a) Rita in processen i ett PV- respektive TS-diagram. (2p)

Transkript

1 Calmers Tekniska Högskola oc Göteborg Universitet Sektionen för Fysik oc Teknisk Fysik Aleksandar Matic/Mats Granat Tentamen i Termodynamik oc statistisk fysik för F3 (FTF140) Tid oc plats: Onsdagen den 24 augusti i V-uset. Examinatorer: Aleksandar Matic ( ), Mats Granat ( ). Hjälpmedel: Pysics Handbook, BETA, Termodynamiska Tabeller (sålda via Cremona), formelblad med "Allmänna relationer för enkomponentsystem" oc "Kanonisk Fördelning", egenändigt skriven A4-sida med valfritt inneåll (inga kopior eller maskinskrift), valfri räknedosa i fickformat. Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 10 poäng. Poäng från dugga oc inlämningsuppgift adderas enligt tidigare offentligjord formel. För godkänt krävs 30 poäng. Lösningar: Lösningar finns på kursemsidan efter tentans slut. Rättningsprotokoll: Anslås i entréallen Fysik senast torsdagen 2:e september. Rättningsgranskning: Måndagen 5:e september i rum O7109B 1. I en Carnot-process tillförs värmemängden 2.70 kj per cykel. Vid den adiabatiska expansionen fördubblas volymen. Den lägsta temperaturen under processen är 205 K oc gasens tryck är som lägst 1.0 atm. Arbetsmediet är kvävgas som kan betraktas som idel. a) Rita in processen i ett PV- respektive TS-diagram. (2p) b) Beräkna kretsprocessens verkningsgrad. (2p) c) Hur stort är det utförda arbetet per cykel? (2p) d) Hur mycket värme avges per cykel? (2p) e) Hur mycket varierar temperaturen respektive entropin under processen? Räkna ut T oc S. (2p) 2. En diatomär molekyl ar rotationsnivåer med energin ε rot J = k B T r J( J +1) där T r är en molekylspecifik konstant oc där kvanttalet J är eltal. Tillstånden är (2J+1)-faldigt degenererade. Betrakta en gas av sådana molekyler vid temperatur T. a) Hur stor andel, n J, av molekylerna i gasen kommer i genomsnitt att befinna sig i rotationstillstånd J? (5p) b) Vad är den relativa andelen molekyler i tillstånd J i förållande till molekyler i grundtillståndet J=0, n J /n 0. (3p) c) Vad ska gälla för att denna kvot ska kunna förenklas till n J /n 0 (2J+1). (2p)

2 3. Einsteinmodellen för värmekapaciteten os en kristall beskriver varje atom som tre oberoende kvantmekaniska armoniska oscillatorer med någon materialspecifik vibrationsfrekvens ω E. a) Härled värmekapaciteten från gittervibrationer som funktion av temperaturen enligt Einsteinmodellen. (Börja t.ex. genom att beräkna väntevärdet av energin oc från denna värmekapacitet.) (7p) b) Visa att för öga temperaturer återfås Dulong-Petits lag, C V =3Nk B. Hur kan man förstå denna utan en kvantmekanisk modell? (3p) 4. En vinter är teknologen Wille ute oc åker skridskor på en sjö. Wille ar ört, från en säker källa, att skridskorna glider lättare på isen av att isen smälter på grund av det öga trycket som skridskoeggen utövar på isen. Ute är det -4 C oc Wille väger 80 kg efter all julmat. Hur stor får anläggningsytan på skridskon maximalt vara för att Wille lätt ska glida fram på en vattenfilm? Är det rimligt (motivera med rimliga antaganden)? (10 p) 5. Ledningselektronerna i koppar kan beskrivas som en ideal Fermivätska med Fermienergi ε F =7eV oc dispersion ε=m e v 2 /2. a) Vid T=0, vad är den maximala kinetiska energin för en elektron i koppar oc motsvarande maximal astiget r v? (2p) b) Givet tillståndstäteten f(p)dp=v8πp 2 dp/ 3 beräkna den genomsnittliga kinetiska energin ε för en elektron.(6p) c) Kommer resultaten i a) oc b) förändras markant vid rumstemperatur? Förklara. (2p) 6. Vid förångning minskar ett ämnes densitet radikalt. Bestäm för vatten vid trycket 1 atm oc 100 C: a) Hur stor andel av ångbildningsentalpin som utgörs av arbete vid förångning av vatten. (5p) b) Hur mycket ökar inre energin i vatten vid förångning (uttryckt i kj/kg). (5p)

