b) Beräkna den totala entropiförändringen i systemet. (5p) 2. I en kretsprocess genomgår 1 mol kvävgas följande fyra steg:

Transkript

1 Chalmers Tekniska Högskola och Göteborg Universitet Sektionen för Fysik och Teknisk Fysik Aleksandar Matic/Mats Granath Tentamen i Termodynamik och statistisk fysik för F (FTF140) Tid och plats: Torsdagen den 1 mars i V-huset. Examinatorer: Aleksandar Matic ( ), Mats Granath ( ). Hjälpmedel: Physics Handbook, BETA, Termodynamiska Tabeller (sålda via Cremona), formelblad med "Allmänna relationer för enkomponentsystem" och "Kanonisk Fördelning", egenhändigt skriven A4-sida med valfritt innehåll (inga kopior eller maskinskrift), valfri räknedosa i fickformat. Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 10 poäng. Poäng från dugga och inlämningsuppgift adderas enligt tidigare offentligjord formel. För godkänt krävs 0 poäng. Lösningar: Lösningar finns på kurshemsidan efter tentans slut. Rättningsprotokoll: Anslås i entréhallen Fysik senast torsdagen 14:e april. Rättningsgranskning: Måndagen 25:e april i rum O7109B 1. För att smälta 2 kg is, som har temperaturen 0 C, tillför man vattenånga, som har temperaturen 100 C. Sluttillståndet man vill uppnå är vatten vid 0 C. a) Beräkna hur stor mängd ånga man behöver. (5p) b) Beräkna den totala entropiförändringen i systemet. (5p) 2. I en kretsprocess genomgår 1 mol kvävgas följande fyra steg: 1) En isoterm kompression till 1/ av ursprungsvolymen 2) En isobar expansion där volymen fördubblas ) En adiabatisk expansion tillbaka till begynnelsevolymen 4) En isokor process tillbaka till begynnelsetillståndet. I begynnelsetillståndet är temperaturen för kvävgasen 00 K. a) Beräkna värmeflödet i varje delprocess (7p) b) Beräkna kretsprocessens verkningsgrad (p)

2 . En kropp med massa m sitter i en fjäder med fjäderkonstant K och kan vibrera runt ett jämviktsläge x=0. Kroppen befinner sig i en gas vid temperatur T. a) Beräkna kvadratiska medelavvikelsen, < x 2 >, från jämviktsläget om kroppen kan betraktas som klassisk. b) Kvantmekaniskt kan vibrationerna beskrivas som en harmonisk oscillator med frekvens ω = K /m kvanttal n=0,1,2,... och energier E n = hω( n + 1 2). Kvadratiska medelavvikelsen ges då av < x 2 >= h < n >. mω Beräkna < x 2 > i detta fall. Härled från detta villkoret för att oscillatorn ska kunna beskrivas som klassisk? (10 p) 4. Ett system består av ett stort antal, N, särskiljbara svagt växelverkande partiklar. Varje partikel har två tillgängliga tillstånd med energier 0 och ε. a) Antag att systemet är slutet och att totala energin är E=nε, där 0 n N. Vad är då sannolikheten att en specifik partikel (säg partikel nummer 1) har energi ε? b) Om samma systemet i stället är i kontakt med ett värmebad vid temperatur T. Vad är temperaturen om väntevärdet av energin för systemet är < E >= nε? Finns det några begränsningar på n i detta fall? Vad är sannolikheten att en specifik partikel har energi ε? (10p) 5. I en värmemaskin har man två värmereservoarer om vardera massan 1 kg och specifika värmekapaciteten 2 kj kg -1 K -1. Reservoarerna har initialt temperaturerna -10 C respektive 70 C. Hur stort arbete kan en sådan maskin maximalt uträtta? (10 p) 6. En jonfälla för att fånga en ensam jon ur en gas består av en liten box med ett elektriskt fält som kan binda joner. Energin för en bunden jon är -ε (ε>0) relativt energin då ingen jon är fångad. Det visar sig att fällan i bland fångar två joner. På grund av den elektrostatiska repulsionen mellan jonerna fås då energin -2ε+ ( >0). Sannolikheten att fler än två joner fångas kan försummas. Jongasen har temperatur T och kemisk potential µ. Hur ska man justera det elektriska fältet, dvs. välja energin ε, för att maximera sannolikheten att man fångar en jon i fällan? (Dvs. inte noll eller två.) (10 p)

