1 Repetition - Övning 3.8

Transkript

1 Repetition - Övning 38 Spåret av en matris definieras som: T r(a) = n i= a ii = n i= y z = y + y y n = A y = Vi vill definiera när ett system kan ta emot input och leverera output utan att systemet störs eller förstörs Inre parametrar ska inte påverka outputen olika, den ska bara bero på inputen Vi definierar ett systems stabilitet Ingenting i naturen kan växa obegränsat, tex bakterietillväxt i en petriskål växer kraftigt och stannar sedan av när föda tar slut Slutsats kan dras att människor inte är onda men är orsaken till mammutars utrotning (typ)

2 Spektralradie av matrisen A σ(a) = max k n Re(λ k) x(t) = c S e λt + + c n S n e λnt σ(a) < x(t) σ(a) > x(t) + σ(a) = Om den sista termen börjar växa obegränsat så blir påverkan från termerna innan obetydliga Definition - Stabilitet för diagonaliserbart system ẋ = Ax stabilit σ(a) < neutraltstabilit σ(a) = instabilit σ(a) > O A ej är diagonaliserbar får vi ett polynom till och villkoren ändras Definition - Stabilitet för godtyckligt system ẋ = Ax σ(a) < stabilt σ(a) = stabiltellerinstabilt σ(a) > instabilt x(k) = c S λ k + + c n S n λ k n 2

3 alla λ har λ < x(t) några alla λ har λ > x(t) alla λ har λ =? begränsad max k λ k Exempel λ k =, +i, i x(t) = c e t S + c 2 e it S 2 + c 3 e it S 3 Systemet är neutralt stabilt 2 Exempel 2 x (t) = c 2 t + c A = λ k =, (dubbelt) x 2 (t) = c 2 x 3 (t) = c 3 e t Systemet blir instabilt 3 Exempel 3 x (t) = (c + c 2 t)e t A = λ k = (dubbelt), x 2 (t) = c 2 e t x 3 (t) = c 3 Systemet blir neutralt stabilt 3

4 2 Insignalstabilt ẋ = Ax + B W (t) y = Cx(t) + D W (t) Ett system med begränsad insignal och begränsad utsignal System som vi vill använda i produkter ska vara insignalstabilt Detta löser man genom att bygga ihop de produkten med inre delar där de inre variablerna ger ett system med dessa egenskaper Ẋ = AX + f(t) () X(t) = X h + X p X h = e At X eller X h = c S e λt + + c n S n e λnt 4

5 Sats 45 a om ẋ = Ax och f är begränsad då t t, så varje lösning till ekvation begränsda då t t Bevis ẋ + Ax = f e At ẋ + e At Ax = e At f d ( e At x(t) ) = e At f dt e At x(t) x() = t x(t) = e At x()e At e As f(s)ds t e As f(s)ds 2 Exempel - övning 46 x p = te λt Z ẋ = Ax + e λt Z, z, AZ = λz Insättning ger: x p = e λt Z + λte λt Z = te λt λz + e λt Z = te λt AZ + e λt Z Ax p + e λt Z = A ( te λt Z ) + e λt Z 22 Exempel - övning 47 Om A är neutralt stabilt, så finns ett egenvärde λ = iω med egenvektor Z Det ger insignalen: f = e iωt Z 5

6 som är begränsad Partikulärlösning ges av te iωt Z vilket är en obegränsad funktion 23 Fråga Om insignalen är av typen e st, sɛc, när är x(t) av samma typ? HÄNGDE ITNE RIKTIGT MED Sats 46 f(t) = e st f där f är en konstant vektor och S inte är ett egenvärde av A så har systemet ẋ = Ax + f(t) följande partikulärlösning: x p = (si A) fe st Bevis: Stoppa in lösningen i ekvationen, blunda och hoppas att det löser sig Gör det inte det? Börja om Hoppas på att x p (t) = Ke st, hur ska vektorn K då se ut för att det inte ska bli fel? sike st = AKe st + e st f (si A)K = F K = (si A) f Där K kallas för en resolvent matris Denna lösningen gäller när s inte är ett egenvärde 6

7 3 Resonans A = 5, λ,2 = ± i5 5 ẋ = Ax + e iωt x p = (iω A) e iωt För ett radiosystem vill vi ha resonans för den frekvens som vi ställer in oss på I ett mekaniskt system vill man inte ha resonans för då kan det gå sönder 4 Peer instruction Hade jag försökt göra detta i Zimbabwe hade det inte fungerat Men här går det, så vi gör det Så istället för att smsa era flickvänner(eller godtycklig vän), så smsar ni mig 7