3 Lösningar tenta a) PV-diagram för Carnotprocess, se exempelvis Fig. 9.5 i kursboken: TS-diagram för Carnotprocess: Tb) T1 T2 S1 S2 S b) Beräkna kretsprocessens verkningsgrad. Verkningsgranden för en Carnotprocess ges av:

4 η =1 Q 2 Q 1 =1 T 2 T 1 Arbetsmediet kan betraktas som ideal gas oc i process 2->3, se PV-diagram ovan, ar vi en adiabatisk expansion. För en adibatisk process oc ideal gas gäller: pv γ = konst. oc pv = nrt vilket ger T 2 = V 1 T 1 V 2 γ dvs. η =1 V 1 V 2 γ 1 V 2 = 2V 1 oc γ = C P =1.4 för kvävgas C V vilket ger verkningsgranden η = 0.24 givet i uppgiften är att c) Hur stort är det utförda arbetet per cykel? Verkningsgrad ges av η = W Q 1 dvs arbetet ges av W = Q 1 η Q 1 =2.70 kj är det tillförda värmet vilket ger arbetet per cykel W=0.65 kj d) Hur mycket värme avges per cykel? I kretsprocessen gäller: W=Q 1 -Q 2 vilket ger det bortförda värmet Q 2 =Q 1 -W=2.05 kj e) Hur mycket varierar temperaturen respektive entropin under processen? Räkna ut T oc S. Bestäm T: T 2 =205 K oc T 2 = V 1 T 1 V 2 T 1 =270 K oc T=65 K Bestäm S: γ för en adiabatisk process. Entropin ändras under isotermerna, se T-S diagram: ΔS = Q 1 T 1 = Q 2 T 2 =10J /K

5 W g g ]! #" $&%')( *%+$,-$&.!/102*23 054,( 2%67$8.!/9 6U( *% Z[\^]_=`F Qbac :<;>=@?BADC)EGF*IHJDKL!M3N3O PRQTS S = W V ;&XZY?BADC)EGF*IH JDKL M3N3O P +<1:d; Q :eyf=@?badc)egf*ih JDKL!M3N3O P [*#]#g ikj ; l Fm67n cpo c t C#?qCrEsF* vuw$&%/23 xe$807i%*y4,( %z$&r\%{r23 0 D[}!.!.~*I%>/2$>&g $&$8%/r4,( %$&)DI[T!..3%/2$fb 6U( *% uw$&%i/!)+.!%f.!.!,d" g = S = W Z[\54,( 2. œ07i.!!/2$&r4,( %fždÿ [T.!.32%$&% 6U( % = ƒ Qac g = 1 =žÿ H*J KL M QTS HJDK D I } 7 š = F A 'ƒ E c> =@ r.! S H J Kb F H JDKb 7ƒ H K GF =@! D=žŸ a H}? H GF* = 'ƒ? Eˆ, ŠŒ( 7I$& ( *%6Z$&Žb +<zš 36 \ ( 2/D $&{ªxe$8%*I«%$8% ac o ƒ? l FŒ0G7 «D$[0Z.3 $& Zx$&Z$8%_Z[\ 4" «./ª ±$&I! 1 =ždÿ a $8z%$bq«.*102* Z<Z[0n" v4" >/$&2{²*I+$&%,*0ZŒž³ 0Z.32q~q02 \%{r23 0 [T.!.~*2%$&%Ž{r$6 $&$&%I/ gœ= µ E * uw.!/2z.!!02&4,( %6Z$&.!/D.3/$& \'*% 67$Iz$&$&%I/w g#= anc E¹ ac m7z!.0d$&#/$&%f67$8 4,( % ( *Z267$>%I$q«n.!$&#4,( %fu( %{r$80x[}!$8$&u F

