Termodynamiska potentialer Hösten Assistent: Frans Graeffe

Transkript

1 Räkneövning 3 Termodynamiska potentialer Hösten 206 Assistent: Frans Graeffe

2 (03-) Concepts in Thermal Physics 2.6 (6 poäng) Visa att enpartielpartitionsfunktionen Z för en gas av väteatomer är approximativt Z V eβr λ 3 tv () där R 3.6 ev och exciterade tillstånd har ignorerats. FACIT Z Z trans Z rot Z vib (2) Z trans V λ 3 th (3) Z vib e βe(n) (4) Z rot (5) λ th h 2πmkB T Pga. att man ignorerar alla exiterade tillstånd blir Z rot och n : (6) 3, 6eV E(n) n 2 3, 6eV (7) Nu får vi: Z V λ 3 e β ( 3,6eV ) th (8) V λ 3 e βr th (9) λ th är den termiska våglängden är ungefär samma som de Brogile våglängden för partiklar i en idealgas. Med den termiska våglängden kan man approximera det interatomära avståndet, mellan atomerna i gasen. De Brogile våglängden är vågländen som går att koppla ihop med en massiv partikels momentum i kvantmekaniken. Materia har en våglikrörelse i kvantmekaniken.

3 (03-2) Concepts in Thermal Physics 28. (6 poäng) Då bly smälts vid vanligt lufttryck är smältpunkten C, tätheten sjunker från till kg/m 3 och den latenta värmen är 24.5 kj/kg. Uppskatta smältpunkten för bly vid trycket 00 atm. FACIT Clausius-Clapeyrons formel ger relationen mellan temperaturförändringen och tryckförändringen enligt följande: dt V ( T V ρ liquid ρ solid ) kg Temperaturen måste konverteras till Kelvin för att kunna användas i formlerna C K Vi löser ut förändringen i temperaturen ( T dt ) genom att integrera över förändringen i tryck. Här konverterar vi också tryckena till Pascal för att kunna använda SI-enheter. dt T V J kg ( K Pa K dt Pa T 00 atm atm K Pa 00 atm kg m kg m 3 K atm Pa 0325 Pa K Pa K Pa Så temperaturen ändras med ca 0.8 C till C. ) K 0.75 K 2

4 (03-3) Concepts in Thermal Physics 28.2 (6 poäng) Vissa te-experter anser att en kopp te inte kan bryggas med vatten under 97 C. Antag att detta stämmer. Är det möjligt för en astronom som arbetar på toppen av Mauna Kea i Hawaii (höjd 4207 m, fastän det inte behövs för lösningen), där lufttrycket är 65 mbar, att brygga en god kopp te utan tryckkokare? FACIT Vi använder även här Clausius-Clapeyrons formel dt T V T V vapour, (0) där V V vapour V liquid V vapour. Om vi behandlar ångan som en idealgas, kan vi använda idealgaslagen pv vapour nrt, () atenta ångbildningsvärmen för vatten är 4400 kj/kg och gaskonstanten för en mol är R J K. och vi kan härleda följande ekvation för trycket (se härledning) ln ( p p 0 p p 0 e nr (T T 0 ) (2) ) nr (3) T T 0 ( ) T ln p p 0 nr (4) T 0 Insättning av värden ger T 86.6 C 87 C 3

5 Härledning p p 0 ( p ln dt T V vapour dt T nrt p p nrt 2 dt p ) p 0 T T 0 nr nrt 2 dt ( T T 0 ) p p 0 e nr (T T 0 ) 4

6 (03-4) Concepts in Thermal Physics 28.5 (3+3 poäng) Jämviktsångtrycket för vatten är givet i tabellen: T ( C) p (Pa) (a) Bestäm latenta värmen för avdunstning av vatten. Beskriv klart vilka approximationer du använder. (b) Uppskatta trycket då vatten och is är i jämvikt vid -2 C, givet att iskuber flyter med 4/5 av volymen nedsänkt i vatten vid trippelpunkten (0.0 C, 62 Pa). atenta värmen för sublimering av is vid trippelpunkten är J/kg. FACIT (a) Vi använder även här Clausius-Clapeyrons formel dt T V (5) T V Då vi antar att ångans volym är mycket större än vätskans volym. 5

7 Med idealgaslagen (pv nrt ) får vi: dt T V (6) p T 2 nr (7) (8) dt p T 2 nr (9) MdT (n m RmT 2 M ) (20) (2) p2 ln(p) M T2 (22) p Rm T T ( ) p ln M ( ) (23) p 2 Rm T T 2 m kg : (24) ( ) Rln p p 2 ( ) (25) T 2 T M Genom att sätta in olika värden från den givna tabellen och ta ett medelvärde på de olika resultaten får man (b) Clausius-Clapeyrons formel ger avdunstning 2, 45MJ/kg dt melt T V Som efter integrering samt omorganisering ger: p p 0 + ( ) melt V ln T T 0 (26) (27) Där V (28) ρ vatten ρ is 2, m 3 /kg (29) Då vattnets densitet vid 2 C är ρ vatten 999, kg/m 3 och ρ is 4 5 ρ vatten (pga hur mycket som är under vattenytan då isen flyter i vattnet). 6

8 Den latenta värmen för smältning är melt sublimering avdunstning Nu blir trycket: p 62Pa J/kg 2, ( ) J/kg 27K 2, m 3 ln (30) /kg 273K 9, Pa (3) 00atm (32) 7

