x g är den numeriska lösningen till ϵ opt g = x g kt x g x 2 1 e x 1 dx = x3 g e x g 1. Slutligen så kan vi nu bestämma den maximala verkningsgraden till e max cell = 15 π 4 (kt) 4 ϵopt g ϵ opt g ϵ e ϵ/kt dϵ = 1 π 4 ( ) opt 4 ϵ g 1 kt e ϵopt g /kt 1. 7