3 Lösningar tenta I processen att smälta 2 kg is vid 0 C genom att tillföra vattenånga som håller 100 C behöver vi betrakta tre värmetermer för att nå sluttillståndet vatten vid 0 C: Q 1 - Omvandlingen av is vid 0 C till vatten vid 0 C Q 2 - Omvandlingen av ånga vid 100 C till vatten 100 C Q - Avsvalningen av vatten 100 C till 0 C Vi kan betrakta systemet med is och vattenånga som ett slutet system och då måste energin bevaras: Q 1 = Q 2 + Q De tre värmetermerna kan skrivas som: Q 1 = m i l f där m i = mängden is och l f = specfika smälbildningsentalpin Q 2 = m å l v där m å = mängden ånga och l v = specifika ångbildningsentalpin Q = m å c p dt = m å c p ΔT där c p = specifika värmet för vatten man får här anta att c p är oberoende av T a) Mängden ånga som man behöver ges nu direkt ur bevarandet av energin: m i l f = m å l v + ΔTm å c p m m å = i l f l v + ΔTc p c p = 4.18 kj/kgk l v = 2260 kj/kg l f = 4 kj/kg detta ger att m å = 0.25 kg b) För att beräkna entropiförändringen betraktar dels ändringen i entropi vid smältingen av is och dels entropiändringen för omvandlingen från ånga til vatten och avsvalning av vatten: ΔS tot = ΔS 1 (is vatten) + ΔS 2 (ånga vatten) + ΔS (vatten C) Vid en fasövergång ges entropiändringen av

4 ΔS = ml T dvs ΔS 1 = m il f T smält = 2.45 kj/k entropin ökar vid smältning ΔS 2 = m ål v T kond = 1.51 kj/k Vid avsvalning av vatten från 100 C till 0 C ges entropiändringen av: ΔS = 27 7 m å c p T dt = m å c 27 p ln 7 = 0. kj/k ΔS tot = 0.61 kj/k dvs entropin ökar i processen vilket vi förväntar oss eftersom det är en spontan process. 2. Vi har 4 delprocesser in en kretsprocess och ska beräkna värmeflödet för var och en och verkningsgraden för kretsprocessen. (1 mol N 2 med T start =00 K) 1) Vid en isoterm kompression till 1/ av ursprungsvolymen ges värmeflödet av: Q 12 = V 2 p dv = nrtstart ln V 2 = nrt start ln 1 = 2.74 kj V 1 V 1 (vi kan betrakta kvävgas som en ideal gas och använder här ideala gaslagen) 2) Vid en isobar expansion där volymen fördubblas ges värmeflödet av: Q 2 = nc p (T T 2 ) där C p är den molära värmekapaciteten. T 2 = T 1 = 00 K (första processen isoterm) och T kan vi beräkna mha ideala gaslagen : T = T 2 V V 2 = 600 K (isobar process där volymen fördubblas) C P = kj/kgk = 29. J/molK Q 2 = 8.79 kj ) Vid adiabatisk expansion tillbaka till begynnelsevolymen sker inget värmeutbyte: Q 4 = 0 4) Vid en isokor process tillbaka till begynnelsetillståndet ges värmeflödet av:

5 Q 41 = nc V (T 1 T 4 ) där C v är den molära värmekapaciteten. T 1 = 00 K och T 4, som är temperaturen efter process, kan vi beräkna mha sambandet för adiabatiska processer : pv γ = konst och ideala gaslagen, V T 4 = T V 4 γ 1 och V = 2V 2 = 2 V 1 T 4 = 510K V = T V 1 γ 1 C V = C p /1.4 = 20.9 J/molK Q 41 = 4.9 kj där γ = C p C V =1.4 (ur tabellsamling) Verkningsgraden för processen ges av η = W Q in Där W är det totala nyttiga arbetet som utförs och Q in den värme som tillförs. I kretsprocessen tillförs endast värme i steg 2 dvs Q in= Q 2 =8.79 kj. Arbete utförs i steg 1,2 och 4 (inget arbete vid adiabatisk expansion av ideal gas). Det totala arbetet som utförs i kretsprocessen ges då av: W=Q 12 +Q 2 +Q 41 =1.66 kj η = W Q in =0.19

6 m, c Q 1 Q 2 p m, c p T W 1 -> T j T 2 -> T j I värmemaskinen har vi två kroppar om vardera 1 kg och c p = 2kJ/kgK. Under det att maskinen arbetar kommer temperaturen i vardera kropp att ändras tills det att vi når jämvikt, T=T j. Det arbete som vi får ut under en sådan process ges av: W = Q 2 Q 1 = mc p (T 2 T j ) mc p (T j T 1 ) = mc p (T 1 + T 2 2T j ) Maximalt arbete får vi ut om processen är reversibel dvs att S=0. Vi behöver alltså bestämma det T j för vilket processen är reversibel. Entropiändringen för varje del ges av: ds i = dq i T = mc p dt, i=1,2 T vi får då att: ΔS 1 = mc p ln T j T 1 och ΔS 2 = mc p ln T j T 2 ΔS tot = ΔS 1 + ΔS 2 = mc p ln T j + ln T j = mc p ln T 2 j = 0 T 1 T 1 T 2 T 2 vilket ger att T j = T 1 T 2 och vi får det maximala arbetet till: W = mc p (T 1 + T 2 2 T 1 T 2 ) =10,6 kj

