Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln.

Transkript

1 Föreläsning 14: Termodynamiska processer, värmemaskiner: motor, kylskåp och värmepump; verkningsgrad, Carnot-cykeln. Maj 7, 2013, KoK kap. 6 sid ) och kap. 8 Centrala ekvationer i statistisk mekanik Mikrokanonisk ensemble U,V,N konst):p s = 1/g, σu,v,n) = lng, Totalaσ ökar med max i jämvikt näru, V,N konst. Kanonisk ensemble τ,v, N konst):p s = 1 Z e ǫs/τ, Z = s e ǫs/τ Fτ,V,N) := U τσ = nz, SystemetsF min i jämvikt, τ,v, N konst. Storkanonisk ensemble τ,v,µkonst):p N,sN) = 1 ζ eµn ǫ N,sN))/τ, ζ = ASN eµn ǫ sn))/τ Ωτ,V,µ) := U τσ µn = nζ, SystemetsΩmin i jämvikt,τ, V,µkonst. Egenskaper är ensemblemedelvärden över alla elementj i ensemblen: f = f = j f jp j Gibbs entropi:σ = j lnp j)p j. Temperatur: 1 τ := ) σ U V,N, Tryck:p := τ ) σ V U,N, Termodynamiska identiteter: du = τ dσ pdv + µdn df = σdτ pdv +µdn, dω = σdτ pdv Ndµ Kemisk potential:µ := τ ) σ N U,V Tillbakablick, termodynamik-terminologi system, omgivning, avgränsning eng. boundary ), termodynamiskt tillstånd, process, termodynamisk jämvikt. Tillståndsfunktioner. Exakta och inexakta differentialer,du vs. dq. Extensiva storheter: Beror linjärt på storleken av systemet / antal partiklar:u,v,n,σ. Intensiva storheter: Egenskaper som inte direkt påverkas av storleken på systemet:τ,p,µ. Reversibla och icke-reversibla processer. Vi börjar föreläsningen med att besvara en fråga: vad är värme i termodynamiken? Energiöverföring uppdelad i värme och arbete Symmetrier ger bevarade storheter: translationssymmetri i rummet rörelsemängd, rotation i rummet rörelsemängdsmoment, tid energi. Totala energin är alltid bevarad. Notera: gäller bara riktig energi, ej fri energi, etc.) Att energi är bevarad man kan prata om energiöverföring. Överförd energi delas upp i två typer: Arbete: energiöverföring i en användbar energiform såsom tryck/volymsarbete som kan driva en generator och åt andra hållet skapas av en motor.), ett slags generaliserat mekaniskt arbete. Formellt: överföring av energi där systemets parametrar förändras, t.ex. systemets volym, ett yttre magnetiskt eller elektriskt fält, systemets yta energi via ytspänning), etc. 83

