6.4. Linjära ekvationssytem och matriser

Transkript

1 5 6 MATRISER 6.4. Linjära ekvationssytem och matriser Vi har tidigare sett att linjära ekvationssytem kan skrivas om med hjälp av matriser, så visst finns det ett samband mellan dessa. Nedan ska vi studera detta samband lite närmare och betraktar därför skärningen mellan olika linjer som beskrivs av följande linjära ekvationssystem: a) x + y = b) x y = c) x +y = I a) är linjerna parallella utan att sammanfalla och vi ser att ekvationssytemet saknar lösning, i b) skär linjerna varandra endast i punkten (3, ) och i c) sammanfaller linjerna så att systemet har oändligt många lösningar. Detta resultat visas i nästa sats. Sats 6.8. Ett linjärt ekvationssystem har antingen. ingen lösning. en entydig lösning eller 3. oändligt många lösningar Bevis: Efter att ovan ha sett exempel på att fall.,. och 3. kan inträffa återstår att visa att systemet inte kan ha eller fler lösningar. Antag att ekvationssystemet Ax = b har skilda lösningar som vi kallar för x och x.bildadenlinjära kombinationen Då är x A =( t)x + tx. (6.) Ax A = A(( t)x + tx )=( t)ax + tax =( t)b + tb = b. (6.3) Alltså är x A en lösning för varje reellt tal t. Därmed har vi visat att om systemet har lösningar eller fler så har det också oändligt många lösningar. Ur beviset ovan kan vi se att vi har följande resultat. Sats 6.9. Den allmänna lösningen till Ax = b ges av x A = x p + tx h, t R, där x h är den homogena lösningen till Ax = och x p är den partikulära lösningen till Ax = b.

2 6.4 Linjära ekvationssytem och matriser 5 Bevis: Om vi i (6.3) sätter så följer att x h = x x, Ax h = A(x x )=Ax Ax = b b =, dvs x h är en homogen lösning. Vi döper om x till x p och får Ax p = Ax = b, dvsx p är en partilulär lösning. Slutligen följer av (6.) att x A = x p + tx h = x + t(x x ) är en lösning till systemet. Exempel 6.3. Systemet x y + z = x 6y + 6z = 4 3x + 5y z = x y z 4 Ax = b har allmänna lösningen x A = + t 3 x p + tx h, ty och Ax h = Ax p = 3 4, b.

3 5 6 MATRISER Sista resultatet i det här avsnittet är mycket användbart. Sats 6.3. Antag att A är en n n-matris och b en n kolonnmatris. Då är följande påståenden ekvivalenta i) ekvationssystemet Ax = b har en entydig lösning för varje b ii) iii) A är inverterbar A:s kolonner (eller rader) är linjärt oberoende. Bevis: i) ii). Antag att ekvationssystemet Ax = b har en entydig lösning för varje b. Vi söker alltså en n n-matris B sådan att AB = E. Låt n kolonnmatrisen E j, j =,,...,n vara j:te kolonn i enhetshets matrisen E, dvse =(E E... E n ). Enligt förutsättningen så finns det en n kolonnmatris X j, j =,,...,n så att AX j = E j, j =,,...,n. Bilda B genom att låta X j vara kolonner i B. Dåär Alltså är B invers till A. AB = A(X X... X n )=(E E... E n )=E. ii) iii). Antag att A är inverterbar och låt A k, k =,,...,n vara kolonner i A, dvs A =(A,A,...,A n ). Kolonnerna A k, k =,,...,n är linjärt beroende om det finns tal x k, k =,,...,n ej alla noll, så att x A + x A + A n = (A,A,...,A n ) x x A Ax = A x = A =. Ax =. Alltså har ekvationssystemet den entydiga lösningen x = vilket visar att kolonnerna A k, k =,,...,A n är linjärt oberoende. iii) i). Antag att kolonnerna A k =(a k,a k,...,a nk ) t, k =,,...,A n är linjärt oberoende, dvs det homogena ekvationssystemet x A + x A + A n = Ax = har den entydiga lösningen x =. Detta betyder att systemet a a a 3 a n a a a 3 a n x Ax = x x a m a m a m3 a n mn

4 6.4 Linjära ekvationssytem och matriser 53 efter Gausselimination ser ut a a a 3 a n a a 3 a n a mn x x som har en entydig lösning =ochdärmed = = x =. För systemet Ax = b, där b =(b,b,...,b n ) t betyder detta att det ser ut enligt Ax = b a a a 3 a n a a 3 a n a mn x x som har entydig lösning = b n/a nn osv. Antag nu att för ett fixt högerled b så har systemet Ax = b två lösningar x och x.sätt x = x x.dågäller att Ax = A(x Ax )=Ax Ax = b b =. b b b n Eftersom A:s kolonner är linjärt oberoende så är x =, dvsx = x, vilket visar i).

5 54 6 MATRISER Exempel 6.3. Lös ekvationssystemet i Exempel 6.6. Lösning: Systemet kan skrivas på matrisform x 3 y 3 z, dvs Ax = b. Om A är inverterbar så ges lösningen av x = A b. Vi bestämmer om möjligt inversen A. Vi löser det utökade systemet (A E) / 3/ / / / / 4 / 3/ 5 / 3/ / / (E A ). En kontroll visar att AA = A A = E. Lösningen till systemt blir därmed x 4 / 3/ x = A b y 5 / 3/ 3. z / / Insättning i ekvationssystemet visar att x =, y = 3, z = är en lösning.