7 < ˆ Y < Ÿ y m a >! "$#% &'()*,+-.0/214 5: ;=< "DE&'*FG%IHJAC7FKACG+L+M"DNFKOPG+)+ P+MF FG7=.'Q7K.R %J&*F'.KTSU7)ATAT"U+MA)(")(DVAW+M"GDX &'.c+?d Y [ ;=< 5?\ 1 [^]_`ba Yfehg \ 1NiRjhk l HnpoqT.r(A Y &R % J% %q7otoac+r 5 \ 1 st uhv Y w \ 1 Yxw \ &R 7 yz1 { ;V},6 (Š' Yfe g \ 1 w Œ%Žr st v $ L 1E œ 1 ˆ (Š' ž >L~ % %F'J*%OTOAC+r Y w \! "Gp9 J7DV"cP+MF "r+)ƒ TOTO 7A" > w Œ Žr st v7 Œ Žr st v% Œ Žr st v% 1 Œ Žr st v m Y \ 1 mtmtm 1 ž Ÿ y s v 1 yš J O pœ OPG+)+M +MFG G% 7U+M +M.G7!7TDVOTGA).KP+ D "Ah h " ADVSJ!7A) c)(d%&'.+ ]_`«ª &KJG% 7U+M J%p.' 5 \L 6 y 1 ]_h` y 6 y 5 1 ]_` ;.KTOTFr(A % +7DVD ±+ "D²R SSc³BAqr > yboot yz

8 / 1 > w m 1 %'.Q 7U&'qDVTFK)"GF%"cP+MFV! "GC&'OTcV&R % 7OOPIATOOTJ %OT ATOTO +MAK %J&b 7 OTFGI+7c"OTFG > KAC%OTAWA)TOOP+ A' 7J&ID %& ()GT w,+. 1 Ž %"OTFK Ab7AA±SU7)ATFrO J7 c)gt %+ &L V.b7KAC%OTA A)TOOP+ A' 7J&=&R 7 SJ%)A)FrO U7 () &'.+ d'%+ma0.0+c+ma)(dvah J7WT w &'OP%ALDV%&±A"A!7OP 7KAC%OTALA)OTO +MAK 7U&nd L1 } 1 } Hn* %h7k.r %J&'R.KFG%" +MF! "GC&'(OT SJ7A)F'O 7)U 7R"HJ"rJ&'W"Kƒ +( 7C+ F'O #)HJ%C,+.Q 7KA).Q 7!&'A.V. / 1!#" " d^&r 7 1 : Œ Žr %$ 7qA)OTO +MAK 7U&+)+ DVD 7I! "G 9SJ%)A)FrO >, 7q%OTOAC+r / 1 Œ %$ : 1 w "D Œ &$ : 1 OOT 1 irjrk } O `('*) 7p HJG% %J+)%A cottga w,+ } [ > %"OTFrAI! "G %A)Ap=+MSJ%ƒ.-JFVSU7)ATFrO^ J7q() G%+q,. 1 Œ Žr %$ 1 Œ &$ : [

9 / / m 7K.R %J&' +MA"*FG7"GP+ F! "C&KOT! " 7AA*HJ J7U&'OP! 7OOP7z+ "D 7*pAA*SJ7A)FrO "KƒC.Q 7)D HJ& > "GD A) A)OTO +MAK 7U&'0DV%&I"GOTOxd'9OOTWA).L SJ7A)TFKOP%p J7 +)%"GOTTFK A 1 } 1 Œ $ } / 5 1 Œ 5 $ 5 Ž } a &R % 1 : Œ $ : Œ 5 $ 5 Ž Q+MFG D KTDV! / >L~, 7FKJ " " $ OTO W 7G"AqFKOP%) OT / O 1 1 mtmm 1 Œ 5 $ 5 Ž A)ApD9 OTO D Tn -JJ+p%OTOTA!+r "Kƒ 9G%+. Œ 5 $ 5 Ž 1 ) OOT 1 N A)Ap&KA)A! %pa)apd9 'DI cd HJFK%,BA!+pc"D " " $ $ Š Ž 1 5 )