2 Värme: resten av energiöverförigen, sker genom termiska processer som värmeledning, värmestrålning. Energiprincipen ger då: Termodynamikens första huvudsats: }{{} du = dq }{{} Ändring i Inre energi Tillförd värme dw }{{} Uträttat arbete av systemet på omgivningen Vi betecknar dq och dw för värmeöverföring i ett infinitesimalt segment längs en process. Dessa summeras tillq = dq ochw = dw för den totala energiöverföringen i processen. Dessa beror på vilken väg processen tar, eftersomqoch W ej är tillståndsfunktioner. Var försiktig med tecknen! Håll alltid koll på vilka energibidrag som är definierade som positiva inåt i systemet resp. utåt ifrån systemet! Rita figur med riktningar! Tänk: beskriver ändringen i balans på systemets bankkonto U) = pengar in - pengar ut. Gäller alltid, oavsett jämvikt eller inte, reversibla och icke-reversibla processer. Obs: arbete och värme handlar alltid om energiöverföring!. Det går inte att dela upp U i värmeenergi och arbetsenergi! Men vad är dq? Man kan tycka att det borde ha något att göra med förändringen av entropin. Vi ger oss nu på att relatera dq till τ och σ som vi känner till ifrån statistisk mekanik. Icke-jämvikts-tillstånd, kvasi-statiska och reversibla processer Hittills har vi har främst tittat på system i jämviktstillstånd. Den termodynamiska identiteten du = τdσ pdv +µdn relaterar exakta differentialer för två jämviktstillstånd oberoende av vägen mellan dem, och kan därför integreras längs valfri väg, även om systemet egentligen går via icke-jämviktstillstånd. Men hur hanterar vi en inexakt differential som dq? Om vägen är via icke-jämviktstillstånd så kan vi inte använda ekvationen ovan, vad ska man sättaptill i ett system där t.ex. trycket inte har hunnit jämna ut sig? Definiera en kvasi-statisk process som en serie av små infinitesimala steg mellan jämviktstillstånd; tänk: långsam process, så att systemet i varje steg i processen tillåts hitta sitt jämviktstillstånd, t.ex. trycket jämnar ut sig, osv. Sådana processer kan ritas som linjer i ett tillståndsdiagram eftersom kvantiteter som, t.ex., p, µ, τ är väldefinierade längs hela vägen, och våra ekvationer som relaterar jämviktstillstånd gäller längs hela processens väg. Reversibla processer nämndes på föreläsning 3) kräver att totala entropin i universum inte ökar hur ska man annars kunna gå tillbaka?). Vi tar att reversibla processer också är kvasi-statiska, eftersom i ett system som inte är i jämvikt är inte entropin maximal, vilket normalt medför en spontan förändring av systemet mot ökad entropi. Notera dock att entropin i ett delsystem, eller ett system i kontakt med omgivning, får dock ändras i en reversibel process. 84

3 Arbete och värme för reversibla processer Betrakta en reversibel expansion / kompression. Tryck-volymarbetet blir: dw = pdv i princip kraft väg.) Låt partikelantalet vara konstant. Överförd värme är det som blir över efter att vi har betraktat tryck-volymarbetet. Första huvudsatsen ger: { } Termodynaiska identiteten,dn = 0 dq = du + }{{} dw = = τdσ du = τdσ pdv pdv För en kvasi-statisk) reversibel process med konstant partikelantal: dq rev = τdσ, dw rev = pdv Så, för reversibla processer råder en nära parallell mellan termodynamiska identiteten och energiprincipen du = }{{} τdσ pdv [ev. andra energi-termer för andra typer av arbete] } {{ } dq rev dw rev Uppdelningen av energiöverföring i värme och arbete har sin grund i att termodynamik utvecklades för att förstå sk. värmemaskiner som omvandlar mellan arbete och värme. Nu har vi tillräcklig bakgrund för att förstå och beskriva sådana maskiner. Värmemaskiner: cyklisk process som omvandlar mellan värme och arbete En cyklisk process återför systemet till ursprungstillståndet Entropiändringen σ i systemet måste bli 0 över en cykel, samma sak för skillnaden i inre energi, osv. Några exempel på värmemaskiner: Bilmotor, elkraftverk, ångmaskin: Varm kropp i kall omgivning, vi utvinner nyttigt arbete. Kallas värmemotor eng. heat engine ). Kylskåp, luftkonditionering: Kall kropp i varm omgivning, vi tillför arbete för att ytterligare kyla kroppen. Värmepump: Varm kropp i kall omgivning, vi tillför arbete för att värma kroppen.? : Kall kropp i varm omgivning, vi utvinner nyttigt arbete. LoR problem 8.2b) Reversibel värmemaskin, Carnot-verkningsgraden Se diagram. Vi ser varför man inte bara direkt kan ta värme-energi ur luften och omvandla till arbete. Det skulle nödvändigtvis bryta mot lagen om ökande entropi / termodynamikens andra huvudsats, eftersom vi i så fall skulle sätta = 0 och då bara minska entropin på den varma sidan total entropi i universum minskar. Men så länge vi betalar entropi-skatten genom att öka entropin i den kallare reservoaren minst lika mycket som vi minskar den i den varmare reservoaren så är det teoretiskt möjligt att använda återstående energi som arbete. Vi säger ännu inget om hur man bygger en sådan maskin, mer om det senare.) 85