9 (03-5) Concepts in Thermal Physics 28.6 (6 poäng) Det sägs ibland att trycket på isen som en skridskoåkares bett orsakar är tillräckligt för att smälta is, så att skridskoåkaren kan glida runt på en tunn vattenfilm. Under antagande att rinken är vid -5 C gör uppskattningar som visar att denna mekanism inte fungerar. (Friktionsbaserad värmning av is är mycket viktigare, se American Journal of Physics, volym 63 (995) sidan 888 och volym 65 (997) sidan 488.) FACIT T 5 C 268K T 0 0 C 273K 3, J/kg p 0 atm 0, 325Pa ρ vatten 000kg/m 3 ρ is 97kg/m 3 Vi använder Clausius-Clapeyrons formel för att räkna ut vilket tryck som krävs för att smälta isen vid den givna temperaturen: Insättning av värden ger dt T V p(t ) p 0 + V ln V ( ) T T 0 (33) (34) (35) ρ vatten ρ is p(268k) 70MPa (36) Ifall vi har en skridsko med arean A 25cm 3mm kan vi räkna ut det trycket som en tex. 80kg tung person ger upphov till med p F/A: p 80kg 9, 8m/s2 0, 25m 0, 003m (37) Pa (38) MPa (39) Personen åstadkommer alltså inte ens nära på det tryck som krävs för att smäta isen. 8

10 (03-6) Concepts in Thermal Physics 22.6 ( poäng per deppgift, totalt 6 poäng). Beakta jonisering av väteatomer enligt jämviktsreaktionen H p + + e där p + betecknar en proton oc e en elektron. Notera att en proton är en positivt joniserad väteatom. (a) Förklara varför µ H µ p + + µ e Partitionsfunktionen för en väteatom är Z V eβr λ 3 tv där R3,6 ev enligtekv. (2.50) i boken. Den kemiska potentialen för en gas av N identiska partiklar är (b) Utifrån dessa ekvationer visa att µ kt ln Z N kt ln Zp N p kt ln Ze N e kt ln ZH N H e βr (c) Visa också att detta ger den så kallade Saha-ekvationen n e n p (2πm ekt ) 3/2 n H h 3 e βr där n x N x /V. Påpeka vilka approximationer som du gör. (d) Med n e n p, den totala partikeltätheten för väte n n H + n p, och joniseringsandelen y n p /n, visa att y 2 y e βr nλ 3 tv där λ tv är den termiska våglängden för elektroner. (e) Bestäm joniseringsandelen för ett moln av atomistiskt väte vid 000 K och med tätheten 0 20 m 3. (f) Den föregående ekvationen visar att joniseringsandelen går upp då tätheten sjunker. Varför detta beteende? FACIT 9

11 (a) Enligt ekv. (0.5) i föreläsnigsanteckningarna har vi dg SdT + V + i µ i dn i (40) i µ i dn i (4) µ H dn H + µ p dn p + µ e dn e (42) 0 ( µ H + µ p + µ e )dn (43) (44) µ H µ p + µ e (45) Pga vid jämvikt gäller dg 0 samt att dt 0 ifall vi har ett slutet reaktionskärl. (b) Vi har Z p Z e Z V λ 3 tv,p V λ 3 tv,e V λ 3 tv,h (46) (47) e βr (48) Med µ kt ln Z N och µ H µ p + µ e får vi nu att (c) Från b)-delen har vi kt ln Zp N p kt ln Ze N e kt ln ZH N H e βr (49) kt ln Zp kt ln Ze kt ln ZH e βr (50) N p N e N H ( Z p ) ln Ze ln ZH e βr (5) N p N e N H Z p Ze Z H V V λ 3 tv,p λ 3 tv,e V λ 3 tv,h N pn e e βr n pn e e βr (52) N H n H n pn e n H e βr (53) n p n e n H 0 λ 3 tv,h λ 3 tv,pλ 3 tv,e λ 3 tv,e e βr (54) e βr (55) (2πm ekt ) 3/2 h 3 e βr (56)

12 (d) Där vi använt oss av m H m p λ tv,h λ tv,pq y 2 y (n p/n) 2 n p /n (57) n 2 p n 2 ( n p /n) (58) n 2 p n 2 nn p (59) n 2 p (n H + n p ) 2 (n H + n p )n p (60) n 2 p n 2 H + n, n p n e Hn p (6) n p n e n H (n H + n p ) (62) n pn e n H n (63) n e βr λ 3 tv (64) (e) y 2 + y e βr nλ 3 tv y 2 y nλ 3 tv (65) (66) e βr y 2 nλ 3 tv e βr e βr y (67) e βr nλ 3 tv Ifall vi sätter in värden för alla konstanter får vi: α e βr nλ 3 tv ( n 0 (68) e βr h 2πmek B T ) 3 (69) 2, (70) Nu kan vi enkelt lösa följande andragradsekvation (och lämnar bort den negativa lösningen): y 2 + yα α 0 (7) (72) (f) The reaction occurs because the particles are bathed in a radiation field. Ionization rate per volume is proportional to the number density, but the recombination rate per volume is proportional to the

13 product of the number densities of the recomobining particles if density, the recombination is hit more dramatically degree of ionization. 2