6 4. Ändringen av smältpunkten med ändrat tryck ges av Claussius-Clapeyrons ekvation: dp dt = L TΔV där L= J/kg är smältentalpin för oc V är volymsändringen i fasomvandlingen. Tryckändringen som beövs för att åstadkomma en ändring i smältpunkt med -4 C ges då av: ΔP = ΔTL TΔV Densiteten för is är ρ 1 =917 kgm -3 oc för vatten ρ 2 =997 kgm -3 vilket ger V=(1/ρ 2-1/ρ 1 )= m 3 kg -1, T=-4 K oc T=269 K. Detta ger nu P=57 MPa Tyngdraften från Wille, som väger 80 kg, på isen är F=786 N vilket ger att för att isen ska smälta får anläggningsytan, A, vara maximalt A max = m 2 =14 mm 2 Är detta rimligt? Antag att Wille glider fram på ett ben i taget oc att skridskon är 25 cm lång. Ger att eggen inte får vara ner än d max =56 µm bred. En skridskoskena är ju klart bredare än detta, 2 mm, men när den är nyslipad är profilen konkav oc ligger bara an mot isen vid ytterkanterna varför 56 µm inte är orimligt.

7 ( Y Y F :ž Y :A = Š 36 c = ( % $&%{ª!%,[ 4,( 2%67$&.!n/$&^$&RqI$&/-4 «0ZUmd*..3-I!..3qZ" 6r{r$6 g gs( *% +$,7mw%$bq$8G( %>2{r{)Z * Z!{5*.3z$&$8%/( *%zgz= g=&$8š Z[\_4,(. œ*0z.!/$8 ADg Q µ = F DF µ Q +< $6Z$&.!$&n$&%/2<x$&%$&.$&07I%2R( *% %Z" *$?)(&*( {r$b6 g = ( Q µ 4" g1= g1= L#" g%$?qg'&7g Ÿ! 2+$±? g&7g =!! D=-,.0/w?BA µ 21%3 54 g'&7g Q 1mZ7.!0D$&1/$&%,.6/w?BA µ 7183 Ÿ 1 L9" g 1%3 &7g =,.0/w? A µ 21%3 Ÿ 1 ( 2%f*4" >«$&Z«{r$8%3 0zU( %67$y+$&\ ( 2D$&%Z<, Q Ÿ U$&%I{r$&%1& $&%{r$&n$&%/2!u >= $&%b( *0Z?.«.!/$8-4" 2*..!D" Ÿ²= L#" $?qg'&7g =@ 7= g= g,.6/w?ba µ 1%3 1 =@. AH, [* $q«.$&y+<f0d{ª{r$&%f*i)( 67%2 +%){)*%I/!n$&.!.Z36 %«{5q$8{rx$&%«%8 BA.$67/$& *%ª*I c l c = g Qa =DC7F* E F D" *I-$86 -I!..3qZ" 6 {HGn[0$&y ( %I '$8%{r#$&$8%/?KJ g# GgLJNM ac x1" D$&%02} (. œ*0z.!/$8( *'67%2v+'*%Œ!Z$&/2%*.$&( 2D$&% *.!.~-.!.~qz" *'65{OGn[0D$&.!$D %$&{r2qp'fœ«g7~6 ( ( 67.!/ I$&{rx$&%«%z/$8 {) 7{)*.#0Z!$&I3 0 $&$&%I/f {,m {r$&.!.~qz" *'6-{r$6rg o g \*%{OG[0D$&w.!I$&)2.!!0Z\$&ff2*%z+$,7 A ž g 1%3 g%; 3 A

8 6. a) Hur stor andel av ångbildningsentalpin som utgörs av arbete vid förångning av vatten? För att förånga en viss volym vatten, V v, krävs ett tillfört värme, Q där Q=l v m= H där l v - ångbilsningsvärmet, m är vattnets massa oc H är ångbildningsentalpin. Arbetet som utförs vid förångning ges av W = pdv = p 0 ( V g V v ) (konstant tryck p 0 ) V g -gasens volym, V v -vätskans volym Andelen arbete i ångbildningsentalpin är då: ( ) W ΔH = p 0 V g V v l v m = p 0( V g V v) = l v ρ v V v V p 0 V g v 1 V v = l v ρ v V v p 0 ρ v 1 ρ g l v ρ v ur tabell A.1.1 får man: ångbildningsvärmet l v =2257 kj/kg samt specifika volymerna v v = m 3 /kg oc v g = m 3 /kg vilket ger densiteten ρ v =957 kg/m 3 oc ρ g = kg/m3 oc p0= MPa (1 atm) var givet vilket ger W / H = b) Hur mycket ökar inre energin i vatten vid förångning (uttryckt i kj/kg)? Ändringen i inre energin ges av U=Q+W=Q(1+W/Q)=Q( ) Värmet som krävs för att förånga vatten är Q=2257 kj/kg vilket ger U=2090 kj/kg