4 En perfekt värmemaskin opererar helt reversibelt: σ tot = 0, och eftersom den är cyklisk får ingen entropi samlas upp inuti maskinen, så vi måste ha: { Minskning avσ på varm sida: } = Direkt ifrån energiprincipen: W = = {Ökning } avσ på kall sida 1 τ ) l τ }{{} h <1 = Vi får ut arbete, och har räknat ut dess storlek som en fraktion av. Hur avgör man hur bra en omvandlingsprocess mellan värme och arbete är? Reversibel värmemotor Δσ TOT =0 σ h = / σ l = / Resurs vid Genererat Arbete W Omgivning vid Verkningsgrad: η = nyttig energi förbrukad energi i vår resurs η = W = 1 = Vi kallar denna verkningsgrad för Carnot-verkningsgraden:η c. T.ex. resurs vid100 C, omgivning vid20 C = T h T l T h, 0 η < 1 η c = % Icke-reversibel värmemaskin Vad händer om värmemaskinen är irreversibel? σ h = / Resurs vid Låt ineffektiviteter i systemet t.ex. friktion) göra att någonstans i processen ökar entropin tänk: friktion i maskinen). Ska maskinen vara cyklisk så måste vi minska tillbaka maskinens entropi så σ = 0. I så fall måste vi åtminstone öka den kalla reservoarens entropi lika mycket. Men det enda sätt vi kan göra det på är genom att öka mängden energi vi för över i form av värme på den kalla sidan! Irreversibel värmemotor Δσ TOT >0 σ l = / Genererat Arbete W Omgivning vid Energiprincipen: W =. Låt vara samma som i den reversibla värmemaskinen. Om ökar så måste W minska: W < 1 τ ) l η = W < η c 86

5 Man kan alltså inte omvandla värme till arbete bättre än η c! η c sätter en övre gräns för verkningsgraden, oavsett hur fiffiga maskin man bygger. Gränsen sätts direkt av termodynamikens andra huvudsats / principen om ökande entropi. Den övre gränsen för verkningsgrad beror på temperaturskilladen och ökar för större temperaturskillnad. Titta också på LoR 8.2 där en resurs av kyla jämförs med en resurs av värme. Carnots verkningsgrad: η c = T h T l T h Max verkningsgrad för en värmemotor som opererar mellan konventionell temp.t h och T l. Kylskåp / värmepump Kylskåp: kyl den kalla kroppen med tillfört arbete. Alla storheter i den reversibla värmemaskinen byter riktning. Ger precis samma ekvationer: =, W = W = 1 τ ) l Tolkningen av nyttighet ändras!:w är förbrukad energi i vår resurs, producerad nyttighet. η = W = = 1 1 = 1 τl 1 = ; 0 < η Värmepump: värm den varma kroppen med tillfört arbete. Samma ekvationer och riktningar som kylskåp, men nu:w = Förbrukas, = Producerad nyttighet. η = W = = 1 1 Q = 1 l 1 τ = > 1 l Vi får ut mer energi än vi stoppar in! Detta är just poängen med en värmepump! Annars kunde vi värma med el istället, och få verkningsgrad 1. Men hur bygger man en värmemaskin? Hur fungerar den cykliska processen? Viktiga typer av termodynamiska processer Viktiga processer i termodynamik Isoterm: konstant temperatur Isobar: konstant tryck Isokor: konstant volym Isentrop: konstant entropi Adiabat: inget värmeutbyte, dq = 0 Ofta underförstått konstant partikelantal om inte annat sägs.) 87

6 Notera att reversibel adiabat = isentrop: dσ = dq rev τ = 0 τ = 0 Carnot-cykeln En av de mest grundläggande cykliska värmeprocesserna: Carnot-cykel: reversibel cyklisk process sammansatt av Isotermisk expansion + Adiabatisk expansion + Isotermisk kompression + Adiabatisk kompression. Omvandlar mellan värme och arbete med Carnot-effektiviteten bevis i KoK s. 236) Vi kommer titta på denna cykliska process för en monoatomär ideal gas. Först tittar vi på de involverade delprocesserna KoK kap. 6, ), och sedan slår vi ihop dem KoK kap 8, ). Tillbakablick, ideal gas: Carnot-Cykeln p V 4 V 3 V Ideala gaslagen:pv = Nτ Ingen potentiell energi mellan atomerna betyder att U ej beror på volym. Monoatomär gas U = 3 2 Nτ Värmekapaciteter:C p = C v +N Typiskt tillvägagångssätt för att beräkna arbete / värme som ju beskrivs av inexakta differentialer: i) förstå start och sluttillstånd, ii) förstå vilken väg processen tagit. iii) räkna ut storheten som en integral över vägen. För en exakt differential, t.ex.dσ kan man däremot ta valfri väg istället, jmfr. föreläsning 3. Har man ett uttryck för tillståndsfunktionen σu, V, N) kan man direkt räkna skillnaden.) Reversibel isotermisk expansion / kompression för ideal gas av en ideal gas, start vid tryckp 1. Sluttillstånd? Trycket efter expansionen? p 1 = Nτ, p 2 = Nτ p 2 = p 1 Arbete gasen utfört på omgivningen KoK ekv tarw åt andra hållet.) W = 2) 1) dw = { } Reversibel isoterm: V2 V2 Nτ = pdv = dw = pdv V dv = Nn Värme tillförd till gasen ifrån omgivningen: { } Ideal gas: du = dq dw = U ober. av volymen,τ,n konst. = 0 dq = dw Q = Nn 88

7 Reversibel adiabatisk expansion / kompression för monoatomär ideal gas, start vid tempτ 1. Sluttillstånd?: vad blir temperaturen efter expansionen? Vi har härlett tidigare finns på formelbladet): σ = Nln n Q n ), n Qτ) τ 3/2, n = N/V Nln n Qτ 1 ) N Arbete gasen utfört på omgivningen: W = 2) 1) ) = Nln n Qτ 2 ) N τ 3/2 1 = τ 3/2 2 τ 3/2 2 = τ 3/2 1 Reversibel adiabat dw = du = dq dw }{{} = 0 2) 1) du = ) { } Monoatomär ideal gas U = 3 2 Nτ = 3 2 Nτ 2 τ 1 ) = 3 2 Nτ 1 τ 2 ) Värme tillförd gasen ifrån omgivningen: Adiabatisk process Q = 0. Ovan härledde vi att τ 3/2 V = konst. för en monoatomär ideal gas. Detta är ett specialfall av ett viktigt generellt resultat för ideala gaser med frihetsgrader. Adiabatisk expansion för ideal gas med inre frihetsgrader pv γ = konst. Används tillsammans med ideala gaslagen för att hitta sluttillståndet för en adiabatisk process för en ideal gas likt hur ideala gaslagen ger sluttillståndet för en isotermisk process.) Bevis nedan: Kan vi skriva du på något sätt för en generell ideal gas? Eftersom U är en funktion av bara N,τ och ej V ) så gäller i en process med konstant partikelantal: ) U C v = du = C v dτ τ Och därför ifrån termodynamiska identiteten för en isoentropisk process N,V du = τ }{{} dσ +pdv +µ }{{} dn 0 0 C v dτ = pdv = Nτ V dv dτ τ = N dv C v V 89

8 Trick: N = C p C v N C v = γ 1 medγ = C p /C v dτ τ = γ 1)dV V Integrera båda sidor över processenτ 1 τ 2,, ln τ 1 τ 0 = ln V1 V 0 ) γ 1 τ 1 V γ 1 1 = τ 0 V γ 1 0 τv γ 1 = konst Och,pV = Nτ pv γ = konst Nu har vi verktygen för att ge oss på hela Carnot-cykeln. Carnot-cykel i monoatomär ideal gas Vi härleder först en relation mellan volymerna ifrån att τ/3 = konst. för båda de reversibla adiabaterna: /3 2 = /3 3, /3 4 = /3 1 V 4 = Summera bidragen för totalt arbete: W 12 = N ln W 23 = 3 2 N ) τh W 34 = N ln V 4 V 3 = N ln W 41 = 3 2 N ) Summa:W = N )ln Tillförd värme: = W 12 = N ln / ) ) 3/2 = V 3 V 4 V 3 = Verkningsgrad:η = W = = Carnot-verkningsgraden! Övningsuppgifter som passar denna föreläsning LoR 8.2, 8.5,